江蘇地區(qū)一輪復(fù)習(xí)模擬題匯編：平面向量及其應(yīng)用-2025年高考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)突破（含答案）

江蘇地區(qū)一輪復(fù)習(xí)模擬題匯編：平面向量及其應(yīng)用-2025年高考數(shù)學(xué)核心

考點(diǎn)突破

一、單選題

1.（23?24?江蘇徐州?模擬預(yù)測(cè)）已知向量”3=（2,），若向書(shū)在向量［時(shí)上的投影向量為

1-

4,則75=（）

A.-1B.-2C.2D.1

2.（23-24?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）若"=（-2,5）,'=（］，〃）共線，則實(shí)數(shù)〃的值為（）

_5

A.0B.2C.-5D.5

3.（23-24?江蘇連云港?模擬預(yù)測(cè)）已知G為V48C的重心，線段力8上一點(diǎn)N滿足方=4麗，

AM_

CN與4G相交于點(diǎn)則行一（）

3J_3

A.2B.5C.3D.4

4.（23-24?江蘇徐州?模擬預(yù)測(cè)）已知向量“=夜），"=（-3,2,0）,則在。上的投影向量為

（）

,333行555Vp

4,4，~4-

A.\/B.、

(33(23正］

D.

C.

5.（23-24?江蘇無(wú)錫?專題練習(xí)）如圖所示，在正方形48co中，E為48的中點(diǎn)，/為CE的中點(diǎn),

B.

1/21

一

-AB+AD-3A—B+-1AD

C.2D.42

6.（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）在V力3c中，反=2而，"為線段力。的中點(diǎn)，過(guò)〃的直線分別

—2—

與線段力因力c交于用2,且"一V'^2=AJC，則義=（）

112

A.6B.3C.2D.3

_2_i（>/>o）

+=fl?的左、右焦點(diǎn)分別為片、人,直線

7.（23-24?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí)）橢圓C：g

/:3缶+y+m=°過(guò)片且與橢圓交于力、8兩點(diǎn)。在8左側(cè)），若曲+片瑪）然=°,則c的

離心率為（）

23

--

C77

B.D.

8.（23?24?江蘇南京?階段練習(xí)）勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓

心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在

如圖所示的勒洛三角形中，已知力8=2,P為弧4c（含端點(diǎn)）上的一點(diǎn)，則而?正的范圍為

)

[0,273]C.口，2]D.@4]

二、多選題

9.（23-24?江蘇南京?階段練習(xí)）已知向量”（2，T））=G%2）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若則川=7B.若則/〃=1

C.若2|”,=卜+,，則加=]D.若不在公上的投影向量是公，則〃?=3

10.（23-24?江蘇淮安?模擬預(yù)測(cè)）在空間直角坐標(biāo)系必產(chǎn)中，°（0,0,0）,力（-2,-1,1）,僅3,4,5）,下

列結(jié)論正確的是（〉

2/21

A=>/66

——一在

B.向量次與夾角的余弦值為6

C.點(diǎn)A關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為

1刀

D.向量。豆在（方上的投影向量為一歷“

11.（23-24?江蘇泰州?階段練習(xí)）定義兩個(gè)平面向量的一種運(yùn)算=困斗而"，〃為認(rèn)石的夾

角，則對(duì)于兩個(gè)平面向量下列結(jié)論正確的有（）

A.a^b=b^）a

B2G侈標(biāo)）⑤B

（萬(wàn)麗）+（萬(wàn)研=同2柯

D.若g=a，M），B=&/2）,則再乃一七必?

三、填空題

12.（23-24?江蘇連云港?模擬預(yù)測(cè)）在V/l8c中，點(diǎn)M,N滿足

麗=麗=標(biāo)，而?而=4,而.前=5,麗?就=8,貝J"'卜,AB~AC=

13.（23-24?江蘇南京?階段練習(xí)）已知矩形力88滿足"8=2,8C=1,若「，0分別是線段

團(tuán)。上的動(dòng)點(diǎn)，且〃力。=45。，則衲質(zhì)的最小值為.

14.（23-24?江蘇宿遷?模擬預(yù)測(cè)）趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》

一書(shū)作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形由4個(gè)全等的直

角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成，如圖①），類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖②所示的圖

形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，其中

DF=2FA,則SMBC的值為設(shè)AD=2/18+pAC

3/21

aC

四、解答題

15.（23.24?江蘇徐州?模擬預(yù)測(cè)）已知向量"二（-1刈），石=（-2，1）.

⑴若力+B與3共線，求實(shí)數(shù)小的值；

（2）若C=G7,26）,且展=32+篇，求實(shí)數(shù)l°g”的值；

（3）若卜小相”4,求實(shí)數(shù)m的值.

16.（23-24?江蘇宿遷?模擬預(yù)測(cè)）已知在V/18C中，M是邊AC的中點(diǎn)，N是邊力4上的點(diǎn)，且

AN=2NBAB=a,AC=b

4/21

A

（1）用￡,［表示向量麗;

且力MJ.CV,求/歷/C的大小

.x-

m=2si咤,5/5(cos'+sin—,〃

17.（23-24?江蘇徐州?模擬預(yù)測(cè)）已知向量24

且函數(shù)/（勸=而?萬(wàn).

八兀12

為€°，彳fM=-

⑴若L2」，且3,求SH1X的值；

（2）若將函數(shù)"X）的圖像上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的5,再將所得圖像向左平移

n

4個(gè)單位，得到雙幻的圖像，求函數(shù)g（x）單調(diào)增區(qū)間.

5/21

71

18.(23-24?江蘇南京?階段練習(xí))設(shè)與馬是夾角為3的兩個(gè)單位向量，如果

AB-3ei-2e2,BC-4e,+e2,CD=8e)-9e2,

(1)求證：A,B,。三點(diǎn)共線；

(2)試確定義的值，使22。+S，和弓+雞,共線；

(3)若%，與244%，的夾角為銳角，試求/I的取值范圍.

19.(23-24?江蘇徐州?期末)在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，對(duì)于任意

相鄰三點(diǎn)都不共線的有序整點(diǎn)列掰〃)：4,4,4,…，4與例，。；BlB2Bn其

中〃23,若同時(shí)滿足：①兩點(diǎn)列的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別相同；②44“工8/川，其中i=l,

2,3,…,"則稱與3(〃)互為正交點(diǎn)列.

⑴求“⑶：4(1。4(4-1),4(6,1)的正交點(diǎn)列"3)；

⑵判斷44)：4(0,0),4(1,2),4(0,4),4(1,6)是否存在正交點(diǎn)列3(4)?并說(shuō)明理由：

(3)證明：〃eN,都存在整點(diǎn)列掰〃)無(wú)正交點(diǎn)列.

6/21

7Z21

答案:

1.D

a-b_\

【分析】根據(jù)投影向量的概念列式，化簡(jiǎn)得到m『一、結(jié)合口、日的坐標(biāo)建立關(guān)于/的方程，解出

/值，進(jìn)而求出小6的值.

a-b萬(wàn)石=1

【詳解】根據(jù)題意，可得I*1引—4“，可得102—4,

r_21_J_f—__L

因?yàn)樾?=0X2+(-2)”=-2/,I殲=0+4=4,所以7=a,解得-2,可得d/=-2r=l.

故選：D.

2.B

【分析】由坐標(biāo)形式的共線定理直接計(jì)算即可得解.

【詳解】因?yàn)椤岸?-2,5),1=(1/)共線,

-2〃—5=0=>n=——

所以2.

故選：B.

3.B

AG=-JB+-AC

【分析】利用重心及向量的中線公式得到33結(jié)合條件通=4疝及向量共線的推

論,即可求出結(jié)果.

~AG=-JD

【詳解】如圖，因?yàn)镚為v/8c的重心，所以G在中線力。上，旦3

JD=-(AB+AC)~AG=-JB+-7C

又2，所以33

一一2一

設(shè)而=丸而,(0<%<1),所以^^=彳/^+^/0

---4/t—z—

AM=-AN+-AC

又荔=4旃，所以33又C,〃,N三點(diǎn)共線,

42A,13AM3

——+—=I2=----=-

所以33，得到5,所以4G5,

8/21

故選：B.

4.B

【分析】首先求出5一$,9一"）"，同，再根據(jù)投影向量的定義計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)?="（-3,2,0）,

所以"k6,0A(-320)=(4,-1,V2)

所以G-">"=lx4+lx(-l)+VIx近=5同=jF+、+3j=2

G-/；）G5

_/--a=-a=油,可牌斗）

所以1一B在萬(wàn)上的投影向量為時(shí)一

故選：B

5.D

【分析】根據(jù)圖形結(jié)合向量的線性運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)镋為48的中點(diǎn)，廠為此的中點(diǎn),

HU1liaULU、1/1ULUULUUUU\qULDiLUU

所以

故選：D.

6.R

~AD=-~AB+-7C

【分析】作出圖形，由友=2麗,可推得33,利用條件將其化成

11,

2AM=JP+—Jd--1=1

3A，再運(yùn)用平面向量基本定理得264,解之即得.

【詳解】

—?2―-1—.

AD=-AB+-AC

如圖，因元=2而,則"-=2{AD-48）抑33（*）,

---I——2—2翔=萬(wàn)+看而

AM=-ADAP=—44B,方方-

又2,3/40=/MC,代入(*)得,

'AM=-JP+—AQ力“、-+—=1A=-

即264,因己“，。三點(diǎn)共線，故26%解得，3.

故選：B.

9/21

7.A

【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得M用=內(nèi)用卜2,根據(jù)直線斜率求出傾斜角的余弦值,

.3

再由降基公式可得出11]-4,作M為垂足，結(jié)合幾何圖形列齊次式可得離心率.

【詳解】因?yàn)锧+而）亞=°，

所以

則府=1稻=巴故|眼巾用=2c,

由橢圓的定義知，?陽(yáng)=2"2C,

itn

設(shè)N/耳6=。（。＜。＜%），則tan夕=一3赦，故2V＜'

電叱=-36

COS〃j

sin*+cos*=l,解得c°s,一（正值舍去），

所以

如圖，作斗力入，"為垂足，由|力用=內(nèi)尸」，得M為"尸2的中點(diǎn),

sin￡=M=￡z￡=2。C2

所以網(wǎng)…。

則2|償|2c4,故。=/弓.

故選：A

8.A

【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算量，結(jié)合1P°同即可求解.

【詳解】取4c中點(diǎn)為°,連接0°,顯然?尸。性工6],

10/2I

A

則方?玩=（而+函.（間+玩）=（所+函?（間-函

=~P0-OB=PO-\^2]

故選:A.

9.AB

【分析】選項(xiàng)A：利用向量與向量平行求解即可，選項(xiàng)B：利用向量與向量垂直求解即可，選項(xiàng)

C：利用遇到向量的模即平方求解即可，選項(xiàng)D：利用投影向量的求法求解即可，

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)樗?X2=(T)X〃?，所以m=_4,A正確；

對(duì)于B,因癡力，所以2x‘〃+(T)x2=0,所以〃?=1,B正確；

對(duì)于C,因?yàn)椴稭+4所以3/-10鼠B+3廬=0,整理得3*-20m+47=0,

此方程無(wú)實(shí)根，C錯(cuò)誤；

bd^2m-2z_(4m-4-2m+2'

--Izl20-_5-('―)-1_5-，5__

對(duì)于D,〃在。上的投影向量為回'，,若人在。上的投影向量

2M-2,7

--------=1.m=—,

是a,貝IJ5則2則D錯(cuò)誤.

故選：AB.

10.ABD

【分析】依次結(jié)合向顯模公式，結(jié)合向品的夾角公式，根據(jù)點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，結(jié)合投影向量的公式即

可求解.

【詳解】解：A.點(diǎn)°(0，0。，十2-」)，8(345),

則方=(-麗=(3,4,5),而=(5,5,4),

|劉卜石墓中=病，故A正確；

11/21

cos〈雙麗>=匕絲=:5=4

B.\OA\\OB\76x5亞6,故B正確;

C.點(diǎn)A關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（2』」），故C錯(cuò)誤;

D.08在。力上的投影向量為：\0A\\OA\5010,故D正確.

故選：ABD.

11.ACD

【分析】根據(jù)不?石的定義對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此判斷出結(jié)論正確的選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，".忖網(wǎng),叫所以人選項(xiàng)結(jié)論正確;

對(duì)于B選項(xiàng)，等式左邊—右邊力那卜i叱其中〃是行與E的夾角,

故當(dāng),等式不成立，所以B選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤.

對(duì)于C選項(xiàng)，等式左邊巾小「領(lǐng)2。+混。）=同2.向2=右邊，故C選項(xiàng)結(jié)論正確.

對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)C的分析可知“響2向-3而

=6+KXV2+￡）~（“/2+必出）2=-々乂）［

=|磯?阿sin8

而??為非負(fù)數(shù).

故a?b=\x,y2-x2y\

所以D選項(xiàng)結(jié)論正確.

故選：ACD

12.13

=JB+-~BC

【分析】根據(jù)條件，利用向量的線性運(yùn)算得到3,

''-?’”一-2，——*2.一■13—29

AN=AB+-BC—,———,BC=9,4B?BC==-

3,AC=AB+BC,再結(jié)合條件，建立方程得到22,即

可求出結(jié)果.

【詳解】如圖，因?yàn)橥?=加=配，所以“，N為8C的兩個(gè)三等分點(diǎn)，且

BM=MN=NC==BC

3.

12/2I

......-1—-----—2—

AM=AB+-BCAN=AB+-BC

因?yàn)?3,AC=AB+BCy

AB-7M=JB?+-ABAC=4

所以3①，

瘋.而二函+；麗.（而+|麗二"+而灰+￡冊(cè)2=50

ANAC=（AB+^BC）-（AB+BC）=AB1+^ABBC+^BC1=S^

比2=義而碇=—3,而2=2

聯(lián)立①②③，解得22,

13.4&-4

【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為X,軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)

Z5/1P=a（ae[0°,45°]）

然后表示出點(diǎn)RQ的坐標(biāo)，從而可表示出".7砂，化簡(jiǎn)后結(jié)合基本不

等式可求得結(jié)果.

TI

設(shè)'。=。（。?0冏），則/

PB

tanzf^JP=tanaAB,知/8tana=2tana,所以產(chǎn)仁二匕11。），

由

13/2I

n

tanZDjp=tan(450-a)=DQ=/IDtan:一aJ=Ian——a

知14

Qtan

所以I

it1-tancr

APAQ=(2,2tancr)-tan——a

14---------+tana

所以1+tana

-(1+tan?)+2/、

=2-----------——+(1+tana)-1

1+tana

o-_

=2-1+----------+(l+tan?)-l>2(242-2}=45/2-4

I+tana」,7

2.

=1+tana

當(dāng)且僅當(dāng)1+tana-------------,即rtana=12-l時(shí)，等號(hào)成立,

所以而而的最小值為4&-4.

故4a-4

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，考查基本不等式的

應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，將數(shù)量枳用坐標(biāo)表示，考查數(shù)形結(jié)合的思想和

計(jì)算能力，屬于較難題.

412

14.1313

【分析】利用建系的方法，假設(shè)/尸=1,根據(jù)/力。4=120、利用余弦定理可得48長(zhǎng)度，由正弦

S；9EF

定理求出大小正三角形的面積，即可求得的值；然后計(jì)算cosNQ力民sinND48,可得點(diǎn)。坐

標(biāo)，最后根據(jù)點(diǎn)8，C坐標(biāo)，可得結(jié)果.

［詳解］由而=2萬(wàn)，設(shè)/尸=1,則40=3,80=力￡=1,DF=2,

如圖

14/2I

由題可知：/408=120。

由AB-=AD1+BD--2ADBD-cosZ.ADB

所以48=JT5,則力

S&DEF=-xDF2sin60=73

所以小三角形面積2,

一一|DF|=-|DJ|DF=-DA

因?yàn)椤Ｊ?2々，所以II3lI,即3

3.ABC=—AB'sin60=13

24

瓜4

°&DEF

<?

叵

又sin/BADsinZ.ADB~26~

cos/BAD=V1-sin2/.BAD=7y

所以26

所以8sZ.BAD,ADs\x\/BAD)

D

26

即

AD

所以

AC=

又/4D=24BIf.iAC

9_

2613

37397393

--------=-------Ll

所以26213

所以13

15/21

412

故13：13.

2

5(1)2

⑵3

⑶一2

【分析】(1)根據(jù)題意，由向量平行的坐標(biāo)計(jì)算公式可得關(guān)于根的方程，即可得答案.

(2)根據(jù)題意，由向量的坐標(biāo)計(jì)算公式可得之=2,加=8即可得答案；

(3)利用向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算求4坐標(biāo)，模長(zhǎng)坐標(biāo)公式列方程求參數(shù)值；

【詳解】⑴因?yàn)?+'=2(-2,1)=(~4,+1)與B=(-2,1)共線，

1

所以T>d=-2(2，〃+D,所以〃‘三

(2)因?yàn)閏=3a+4刃=3(—1,用)+4(—2,1)=(-3—24,3〃?+2)c=(-7,26)

ixri-7=-3-22,26=3m+2

可得2=2,加=8,log4w=log28=3

⑶由題知：W(Tm)-(-2,l)=(l,〃I),|[*"+(m-%

a+h=(-\,m)+(-2,1)=(-3,m+1),3y+(m+[>=J9+(m+1!

\a-b\=\a+b\^

?B-邛叩+邛

22

.l+(m-l)=9+(m+l)>gy4/w=-8>解得機(jī)=一2.

uuiririr

MN=-a--b

16.(1)62

ZBAC=-

⑵2

【分析】(1)根據(jù)平面向量基本定理結(jié)合已知條件求解即可；

__-------------------UUUUUU____________________Id1=武.IBI

(2)用。，人表示出4W,CN,再由4M1CN,得/M,CN=O化簡(jiǎn)結(jié)合2可求得結(jié)果.

16/21

【詳解】（1）因?yàn)樵赩I4c中，"是邊8c的中點(diǎn)，N是邊上的點(diǎn)，且麗=2福,

UULTUlinHJLT21"1"

MN=AN-Ayf=-AB-i-AB+-AC)

所以3-22

Iim1ULU1rir

=-AB一一AC=-a一一b

6262.*

iwIr?rULIDtunim2rr

AM=-a+-b,C^=AN-AC=-a-b

(2)223

UULIUL1U___________

因?yàn)?M_LCN,所以4W1CN,即麗而=0,

陽(yáng)+射][4㈤=0

故【22){3J

化簡(jiǎn)得：362

r痛rrr

|^|=—1/?|a2=±3b

因?yàn)?,所以2

I「，1「2ir2i3[21「2

—a?b=-a—b=-x—b-b=0

代入上式得632322

ZBAC=-

即"歸=0,所以羽_L元,印2.

1+2」

17.(1)6.

kn冗,knI冗,AeZ

(2)136」

【分析】（1）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)合三角函數(shù)恒等變換公式對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)變形可得

然后利用兩隹和的正

弦公式可求得結(jié)果:

八,兀,'兀f九fr

/、2kn—?2xH—W2ATTH—,keZ

（2）利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出第H，然后由262可求出其遞增

區(qū)間.

X.XX

m-2sin—,cos—+sin—=cos—,sin——cos—

222))222)

【詳解】（1）因?yàn)?/p>

17/21

71

=sinx-V3cosx=2sinx-L1I.

/(x)=2sinx-^2sin(x-y1

因?yàn)?)3所以3

71nn

xe0,—x——e

5

因?yàn)長(zhǎng)2」，所以336

I-sin2[x-y

所以

7t7U(兀、.兀

sinx=sin++cosx——sin—

X-----3(3J3

所以3

112&61+2>/6

-X—+-----X----=----------

32326

1y2sinIlx--

<2）函數(shù)〃x）的圖像」一的點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的2,得13

7t

Itg(x)=2sin2(x+：J-=2sin2x+—

再將所得圖像向左平移7個(gè)單位，得36

<2x+—<2^4--,^eZkn--<x<kn+—,keZ

令262,得36

所以g(x)的增區(qū)間為Ikn--3'kn+—6}kGZ

18.（1）證明見(jiàn)解析

+立

⑵2

【分析】（1）根據(jù)向量平行且有公共點(diǎn)得出三點(diǎn)共線:

（2）應(yīng)用兩個(gè)向量平行系數(shù)關(guān)系求參;

（3）把夾角為銳角轉(zhuǎn)化為數(shù)量積大于零且向量不平行求參即可.

AB=3e—2e,BD=BC+CD=12e—8e

【詳解】（1）因?yàn)?212

4萬(wàn)=而，可知方，麗共線，所以4&D三點(diǎn)共線.

（2）因?yàn)?4+6與q'6共線,

18/21

所以2癡+［（+花）可得”jl

=/2

17+正

2

即得

-??■■?*?■■

(3)因?yàn)閝+”6與“0十%夾角為銳角，

2

所)仔+雞^14+e,)=2e1+雞~+0+1,/6=22+(分+l)xlxlx；>0

———?,

且義弓+e?與q+尤/不平行，

若雞+02//6+/1(?2,可得/2=1,4=±1,則2邦1,

A<—2~5/3或-2+>/3<2<1ngA>1

所以2的范圍為(f-2MM-2+Hl"，+8)

19⑴4(1,1)%(3,4),層(6,1)

(2)不存在，理由見(jiàn)解析

（3）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）由正交點(diǎn)列的定義可知40'1）,鳥(niǎo)（61），設(shè)&（xj）,由正交點(diǎn)列的定義可知

瓦?瓦瓦=0,無(wú)可?瓦瓦=0,即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)點(diǎn)列片，斗,居，凡是點(diǎn)列4,4,4,4的正交點(diǎn)列，則可設(shè)

用員=4(一單，員員=4(1,3),8384=4(-1,3),4,4,4cz,因?yàn)?與44