2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義+強(qiáng)化訓(xùn)練：與球有關(guān)的切、接問(wèn)題的（4大核心壓軸題型）學(xué)生版+解析

壓軸13與球有關(guān)的切、接問(wèn)題的4大核心題型

空間幾何體的外接球、內(nèi)切球是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是高考命題的熱點(diǎn)，一般是通過(guò)對(duì)幾何體

的割補(bǔ)或?qū)ふ規(guī)缀误w外接球的球心求解外接球問(wèn)題，利用等體積法求內(nèi)切球半徑等，?般出現(xiàn)在壓軸小題

位置

A題型01空間幾何體的外接球

技法指導(dǎo)

（1）求幾何體外接球半徑的方法

①補(bǔ)體法：把幾何體補(bǔ)成長(zhǎng)方體、正方體、正嗎面體，再利用它們的外接球半徑公式求解；②性質(zhì)法：

球心與截面圓心的連線與截面垂直，球心與弦中點(diǎn)的連線與弦垂直.

（2）確定球心的常用結(jié)論

①長(zhǎng)方體或正方體的外接球的球心是其體對(duì)角線的中點(diǎn)；②正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心

連線的中點(diǎn)；③直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心連線的中點(diǎn)；④正棱錐的外接球的球

心在其高上，具體位置可通過(guò)建立直角三角形運(yùn)用勾股定理計(jì)算得到.

1.（2022?新高考全國(guó)II卷?高考真題）已知正三樓臺(tái)的高為1,二、下底面邊長(zhǎng)分別為3百和46，其頂點(diǎn)

都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.100兀B.128兀C.14471D.1927t

2.已知三棱錐P—ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在球。上，NBAC=C,NACB=5，AC=J5,P8_L平面ABC.若

26

tan/PAB=2G，則球。的體積為（）

3.已知四面體A6C。的4個(gè)面為全等的等腰三角形，且C4=C6=2A6=4,A,6,C,。四點(diǎn)在同個(gè)球面

上，則該球的表面積等于（）

A.8TTB.127tC.187tD.24兀

4.（2023?全國(guó)乙卷T16）已知點(diǎn)S,A,8,C均在半徑為2的球面上，VABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，SA_!_平

面ABC,則S4=.

A題型02空間幾何體的內(nèi)切球

技法指導(dǎo)

空間幾何體的內(nèi)切球問(wèn)題，一是找球心，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑，作出截面，在截而中求

半徑；二是利用等體積法直接求內(nèi)切球的半徑.

5.（2025?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）所有棱長(zhǎng)都是2的正四棱錐的內(nèi)切球半徑為（）

A72口右「N/6-V2nR+&

A.o?V.----------------U.----------------

3324

6.（2025?江西南昌?模擬預(yù)測(cè)）已知正三棱錐夕-人4。的體積為3m3,側(cè)面積為2m2,底面積等于1m"則這

個(gè)正三楂錐內(nèi)切球的體積為（）

A.36兀B.1271m'C.108TIm3D.—nm3

3

7.某圓臺(tái)的下底面半徑是上底面半徑的3倍，一個(gè)半徑為3的球與該圓臺(tái)的兩個(gè)底面和側(cè)面均用切，則這個(gè)

圓臺(tái)的體積為（）

A.39兀B.6071C.78兀D.Win

8.12025新高考II卷T14）?個(gè)底面半徑為4cm,高為9cm的封閉圓柱形容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)

有兩個(gè)半徑相等的鐵球，則鐵球半徑的最大值為cm.

A題型竺空間幾何體的棱切球

技法指導(dǎo)

解決棱切球問(wèn)題的常用方法

（I）外形：轉(zhuǎn)化為內(nèi)切球求解；

（2）找切點(diǎn)=定球心=構(gòu)造直角三角形求解.

9.（2026?江西南昌?期末）正三棱難尸-A8C的底面邊長(zhǎng)為2g,側(cè)棱長(zhǎng)為2&，若球”與正三棱錐所有的

棱都相切，則這個(gè)球的表面積為（）

A.工"萬(wàn)B,（44—i6>/6）7rC.D.32乃

N

R

10.（2026?山東莉澤二模）已知正三棱柱ABC-A同G的體積為18,若存在球。與三棱柱ABC-AKG的各

棱均相切，則球。的表面積為（）

A.8乃B.12萬(wàn)C.167rD.18乃

A施型04與球切、接有關(guān)的最值問(wèn)題

技法指導(dǎo)

求解與球切、接有關(guān)的最值問(wèn)題的策略

（1）轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題：通過(guò)引入線參數(shù)或角參數(shù)，建立關(guān)于這些參變量的函數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的

最值問(wèn)題來(lái)解決；

（2）轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題：根據(jù)題目的特征，尋找或確定一個(gè)數(shù)量關(guān)系比較集中的平面，將題目的其他

條件逐步向該平面轉(zhuǎn)移，然后利用幾何方法或三角方法來(lái)解決；

（3）利用基本不等式：可通過(guò)引入多個(gè)變量建立數(shù)學(xué)模型，然后利用基本不等式求其最值.

11.（2022.全國(guó)乙卷.高考直題）已知球O的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面

上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其而為（）

A.-B.；C.3D.正

3232

12.（2025?山東?模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)軸截面是邊長(zhǎng)為26的正三角形的圓錐形封閉容器，放入一個(gè)小球。2后，

還可以放入一個(gè)半徑為I的小球。…則小球。2的體積與容器體積之比的最大值為（）

1.（2025?廣東中山?二模）如圖，在圓柱。。2內(nèi)有一個(gè)球O,該球與圓柱的上，下底面及母線均相切.若。。2=2,

則圓柱的表面積為（）

A.4兀B.57tC.67rD.7兀

2.（2025?河南?三模）已知圓錐的母線長(zhǎng)為石，側(cè)面展開圖的面.積為2百兀，則該圓錐的外接球的表面積為

).

A.25冗B.10nC.9兀D.4n

3.（2025?甘肅白銀?三模）如圖，在三棱錐P-48C中，AB_L4cp4平面48C,/%=3,AB=1,AC=2,

8c的中點(diǎn)，則三棱錐尸的外接球的表面積為（）

9兀

C.—D.3兀

222

4.（2025?江西?二模）在三棱錐尸-A8C中，平面A8C_L平面尸AC,PAVPC.ACLAB,A8=AC=10,

若點(diǎn)P、A、3、C均在球。的表面上，則球O的體積為（）

A.200兀B.20（）后C.”竺叵D.］（）0（）0冗

3

5.（2025?河南鶴壁?二模）如圖，在三棱錐A-AC。中，V/WC和△&?￡＞均為邊長(zhǎng)為名的等邊三角形，若

二面角A-/3C-。的大小為9（），則三棱錐A-AC。外接球的表面積為（）

A.5兀B.87c

C.6nD.9兀

6.（2025?四川德陽(yáng)?三模）六氨化疏分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是正三角形）.若一正八面

S

體的內(nèi)切球表面積為S，外接球表面積為邑，則才的值為（）

A.IB-I

C.3D.4

7.（多選）（2025?甘肅金昌?二模）如圖，在圓柱0。中，軸截面A4C。是邊長(zhǎng)為2的正方形，M是以40?

為直徑2的圓上一動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)兒O?）,AM與圓柱的底面圓交于點(diǎn)N,則（）

A.MO?〃平面

B.平面平面AN。1

C.直線N8與直線AQ有可能垂直

D.三棱錐M-AQOz的外接球體積為定值

8.（多選）（2025?四川自貢?三模）如圖1,在VA8C中，AC1BC,Zfi=y,A8=8,。、E分別在A8,

AC上，且4QE=3B。.將VAOE沿DE翻折得到圖2,其中"'1記三棱錐A-AC。外接球球心為。1，

球。|表面積為5,三棱錐A-ECO外接球球心為02,球02表面積為§2,則在圖2中，卜.列說(shuō)法正確的他）

圖1圖2

A.BDLAD

B.直線AA與。E所成角的正弦值為巫

5

C.00//平面BCDE

D.S+$2=78乃

9.（2025?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）已知圓臺(tái)的高為3,上、下底面圓的半徑分別為1和2,它的兩個(gè)底面的圓

周在同一個(gè)球的球面上，則該球的表面積為.

10.（2024?河南新鄉(xiāng)?二模）在直三棱柱AMG-ABC中，A8_LEC,A&==4,則該三棱柱的體積的最

大值為.

11.（2025?上海徐匯?一模）如圖，在V/1BC中，ZACB=90,ZABC=30°，BC=0,在三角形內(nèi)挖去一

個(gè)半圓，圓心。在邊8c上，半圓與AC,分別相切于點(diǎn)CM,與BC交于另一點(diǎn)N,將VA5C繞直線8C

旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體.

A

（1）求該旋轉(zhuǎn)體中間空心球的表面積的大小；

⑵求圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

12.（2025?四川成都?模擬）已知球內(nèi)接正四棱錐P-A8CZ）的高為3,AC、80相交于0,球的表面積為等,

若E為PC中點(diǎn).

⑴求證：OE//平面尸AO；

（2）求二棱錐C—EOB的體積.

13.（2025?黑龍江大慶?模擬預(yù)測(cè)）如圖，一個(gè)四分之一球形狀的玩具儲(chǔ)物盒，若放入一個(gè)玩具小球，合上

盒蓋.可放小球的最大半徑為2.若是放入一個(gè)正方體，合上盒蓋，則可放正方體的最大棱長(zhǎng)為（）

心“

A.2+0B.3^/1C.；（夜+l）D.

JJ

14.（2025?浙江?三模）圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)球，與圓臺(tái)的上下底面及所有母線均相切，則圓臺(tái)與球的體積比的取值

范圍為.

壓軸13與球有關(guān)的切、接問(wèn)題的4大核心題型

空間幾何體的外接球、內(nèi)切球是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是高考命題的熱點(diǎn)，一般是通過(guò)對(duì)幾何體

的割補(bǔ)或?qū)ふ規(guī)缀误w外接球的球心求解外接球問(wèn)題，利用等體積法求內(nèi)切球半徑等，一般出現(xiàn)在壓軸小題

位置

A題型01空間幾何體的外接球

技法指導(dǎo)

（I）求幾何體外接球半徑的方去

①補(bǔ)體法：把幾何體補(bǔ)成長(zhǎng)方體、正方體、正四面體，再利用它們的外接球半徑公式求解；②性質(zhì)法：

球心與微面圓心的連線與橫面垂直，球心與弦中點(diǎn)的連線與弦垂直.

（2）確定球心的常用結(jié)論

①長(zhǎng)方體或正方體的外接球的球心是其體對(duì)角線的中點(diǎn)；②正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心

連線的中點(diǎn)：③直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心連線的中點(diǎn)；④正棱錐的外接球的球

心在其高上，具體位置可通過(guò)建立直角三角形運(yùn)用勾股定理計(jì)算得到.

1.（2022?新高考全國(guó)II卷高考真題）已知正三樓臺(tái)的高為1,二、下底面邊長(zhǎng)分別為3百和4百，其頂點(diǎn)

都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.10（）71B.128兀C.144兀D.192兀

【答案】A

【解析】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑小弓，所以叵,20=*-,即a=3仍=4,設(shè)球心

sin60sin60

到上下底面的距離分別為球的半徑為R,所以4=JFM，W=,迷—16,故14-4|=I或4+d?=1，

叫廬》_在叫=1或病有十屈元=1，解得芯=25符合題意，所以球的表面積為

s=4兀店=1（X）7：.

故選：A.

2.已知三棱錐?一八AC的四個(gè)頂點(diǎn)均在球。上，N84C=5,4CB=2，AC=G,尸B_L平面ABC.若

26

tan/PA8=2jL則球。的體積為（）

4兀門16兀-32兀八64K

A.——B.—C.——D.——

3333

【答案】C

【解析】在VA3C中，ZBAC=-,Z/1CB=-MC=V3,

26

所以A8=4Ctan工=1,所以BC=2.

6

因?yàn)镻B_L平面ABCAB.RCu平面ARC,

所以心_LA3,P8_L8C.

又tan/PA8=25/5,所以P8=ABtanNPAB=.

則三棱錐P-ABC的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球，

長(zhǎng)方體的體對(duì)角線PC是長(zhǎng)方體的外接球的直徑，球心為PC的中點(diǎn).

又PC?=PB、BC2=16,即尸c=4,所以球。的半徑為2,

故球O的體枳V=?x23=竽.故選C.

3.已知四面體A8CO的4個(gè)面為全等的等腰三角形，RCA=CB=2AB=4,A,B,C,。四點(diǎn)在同一個(gè)球面

上，則該球的表面積等于（）

A.87tB.127rC.18兀D.24n

【答案】C

【解析】依題意可知八4=C8=O8=AC=4,DC=AB=2.

如圖，將四面體43CO放入長(zhǎng)方體中，

設(shè)長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)分別為x,y,z,將四面體補(bǔ)形為長(zhǎng)方體模型，

x2+y2=4,

0)

則x-+z-=16,解得|y=&,

22

y+z=16,z=X/M.

四面體ABC。的外接球也就是該長(zhǎng)方體的外接球，其半徑為扭=正運(yùn)運(yùn)=逑，

22

故所求表面積為5=4山?2=4兀孚）=18冗，故選C.

4.（2023?全國(guó)乙卷T16）已知點(diǎn)S,A,8,C均在半徑為2的球面上，VABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，SA_1平

面ABC,則S4=.

【答案】2

【解析】如圖，將三棱錐S-ABC轉(zhuǎn)化為正三棱柱SMN?ABC,

設(shè)VA8C的外接圓圓心為。…半徑為

AB3

or-__3/3

則“sinZACB旦~,可得r=6，

T

設(shè)三棱錐S-ABC的外接球球心為0,連接0AoQ,則。4=2,。?=；SA,

因?yàn)椤?2=OQ：+QW，即4=3+,弘2,解得胡=2.

4

A題型02空間幾何體的內(nèi)切球

技法指導(dǎo)

空間幾何體的內(nèi)切球問(wèn)題，一是找球心，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑，作出截面，在截而中求

半徑；二是利用等體積法直接求內(nèi)切球的半徑.

5.（2025?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）所有棱長(zhǎng)都是2的正四棱錐的內(nèi)切球半徑為（）

AA.V5RD.erC.-瓜-----nU.-瓜--+--近--

3324

【答案】C

【解析】依題意，所有棱長(zhǎng)都是2的正四棱錐的高〃=隹-（&）2=&,

體積V='X22X&=S2,表面積S=4x近X2?+22=4（6+11,

334

設(shè)該棱錐的內(nèi)切球半徑為，，則!Sr=乙

故選C

S4(6+1)2

6.（2025?江西南昌?模擬預(yù)測(cè)）已知正三楂錐P-A8C的體積為3n?,側(cè)面積為2m底面積等于ln『則這

個(gè)正三棱錐內(nèi)切球的體積為（）

A.36nnvB.12nm5C.108兀m’D.—nm5

3

【答案】A

【解析】因?yàn)槿忮FP-ABC的體積：V=|s-r,

其中S為三棱錐P-A8C的表面積，「為其內(nèi)切球的半徑.

所以3=gx（2+l）?n「=3.

所以這個(gè)三棱錐內(nèi)切球的體積為：\r3=^7ix33=367C（mD，故選A

7.某圓臺(tái)的下底面半徑是上底面半徑的3倍，?個(gè)半徑為3的球與該圓臺(tái)的兩個(gè)底面和側(cè)面均用切，則這個(gè)

圓臺(tái)的體積為（）

A.39兀B.60兀C.78兀D.117TI

【答案】C

【解析】如圖，作圓臺(tái)的軸截面:

22

所以圓臺(tái)的體積為：V=^rr+(3r)+r.3rlHG=787C.

故選：C

8.12025新高考II卷T14)一個(gè)底面半徑為4cm,高為9cm的封閉圓柱形容器(容器壁厚度忽略不計(jì))內(nèi)

有兩個(gè)半徑相等的鐵球，則鐵球半徑的最大值為cm.

【答案】|

【解析】圓柱的底面半徑為4cm,設(shè)鐵球的半徑為r,且r<4,

由圓柱與球的性質(zhì)知AB2=(2r)2=(8-2r)2+(9-2r)2,

即4產(chǎn)-68r+145=(2r-5)(2r-29)=0,r<4,：.r=-.

?題型03空間幾何體的棱切球

技法指導(dǎo)

解決棱切球問(wèn)題的常用方法

(1)外形：轉(zhuǎn)化為內(nèi)切球求解；

(2)找切點(diǎn)=定球心=構(gòu)造直角三角形求解.

9.(2026?江西南昌?期末)正三棱維P-A8C的底面邊長(zhǎng)為2石，側(cè)棱長(zhǎng)為2&，若球”與正三棱錐所有的

棱都相切，則這個(gè)球的表面積為()

A.-B.(44—\6\/6)7rC.5乃D.32%

【答案】B

【解析】設(shè)底面4AC的外接圓的圓心為O,連接尸。AO,延長(zhǎng)40交區(qū)C于N,

球”與棱PABC分別切于M,N,設(shè)球〃的半徑為「，

則40=旦26=2,ON=?2癢2=1,

32

而PO_L底面A8C,所以PO_LAO,可得PO=后4=2，

在直角三角形OM7中，O〃=VPTT，1<"26，

在直角三角形中，PM=MH=r,PH=五八

所以PO=PH+OH,即有2=血r+^/7^T，解得r=2拒—JJ，

則這個(gè)球的表面積為4乃/=4；rx（2x/I-=（44-16#）萬(wàn).

故選：B

10.（2026?山東前澤二模）己知正三棱柱人A用G的體積為18,若存在球。與三棱柱四c-ABG的各

棱均相切，則球O的表面積為（）

A.8乃B.127rC.167rD.18%

【答案】C

【解析】設(shè)正三棱柱ABC-4與G的底面邊長(zhǎng)為。，高為〃，上底面中心為。1,下底面中心為G,

連接。。，則球。的球心。在。。的中點(diǎn)上，設(shè)球。切棱AA于"，切棱8c于E,

則廣、上分別為所在棱的中點(diǎn)，

a

HIOF=AG=---=~~6

囚為tc.兀3，GrrE7=——a1

2sin—6

3

又。G=g,所以O(shè)E=JOG以GE?=+5，

所以4a=5+J解得。=〃，②

聯(lián)立①②可得。=b=2>/3>

所以球。的半徑為R邛〃=2,

所以球。的表面積為S=44片=4TFX2?=16不，故選C.

A題型04與球切、接有關(guān)的最值問(wèn)題

技法指導(dǎo)

求解與球切、接有關(guān)的最值問(wèn)題的策略

口）轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題：通過(guò)引入線參數(shù)或角參數(shù)，建立關(guān)于這些參變量的函數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的

最值問(wèn)題來(lái)解決；

（2）轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題：根據(jù)題目的特征，尋找或確定一個(gè)數(shù)量關(guān)系比較集中的平面，將題目的其他

條件逐步向該平面轉(zhuǎn)移，然后利用幾何方法或三角方法來(lái)解決；

（3）利用基本不等式：可通過(guò)引入多個(gè)變量建立數(shù)學(xué)模型，然后利用基本不等式求其最值.

11.（2022?全國(guó)乙卷?高考真題）已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為。，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球。的球面

上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

A.-B.；C.BD.—

3232

【答案】C

【解析】設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCQ，四邊形48C。所在小圓半徑為廣，

設(shè)四邊形ABC。對(duì)角線夾角為。，

（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號(hào)成立）

即當(dāng)四楂錐的頂點(diǎn)。到底面48CD所在小圓距離一定時(shí)，底面A8CO面積最大值為2/

又設(shè)四棱錐的高為力，則產(chǎn)+//=/,

22

1.2,x/2/,，廿/五1（r+r+2h\4x/3

%八"/>=一.2廣?力=—Vr-r-2/r—J----------=——

°-ABCD333虱3J27

當(dāng)且僅當(dāng)，=2//即人”時(shí)等號(hào)成立，故選：C

【利用導(dǎo)數(shù)求最值】

由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為“，底面所在圓的半徑為一則/?=正〃，

2

所以該四棱錐的高力=「^，令/=?°々<2）,廠=：卜［，設(shè)M

3f2

0<r<pr（r）>0,單調(diào)遞增，g</<2,單調(diào)遞減，

JJ

所以當(dāng)f=g時(shí)，V最大，此時(shí)力=「^=等.故選：C.

12.（2025?山東?模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)軸截面是邊長(zhǎng)為的正三角形的圓錐形封閉容器，放入一個(gè)小球。2后,

還可以放入一個(gè)半徑為1的小球。3則小球Q的體積與容器體枳之比的最大值為（）

A.-B.-C.—D.—

2432438181

【答案】A

【解析】由題意，得圓錐形容器的底面半徑〃高力=3.

因?yàn)檫呴L(zhǎng)為2遙的正三角形的內(nèi)切圓半徑斗='x2』x*=l,

所以軸截面是邊長(zhǎng)為26的正三角形的圓錐的內(nèi)切球半徑為1,

所以小球。1與容器的側(cè)面，底面均相切.

要使小球。2的體積與容器體積之比最大，則小球。2的半徑3最大，所以只需小球。2與小球。1，

圓錐形容器的側(cè)面都相切，其軸截面如圖.此時(shí)弓=?2'+2弓=-,

產(chǎn)4

所以小球。2的體積與容器體枳之比的最大值為手一二=，故選A.

-nrh243

3

1.（2025?廣東中山?二模）如圖，在圓柱。。2內(nèi)有一個(gè)球。，該球與圓柱的上，下底面及母線均相切.若。02=2,

則圓柱GQ的表面積為（）

o

A.47tB.57rC.6TTD.771

【答案】C

【解析】由題意知，圓柱底面半徑/'=第=1，母線長(zhǎng)/=&。2=2,

所以圓柱?。2的表面積S=2nr2+2nrl=2n+4n=6n-

故選：C

2.（2025?河南?三模）已知圓錐的母線長(zhǎng)為石，側(cè)面展開圖的面積為2石兀，則該圓錐的外接球的表面積為

).

A.25nB.10nC.9nD.4兀

【答案】A

【解析】若圓錐底面半徑為「，則6"=2有加，可得廠=2,故圓錐的高/2=V^Z=1,

若圓錐外接球的半徑為R，則球心到圓錐底面距離d=1火一川,

所以/+/=*,即R2_2R+5=W,可得R=|,

故外接球的表面積為%及2=25幾，故選A

3.（2025?甘肅白銀?三模）如圖，在三棱錐夕—A8C中，/^，4。/4，平面48。，PA=3,AB=\.AC=2,

BC的中點(diǎn)，則三棱錐4-/）￡戶的外接球的表面積為（）

D.3兀

22。謂

【答案】B

PK

【解析】

設(shè)棱/W,AC,R4的中點(diǎn)分別為連接HF,MF,DG,EG、DH,EM,

構(gòu)造長(zhǎng)方體DGEN-HAMF,則長(zhǎng)方體/X羽V-H4M/外接球的表面積

3I

即為三棱錐A-D所外接球的表面積.依題意‘HD=Q,HF八HA=*

設(shè)長(zhǎng)方體ZX龍N—H4A〃”卜接球的半徑為R,則（2R）2=（；）2

所以其外接球的表面積5=4制?2=.

故選：B

4.（2025?江西?二模）在三楂錐P—A8C中，平面A8CJ_平面抬C,PALPC,ACYAB,AB=AC=\0,

若點(diǎn)2、A、3、C均在球。的表面上，則球O的體積為（）

A.200兀B.200拉兀C.照叵D.I000上兀

3

【答案】C

【解析】因?yàn)槠矫鍭8C_L平面P4C,平面A8C1平面尸4C=AC,AB1AC,

/Wu平面Q43,所以A6_L平面PAC,

因?yàn)槭珻u平面P4C,所以A8_LPC,

因?yàn)镻4_LPC,PA（AB=AfPA.A8u平面Q4B，所以PC_L平面

因?yàn)镻8u平面as，所以PC_LPA,

取線段RC的中點(diǎn)。，連接OP、Q4,則OP=Q4=」8C=O8=OC,

2

故BC為球。的直徑，故球。的半徑/?=生=返三H

=5夜,

22

所以球。的體積為丫=殍J嗎況

故選：C.

5.（2025?河南鶴壁?二模）如圖，在三棱錐A-88中，VA8C和△88均為邊長(zhǎng)為石的等邊三角形，若

二面角A-8C-O的大小為90,則三棱錐A-8CZ）外接球的表面枳為（）

A.5兀B.87c

C.6兀D.9兀

【答案】A

【解析】設(shè)E是BC中點(diǎn)，連接4￡。石，設(shè)V48C的外心為。1,△8C。的外心為。

。是四面體外接球球心，

由于VA8C和△88都是邊長(zhǎng)為萬(wàn)的正三角形，

所以AE_LBC,DE上BC,AE=DE=

且。1，。2分別在DE,AE靠近E的三等分點(diǎn)處.

根據(jù)二面角A-AC-。的大小為90,及球的性質(zhì)可知：

。。_1_平面8。。，OQJ■平面46C,所以O(shè)a_LQE,Oa_L4E,

由于。E=。2民A￡?!DE,所以四邊形0。七。2是正方形,

112

E0t=EO2=-DE=~,O}D=-DE=\,

設(shè)四面體外接球的半徑為火，則"=［十1'=亭.

所以夕卜接球的表面積為4兀乃=4兀x?=5兀.

4

故選：A

6.（2025?四川德陽(yáng)?三模）六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是正三角形）.若一正八面

體的內(nèi)切球表面枳為S，外接球表面積為$2,則,的值為（）

43

A.—B.-C.3D.4

32

【答案】C

【解析】如圖正八面體，連接AC和〃力交于點(diǎn)。，

因?yàn)镋4=EC,E￡>=￡8，所以EO_LAC,EO1BD,

乂ACu平面ABC。，3￡)u平面A4cO,ACBD=O,

所以￡OJ_平面人BCD,

設(shè)正八面體的外接球的半徑為R,內(nèi)切球半徑為「，

假設(shè)正八面體的棱長(zhǎng)為2,

則EB=EC=BC=2,OA=OC=我，EO=dEB?-OB?=0，

,△EBC=~T~X2?=/，^^OBC=_X2x1=1,

42

因。A=OC=OE=&，則寵=&，旦。為正八面體的中心,

則點(diǎn)0到平面的距崗為內(nèi)切球半徑「，

=X

因?yàn)閊E-OBC^O-EHC,:邛~XS^OBCEO=~XS^EHCxr,

KP-xlx\/2=-x>/3xr,所以廠=丞,

333

區(qū)=皿=四_=3

所以工4nr2（6],故選：c.

7.（多選）（2025?甘肅金昌?二模）如圖，在圓柱中，軸截面A4C。是邊長(zhǎng)為2的正方形，M是以40?

為直徑2的圓上一動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)兒。2），AM與圓柱的底面圓交于點(diǎn)N,則（）

A.MQ〃平面N8O1

B.平面MO。2人平面AN。

C.直線N〃與直線人Q有可能垂直

D.三棱錐M-AO02的外接球體積為定值

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A,因?yàn)椤?N都是對(duì)應(yīng)圓周上的點(diǎn)，AO2，A8是相應(yīng)的圓的直徑,

所以O(shè)2M_LAM,N8_LAN,所以加。2〃沖，

因?yàn)镸Qa平面NBQ,NBu平面NBQ,所以例Q〃平面NB。-A項(xiàng)正確：

對(duì)于B,因?yàn)閍a_LAN.aacMa=a，所以AN。平面M。。?，

因?yàn)锳Nu平面ANO]，所以平面Ma。?，平面ANO-B項(xiàng)正確；

對(duì)卜C,若NBLAOi，因?yàn)镹B1AN,AN\人旦=AAN,AQu平面ANQ,

所以NB1平面ANO1,NB上NO1,則0再=7NB，+03?>O、N,

因?yàn)椤?_平面"MO02=2,BO2=NO2=1,所以qN=。或=V?7F=逐，

這與。乃〉QN矛盾，故直線N8與直線不可能垂直，C項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)椤鳤MOgAaq均是以A。1為斜邊的直角三角形，

所以三棱錐M-AQ.的外接球的球心為A。1的中點(diǎn)，由于4@=在方=石，

故三棱錐M-AqQ的外接球體積為定值，D項(xiàng)正確.

故選:ABD

8.（多選）（2025?四川自貢?三模）如圖1,在VA8C中，ACA.BC,乙B吟,A8=8,D、E分別在A8,

AC上，且4QE=38C.將VAOE沿。石翻折得到圖2,其中力。1記三棱錐A-8CD外接球球心為Q,

球。I表面積為S,三棱錐4-EC。外接球球心為。2,球。2表面積為§2,則在圖2中，下列說(shuō)法正確的有（）

圖1圖2

A.BD1AD

B.直線A8與。E所成角的正弦值為畫

5

C.OQJ/平面BCDE

D.S、+$2=78冗

【答案】AC

【解析】選項(xiàng)A：由圖1,在直角V/WC中，BC=ABcos-=4,AC=ABsin-=4>/3,

33

33

因?yàn)椤Ｊ?-BC,所以小〃8C,\A.DE=-BC=3,

44

aIQi

AE=-AC=3y/3,CE=-AC=g,AQ=」AB=6,BD=-AB=2,

4444

由圖2,在直角△4EC中，AC='AE2_CE?=2迷,

因?yàn)镺E〃8C,且4C_L8C,所以力E_LEC,

所以在直角DEC中，DC=1DE?+EC?=2石，又A￡>=6,

所以人。2+￡>。2=AD?,所以AC_LC￡>,

又因?yàn)椤?_L05\CDC\CE=C,CD,CEu平面BCED，所以AC_L平面8CEO,

又BDu平面BCED,所以AC_ZBO；

在,8DC中，BD=2,DC=26BC=4,所以BD?+￡>c?=8C?,

即BZ)_LC￡),又ACC￡>=C,八C,C￡>u平面八。。，所以BZ)_Z平面人DC,故A正確；

選項(xiàng)B：因?yàn)锽C7/OE,所以一人4。即為所求，

因?yàn)锳CJ?平面8CED,BCu平面8CEO,所以ACLBC,

所以在直角VA8C中，AB=《AC?+心=J(2府+不=2而sinZA8C=條蓋=半,故B不正

確；

選項(xiàng)C：由上可知8。上平面AOC,BDJ.AD，則A8的中點(diǎn)到A8力距離相等,

因?yàn)?CJL平面8DC,BDA.CD,則AB的中點(diǎn)到A8,C距離相等，所以01為A8的中點(diǎn)，

同理可知。2為AO的中點(diǎn)，所以01。2〃4。，。2（X平面/3CQE,3Ou平面BCDE,所以。02〃平面5CQE，

故C正確；

選項(xiàng)D：由選項(xiàng)c可知：球。1的半徑飛二—二-二Ji6,球。2的半徑鳥=—1=3,

所以1+52=4兀（/?：+8）=76冗，故D不正確.

故選：AC.

9.（2025?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）已知圓臺(tái)的高為3,上、下底面圓的半徑分別為1和2,它的兩個(gè)底面的圓

周在同一個(gè)球的球面上，則該球的表面積為.

【答案】2071

【解析】作出圓臺(tái)及外接球的軸截面圖，如圖.

易得球心。在圓臺(tái)內(nèi)部,設(shè)球心到上底面圓的距離為“,

則球心到下底面圓的距離為3-工，由勾股定理得丁+12=（3-力，+2?,解得x=2,

則外接球的半徑/<=77/=石，表面積為20%.

10.（2024.河南新鄉(xiāng)?二模）在直三楂柱A4G-A4c中，A8_L6CAG=2AA=4,則該三棱柱的體積的最

大值為.

【答案】6

【解析】如圖，AG=4,44=2,則AG=26，

由A4_L4C,則AB2+8C2=12224BBC，當(dāng)A6=8C0寸，等號(hào)成立，即A98C的最大值為6,

此時(shí)三棱柱的體積最大，最大體積為耳4&8。A4,=-x6x2=6.

11.（2025,上海徐匯?一模）如圖，在VA8C中，4C3=90,ZABC=30%BC=0在三角形內(nèi)挖去一

個(gè)半圓，圓心。在邊3c上，半圓與4cA8分別相切于點(diǎn)C,M,與4c交于另一點(diǎn)N,將VA3c繞直線8C

旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體.

（1）求該旋轉(zhuǎn)體中間空心球的表面積的大小；

（2）求圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

【解】（1）連接OM,鉆為半圓的切線，.?.OW_L48,

設(shè)。M=〃，則O8=V5-r,

750/，44

...s\nZMBO=，解得:r=——，「?5球面=4萬(wàn)尸=7

3

（2）=44。4=90，N4BC=30"，BC=6：.AC=\,

將陰影部分繞直線3c旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，里面挖去一個(gè)內(nèi)切球,

241

二?所求體積V=%1m-%=^7rxACxRC-—7ir=—7TX

333927

12.（2025?四川成都?模擬）已知球內(nèi)接正四棱錐尸-ABC。的高為3,AC、8。相交于。，球的表面積為熠,

若E為PC中點(diǎn).

p

⑴求證：。石//平面A4。；

（2）求三棱錐C-EOB的體積.

【解】（1）依題意底面43CQ為正方形，AC.80相交「。，

所以。為AC的中點(diǎn)，又