中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《特殊四邊形（二次函數(shù)綜合）》專項(xiàng)測(cè)試卷及答案

中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《特殊四邊形(二次函數(shù)綜合)》專項(xiàng)測(cè)試卷及答案

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、解答題

1.如圖，拋物線y=X2+云-3與X軸交于48兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為拋物線頂點(diǎn)，已知A(-LO)，連接8C,

拋物線對(duì)稱軸與4c交于點(diǎn)E.

備用圖

(1)求〃的值及頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑵點(diǎn)尸是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在以O(shè)E為邊，且以點(diǎn)。、E、P、。為頂點(diǎn)的四邊形是

平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

2.已知：平面坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)P(xy)和點(diǎn)A(0,l),點(diǎn)。到點(diǎn)A的距離始終等于點(diǎn)尸到x軸的距離.

(I)請(qǐng)你求出點(diǎn)夕滿足的函數(shù)關(guān)系式；

(2)如果(I)中求出的函數(shù)圖象記為V是L沿著水平方向平移得到的，若點(diǎn)M在乙上，點(diǎn)N是L平移后點(diǎn)M的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)。是工軸上的點(diǎn).是否存在這樣的點(diǎn)使得以MNO。為頂點(diǎn)的四邊形是有一個(gè)內(nèi)角為60。且

的菱形？若存在請(qǐng)你求出。點(diǎn)坐標(biāo)若不存在請(qǐng)說明理由.

3.已知拋物線)，=-/+法過點(diǎn)41,0)和點(diǎn)風(fēng)-3,0)點(diǎn)尸和點(diǎn)。是拋物線上的兩個(gè)不重合的點(diǎn)P點(diǎn)的橫坐

標(biāo)為加點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為1-2"?記拋物線在點(diǎn)和點(diǎn)。之間的部分圖象為W(包含PQ兩點(diǎn)).

(1)求出拋物線的解析式并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)

⑵當(dāng)〃=2時(shí)求圖象W的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差

⑶當(dāng)S,5=S0時(shí)求出機(jī)的值

(4)以產(chǎn)9為對(duì)角線構(gòu)造矩形上河3V且矩形的邊/W〃"山當(dāng))'軸衛(wèi)分矩形產(chǎn)河3V的面枳時(shí)直接與出機(jī)的值.

4.【定義感知】

把函數(shù)y=ox2-C和％=--x2+-(?>0,c>0)稱為一對(duì)“絞合函數(shù)”設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為P拋物線>,的頂點(diǎn)為

ca2

Q兩拋物線的公共點(diǎn)為4B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)).

⑴寫出函數(shù)y=2犬-4的“絞合函數(shù)”的函數(shù)解析式.

【性質(zhì)探究】

(2)當(dāng)。=。時(shí)這對(duì)“絞合函數(shù)”的圖象一定會(huì)經(jīng)過同樣的兩個(gè)定點(diǎn)請(qǐng)通過運(yùn)算求出這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).

⑶當(dāng)"。小］.假設(shè)4=1C=4.

①寫出這對(duì)“絞合函數(shù)”的解析式并把它們的圖象在坐標(biāo)系中畫出來

②直接寫出直線'=與該對(duì)“絞合函數(shù)”圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)機(jī)的取值范圍.

【拓展應(yīng)用】

(4)對(duì)于任意一對(duì)“絞合函數(shù)”若四邊形AP8Q是正方形則。c滿足的關(guān)系式為.

5.綜合與探究

如圖拋物線y=a/+2x+c與丁軸相交于點(diǎn)。(0,3)與X軸正半軸相交于點(diǎn)〃負(fù)半軸相交于點(diǎn)4-1,0).

(I)求此拋物線的解析式

(2)如圖1P是第一象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)過點(diǎn)“作。。_1_工軸垂足是點(diǎn)。PD與BC的交點(diǎn)、為E設(shè)

P(孫〃).

①用含〃?的式子表示：PD=_DE=_

直接用①的結(jié)論求解②③

②若PE=DE請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)

③若PE=2DE求點(diǎn)P的坐標(biāo)

⑶如圖2若點(diǎn)尸在拋物線上點(diǎn)G在x軸上當(dāng)以點(diǎn)8CFG為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)求點(diǎn)尸的坐

標(biāo).

6.定義：在平面直角坐標(biāo)系'Oy中當(dāng)點(diǎn)N在圖形M的內(nèi)部或在圖形M上且點(diǎn)N的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等時(shí)

則稱點(diǎn)N為圖形M的“夢(mèng)之點(diǎn)”.

⑴如圖①矩形A8CZ）的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（-l,2）C（3,-l）。（3,2）在點(diǎn)M（l/）％（2,2）

M（3,3）中是矩形A8CZ）“夢(mèng)之點(diǎn)”的是_

⑵如圖②已知點(diǎn)4B是拋物線y=-，2+x+2上的“夢(mèng)之點(diǎn)”點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn).連接4cABBC求

VA3C的面積

（3）在（2）的條件下點(diǎn)尸為拋物線上一點(diǎn)點(diǎn)。為平面內(nèi)一點(diǎn)是否存在點(diǎn)尸Q使得以A8為對(duì)角線以A

BP。為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在直接寫出尸點(diǎn)坐標(biāo)若不存在請(qǐng)說明理由.

7.如圖拋物線y=o?+&+6與x軸交于點(diǎn)AB與）'軸交于點(diǎn)COB=OC=3OA.

（I）求拋物線的對(duì)稱軸

（2）點(diǎn)P（帆〃）（利之2）足拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)連接”CP廿交,抽交于點(diǎn)。作R2，”釉于點(diǎn)Q.

①若點(diǎn)Q是08的中點(diǎn)求PAC的面積

②若以點(diǎn)。DP。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形求〃?的值.

8.如圖在平面直角坐標(biāo)系中拋物線），=g/+〃x+c（bc為常數(shù)）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為25)

與x軸交于AB

兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8左側(cè)）與y軸交于點(diǎn)C點(diǎn)C點(diǎn)。關(guān)于X軸對(duì)稱連結(jié)A。作直線8力.

⑴求方。的值

⑵求點(diǎn)A8的坐標(biāo)

(3)求證：ZADO=ZDB()

(4)點(diǎn)P在拋物線法+。上點(diǎn)Q在直線8。上當(dāng)以點(diǎn)cDP。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)直

接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo).

9.如圖拋物線過點(diǎn)C(0,2)與x拍交于點(diǎn)AB拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(y6)矩形GFEO的邊EF在線段A8上

(點(diǎn)F在點(diǎn)E的左側(cè))點(diǎn)G。在拋物線上.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式

(2)求證：直線)，=；x+9與該拋物線沒有交點(diǎn)

(3)設(shè)E(〃,0)矩形。EFG的周長為用寫出，〃與〃的函數(shù)關(guān)系式并求利的最大值

10.如圖拋物線的頂點(diǎn)為A((),2)且經(jīng)過點(diǎn)以2,())以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心的圓的半徑于?點(diǎn)C

(1)求拋物線的函數(shù)解析式.

(2)求證：直線A8與。相切.

⑶已知P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)線段P0交。于點(diǎn)M當(dāng)以MOAC為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)求

的長.

11.如弱拋物線），=:/-3匯-3的對(duì)稱軸/與.*軸交于點(diǎn)/\與），軸交于點(diǎn)反

（1）求點(diǎn)A8的坐標(biāo)

（2）。為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)。為點(diǎn)C關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)（點(diǎn)。在點(diǎn)C的左側(cè)）點(diǎn)M在坐標(biāo)平面內(nèi)請(qǐng)

問是否存在這樣的點(diǎn)C使得四邊形ACM。是正方形？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)若不存在請(qǐng)說明理由.

12.拋物線），=加+4ale（白2-1,且"0）與上軸交于A、8兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C.已知點(diǎn)8（-5,0）.

⑴求A的坐標(biāo)

⑵若對(duì)任意的實(shí)數(shù)1且當(dāng)。取其范圍中的最小值時(shí)代數(shù)式奴?+4以+c-9的值都不大于0.

①求出拋物線的解析式

②點(diǎn)尸（〃?,〃）是拋物線y=ax2+4ar+c上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合）過點(diǎn)。做PQ1），軸于點(diǎn)QE（o-2，〃）在y

軸上以EQP。為鄰邊作矩形PQE/當(dāng)在矩形PQEF內(nèi)的拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值）'隨%增大而減小時(shí)直接

寫出加的取值范圍.

13.如圖已知拋物線尸/+尿+c的對(duì)稱軸為直線/:x=-l且與），軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為直線/與x軸相交于

點(diǎn)C.

（1）求該拋物線的表達(dá)式

⑵如圖點(diǎn)尸是該拋物線對(duì)稱軸右側(cè)圖象上一動(dòng)點(diǎn)過點(diǎn)夕作PALt軸PB11垂足分別為AB.設(shè)點(diǎn)。的橫

坐標(biāo)為〃?.當(dāng)四邊形AP8C為正方形時(shí)求〃?的值.

參考答案

1.(\)y=x2-2.^-30(1,-4)

,r、］、(3+?x/FV1+Jl7?3—Jl71—\/\7

⑵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為(2,-3)或一--,一--或一--'一--.

\/\/

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)

(1)利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式即可得知。及頂點(diǎn)。的坐標(biāo)

(2)結(jié)合第一問求得直線8c解析式可求得OE的長.根據(jù)題意設(shè)尸(a/—2a-3)和。(《〃-3)分類討論即可求

得答案.

【詳解】(1)解：將4(T0)代入產(chǎn).『+瓜-3得：

O=(-l)"+Z>x(-l)-3

解得：b=-2

y=x2-2x-3

:.y=(x-l)2-4

0(1,-4).

(2)存在.

2

當(dāng)y=0時(shí)X-2X-3=0

解得：A|=-lX2=3

??.8(3,0)

當(dāng)x=0時(shí)y=-3

???C(0,-3)

設(shè)直線BC解析式為y=f^+n(mX0)

將8(3,0)C(0,—3)代入得：

0=3〃z+n

{-3=“

in=1

解得：Q

n=-3

，直線BC解析式為y=x-3

當(dāng)x=l時(shí))，=1-3=-2

???E(l,-2)

貝=

設(shè)打〃,"一2"3)Q(OM—3)分類討論:

①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)。下方時(shí)

(?2-2r/-3)-(f/-3)=2

解得：三普聽審

②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)。上方時(shí)

(a-3)-(a2-2a-3)=2

解得：4=1(舍去)4=2

妗上斫?jīng)Q占P的山芹、九/9、|、(3+如1+如[十(3-如1一a1

綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-3)或一--，一--或一--，一--.

2.(l)v=1x2+l

(2)存在Q坐標(biāo)為(26+2"0)(2>/3-2V2,0)(-2>/3-2V2,0i(-273+2x/2,0).

【分析】(1)由題意得PA=P4依_Lx軸尸。~Ly軸利用勾股定理得”2=9?+AD?再計(jì)算即可

(2)過M作MG_Lx軸由菱形性質(zhì)得OQ=OM=Z由直角三角形中30度角所對(duì)直角邊是斜邊的一半得

OG=^OM=^k求出歷代入函數(shù)解析式計(jì)算即可.

【詳解】(1)如圖PA=PBP8_Lx軸叩J?丁軸.

在RlPD4M4

AP2=PD2+AD2

???y2=/+(、,_])2

???點(diǎn)〃滿足的函數(shù)關(guān)系式為)，

22

(2)如圖：過M作用G_Lx軸

:.k=2框±2五

???Q(26+2?0)或(26-2日))

根據(jù)對(duì)稱性得Q(-2x/3-2&,0)或(-2>/3+2>/2,0)

綜上所述°坐標(biāo)為(2百+2&,0)(26-2四,0)(-2x/3-25/2,0)(-26+2&,0).

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問題圖象及性質(zhì)和30度角所對(duì)直角邊是斜邊的一半菱形的性質(zhì)和勾股定理

熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用間出函數(shù)圖象再分類討論是解題的關(guān)鍵.

3.⑴拋物線的解析式為尸-丁-2x+3頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4)

⑵9

(3)加=3或3±y

(4)m=I

【分析】(1)待定系數(shù)法求出拋物線的解析式將一般式化為頂點(diǎn)式求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可

(2)先求出尸(2,-5),Q(-3,0)再結(jié)合圖象得出最大值和最小值即可得出答案

(3)根據(jù)&削=5."得出1%1=1%1分兩種情況：當(dāng)辦=為時(shí)與%=一為時(shí)分別求出結(jié)果即可

(4)根據(jù)矩形以尸。為對(duì)角線且/W〃工軸可確定矩形各邊平行于坐標(biāo)軸再結(jié)合")，軸平分矩形面積當(dāng)

且僅當(dāng)它過矩形中心”這一結(jié)論得出世&=()代入后即可求得機(jī)的值.

2

【詳解】(1)已知拋物線)，=-丁+公+,?過點(diǎn)41,0)和點(diǎn)9-3.0).

[-1+/?+c*=0f/?=—2

代入點(diǎn)4(1,0)、8(-3,0)得八打八解得。

-9-3/?+c=0[c=3

???拋物線解析式為y=-V—2x+3頂點(diǎn)橫坐標(biāo)工=一；=一再不二一1,代入得縱坐標(biāo)

2a2x(-1)

2

y=-(-l)-2(-l)+3=-l+2+3=4,

???頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4).

(2)解：點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為機(jī)=2代入拋物線解析式得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-5故2(2,-5)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為

\-2m=\-2x2=-3代入拋物線解析式得到點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為0故0-3,0).

圖像印為拋物線上從P(2,-5)到Q(T0)的部分(含端點(diǎn))如圖.

拋物線開口向下頂點(diǎn)(-L4)在范圍-3KXK2內(nèi)故最高點(diǎn)為頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為4最低點(diǎn)為端點(diǎn)P(2,-5)縱坐標(biāo)

為-5.

故圖象W的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為4-(-5)=9.

(3)解：點(diǎn)4L0)8(-3,0)在x軸上線段入內(nèi)長為11-(-3)1=4.

由三角形的面積公式可得：\,SQAB=^x\AB\x\yQ\

2

當(dāng)SCPAB=S^QAR時(shí)可得|yP|=|yQ|其中yf>=—fir—2m+3,=—(1—2my—2(1—2m)+3=-4m+.

以下分%=坨與％=一)'Q兩種情況討論：

情況一：yp=>'<?時(shí)-m2-2m+3=-4m2+即3m2—10/n+3=0

解得：〃z=3或5=g其中，〃=；時(shí)。與。橫坐標(biāo)相同點(diǎn)重合故舍去.

???〃7=3時(shí)P(3,-12),。(-5,-⑵，兩點(diǎn)不重合滿足題意.

情況二：打=一兒時(shí)-〃?2-2〃7+3=-(-4〃/+8〃?)即5〃/一6〃?一3二0

機(jī)=矣如經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)。均不重合

解得:滿足題意.

3±2x/6

綜上m=3或tn=----------.

5

2

(4)解：點(diǎn)P(m,%),Q(1—2〃z,%),其中yp=-nt-2m+3,%=-4m+8m

矩形QMQV以P。為對(duì)角線且ON〃犬軸故矩形邊平行于坐標(biāo)軸.

設(shè)P(ab),Q(c,d),則矩形頂點(diǎn)為尸(。向、M(a,d)、Q(c/)、N(c,b).對(duì)角線尸。的中點(diǎn)為.

y軸平分矩形面積當(dāng)且僅當(dāng)它過矩形中心(即對(duì)角線中點(diǎn))故"%=。即與+&=。代入坐標(biāo):

乙

機(jī)+(1-2⑼=0解得："?=1.(滿足條件的矩形見下圖)

【點(diǎn)睛】本題主要考杳了二次函數(shù)的解析式求解頂點(diǎn)坐標(biāo)確定函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征三角形面積計(jì)算矩

形的性質(zhì)以及圖形與坐標(biāo)的綜合應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式深刻理解二次函數(shù)圖

象的性質(zhì)以分析函數(shù)值的變化結(jié)合坐標(biāo)關(guān)系和幾何圖形的性質(zhì)(如三角形面積相等的條件矩形對(duì)角線的性質(zhì)及

面積平分線的特點(diǎn))建立方程進(jìn)行求解同時(shí)需要注意對(duì)不同情況的分類討論以確保答案的完整性.

4.(1)?=-^2+^

⑵(1,0)或(TO)

22

(3)?)\=x-4,y2=--x+1見解析②T<"?<0或0<"?<1

(4)67C=1

【分析】(1)直接根據(jù)新定義進(jìn)行求解即可

(2)聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可

(3)①根據(jù)新定義寫出函數(shù)解析式進(jìn)行畫出函數(shù)圖象即可②直接利用圖象法進(jìn)行求解即可

(4)根據(jù)四邊形W6Q為正方形推出。尸=OQ即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)解：由題意函數(shù)>=2爐-4的“絞合函數(shù)”的函數(shù)解析式為)，=-；/+：

(2)解：

，一對(duì)，絞合函數(shù)”的解析式為Y和刈=」一+!

aa

人，121

令ax~-a=—x~+—

aa

解得尸±1

???定點(diǎn)坐標(biāo)為(LO)和(TO)

2

(3)解：當(dāng)〃c=4時(shí)yt=x-4+1

①列表如下：

X-3-2023

>150-405

_5_5

~4010-4

畫出圖象如下:

②由圖象可知當(dāng)直線)，=，〃與該對(duì)“絞合函數(shù)”圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)

0<〃?<1或-4</〃<0

(4)解：???乂=?-?和必=」12+'(°>0,00)的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P(0,-c),Q0,-

caa

???點(diǎn)P,Q均在y軸上且在原點(diǎn)的兩側(cè)

令av2-c=--x2+-解得x=±，歸

???｛軻津（朋

???兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)在X軸上且在原點(diǎn)的兩側(cè)

???當(dāng)四邊形AP8Q為正方形時(shí)。為正方形的中心OP=OQ

?c-1

ac=\.

5.（\）y=-x2+2x+3

⑵①一濟(jì)+2〃?+3-m+3②點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,4）③點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,3）

⑶點(diǎn)尸的坐標(biāo)為：（2,3）或（1+J7,—3）或（1一/一3）.

【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用涉及到平行四邊形的性質(zhì)函數(shù)的圖象和性質(zhì)止確確定線段的長度是

解題的關(guān)鍵.

（1）由待定系數(shù)法即可求解

（2）①根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解

②若PE=DE則->+3〃]=-〃?+3即可求解

③若PE=2DE則-nf+3ni=-2m+6即可求解

（3）當(dāng)8C為對(duì)角線時(shí)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：3=->+2〃?+3即可求解當(dāng)肝或3G為對(duì)角線時(shí)同理可解.

a-2+c=0（a=-\

【詳解】（1）解：由題意得：。解得：°

c=3（c=3

則拋物線的表達(dá)式為：y=-Y+2x+3

⑵解:設(shè)點(diǎn)P（〃?,T/+2〃?+3）

由點(diǎn)區(qū)C的坐標(biāo)得直線8C的表達(dá)式為：y=-x+3

則點(diǎn)E（w,-w+3）

則PE=-m2+2〃?+3-（-ni+3）=-nr+3m

①貝IJPD=-m2+2m+3DE=-m+3

故答案為：—/I+2m+3—in+3

②若PE=DE貝ij-m2+3m=-m+3

解得："2=3（舍去）或〃7=1

即點(diǎn)P（L4）

③若PE=2DE則一>+3〃?=-2m+6

解得：〃?=3（舍去）或〃?=2

即點(diǎn)尸（2,3）

（3）解:設(shè)點(diǎn)尸0nL加+2,”+3）點(diǎn)G（K,0）

當(dāng)8C為對(duì)角線時(shí)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：3=-nr+2m+3

解得：〃?=0（舍去）或機(jī)=2

即點(diǎn)尸（2,3）

當(dāng)BF或BG為對(duì)角線時(shí)同理可得：

3=->+2m+3或0=-nr+2m+3+3

解得：〃2=。（舍去）或〃7=2或〃?=1±J7

故點(diǎn)尸的坐標(biāo)為：（2,3）或（1+/-3）或

綜上點(diǎn)尸的坐標(biāo)為：（2,3）或（1+"-3）或

6.⑴M%

⑵12

（3）存在（2-"3,而_2）或（2+如,—而一2）

【分析】本題是二次函數(shù)的綜合題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)菱形的性質(zhì)理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式理解新定義是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)"夢(mèng)之點(diǎn)''的定義判斷這幾個(gè)點(diǎn)是否在矩形的內(nèi)部或邊上

（2）根據(jù)"夢(mèng)之點(diǎn)''的定義和二次函數(shù)的解析式求得A8的坐標(biāo)根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式求出拋物線的頂點(diǎn)

點(diǎn)C的坐標(biāo)拋物線的對(duì)稱軸根據(jù)5八8C=S.C+SM8C即可求得答案

（3）設(shè)夕由以48為對(duì)角線以A8尸。為頂點(diǎn)的四邊形是菱形可得AP=30利用兩點(diǎn)

間距離公式建立方程求解即可求得答案.

【詳解】（1）???矩形A48的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（—1,2）B（-L-l）C（3-l）0（3,2）

???設(shè)矩形ABCD的“夢(mèng)之點(diǎn)”為（乂y）滿足-1KxK3-1<>'<2

???點(diǎn)M（U）M（2,2）監(jiān)（3,3）中是矩形A3CZT夢(mèng)之點(diǎn)”為點(diǎn)%（2,2）.

故答案為：M,MN.

1Q

（2）??,4〃是拋物線），=4/+"+；上的“夢(mèng)之點(diǎn)”

???點(diǎn)AB是直線V=x上的點(diǎn)

y=x

?Y129

y_x+x+一

r22

%=3x2=-3

*[Ji=3[y2=-3

???4(3,3)以-3,-3)

y=-—x2+x+-=-—(x-\Y+5

222Vf

???二次函數(shù)的頂點(diǎn)。(1,5)二次函數(shù)的對(duì)稱軸為人=1

設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交A8于M

M(lJ)

/.CM=5-1=4

??SABC=SAMC+S“8c

=-xCWx(-xc)+1xCMx(xc-x￡.)

=lxC.Wx(x4-.ra)

=1X4K[3-(-3)J

12.

(3)存在理由如下:

設(shè)《，干+4

???以A3為對(duì)角線以AB。為頂點(diǎn)的四邊形是菱形

/.AP=BP

(z-3)2+(-g〃+,+?-3)=(/+37+/+2+3)

解得：f=2±x/i5

當(dāng)i=2-9-1x（2-Vi3）2+（2-^）+|=>/13-2

???點(diǎn)尸（2一后,后_2）

當(dāng)1=2+如-gx（2+呵:（2+呵+|=一舊—2

??.點(diǎn)昨+內(nèi),一舊―2）

綜上所述點(diǎn)尸的坐標(biāo)為：（2—日,歷一2）或者（2十g,一JT5—2）.

7.（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2

⑵①^pc=y②加的值為I+8或3+⑨?

【分析】（1）根據(jù)題意求得4（-2,0）8（6,0）再根據(jù)拋物線的對(duì)稱性質(zhì)求解即可

（2）①先利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式求得點(diǎn)。（3,0）再求得直線AP的解析式求得。（0,3）再利用

三角形的面積公式求解即可

②分當(dāng)點(diǎn)。在原點(diǎn)上方和下方兩種情況討論根據(jù)8=PQ列式計(jì)算即可求解.

【詳解】（1）解：令x=0則y=6

???C（0,6）

???OC=6

OB=OC=3OA

???A（-2,0）3（6,0）

???拋物線的對(duì)稱軸為直線x=6?-2=2

2

（2）解:①將4（-2,0）8（6,0）代入尸爾+加+6

4cL2〃+6=0

得4

[36d+6/7+6=0

1

a=—

解得2

b=2

???拋物線的解析式為y=-1x2+2x+6

???點(diǎn)。是04的中點(diǎn)

???點(diǎn)Q[3,0）

當(dāng)x=3時(shí)y=--x32+2x3+6=—

22

則點(diǎn)尸卜丹）

\-2k+/7,=0

設(shè)直線AP的解析式為），=履+4則人15

pi-

心

解得2

4=3

???直線”的解析式為y-3十3

令x=0則y=3

???D（O,3）

-S

APC=^CDX\XP-XA\=1X5=^

②?.,點(diǎn)P（〃?,〃）（〃止2）是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

...pfw,--/n2+2/n+6則Q（〃?,0）

I2>

\*OD/7PQ

：,△A。叱△AQP

^~PQ~AQ即-32+26+6〃-2

?C八一川

??（）D=--"-p--+-4---+--1-2

m+2

CD=6—OD=ni

???以點(diǎn)CDP。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形

CD=PQ即一—m2+2m+6=m

2

解得機(jī)=\±y/\3

m=1+^/13

當(dāng)點(diǎn)。在原點(diǎn)下方時(shí)

(]?

OA=2AQ=m+2PQ=-—?n24-2m+6=—m2-2m-6

—I2)2

?.?OD〃PQ

ODAO—————=-^—

7Q=^Q即:/_2〃L6〃?+2

.??。。=?一4〃-2

in+2

/.CD=6+OD=tn

???以點(diǎn)CDP。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形

.?.CD=PQ即,_2,n-6=m

2

解得6=3±&I

?*?tn=3+

綜上m的值為1+g或3+歷.

【點(diǎn)睛】本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析

式一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征相似三角形的判定和性質(zhì)網(wǎng)點(diǎn)之間的距離公式和平行四邊形的性質(zhì)是一

道綜合性較強(qiáng)的題解題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式以及分情況討論.

3

8.(1)/>=——c=-2

2

(2)A8的坐標(biāo)分別為(—1,0)(4,0)

(3)詳見解析

（4）點(diǎn)2的坐標(biāo)為：（1+內(nèi)，上普）或jl-g,主中）或（一2,3）或（2,1）

【分析】（I）用待定系數(shù)法即可求解

1Q7513

（2）令），=5（X-；）2一三=；/一］］一2=0解得x=4或一1即可求解

（3）由tan/4OO=空二,［anZDBO=-=-=-=tanZADO即可求解

0D20842

（4）當(dāng)C。為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式列出方程組進(jìn)而求解當(dāng)C。b是平行四邊形的對(duì)角

線時(shí)同理可"解.

【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y人巧+2

mil1,3、2251，3r

22822

即匕=-3c=-2

2

177513

（2）解：令丁=如-3）2一三="一22=0

22822

解得：x=4或-1

故點(diǎn)AB的坐標(biāo)分別為（TO）（4,0）

（3）證明：由拋物線的表達(dá)式知：點(diǎn)。（。,-2）

則點(diǎn)。（0,2）

則0。=2013=40A=\

tanZADO==—tanZDBO==—=—=tanZADO

OD2OB42

：.ZADO=ZDBO

（4）解：設(shè)點(diǎn)Q（〃?,-g〃+2點(diǎn)P（/〃〃）〃=/『-}〃-2

0+。=，+〃？

當(dāng)C。為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：L.I

整理得：［〃「=/〃

2

解得：〃?=0（舍去）或2

則，二一2

即點(diǎn)。（-2,3）

0+/=0+〃2

當(dāng)CQ是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)可得:cIrr

-2——7+2=〃+2

2

解得：m=t=2

即點(diǎn)02,1)

0+/〃=()+/

當(dāng)"是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)可得：L

-2+〃=2——/+2

2

解得：/=/〃=1±?7

即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1+a，士務(wù)或11-J萬，三盧)

綜上點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：［1+如,上空或1-折，衛(wèi)普)或(-2,3)或(2,1).

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題主要考查了利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式解直角三角形平行四邊形的

性質(zhì)綜合性較強(qiáng)難度適中.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合分類討論及方程思想是解題的關(guān)健.

9.(1)V=--X2-2X+2

4

(2)見解析

⑶〃?=-；/+20m的最大值是20

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合矩形的性質(zhì)二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系熟知二次函數(shù)的相關(guān)

知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

(1)把解析式設(shè)為頂點(diǎn)式再利用待定系數(shù)法求解即可

(2)聯(lián)立兩函數(shù)解析式得到一個(gè)一元二次方程利用判別式求解即可

(3)根據(jù)題意可得。2〃+2)可證明點(diǎn)E和點(diǎn)尸關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱則可得到網(wǎng)-8-4,0)進(jìn)而

求出OE=、2。+2EF=8+2a根據(jù)據(jù)此周長計(jì)算公式可得〃?=-；/+20據(jù)此利用二次函數(shù)的性質(zhì)求

出最大值即可.

【詳解】(1)解：由題意可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y="a+4『+6

將點(diǎn)C(0,2)代入解析式可得2=16〃+6解得。=V

拋物線的函數(shù)表達(dá)式為)，=一9(,1+92+6=-：.12-2X+2

44

(2)證明：將直線)，=；x+9與拋物線)，=-；/-2x+2聯(lián)立可得；1+9=—；/-21+2

整理得32+|X+7=()

???直線/白+9與拋物線y=/一2x+2沒有交點(diǎn)

(3)解：由題意得后5,0)則。(。，―；/-2。+2

???四邊形EFGD是矩形

GD//EF,GD=EF

???點(diǎn)G和點(diǎn)。關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱

：?點(diǎn)、E和點(diǎn)尸關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱

__2_

由(1)可得拋物線對(duì)稱軸為直線“二一一rr=

--XZ

4

:.DE=--a2-2a+2￡F=8+2a.

4

<iAii

m=2--?2-2?+2+8+2a=--62+20即用與。的函數(shù)關(guān)系式是〃?=--a2+20

14/-2

???當(dāng)a=0時(shí)的值最大加的最大值是20.

⑶癡或癡-2&

【分析】(I)根據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為：y=a?+2把點(diǎn)8的坐標(biāo)代入即可求出〃的值即可得出拋物

線解析式

(2)根據(jù)切線的判定證明OC是。。的半徑即可

(3)由題意知AC是以M0A。為頂點(diǎn)的平行四邊形的邊利用平行四邊形對(duì)邊平行的性質(zhì)可得出直

線OM的解析式直線與拋物線的交點(diǎn)為。即可求出尸M的長.

【詳解】(1)解：?,?拋物線的頂點(diǎn)為40,2)

「?可設(shè)效物線的解析式為：y=ar+2

拋物線經(jīng)過點(diǎn)8(2,0)

.?.4。+2=()

解得：〃二弓

???拋物線的解析式為：y=-1x2+2

(2)記明：??4。，2)8(2,0)

.,OA=OB=2

AB=2人

OCLAB

-OAOR=-ABOC

22

-x2x2=-x2>/2OC

22

解得：oc=&

.Q的半徑/?=&

.:OC是O的半徑

???直線A5與。相切

⑶解：二點(diǎn)”在拋物線尸+2上

「?可設(shè)P(x,—；f+2)

以M。4C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)

可得：AC=OM=丘CM=OA=2

點(diǎn)c培A/e的中點(diǎn)

C(1J)/W(L-I)

設(shè)直線OM的解析式為y=kx將點(diǎn)代入

得：k=-\

直線OM的解析式為y=-工

???點(diǎn)產(chǎn)在OM上

:.--x2+2=-x

2

解得：N=I+A/59=1-石

y,=-I->/5y2=-\+x/5

.?.[(l+0-1-V5)4(1-石-1+75)

如圖

當(dāng)點(diǎn)加立于《位置時(shí)

OR="(1+石尸+(-”石)2=&1+石尸=&(1+肉=0+而

二RM=OP「OM=0+曬_歷=碗

當(dāng)點(diǎn)6立于8位置時(shí)同理可得：O尸產(chǎn)屈-應(yīng)

:.P2MnOPa-OM=回一五一五=回一2五

綜上所述月W的長是加或廂-2及.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式三角形面枳平行四邊形性質(zhì)圓的切線的判定二次函數(shù)與幾何

圖形的綜合運(yùn)用等知識(shí)熟練掌握待定系數(shù)法二次函數(shù)圖象和性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和方程

思想是解題關(guān)鍵.

11.(l)A(l.O)8(0,-3)

(2)存在這樣的點(diǎn)C使得四邊形ACMD是正方形點(diǎn)C的坐標(biāo)為卜1+J萬,2-J可或(3+J萬,2+J萬)

【分析】(1)將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式然后求出點(diǎn)A的坐標(biāo)把x=0代入拋物線的解析式求出y=3得出點(diǎn)8

的坐標(biāo)即可

(2)分兩種情況進(jìn)行討論當(dāng)M在I軸下方時(shí)當(dāng)M在x軸上方時(shí)分別畫出圖形求出結(jié)果即可.

【詳解】(1)解：?,?>二!/—"-3=｝工一1)2-：

4244

.-.4(1,0)

當(dāng)x=0H寸y=-3

8(0,-3).

(2)解：存在理由如下：

由題意四邊形ACMQ是正方形則ACO是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等姨直角三角形.

(i1A

設(shè)C

I41z

①當(dāng)M在x軸下方時(shí)如圖1過點(diǎn)C作CE_Lx軸于E此時(shí)ZkACE是等腰直角三角形

AE=CE

I1，1O

/.r-1=一