第12章 證明（單元重點綜合測試）【蘇科】七年級數學下冊

第12章證明（單元重點綜合測試〉

班級姓名學號分數

考試范圍：全章的內容；考試時間：120分鐘；總分：120分

一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題給出的四個選項中，只有一

個選項是符合題目要求的）

1.下列語句中是命題的是（）

A.作1406的平分線ocB.美麗的大自然

C.同位角相等D.你吃飯了嗎

2.如圖，在小灰;中，。是2c延長線上一點，NA=40。，ZJCZ）=120°,則等于（）

3.下列命題中，逆命題是真命題的是（）

A.若“=〃，那么同=1目B.若0=6,那么/=/C.對頂角相等D.兩直線

平行，內錯角相等

4.如圖，直角三角形力8c的直角頂點4在直線E/上，巖BCHEF,Z1=42°,則N2的度數是

（）

A.42°B.48。C.52°D.58°

5.用反證法證明命題”三角形中至少有一個內角小丁或等丁60。”時，首先應該假設這個三角

形中（）

A.每一個內角都大于60。B.每一個內角都小于60。

C.有一個內角大于60。D.有一個內角小于60。

6.下列命題中真命題的個數是（)

①內錯角相等；②在同一平面內,過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；③如果一個角

的兩邊分別平行另一個角的兩邊,那么這兩個角相等；④在同一平面內，若?！?，bPc,則

aPj⑤在同一平面內，若；d，blcf貝3_Lc；⑥直線外一點到這條直線的垂線段，叫做

點到直線的距離.

A.1B.2C.3D.4

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

7.把命題“等邊對等角”改寫為“如果…，那么…”的形式為：.

8.命題“同位角相等”的逆命題是；逆命題是命題（填“真”或“假”）.

在中，ZJ=2Z5=3ZC,這個三角形按角來分是三角形

10.如圖，點。，B,C點在同一條直線上，/力=60。，ZC=50c>,ND=25。,則Nl=_______度

A

DBc

11.命題“若。＞0,貝是假命題，請寫出一個滿足條件的，7的值，a=_________________

a

12.如圖，將一副三角板按圖中的方式疊放，則等于—?

、、、4於

13.如圖，點。在的延長線上，DEJ.AB于點、E,交4c于點、F,若乙4=35。，ZD=15°,則

的度數為__.

A

/V,

BCD

14.如圖是折疊式沙發椅的示意圖若將度數調到圖上所示度數為最舒適角度，求此時

NEFD=__________.

力￡限B

15.當三角形中的一個內角。是另一個內角［的一半時，我們稱此三角形為“半角三角形”，其

中a稱為“半角”，如果一個半角三角形的“半角”為18。，那么這個“半角三角形”的最大內角

是.

16.如圖，<D〃BC，ND=NABC，點、E是邊DC上一點、,連接力上交BC的延長線于點〃.點尸是

邊居上一點.使得NFBE=NFEB,作NFE”的角平分線EG交8H于點G,若NDEH=NO。,則

NBEG的度數為.

三、解答題(本大題共11小題，17,18每小題7分,19,20,21,22,23,24,25每小題8分，26,27

每小題9分，共88分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.下列語句中，哪些是命題？哪些不是命題？如果是命題，判斷命題的真假

⑴如果x是實數，則/+1>0;

(2)相等的兩個角是對頂角；

⑶今天有雨嗎？

18.命題：直角三角形的兩銳角互余.

⑴將此命題寫成“如果…，那么..」：；

⑵請判斷此命題的真假.若為假命題，請說明理由；若為真命題，請根據所給圖形寫出已知、

求證和證明過程.

19.已知命題“若〃是自然數，則代數式(3〃+1)(3〃+2)的值是3的倍數”.

⑴寫出命題的條件和結論；

(2)判斷這個命題是真命題還是假命題，并說明理由.

20.如圖所示，在JAC中，己知力。是用平分線，NB=62。,ZC=58°.

⑴求/胡。的度數;

⑵若DEJ.AC點E,求乙1OE的度數.

21.如圖，點力，瓦尸分別是三角形力5C的邊力邊上的點，有下列三個條件:

①DE〃BC；@DF//AC-@Z1=ZC.

⑴若從這三個條件中任選兩個作為題設，另一個作為結論，組成命題，請寫出所有可以組成

的命題；

(2)判斷上面所寫命題是否是真命題，并對其中的一個真命題進行推理證明.

22.已知：如圖，4。為ABC的角平分線，過4。延長線上的任意一點〃作4。的垂線，分別

交AB.AD.AC于￡;F、G三點.

(1)如果/4。8=70。，N/f8C=40。，則NH=

(2)求證：

23.已知/力蛇的兩邊與斯的兩邊分別垂直，BPABIDE,BC1.EF,垂足分別為點例和N,

試探究:

⑵如圖2,寫出與/E的關系，并說明理由;

⑶根據上述探究，請歸納概括出一個真命題.

24.已知，4C中，3“平分2/"C,點，在射線旌上.

①②③

⑴如圖①，若/"C=46。，CP〃AB,求/8PC的度數；

(2)如圖②，若/A4C=110。，￡PBC=NPCA,求N8PC的度數；

⑶如圖③，若48C=46。，4c8=34。，直線CP與"8C的一條邊垂直，則/8PC的度數.

25.已知N/8C的兩邊與NOEr的兩邊平行，即比i〃E。，BC//EF.

(1)如圖①，若4=40。，則“=

⑵如圖②，猜想N8與有怎樣的關系？試說明理由;

⑶如圖③，猜想與/上有怎樣的關系？試說明理由;

(4)根據以上情況，請歸納概括出一個真命題.

26.如果三角形的兩個內角。與夕滿足2a+夕=90。，那么我們稱這樣的三角形為“準直角三角

形

圖2

⑴關于“準直角三角形"，下列說法：

①在中，若4=90。，25=70%ZC=20°,則“/?是準直角三角形；

②若AAC是“準直角三角形'ZO90%4=60。，貝ljN6=15。；

③“準直角三角形”一定是針角三角形.

其中，正確的是.(填寫所有正確結論的序號)

(2)如圖①，在RtA48C中，乙4c8=90。，8。是“8C的角平分線.求證：是，準直角三

角形

(3)如圖②，B、C為直線/上兩點，點A在直線/外，且480=80。.若。是/上一點，且“5P是

“準直用三現形”，請直接寫出—”5的度數.

27.在學習完七年級上冊第五章《相交線與平行線》后，同學們對平行線產生了濃厚的興趣,

張老師圍繞平行線這一節在班級內開展了一個課題學習活動：探究平行線的“等角轉化”功能.

⑴觀察發現：在小學我們曾剪下三角形的兩個內角，將它們與第三個內角拼在一起，發現三

個內角恰好拼成了一個平角，得出如下結論：三角形的內角和等于180。.

問題1：請同學們嘗試用說理的方式證明該結論正確.

圖1

聰明的小明同學給出如下解答，請補全證明過程.

證明：如圖1所示，/B4C,/B,是“8c的三個內角，過點力作力

VAD//BC(已知)

.-.Z1=ZC,Z2=（D（理由：②）

vZl+Z2+ZBJC=180°（平角定義），

.-.^BAC\ZZ?1ZC=180°G里由；@）

二?三角形內角和等于180。.

⑵拓展探究：聽完小明的說理過程后，善于思考的小亮同學提出：小明作輔助線的方法，就

是借助平行線把三角形的三個內角轉化成一個平角，這就啟發我們構造平行線能起到轉移角

的作用.

對于問題1,小亮還有其他證明方法：如圖2所示，已知/ABC,NA,/C是△/水?的三個內

角，延長力6到石，過點8作"〃月C.

請你按照小亮同學的解答思路證明4+NC+ZABC=180。.

⑶遷移應用:

圖3圖4

已知48〃CO,點。在點。的右側，ZJDC=50°,BE平分/ABC,DE平分/jDC,BE,所

在的直線交于點E,點E在直線與。。之間.

①如圖3,點8在點/的左側，若乙1AC=36。，則4E￡>=_.（填角的度數）

②如圖4,點8在點力的右側，且4B<CD,AD<BC,若/ABC=〃。,則/B￡7）=_.（用含〃的

代數式表示）

第12章證明（單元重點綜合測試）

班級姓名學號分數

考試范圍：全章的內容；考試時間：120分鐘；總分：120分

一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分,在每小題給出的四個選項中，只有一

個選項是符合題目要求的）

1.下列語句中是命題的是（)

A.作的平分線OCB.美麗的大自然

C.同位角相等D.你吃飯了嗎

【答案】C

【分析】

本題主要考查了命題的定義，命題就是判斷一件事情的語句，據此逐一判斷即可.

【詳解】解：根據命題的定義可知，四個選項中只有C選項中的語句是命題,

故選：C.

2.如圖，在中，。是"延長線上一點，=40°,ZJC￡>=120°,則4等于（）

C.90°D.100°

【答案】B

【分析】

本題考查了三角形的外角性質，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和，進

行列式計算，即可作答.

【詳解】解：V25=40°,ZJCD=120°,

:,ZA=4CD-NB=120°-40°=80°,

故選：B.

3.卜列命題中，逆命題是真命題的是（）

A.若a=b,那么同=可B.若〃=力，那么/=/c.對頂角相等D.兩直線

平行，內錯角相等

【答案】D

【分析】本題考查的是命題的真假判斷、逆命題的概念，正確的命題叫真命題，錯誤的命題

叫做假命題.判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理.

【詳解】解：A、若“=/，，那么|。|=|目的逆命題是若同=同，那么〃=人是假命題，不符合題

意；

B、若那么/=/的逆命題是若/=/,那么。=力，是假命題，不符合題意；

C、對頂角相等的逆命題是兩個相等的角是對頂角，是假命題，不符合題意：

D、兩直線平行，內錯角相等的逆命題是內錯角相等，兩直線平行，是真命題，符合題意；

故選：D.

4.如圖，直用三角形/8C的直角頂點4在直線E戶上，巖BC〃EF,Z1=42°,則/2的度數是

()

A.42°B.48。C.52°D.58°

【答案】B

【分析】

此題考查平行線的性質及余角的意義：如果兩個角的和為90。，則這兩個角互余.先求得

/。=90。-/1=48。，再由平行線的性質求得答案即可.

【詳解】根據題意,可知NC=90。-/1=48。.

BC//EF,

：.Z2=ZC=48°,

故選B.

5.用反證法證明命題“三角形中至少有一個內角小于或等于60。”時，首先應該假設這個三角

形中()

A.每一個內角都大于60。B.每一個內角都小于60。

C.有一個內角大于60。D.有一個內角小于60。

【答案】A

【分析】

本題考查的是反證法的運用，反證法的一般步驟是：①假設命題的結論不成立；②從這個假

設出發.經過推理論訐,得出矛盾：③由矛盾判定假設不F確,從而肯定原命題的結論正確.

反證法的步驟中，第一步是假設結論不成立，反面成立，據此進行判定.

【詳解】解：反證法證明命題“三角形中至少有一個內角小于或等于60?！睍r,

首先應假設這個三角形中每一個內角都大于60。.

故選：A.

6.下列命題中真命題的個數是（）

①內錯角相等；②在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；③如果一個角

的兩邊分別平行另一個角的兩邊，那么這兩個角相等；④在同一平面內，若A尸C,則

aPc；⑤在同一平面內，若一［，，》1c,則力c；⑥直線外一點到這條直線的垂線段，叫做

點到直線的距離.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

本題考查命題與定理，解題的關鍵是掌握平行線的性質、垂線的性質、角的定義、點到直線

的距離定義、相交線、平行線的判定定理等的知識點.根據平行線的性質、垂線的性質、角

的定義、點到直線的距離定義、相交線、平行線的判定定理、逐項判斷.

【詳解】解：兩條直線平行，內錯角相等，故①錯誤，是假命題；

在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故②正確，是真命題；

如果一個角的兩邊分別平行另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補，故③錯誤，是假命

題；

在同一平面內，若?！Γ琤Pc,貝iJaPc,故④正確，是真命題;

在同一平面內，若』［，，則。||。，故⑤錯誤，是假命題;

直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，故⑥錯誤，是假命題.

綜上，真命題是②④，共2個.

故選：B.

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

7.把命題“等邊對等角”改寫為“如果…，那么…”的形式為：.

【答案】如果一個三角形有兩個角相等，那么它們所對的邊也相等：

【分析】本題考查命題的擴充改寫，先要明確命題中的已知條件和結論，然后將已知和結論

的描述語言進行適當擴充.

【詳解】命題”等邊對等角”改寫為“如果…，那么…”的形式為：如果一個二角形有兩個角相

等,那么它們所對的邊也相等；

故答案為：如果?個三角形有兩個角相等，那么它們所對的邊也相等.

8.命題“同位角相等”的逆命.題是；逆命題是命題（填“真''或"假”）.

【答案】相等的角是同位角假

【分析】本題考查了逆命題，判斷一個命題的逆命題的真假，根據互逆命題的定義先寫出原

命題的逆命題，然后判斷真假即可，正確寫出原命題的逆命題是解題的關鍵.

【詳解】解：“同位角相等'，的逆命題是“相等的角是同位角“，這是一個假命題，

故答案為：相等的角是同位角；假.

9.已知，在ABC中，Z.A=2Z5=3ZC,這個三角形按角來分是三角形.

【答案】鈍角

【分析】

本題考查了三角形的分類，三角形的內角和定理，解一元一次方程，熟練掌握三角形的內角

和定理是解題的關鍵.設N4書，根據三兒形內用和定理列出方程并求解，得出-4為鈍知，

即可得出結果.

【詳解】設4個，

v/.A=2/8=3ZC,

Z.B=—x,ZC=—x,

23

???Z/f+Z5+ZC=180°,

,v+—A+-x=180°,

23

解得x=（詈）°，

???乙4是鈍角,

.??“蛇是鈍角三角形.

故答案為：鈍角.

10.如圖，點。，B,C點在同一條直線上，4=60。，ZC=50°,ND=25。,則N1=慝

【答案】45

【分析】

本題考查三角形外角的性質及三角形的內角和定理，根據三角形的外角的性質及三角形的內

角和定理可求得.

【詳解】解：4是的夕卜角,

/ABD=ZJ+ZC=60°+50o=110°,

/.Zl=180o-ZJ^D-ZD=180o-110o-25o=45°.

故答案為：45.

II.命題“若。＞0,則"L，是假命題，請寫出一個滿足條件的。的值，。=.

a

【答案】1（答案不唯一）

【分析】本題考查了命題與定理，要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷

一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可.令。=1即可.

【詳解】解：當。=1時，滿足。＞0,

但是'=1=4,不滿足

aa

???命題“若a＞0,則。＞L'是假命題，

a

故答案為：1

12.如圖，將一副三角板按圖中的方式疊放，則Na等于.

【答案】75。/75度

【分析】本題主要考查了三角板中角度的計算、三角形外角的性質.根據題意可得

4=90。-45。=45。，再由三角形外角的性質，即可求解，采用數形結合的思想是解此題的關鍵.

【詳解】解：如圖，

根據題意得：???/2=45。,/1+/2=90。,

21=90°-45°=45°,

Za=Zl+30°=45°+30°=75°.

故答案為；75。

13.如圖，點。在3。的延長線上，DEJ.AB于點、E,交4c于點、F,若乙4=35。，ZD=15°,則

“4C5的度數為.

【答案】70。/70度

【分析】本題考查了三角形的內角和定理、垂直的定義，解題的關鍵是熟知三角形的內角和

定理.先由。E"/也得到"即=90。，再結合/。=15。求得4=75。，最后結合乙1=35。求得

“4C8的度數.

【詳解】解：

:"BED=900,

ZD=15。,

:.ZB=1800-ZD-/.BED=180°-15°-90°=75°,

???ZA=35°,

/.￡ACB=180°-ZJ-Z￡?=l800-35°-75°=70°,

故答案為：70°

14.如圖是折疊式沙發椅的示意圖，若將度數調到圖上所示度數為最舒適角度，求此時

【分析】本題主要考查三角形內角和定理和三角形外角的性質，延長石廠交于點G,根據

三角形內角和定理求出“GC=75。,得出NFG0=105。，再由三角形外角性質可得

ZEFD=\25°.

【詳解】解：延長*'交于點G,如圖，

?；4E+NEGC+ZECG=ZCAB+/CBA+ZJC8T80;

/.NE+ZEGC=ZCAB+4CBA,

?/NE=30。,=45°,ZC5/1=60°,

ZEGC=NCAB+ZCBA-ZE=4^+6。-3。=7竽，

4FGD=180°-4FGC=180°-75°=105°,

/.NEFD=/FGD+ND=105°+2(F=1253,

故答案為：125。.

15.當三角形中的一個內角a是另一個內角〃的一半時，我們稱此三角形為“半角三角形”，其

中。稱為“半角”，如果一個半角三角形的“半角”為18。，那么這個“半角三角形”的最大內角

是.

【答案】126。/126度

【分析】本題考查三角形的內角和定理.根據半角三角形的定義，求出另一個角的度數，再

根據內角和定理求出最大的角的度數即可.

【詳解】解；由題意，得a=18。，

?"=2a=36。,

???最大角的度數為：180。-18-36。=126。；

故答案為：126。.

16.如圖，AD〃BC，ND=N4BC,點、E是邊DC上一點、,連接力E交8C的延長線于點〃,點F是

邊力B上一點.使得NFBE=NFEB,作/尸E”的角平分線EG交8”于點G,若NDEH=110。,則

【答案】35。/35度

【分析】本題考查的是平行線的性質，涉及到角平分線、外角定理，本題關鍵是掌握有.關定

理、定義，題目難度較大.2〃BC,/D=4BC,貝IJ，姐〃。。，貝I」

ZAEF=180°-Z.FEG-Z.GEH=180°-2ZGEH,在△力￡77中，70°+l^FEB+180°-Z^GEH=180°,故

NGEH-/FEB=35°，即可等量代換求解.

【詳解】解：Y/FBEM/FEB,4FE=NFBE+NFEB,

/AFE=2/FEB,

?.2年H的角平分線為EG,

/.乙GEH=zLFEG,

vAD||BC,

.?Z8C+NA4￡>=180。,

而ZO=48C,

:"D+NBAD=180P,

:.AB//CDf

NDEH=110。,

Z.CEH=ZFAE=70°,

?/^AEF=180°-NFEG-ZGEH=180°-2NGEH,

70°+2Z.FEB+1800-2ZGEH=180c,

￡GEH-ZFEB=35°,

4BEG=ZF￡G-/FEB=NGEH-NFEB=35°.

故答案為：35。

三、解答題(本大題共11小題,17,18每小題7分,19,20,21,22,23,24,25每小題8分,26,27

每小題9分，共88分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.下列語句中，哪些是命題？哪些不是命題？如果是命題，判斷命題的真假

⑴如果x是實數，則犬+1>0；

⑵相等的兩個角是對頂角；

⑶今天有雨嗎？

【答案】(1)是命題，且是真命題

(2)是命題，是假命題

(3)不是命題

【分析】(1)根據命題的定義，即可判斷是否為命題，再根據結論判斷是否為真命題，反之

為假命題，要說明一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可.

(2)根據命題的定義，即可判斷是否為命題，再根據結論判斷是否為真命題，反之為假命題,

要說明一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可.

（3）根據命題的定義即可判斷是否為命題.

【詳解】（1）解：是命題，且是真命題，理由如下:

.八是實數，

/.x2>0,

/.X24-1>0,

'''是命題，且是真命題.

（2）解：是命題，是假命題，理由如下，如圖：

Zl=Z2.

N1和Z2不是對頂角,

???相等的兩個角不一定是對頂角，

?二是命題，是假命題.

（3）解：是問題，不是命題，理由如下：

???命題的要求是有條件和有結果，

一?是問題，不是命題.

【點睛】本題考查命題的定義，正確記憶命題的定義是解題關鍵.

18.命題：直角三角形的兩銳角互余.

⑴將此命題寫成“如果…，那么；

⑵請判斷此命題的真假.若為假命題，請說明理由；若為真命題，請根據所給圖形寫出已知、

求證和證明過程.

【答案】（1）如果一個二角形是直角二角形，那么它的兩個銳角互余

⑵該命題是真命題，詳見解析

【分析】本題考查的是直角三角形的性質，逆命題的概念：

（1）根據逆命題的概念寫出原命題的逆命題；

（2）根據三角形內角和定理計算，即可證明.

【詳解】（1）解：如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互余；

故答案為：如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互余

（2）解：該命題是真命題

已知：如圖，在ABC中，DB=90°

求證：ZJ+ZC=90°

證明:v//++/C=180°

AZJ+ZC=180°-Z5

?.?/8=90。

/J4-ZC=180°-90O=90°.

19.已知命題“若〃是自然數，則代數式（3〃+1）（3〃+2）的值是3的倍數

⑴寫出命題的條件和結論；

（2）判斷這個命題是真命題還是假命題，并說明理由.

【答案】（1）命題的條件是〃是自然數，結論是代數式（3〃+1）（3〃+2）的值是3的倍數

⑵是假命題；理由見解析

【分析】（1）根據命題的組成可得結論；

（2）先計算整式的乘法運兌，再利用因式分解的含義把原式化為3（3〃2+3〃+1）-1,從而可判

斷.

【詳解】（1）解：命題的條件是〃是自然數，結論是代數式?！?1）（3〃+2）的值是3的倍數；

（2）是假命題；

理由：???（3〃+1）（3〃+2）

=9〃'+6〃+3〃+2

=9"+9〃+3-1

=3（3H2+3W+1）-1,

又〃為自然數，

??.3（3〃2+3〃+1）-1不為3的倍數.

所以是假命題.

【點睛】本題考查的是整式的乘法運算，因式分解的應用，命題的概念，真假命題的判斷,

理解命題的條件與結論的含義是解本題的關鍵.

20.如圖所示，在小8。中，己知力。是角平分線，N8=62。，ZC=58°.

⑴求4/D的度數；

⑵若DE工AC點、E,求N/OE的度數.

【答案】⑴N版。=30。

(2)60°

【分析】本題考查了角平分線的定義，三角形的內角和定理，熟練掌握三角形內角和以及角

平分線的定義是解題的關鍵.

(1)根據三角形內角和定理得出/8月。=60。，再由角平分線求解即可；

(2)根據三角形外角的定義確定4OC=92。，再由直角三角形確定NEQC=90。-NC=32。,即

可求解.

【詳解】(1)解；???在中，々=62。，ZC=58°,

AZ.BAC=180°--ZC=60°,

?..力。是的角平分線

(2)

???在△48。中，N8=62。，44)=30。

ZADC=N8+/BAD=92°

???在RaOEC中，ZC=58°

ZE￡>C=90o-ZC=32°

.??ZADE=ZADC-4EDC=60°.

21.如圖，點。，瓦廠分別是三角形48C的邊相,XC,8C逅上的點，有下列三個條件:

A

①DE〃BC、@DF//AC-@Z1=ZC.

⑴若從這三個條件中任選兩個作為題設，另一個作為結論，組成命題，請寫出所有可以組成

的命題；

(2)判斷上面所寫命題是否是真命題，并對其中的一個真命題進行推理證明.

【答案】(1)①如果。尸〃AC,那么/1=NC；②如果。石〃8C,/1=NC,那么。尸〃AC；

③如果。尸〃4C,Z1=ZC,那么。石〃8c.

⑵三個命題都是真命題，證明見解析.

【分析】

本題考查了平行線的判定與性質，命題的定義，掌握相關知識是解題的關鍵.

(1)根據命題的定義：兩條件一結論組成命題，可得答案；

(2)根據平行線的性質，可判定①②，根據平行線的判定，可判定③.

【詳解】(1)解：一共能組成三個命題：

①如果Z)E〃8C,DF//ACf那么N1=NC；

②如果OE〃8C,Z1=ZC,那么。尸〃力C；

③如果Z1=ZC,那么DE"BC.

(2)解：以上三個命題都是真命題，

如果。尸〃/C,Z1=ZC,那么。石〃4C,

證明：?：DF//ACt

/.ZDFC+ZC=180°,

*/Z1=ZC,

.,.ZDFC+Zl=180°,

：.DE//BC.

22.已知：如圖，4。為△力4c的角平分線，過8C延長線上的任意一點〃作力。的垂線，分別

交AB、AD、AC于E、F、G三點.

A

(1)如果/4C8=70。，//〃C=40。，貝lJ/"=；

(2)求證：N〃=；(N4CR-g,

【答案】⑴15。；

(2)證明見詳解；

【分析】

本題考查三角形內角和定理，三角形角平分線、高線性質：

(1)根據408=70。，430=40。得至ljN比1。=180。一々-/力€8=70。，根據角平分線得到

ZDJC=1Z^C=35%根據內角和求出/力QC,結合內外角關系即可得到答案；

(2)根據三角形內角和用得至IJN歷1C=18()。一NB—N/C3,根據角平分線得至IJND4C=；/84C,

根據內角和求出/力。。，結合內外角關系即可得到答案；

【詳解】(1)

解：NACB=70°,NABC=40°,

NBAC=180。-N4-NACB=70°,

???X。為AJBC的角平分線，

NDAC=、NBAC=35°,

2

：.ZADC=\80°-ADAC-NACB=750,

*：ADLEH,

：.ZADC+NH=ZAFH=90°,

N"=ZAFH-ZADC=90°-75°=15°,

故答案為：15。；

(2)證明：VZBAC+AB+ZACB=\^t

：.ZBAC=180°-Z5-NACB,

4)為“8C的角平分線，

ADAC=-ZBAC=90°--ZB--ZACB,

222

?.*ZADCINDAC-IZ.ACB=\80°,

ZADC=\80°-(90°-1zi?-1zjCB)-ZACB=90°+ZACB,

/ADC+NH=Z.AFH=90°,

NH=AAFH-/ADC=90°-(90°+g—；NXC8)=g/力C8—；N8,

23.己知N'/SC的兩邊與N。瓦?的兩邊分別垂直，即月臺,力七，BC工EF,垂足分別為點河和N,

試探究：

⑵如圖2,寫出N4與NE的關系，并說明理由；

⑶根據上述探究，請歸納概括出一個真命題.

【答案】（1）/8+"=180。

⑵NB=NE

⑶如果一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補.

【分析】

（1）根據垂直的定義，四邊形內角和等于360。求解即可；

（2）根據垂直的定義，以及三角形內角和等于180。，求解即可；

（3）綜合（1）（2）的結論，寫出真命題.

【詳解】（1）解：VABIDE,BC工EF,

：.NBME=BNE=90。

；?NB+NE=360°-90°-90°=l80°

故答案為：〃+4=180。

（2）解：,:ABIDE,BCLEF,

：./BME=BNE=90。

又丁4EGM=/BGN

/B=180°-90°-4BGN=1800-90。-/ECM=ZE

故答案為：/B=NE

(3)解：真命題：如果一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補.

【點睛】本題考查了真假命題，垂直的高一，對頂角相等，四邊形內角和的性質，熟練掌握

相關性質是解題的關鍵.

24.已知中，8E平分點P在射線8E上.

①②③

(1)如圖①，若44c=46。，CP//ABf求/4PC的度數；

(2)如圖②，若力。=110。，/PBC=NPCA,求/8PC的度數：

⑶如圖③，若4BC=46。，4cB=34。，直線CP與ABC的一條邊垂直，則N8PC的度數.

【答案】(1)23。

(211100

(3)113。，33°,67°

【分析】本題主要考查三角形的內角和定理，角平分線的定義、三角形外角的性質，熟練掌

握三題形內角和等于180。，是解題的關鍵.

(1)根據角平分線的定義與平行線的性質，即可求解；

(2)根據三角形內角和定理，可得4=N8PC,進而即可求解；

(3)分3種情況：①當C尸18C時，②當CPJ.4C時，③當CP_L48時，分別畫出圖形，即可

求解.

【詳解】(1)解:'/BE平分/ABC,ZABC=46。,

ZABP=-/-ABC=1x46。=23°,

22

?:CP"AB、

NBPC=/ABP=230；

(2)解：?.?"￡平分/48。，NPBC=NPCA,

：./ABP=/PBC=/PCA

中，ZA+ZABP+ZAOB=180°,

△PCO中，NBPC+NPCA+ZPOC=180°,

?ABP=NPCA,ZAOB=ZPOC,

JZA=ZBPC=1\O°

gpz5PC=llO0；

(3)

當CPJLAB,Zi5PC=90o+23o=113o

故答案為：113。，33。，67°.

25.已知N/8。的兩邊與/。配的兩邊平行，即8月〃EO,BC//EF.

(1)如圖①，若N8=40。，貝°；

(2)如圖②，猜想與NE有怎樣的關系？試說明理由;

(3)如圖③，猜想,〃與/￡有怎樣的關系？試說明理由;

（4）根據以上情況，請歸納概括山一個真命題.

【答案】（1）40

（2iZi?=ZE,理由見解析

⑶N8+NE=180。，理由見解析

（4）如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，則這兩個角的關系是相等或互補

【分析】（1）根據平行線的性質得出N8=NOGC,4DGC=4E,即可得出答案；

（2）根據平行線的性質得出/6=/KGC,zlEGC=NE，即可得出答案；

（3）根據平行線的性質得出N5=NOGC,4GE+NE=180。，即可得出答案;

（4）根據結果得出即可.

【詳解】（1）解：*：BA〃ED,BC〃EF,NB=40。，

:?NB=NDGC,NDGC=NE,

：.NE=N8=40。，

故答案為：40；

（2）N8=N￡,

理由：,:BA〃ED,BC//EF,

:./B=/EGC,4EGC=/E,

：.NB=NE；

（3）N8+NE=180。，

理由：BA//ED,BC//EF,

：./B=ZDGC,NBGE+N￡=180°,

NDGC=ABGE,

ZB+ZE=180°；

（4）解：通過上面（1）、（2）、（3）,可得到的真命題是：如果一個角的兩邊分別平行于另一

個角的兩邊，則這兩個角的關系是相等或互補.

【點睛】本題考查命題與定理，掌握平行線的性質是解題的關鍵.

26.如果三角形的兩個內角。與夕滿足2。+/=90。，那么我們稱這樣的三角形為“準直角三角

形

圖1圖2

(1)關于“準直角三角形"，下列說法；

①在力8c中，若4=90。，AB=70°,ZC=20°,則』8c是準直角三角形；

②若是“準直角三角形”，2090°,4=60。，則N8=15。；

③“準直角三角形”一定是針角三角形.

其中，正確的是.(填寫所有正確結論的序號)

(2)如圖①，在RtZX/BC中，=90°,8。是/AC的允平分線.求證：△川?。是“準直角三

角形

(3)如圖②，B、。為直線/上兩點，點A在直線/外，且/"C=80。.若P是/上一點，且18P是

“準直角三角形”，請直接寫出//P8的度數.

【答案】(1)②③

⑵見解析

(3)70?；?0?；?5。或5。

【分析】

本題考查了三角形內角和定理，三角形外角的性質，角的和差計算：

(1)根據“準直角三角形''的定義即可判斷；

(2)證明2480+4=90°即可;

(3)根據“準直角三角形”的定義，分類討論即可解決問題.

【詳解】(1)

解：①?.?24+/8=110。，

48c不是“準直角三角形”,

二?①不正確；

②:ZC>90°,

+2/8=90。

.??②正確；

③三角形為“準直角三角形”，則它的兩個內角。與〃滿足2。+￡=90。，

.?.a+￡=90。-%設它的第三個內角為人

7=180。-(a+1)=180。-(90。-a)=90。+a,

“一定是針角，

「準直角三角形”一定是針角三角形，

③正確.

故答案為；②?.

(2)

證明：如圖1,vZJC5=90°,

.?Z8C+4=90。，

■.?80是小8c的角平分線，

:"ABC=2NABD,

...2/n8￡>+//=90°,

.”8。是“準直角三角形”.

(3)

解:如圖,若點如在點8右側,△4如是“準直角三角形”，且2/3明+的6=90。,

?;4BAP,+ZAP1B=Z.ABC=80°,

:"BAP1+80°=94,

/.^BAP}=10°,

/.乙ARB=乙ABC-4BAR=70°；

若點2在點4右側，△力他是“準直角三角形“，且2/傷8+/助打=90。,

?/乙AP避+/BAP?=NABC=80°,

.?.乙4鳥8+80。=90°,

:"AP,B=10°；

若點A在點8右側，和是，準直角三角形“，且24"+4以=90。，

???/ABP3=ZABC=8。,

.?.2/8/14+8()。=90。，

/BAPy=5°,

o

:"AP、B=180°-ZABPy-/歷1A=18(r-80°-5°=95；

若點鳥在點8右側，△力明是,'準直角三角形”，且2乙代8+乙4m=90。,

?/乙ABP&=NABC=80°,

.?.2428+8。=90。,

;"ARB=5°,

綜上所述，/加N的度數為70?；?0?；?5?；?。.

27.在學習完七年級上冊第五章《相交線與平行線》后，同學們對平行線產生了濃厚的興趣,

張老師圍繞平行線這一節在班級內開展了一個課題學習活動：探究平行線的“等角轉化”功能.

⑴觀察發現：在小學我們曾剪下三角形的兩個內角，將它們與第三個內角拼在一起，發現三

個內角恰好拼成了一個平角，得出如下結論：三角形的內角和等于180。.

問題1：請同學們嘗試用說理的方式證明該結論正確.

聰明的小明同學給出如下解答，請補全證明過程.

證明：如圖1所示，/B4C,NB,/C是的三個內角，過