蘇科版九年級數學下冊 專項訓練（二） 圖形的相似（含答案）

專題訓練（二）圖形的相似

考點一成比例線段與黃金分割

1（2025連云港灌南模擬）已知一種零件的長是2mm,在一幅設計圖上的

長是40cm,則這幅設計圖的比例尺是（）

A.200：1B,2000：1C.1：2000D.1:200

2（2025無錫惠u期末）如果〃：6=1：2,那么"十兒的值是（）

2a~\~b

3（2025無錫江陰月考）古箏是一種彈撥弦鳴樂器，又名漢箏、秦箏，是

漢民族古老的民族樂器，流行于中國各地.若古箏上有一根弦48=80cm,支撐

點C是靠近點片的一個黃金分割點，則8C為cm.（結果保留根號）

4（2025蘇州期口）己知線段mb,。滿足Q：b：c=l：3：5,且a—

c=6.

（1）求線段a,b,c的長；

（2）若線段是線段a,b的比例中項，求線段〃?的長.

5（2025鹽城阜寧期末）古今中外，人們把黃金分割譽為“天賦”的比例

法則，它是幾何學中一大瑰寶.

（1）如圖1,若力占=10,4是線段45的黃金分割點求線段力〃

的長；

（2）如圖2,在中，AB=AC,N4=36。，CM是N/C8的平分線，求

證：M是線段48的黃金分割點.

圖1圖2

考點二相似三角形的判定與性質

6（2025泰州二模）如圖,在△48。中，點。，石分別在力8,4。上，。E〃BC,

△力DE與四邊形。BCE的面積比為1：3,貝的值為（）

（第6題）（第7題）（第8題）（第10題）

7（2025蘇州姑蘇月考）如圖，已知NB=30。,ZZ）=130°,^ADAC,

則/BCO的度數為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

8（2025南通啟東一模）如圖，在等邊三角形/8C中，D為邊BC上一點,

E為邊力C上一點,且/4DE=60。.若80=4,CE=2,則△COE的面積為（）

A.23B.33C.43D.63

9（2025南通通州二模）己知在△ABC中，D,七分別是力a4c的中點，

連接。E,則■與△/BC的周長比是.

10（2025南京建鄴二模）如圖，直線八〃/2〃/3，直線mb與h,h，〃分

別交于點4B,。及點。，E,E若4。=3,BE=4,CF=6,則.

11（2025無錫期中）已知RtZVIBC的斜邊,48=4,以48為邊在RtZ\48C

所在平面內作矩形力80=5,則CO的最小值為.

12（2025無錫錫山期中）如圖，。。經過△IBC的頂點力，B,分別與4C,

8c相交于點。，E,連接力七，BD交于點F,且OE平分N8QC

（1）求證:AE=BE；

（2）若AB=6,BE=8,當。E=痔時，求的值.

AC

13(2025蘇州期末)如圖，在菱形48CO中，對角線4C與8。交于點。,

E為。的中點，連接BE交4C于點反

(1)求證：AF=2FC；

(2)若菱形力BCD的邊長為8,且/45C=60。，求Eb的長.

考點三圖形的位似

14(2025南通海門月考)在方格圖中，以格點為頂點的三角形叫作格點三

角形.在如圖所示的平面直角坐標系中，格點△/BC,△7)即成位似關系，則位

似中心的坐標為()

A.(-l,0)B.(0,0)C.(0,1)D.(l,0)

15(2025泰州二模)如圖，在平面直角坐標系xQy中，等邊三角形

與等邊二角形4DE是以原點。為位似中心的位似圖形，面積比為1：9,點力，

B,。均在x軸上，點。的坐標為(2,3),則點E的坐標為()

A.(18,93)B.(27,93)C.(6,33)D.(9,33)

16(2025淮安金湖一模)已知△/班?的三個頂點坐標為力(5,0),僅6,4),

C(3,0),將△ABC以坐標原點。為位似中心，位似比2：1進行縮小，則縮小

后的點8所對應的點的坐標為.

17（2025無錫新吳期末）如圖，在平行四邊形48C。中，以點。為位似中

心，作平行四邊形力8C。的位似平行四邊形在。凡且與原圖形的位似比為2：3,

連接8P,0P.若平行四邊形的面積為20,則△P8E與△PDb的面積之和

為.

考點四相似三角形的應用

186科融管（2025揚州邢江二模）如圖是凸透鏡成像的光路示意圖，線

段力氏CD,OE分別表示蠟燭、蠟燭的像、凸透饃，它們均與主光軸垂直.一

束平行于主光軸的光線4E經凸透鏡折射后，其折射光線經過焦點R一束經過

光心的光線力。與折射光線相交于點C已知。尸=6cm,08=8cm,則°。的

AB

值為W.

19（2025連云港一模）圖1是裝滿紅酒的高腳杯示意圖，裝酒的杯體可看

作一個三角形，液面寬度為6cm,其他數據如圖所示，喝掉一部分后的數據如

圖2所示，則此時液面寬度為cm.

20（2025宿遷沐陽期末）如圖，工地上豎立著兩根電線桿44,CD,它們

相距15m,分別自兩桿上高出地面4m,6m的4,。處，向兩側地面上的E和

D,8和9處用鋼絲繩拉緊，以固定電線桿，則鋼絲繩力。與8C的交點P離地

面的高度是多少米？

21（2025蘇州姑蘇月考）如圖1是大拇指廣場示意圖及測量其高度的方案,

圖2是求大拇指高度48的示意圖.如圖2,在點。處放置一根高度為2m且與

地平線8歹垂直的竹竿/C,點/I,。在同一直線上，測得。。為3m.將竹竿

/C平移5m至點E處，點4G,/在同一直線上，測得為5m,求大拇指

的高度.

圖1圖2

專題訓練（二）圖形的相似

1.A2,C3.405-40

4.解：(1)設a=A,b=3k,c=5k,

貝ij。-b+c=6,即k-3k+5k=6,

解得A=2,所以。=2,b=6,<?=1().

(2)由(1)知a=2,6=6.

因為加是。，b的比例中項,

所以m2=ab,即力產=12,解得=土23.

因為加>0,所以小=23.

5.(1)解：因為〃是線段的黃金分割點(力〃>8〃)，所以5-1

AB2

又因為48=10,所以力〃=55—5.

(2)證明：因為ZA=36°,

所以NABC=ZACB=72°.

因為CM平分N%C從所以//CW=N4CM=36。，

所以N/1=N4CM,所以4H=MC.

又因為NBMC=ZJ4-ZJCM=72°,

所以N8MC=/ABC,所以BC=MC,

所以BC=AM.

因為NZ=/8CM,N8=N8,

所以△C8”s△48C,

所以所以

BCBAAMBA

所以"是線段的黃金分割點.

6.D7,B8.A9.110.111.29-2

12.(1)證明：由題意，得N4?E+NXQ￡=180。.

因為N/QE+NCOE=180。，

所以

因為DE平分N8QC,所以NCOE=Z.BDE.

因為N8OE=N4力E,所以NBAE=N/1BE,

所以4E=8￡

(2)解：因為4"=8,所以力￡=8.

因為。石=EF,所以NEDF=/EFD.

因為N4FB=NEFD,NEDF=NBAF,

所以Z.AFB.

由(1),得NBAF=/ABE,

所以N4q

因為NBAF=NE4B,所以△4BFs”EB,

AF=AB

所以

AB~AE

即/尸=6,解得加=9,

682

o7

所以DE=EF=AE~AF=^~=.

22

由(1),得/CDE=NCB4,NDCE=NBCA,

所以△CO七s/\c比1,

7

所以CE=Z)E=2=7.

CAB4612

13.(1)證明：連接?！?/p>

因為四邊形/14CQ是菱形，對角線力C,交于點。,

所以OB=OD.

因為￡是。中點，

所以OE=5C,OE//BC,

2

所以AOEFSACBF,

所以OF=lCF.

2

因為OF-\-FC=OC,

即｝FC-\-FC=3FC=OC,

22

1

所以OA=’FC,

2

所以AF=OA+=3尸C+1FC=2FC.

22

故力尸=2/C.

(2)解：過點E作EGJ_8C,交8c的延長線于點G

因為四邊形48CQ是菱形，ZABC=60°,

所以/18=8C=CO=8,AB//CD,

所以ZABC=NECG=60。.

因為E是CO的中點，

所以CE=lCD=4.

2

在RtZ\CEG中，ZG=90°,NECG=60。,

所以NCfG—30。，

所以CG=CE=2,

2

則EG=CP-CG'42—22=23,

所以4G=4C+CG=8+2=1().

在Rt^BEG中，BE=BG+EG2=102+(23)2=47,

由(1),得△OEFSACBF,

OEEF1

所以==

CB~BF~2

因為8/=8￡-E￡=41-EF,

EF\

所以=

41-EF~2

解得所=437，

經檢驗，當Ern's,時，原方程的分母不為0,符合題意，

所以"的長為‘B’.

4(1

14.A15.C16.(3,2)或(-3,-2)17.；

18.319.3

20.解：根據題意，得力8=4m,CD=6m,80=15m,

作PQ_L8O于點0，設BQ=xm,PQ=hm,則QD=(15