2026年黑龍江省哈爾濱市高考數(shù)學二模試卷（帶答案解析）

2026年黑龍江省哈爾濱市高考數(shù)學二模試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.（5分）已知命題p：則命題〃的否定為（）

22

A.3x^1,x-x<0B.3x<1?x-A:<0

9

C.1,x-A<0D.VA<1,

2.（5分）哈爾濱市某月連續(xù)10天的力。/（空氣質量指數(shù)）分別為29,32,34,36,39,50,47,66,

48,78,則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（）

A.33B.34C.49D.50

3.（5分）己知拋物線爐=2px上一點4（2,2企），則焦點到準線的距離為（）

A.1B.V2C.2D.3

4.（5分）已知亞數(shù)z滿足|z-1T|=l,則|z|的取值范圍為（）

A.[1,2]B.[0,2]C.[V5-1,V5+1]D.[V2-1,V2+1]

5.（5分）已知函數(shù)y=/（x）的定義域為R,/（1+x）=/（3-x）,當x<2時，/（x）=lnx,則曲線y=/

（x）在點（3,/（3））處的切線的斜率為（）

A.2B.1C.-1D.-2

6.（5分）我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接

雨水，天池盆盆口直徑為二尺四寸（24寸），盆底直徑為一尺二寸（12寸），盆深一尺八寸（18寸），

若盆中積水深9寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆II面積；②一尺等

于10寸；③古代計算降雨量時數(shù)據(jù)采用去尾法：不滿整寸的部分忽略不計）（）

A.2寸B.3寸C.4寸D.5寸

7.（5分）已知半徑為2的圓O,如圖所示，48為圓的一條直徑，。為線段月8上異于端點力、8的任意

CI3Bc

一點，過。作與線段力8垂直的弦交圓于。、￡兩點，連接,4。和8。，則.標’的最小值為（）

A.1+苧B.2+苧C.4+V3D.2+V3

第1頁（共19頁）

8.（5分）在平面直角坐標系中，已知點4（1,3）、點/（2,0）,動點5滿足|PB|=1,點C滿足OC=204+OB,

記△。4C的面積為S,則S的最大值為（）

6+g3>/10+5V10+66x^10+10

A.-------B.--------C.-------D.----------

210410

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

（多選）9.（6分）以下運算正確的是（）

A.火一0.1)5=0.1

B.(/g2)2+lg2lg25+(也5)2=1

C?喈戶=攝

D.i2=2e2

（多選）10.16分）已知正項等差數(shù)列情〃｝的前〃項和為S”*=5,公差為d,若S253=S6,貝IJ（）

人,....20

A.d=2或d=-y

B.(71=1

r$2026]_2026

J乙i=iS^+n-2027

D§2026_§2025_1

'2026—2025—

（多選）11.（6分）已知橢圓C：^+y2=i的左、右焦點分別為Q、F?,左頂點為4,下頂點為8,點

P（xo?yo）為曲線C上第一象限內一動點，直線以與y軸交于點直線P8與x軸交于點M則下

列結論正確的是（）

2V5

A.坐標原點O到直線AB的距離為一

B.若嘉1.而2<0,則xo的取值范圍為（0,孚）

C.△刃8的面積最大值為夜+1

D.叫?|8%=4

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）已知等比數(shù)列｛”“｝的各項都是正數(shù)，42mo=16,則1/2%=

COSC27T

B（5分）已知的內角兒B,。所對的邊分別為小，c，若五嬴二他八且八亍則力

第2頁（共19頁）

14.(5分)定義在實數(shù)集R上的函數(shù)/(x),如果存在函數(shù)g(x)=ax+bCa,力為常數(shù))，使得對函數(shù)/

G)定義域內任意x都有/(X)Wg(x)成立，那么稱g(.v)為函數(shù)/(x)的一個“線性上界函數(shù)”，

若函數(shù)g(x)=x-2是函數(shù)/(x)=sin2x"/i(Q0)的一個“線性上界函數(shù)”，則實數(shù)。的取值范

圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)作為哈爾濱的地標性建筑，圣?索菲亞教堂以其典雅莊重的拜占庭風格與濃郁的歷史氣息，成

為游客爭相打卡的熱門景點，某游客在圣?索菲亞教堂地面上觀測點C處發(fā)現(xiàn)兩棟建筑物力、B,測得力

在C的北偏東15°的方向上，8在C的北偏東60°的方向上，從。處向正東方向行走10gm后到達

。處，測得力在。的北偏西45°的方向上，8在。的北偏東30°的方向上.

(1)求觀測點C與建筑物A之間的距離；

(2)為提升游客游覽體驗，打造舒適的休憩空間，圣?索菲亞教堂景區(qū)計劃在由觀測點C、建筑物力與

B三點圍成的三角形空地上修建綠色休息區(qū)域，試求該三角形休息區(qū)域的占地面積.

16.(15分)已知菱形48C。中，AB=2,NBAD=K為邊〃。的中點，將△力8月沿4E翻折成△月歷F

(點4位于平面力8c加上方)，連接8c和當。.

(1)求證：AEA.B\C；

(2)當與。=2a時-，在線段AD上是否存在點P,使得直線CP與平面BiCD所成夾角的正弦值為了？

若存在，求出0點位置：若不存在，請說明理由.

17.(15分)已知函數(shù)/(x)=xex-ax(a>0).

(1)若函數(shù)/'(x)在x=-1處的切線與直線y=x垂直，求函數(shù)/G)的單調區(qū)間;

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（2）若Vx>0,都有/（x）2〃（MX+1）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

18.（17分）2026年，人工智能領域最核心的演進趨勢，是從“生成式4”（Ge〃em/汕》/）向“決策式

AI'y（Decision-makingA/）的全面跨越.行業(yè)焦點已從力/“能說會道”的創(chuàng)造能力，轉向其“能落地干

活”的自主決策與執(zhí)行能力.某企業(yè)采用決策性加對電子元件進行智能質量檢測.工程師隨機抽取若

干元件進行人工全面檢測，確定每個元件的真實合格情況，并給每個元件進行評分（滿分100分），按[40,

50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]分成6組,繪制成（如下圖）頻率分布直方

圖：

規(guī)定：評分不低于60分為實際合格，低于60分為實際不合格，以樣本頻率估計總體概率.

與此同時進行4檢測試驗，4設備存在誤判情況，試驗結果顯示：

若對于實際合格的電子元件，將其判定為不合格的概率為J;

OU

9

若對于實際不合格的電子元件，將其判為不合格的概率為行.

（1）估計這批元件人工檢測評分的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用區(qū)間中點值代替）：

（2）該企業(yè)將4智能質量檢測投入使用.

①任取一個元件進行4檢測試驗，求這個元件被4判定為不合格的概率；

②從該批已經(jīng)被A/檢測過的元件中隨機抽取3件，記被抽取的這3個元件中被AI判定為不合格的件

數(shù)為X,求X的分布列；

（3）企業(yè)規(guī)定：若4判為合格，則直接出廠；若4判為不合格，則一律進行人工復檢，復檢可100%

識別是否合格.

已知：每個實際合格元件出廠獲利100元；每個實際不合格元件出廠將造成損失200裝元：每個元件需

要人工復檢其成本為10元，復檢后實際合格元件正常出廠，不合格元件報廢處理（為便于計算，元件

成本忽略不計）.若該企業(yè)按此流程運行，試估計每件該類元件收益的期望.

頻率分布直方圖

0.020.............................................................

0.015?……........................................

0.010....................

0.005...........

0.000--------------------------------------------------------?

405060708090100分數(shù)

19.（17分）雙曲線繞虛軸旋轉一圈形成的空間曲面叫做單葉雙曲面.由于雙曲面可以由一條斜線通過連

第4頁（共19頁）

續(xù)旋轉構成，容易建造，因此發(fā)電站的冷卻塔、廣州塔等一些高聳建筑通常采用單葉雙曲面型結構，如

圖所示.空間直角坐標系中M[l,LV3）,N（l,-1,-仃），動點尸（刖yp,zp）在直線A/N上，

則A//V/MN.令參數(shù)〃=±Jxp+yp,v=zp,則〃，v所在的平面直角坐標系中動點（”，？）在某雙曲

線。上.

（1）求動點（“，丫）滿足的雙曲線C方程:

（2）雙曲線。的弦力6與弦OE均過右焦點/且互相垂直，弦*6中點為0,弦OE中點為02，。1、

Q分別在第二、第三象限時，證明：與△尸。1。2的面積比:為定值;

5"QIQ2

（3）在（2）的條件下，設。到人：產和，2：尸一J電的距離為力、d2,。2到/1：y=和/2：

尸一岳的距離為心、西比較/?哈+看的大小關系.

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2026年黑龍江省哈爾濱市高考數(shù)學二模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.（5分）已知命題p：則命題〃的否定為?）

A.1,x7-x<0B.1?A7-x<0

C.x2-x<0D.Vx<1,x2-x<0

【解答】解：命題p：Vx21,f-x20,

則命題〃的否定為a21,f-xVO.

故選：A.

2.（5分）哈爾濱市某月連續(xù)10天的10（空氣質量指數(shù)）分別為29,32,34,36,39,50,47,66,

48,78,則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（）

A.33B.34C.49D.50

【解答】解:因為10X0.75=7.5,

把10個數(shù)據(jù)按照從小到大排序：29,32,34,36,39,47,48,50,66,78,

則第75百分位數(shù)為50.

故選：D.

3.（5分）已知拋物線爐=2內上一點4（2,2V2）,則焦點到準線的距離為（）

A.1B.V2C.2D.3

【解答】解：拋物線/=2px上一點4（2,2a），可得8=4夕，解得夕=2.

故選：C.

4.（5分）已知復數(shù)z滿足|z-17|=1,則|z|的取值范圍為（）

A.[1,2]B.[0,2]C.[V5-1,V5+1]D.[V2-1,V2+1]

【解答】解：設z="+〃（〃，6GR）,

|z-l?i|=l,則（。?1）2+（“1）2=1,表示以為圓心，i為半徑的原,

團表示圓上的點到原點的距離.

\CO\=V2,

故|z|的取值范圍為[注一1,V2+1].

故選：D.

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5.(5分)已知函數(shù))，=/(x)的定義域為R,/(1+x)=/(3-X),當xV2時，/(%)=lnx,則曲線y=/

G)在點(3,/(3))處的切線的斜率為()

A.2B.1C.-1D.-2

【解答】解：/(1+x)=/(3-x),

則/(x)=/(4-x),

故/(x)=-f(4-x),

當xV2時，f(x)=lnx,則/(x)=

故/(1)=-/(3)=1,解得/(3)=-I,

故曲線y=/(x)在點(3,/(3))處的切線的斜率為-1.

故選：C.

6.（5分）我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接

閑水，天池盆盆口直徑為一尺四寸（24寸），盆底直徑為一尺一寸（12寸），盆深一尺八寸（18寸），

若盆中積水深9寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等

于10寸；③古代計算降雨量時數(shù)據(jù)采用去尾法：不滿整寸的部分忽略不計）（）

A.2寸B.3寸C.4寸D.5寸

【解答】解：根據(jù)題意可得水部分的圓臺的上底面圓的半徑為耳蛆=9寸，

下底面圓的半徑為6寸，高為9寸，

所以水部分的體積為:x（81TT+367r+54兀）x9=513TT立方寸，

又盆口面積為TTX122=1441T平方寸，

所以平地降雨量為產=3.5625寸，

1447r

又古代計算降雨量時數(shù)據(jù)采用去尾法：不滿整寸的部分忽略不計，

所以平地降雨量為3寸.

故選：B.

7.（5分）已知半徑為2的圓。，如圖所示，48為圓的一條直徑，。為線段力8上異于端點4、8的任意

「|OD「

一點，過C作與線段垂直的弦交圓于。、E兩點，連接力。和80,則2的最小值為（）

OLz

第7頁（共19頁）

D

c1B

C.4+V3D.2+V3

【解答】解：因為圓的半徑為2,

所以/C+4C="=4,

由射影定理可知CD2=AC?BC

AC+3BCAC+3BC13BC+AC

所以---------=—+—=(—+—)(------

ACBCBCACvBCAC4

AC3BCIAC388,1、工同

~4BC+4AC+｛歡碗+1=1+，

AC3BC

當且僅當工；=F，結合ACi"C=4,

4BC4AC

即AC=6-2V3,BC=2^3-2時等號成立，

7

因此黑慧的最小值為1+多

故選：A.

8.（5分）在平面直角坐標系中，已知點力（1,3）、點0（2,0）,動點8滿足|而|=1,點C滿足位＞=2&+n,

記△04C的面積為S,則S的最大值為（）

【解答】解：設5（x,y）,已知產（2,0）,\PB\=1,

因此8的軌跡為圓：（x?2）2+r=1,

第8頁（共19頁）

。。=2。4+。8=2(1,3)+(%,y)=(x+2,y+6),即C(x+2,y+6),

直線。1的斜率k=/,所以直線。1的方程為y=3x,即3x-y=0,

點C到直線OA的距離d=電密0地=

月+(-1)2回

s=1.lM.vio=M,

v10/

設.*=2+cos6,y=sin。，

貝ij3x-y=3(2+cosO)-sinO=6+3cos8-sinO=6+VlOcos(0+(p)，(sin(p=,cos(p=

3月、

10-^

其中最大值為6+VTo＞因此：smax=6+丁

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分。

(多選)9.(6分)以下運算正確的是()

A..(-0.1)5=0.1

B.(/g2)2+7g2/g25+(/g5)2=1

1638

Cr?(f前)4，

D./卜加2=2/

【解答】解：V(-o-i)5=-o.h4錯誤；

(/g2)2+lg2lg25+(/g5)2=(/g2)2+2/g27g5+(Zg5)2=(妒+/g5)2=1,8正確：

嘴)4=(令擊4=I，0錯誤;

e2+ln2—e2./〃2=2/,。正確.

故選：BD.

(多選)1().(6分)己知正項等差數(shù)列｛為｝的前〃項和為S”03=5,公差為d,若S253=S6，則()

A.c/=2或d=冬

B.41=1

rv20261_2026

V，乙1=1S^+n-2027

第9頁(共19頁)

S2026_￡2025

D.

2026~2025=1

【解答】解：正項等差數(shù)列中，”3=m+2d=5①,

若S2s3=S6,則(2m+d)(3a1+3d)=6a1+l5d②,

聯(lián)立①②可得，3d2-26d+40=0,

解得4=2或"=等，

因為41=5?240,則dv1,

所以c/=2,41=1,力錯誤，B正確;

由等差數(shù)列求和公式可得，s產〃+嗎nx2=〃2,

1______1__11

S?+nn2+nnn+1*

故＞2026_1_------1——1_____1_=]___1—=2°260正確.

1

“乂乙i=iSn+n*2+23十十2026202720272027'一匚明'

%m.1^2026S20251八-rm,

—=〃，則7777—7777=1，。正確?

n20262025

故選：BCD.

（多選）11.（6分）已知橢圓C：苧+y2=i的左、右焦點分別為乃、Fi,左頂點為4,下頂點為8，點

P（xo,則）為曲線C上第一象限內一動點，直線4與y軸交于點直線四與x軸交于點N,則下

列結論正確的是（）

A.坐標原點。到直線力2的距離為亭

B.若西,欣<0，則xo的取值范圍為（0,空）

C.△口8的面積最大值為戊+1

D./川?|8M=4

【解答】解：由題意可得Q（一次，0）,Fi（V3,0）,力（-2,0）,8（0,-I）,xo>O,/>0,

227s

直線44的方程為j，=-g-1,即x+2>2=0,原點。到直線48的距離為主=菅，故乂正確；

ttX2Qy2

222

-PF2<0,即（―V3—ro>-yo）,（V3—xo,-yo）=x0+y0—3=x0+1-—3=—2

<0,

解得OVxoV孥，故8錯誤;

第10頁（共19頁）

設與直?線力8平行的直線方程為x+2y+f=0（/VO）,且與橢圓相切，

（x+2y4-t=0.）,

由2/，可rZ得,I2/+2&+戶-4=0,

（xz+4y"=4

由直線和橢圓相切，可得A=4p-8（尸-4）=0,解得/=-2加（正的舍去），

可得切線方程為x+2y-2V2=0,

4PAB的面積的最大值為3/184=卓X之皆=1+V2,故C正確；

2/v5

2

由P（xo>jo）在橢圓上，可得%（）2+4y0=4,

由直線小:尸晶（x+2）,可令x=0,可得與，即M（0,孕;），

由直線尸8：;；=-1,可令y=0,可得即N（』一,0）,

■xo■y0十，yo+i

則叫?|BM=（q+2）（辿+1）==4用+要聚,8%=8+4”之空”=%故。

yo+1邕+2X0丫0+%（）+2%+2xQyQ+xQ+2yQ^-2

正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）已知等比數(shù)列｛加｝的各項都是正數(shù)，a2mo=16,則log2〃6=2.

2

【解答】解：等比數(shù)列｛“〃｝的各項都是正數(shù)，^10=a6=16,

??46=4,

則R）g246=10g24=2.

故答案為：2.

co$c7

13.（5分）已知△48。的內角4B,。所對的邊分別為a,b,c,若;——=tanA,且8=今，則4=

1+smCJ

n

6—，

【解答】解：在△"（?中8=手可得力+。=3

「、，cosCsinA

伙1：為------=tnnA=-----,

1+sinCcosA

可得cosCcos/-sinCsinJ=sin/l?

所以cos（J+C）=cog=siM,

可得sinJ=4,可得公看.

故答案為：7-

6

14.（5分）定義在實數(shù)集R上的函數(shù)/（x）,如果存在函數(shù)g（x）=ax+b｛a,b為常數(shù)），使得對函數(shù)/

第11頁（共19頁）

(x)定義域內任意X都有/(x)Wg(X)成立，那么稱g(X)為函數(shù)/(X)的一個“線性上界函數(shù)”,

若函數(shù)g(x)=x-2是函數(shù)/(x)=sinZv-^+,(x^O)的一個“線性上界函數(shù)”，則實數(shù)〃的取值范

圍是一［|，+8)一.

【解答】解：由題意可知，對任意的x20,/(x)Wg(x},即sin2x-a*Yx-2,參變量分離可得Q工

sin2x-x+2

-^+i-'

令h(X)=2x-sin2x,其中x20,則h'(x)=2-2cos2v>0,

所以函數(shù)/(x)在［0,+8)上單調遞增,

故當時，h(x)=2x-s\n2x^h(0)=0,即2x2sin2x,

sin2x-x+22x-x+2x+2

所以當時,

構造函數(shù)p(x)=嚅,其中x20,則p?)=，然)=一貂VO,

c

所以函數(shù)p(x)在［0,+8)上單調遞減，即pQ)=需工p(o)=：

e*c

」~r~生八一.iy一-x+2x+22

由不等式的性質可得一點一</萬<->

即沏2："+2.當且僅當x=o時，等號成立，

故函數(shù)y=s勿2："+2在+8)上的最大值為2,

e“Q

所以a“即實數(shù)。的取值范圍是+oo).

故答案為：4，+00).

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)作為哈爾濱的地標性建筑，圣?索菲亞教堂以其典雅莊重的拜占庭風格與濃郁的歷史氣息，成

為游客爭相打卡的熱門景點，某游客在圣?索菲亞教堂地面上觀測點C處發(fā)現(xiàn)兩棟建筑物48,測得力

在。的北偏東15°的方向上，E在C的北偏東60°的方向上，從。處向正東方向行走lOQm后到達

。處，測得4在。的北偏西45°的方向上，8在。的北偏東30°的方向上.

(1)求觀測點C與建筑物A之間的距離；

(2)為提升游客游覽體驗，打造舒適的休憩空間，圣?索菲亞教堂景區(qū)計劃在由觀測點C、建筑物/與

8三點圍成的三角形空地上修建綠色休息區(qū)域，試求該三角形休息區(qū)域的占地面積.

第12頁(共19頁)

北

【解答】解：（1）在△ICO中，根據(jù)方向角可得：Z/1C￡>=90°-15°=75°，ZJDC=90°-45°

=45°，

因此NC4O=18()°-75°-45°=60°,已知CD=106

4CCD

由正弦定理:

sinZ-ADCsinz.CAD

CDsin450IQ"挈l

代入得:AC=―^二10⑸;

sin60°vS

~T

(2)根據(jù)方向角得：ZBCD=90°-60°=30°,Z^Z)C=90°+30°=120°,

因此NC4O=1800-30°-120°=30°,

BCCD

由正弦定理:

sin乙BDCsinZ.CBD'

o

小入省pr10>/3stnl2010v’3?亨

代人得：5"Ik"丁=3。,

又N乂CB=600-15°=45°,

因此△力8c的面積：S?ABC=^ACBC-sin^ACB=1?10<2?30~=150〃，.

16.（15分）已知菱形48CQ中，48=2,/BAD=等,E為邊8c的中點，將△Z8E沿4E翻折成△力與￡

?3

（點以位于平面48CD上方），連接8c和8iZ）.

（1）求證：AEYBxCx

（2）當囪0=2e時，在線段AD上是否存在點P,使得直線CP與平面B\CD所成夾角的正弦值為亍？

若存在，求出產點位置：若不存在，請說明理由.

第13頁（共19頁）

【解答】解：(1)證明：在菱形中，力8=2,4840=竽，

^ABE=j,E為BC中點,BE=l,

由余弦定理得力/=AB2+BE2_2AB?BECOS1L=4+l-2x2xlxi=3,

故4爐+班；2=482,

BPAE1BC,得力E工BE,AELEC,

翻折后，AE±B\Et仍成立，

又BTECIEC=E,BTE,ECu平面夕IEC,

故/后,平面BiEC,

又BiCu平面8iEC,因此4及L8C，

(2)存在，P為力。的中點，過程如下：

以石為原點，直線力正為x軸，月直線C為y軸，直線及為z軸建立空間直角坐標系,

得各點坐標：E(0,0,0),4(一6，0,0),C(0,1,0),D(一如,2,0),

設51(0,y>z),z>(),由田E=l,得f+(=l,

由當。=2或，得|當。|2=(-V3)2+(2-y)2+Z2=8,

代入)2+，=],解得歹=o,z=L故人(0,0,I),

P在線段力。上，設/=/應(0W4W1),

得P(一V5,2九0),則％=(-75,2A-1,0),

平面8C。中，CBX=(0,-1,1),CD=(-V3,1,0),

設平面81C。的一個法向量為n=(%i,力，Z。，

n-CH1=0得｛-yi+Z]=0

-V3%1+yi=0

n-CD=0

取.哂=1,得7=(1,V3,V3),|n|=V7.

設直線CP與平面B\CD夾角為6,

則sin。=?嗎=辛,

\CP\-\n\

|2V3(A-1)|V7

代入計算:

j3+(2/l-1)2.V7―7

第14頁(共19頁)

化簡得2入2-5入+2=0,解得a=*(入=2舍去),

因此存在點P,尸為力。的中點滿足條件.

17.(15分)已知函數(shù)/(x)=誼-ax(?>()).

(1)若函數(shù)/'(X)在x=?1處的切線與直線y=x垂直，求函數(shù)/(x)的單調區(qū)間:

(2)若Vx>0,都有/(x)2〃(加+1)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【解答】解：(1)./(X)的定義域為(-8,+oo),f(x)=(x+1)F-Q,

由題意得/(-1)=-a=-\,解得4=1,.*./(x)=(x+1)-1,

當xW-1時，f(x)V0恒成立，即/(x)在(-8,-1］上單調遞減；

當x>-1時，易知/(x)=(x+1)/-1在(-1,+8)上單調遞增，

又/(0)=0,

所以.丫6(-1,0)時，/G)<0,(0,+8)時，/J)>0,

所以函數(shù)/(x)在(?8,0)上單調遞減，在(0,+8)單調遞增；

綜上：函數(shù)/(x)的單調遞減區(qū)間為(-8,0),單調遞增區(qū)間為(0,+8)；

(2)由題意知：(x+lnx+\)20對任意x>0恒成立，

可化為(x")+1］對任意x>0恒成立，

令xev=f(/>0),則有(Zw/4-l)對任意/>0恒成立，

由。>0,/>o,可得L>-對任意/>()恒成立，

a""+t1

令g?)=竽(￡>0)，則。(。=亨，

令g'(力=0,可得f=l,

當?shù)?0,1)時，g'(/)>0,g(/)單調遞增；

當怎(1,+8)時，g'(/)<0,g(/)單調遞減；

所以g(/)max=g(1)=1?即，21?解得OVaWl,

第15頁(共19頁)

故。的取值范圍為（0,1].

18.（17分）2026年，人工智能領域最核心的演進趨勢，是從“生成式4”（Ge〃es汕》/）向“決策式

AI'y（Decision-makingA/）的全面跨越.行業(yè)焦點已從力/“能說會道”的創(chuàng)造能力，轉向其“能落地干

活”的自主決策與執(zhí)行能力.某企業(yè)采用決策性加對電子元件進行智能質量檢測.工程師隨機抽取若

干元件進行人工全面檢測，確定每個元件的真實合格情況，并給每個元件進行評分（滿分100分），按[40,

50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]分成6組,繪制成（如下圖）頻率分布直方

圖：

規(guī)定：評分不低于60分為實際合格，低于60分為實際不合格，以樣本頻率估計總體概率.

與此同時進行4檢測試驗，4設備存在誤判情況，試驗結果顯示：

若對于實際合格的電子元件，將其判定為不合格的概率為J;

OU

9

若對于實際不合格的電子元件，將其判為不合格的概率為行.

（1）估計這批元件人工檢測評分的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用區(qū)間中點值代替）：

（2）該企業(yè)將4智能質量檢測投入使用.

①任取一個元件進行4檢測試驗，求這個元件被4判定為不合格的概率；

②從該批已經(jīng)被A/檢測過的元件中隨機抽取3件，記被抽取的這3個元件中被AI判定為不合格的件

數(shù)為X,求X的分布列；

（3）企業(yè)規(guī)定：若4判為合格，則直接出廠；若4判為不合格，則一律進行人工復檢，復檢可100%

識別是否合格.

已知：每個實際合格元件出廠獲利100元；每個實際不合格元件出廠將造成損失200裝元：每個元件需

要人工復檢其成本為10元，復檢后實際合格元件正常出廠，不合格元件報廢處理（為便于計算，元件

成本忽略不計）.若該企業(yè)按此流程運行，試估計每件該類元件收益的期望.

頻率分布直方圖

0.020.............................................................

0.015?……........................................

0.010....................

0.005...........

0.000--------------------------------------------------------?

405060708090100分數(shù)

【解答】解：(1)平均數(shù)3=45X(M+55X0.15+65X0.2+75X0.25+85><0.15+95X0.15=7L5分;

第16頁（共19頁）

(2)設事件4元件實際合格，事件B：元件被4判定為不合格，

由題意得：P(A)=P(A)=1,P(B\A)=P(B\A)=^,

①由全概率公式：P(B)=P(A)P(B\A)+P(彳)P(用彳)=*x擊+=/

②由題意，X?B(3,卞,X的所有可能取值為0,1,2,3,

則P(X=0)=政芬唱尸喑P(^=i)=cix(l)ix(|)2=27.

P(X=2)=C|x(i)2x(1)l=券P(X=3)=Cl(i)3(1)°=*,

所以X的分布列為：

X0123

P272791

64646464

(3)設每件元件收益為必分四種情況計算期望：

實際合格，4判合格：r=ioo,概率「1=,乂愛=需，

011

實際合格，4判不合格：y=100?10=90,概率P1=廣壺=卷,

實際不合格，4判合格：Y=-200,概率P3="xa=焉，

實際不合格，4判不合格：丫=-10,概率P4Tx焉

2911Q

所以期望E(y)=100x而+90X而+(—200)X而4-(-10)X而=67.5兀.

19.(17分)雙曲線繞虛軸旋轉一圈形成的空間曲面叫做單葉雙曲面.由于雙曲面可以由一條斜線通過連

續(xù)旋轉構成，容易建造，因此發(fā)電站的冷卻塔、廣州塔等一些高聳建筑通常采用單葉雙曲面型結構，如

圖所示.空間直角坐