高一預習人教A版高中數學必修一《三角函數的應用》知識點及總結（解析版）

第24講三角函數的應用

【人教A版2019】

■內首航

模塊一：三角函數的簡單應用

模塊二：擬合法建立三角函數模型

「題型1三角函數在物理學中的應用

三角函數的應用題型2三角函數在圓周運動問題中的應用

提升?必考題型歸納--題型3三角函數在生活中的應用

■題型4幾何中的三角函數模型

工題型5用擬合法建立三角函數模型

課后作業（19題）

思維導圖

振幅：振幅彳是做簡諧運制的物體離開平衡位置的最大距離

周期：它是做簡諧運動的物體往夏運動一次所鬲要的時間

三角函數中各頻率：它是做簡諧運動的物體在單位時間內往京運動的次數

量的物理意義

相位：①X-瀚為相位

三角函數的簡單初相：x=0時的相位。稱為初相

應用三角函數應用的步驟：（1）審題；（2）建模；（3）求解；＜4｝檢驗；（5）還原

三角函數的簡三角函數的常見應用類型：①三角函數在物體簡諧運動問題中的應

I用；②三角函數在幾何、實際生活中的圓周運動問題中的應用；③

單應用

______IV三角函數在生活中的周期性變化問題中的應用

數據擬合問題的實質是根據題目提供的數據畫出簡圖，求相關函數

擬合法建立三角用擬合法建立的解析式進而研究實際問題

函數模型三角函數模型

模塊一三角函數的簡單應用

知識梳理

第1頁共33頁

1.函數y=Asin(ft>x+e),[0,+8)(其中力>0,e>0)中各量的物理意義

在物理中，描述簡諧運動的物理量,如振幅、周期和頻率筆都與函數)，=/lsin(sr+8)

(J>0,(o>0,x20)中的常數有關.

振幅振幅A是做簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離

了=普，它是做簡諧運動的物體往復運動一次所需要的時間

周期

/=亭=券，它是做簡諧運動的物體在單位時間內往復運動的次數

頻率

相位CDX+(p稱為相位

初相4=。時的相位9稱為初相

2.三角函數的簡單應用

(1)三角函數應用的步驟

(2)三角函數的常見應用類型

①三角函數在物體簡諧運動問題中的應用

物體的簡諧運動是一種常見的運動，它的特點是周而復始，因此可以用三角函數來模擬這種運動狀態.

②三角函數在幾何、實際生活中的圓周運動問題中的應用

物體的旋轉顯然具有周期性，因此也可以用三角函數來模擬這種運動狀態.

③三角函數在生活中的周期性變化問題中的應用

大海中的潮汐現象、U常生沽中的氣溫變化、季節更替等都具有周期性，因此常用三角函數模型來解

決這些問題.

題型歸納

【題型1三角函數在物理學中的應用】

【例1】(24-25高一上?全國?課后作業)某個彈簧振子在完成一次全振動的過程中的位移y(單位:

第2頁共33頁

mm）與時間f（單位：s）之間滿足關系式尸20sin得廣,小九+切，則開始計時后，該振子第一次到達位

移最小點所用的時間為（）

A.0.6sB.0.5sC.0.4sD.0.3s

【解題思路】根據題意產20sin件當產-20時求出腳可.

【解答過程】由已知可得該彈簧振子振動的最小正周期廣益=0.6s,當片0時，尸-20,

所以開始計時時該振子位移為-20mm,則該振子第一次到達位移最小點所用時間為Z=0.6s.

故選：A.

【變式1.1]（24-25高一上.廣東?期末）如圖，一個質點在半徑為2的圓。上以點夕為起始點，沿逆時針方

向運動，每3s轉一圈.則該質點到x軸的距離），關于時間，的函數解析式是（）

三缶'

A.產力sin《L》/B.尸力cos步

C.產/sin含汁沙D.尸沙

【解題思路】設點P的縱坐標為根據題意可求助但與兒從而可求解.

【解答過程】設點尸的縱坐標為/&Msin?/+〃，

由題意可得拉空=3,得。=共

w3

因為起始點P在第四象限，所以初相9=-5

由圖可知/=2,

所y/〃?=2sin得t-1

所以該質點到x軸的距離），關于時間/的函數解析式是尸人而仔-沙

故選:A.

【變式1.2]（24-25高一上?浙江金華?期末）智能主動降噪耳機工作的原理是通過耳機兩端的噪聲采集器采

集周圍的噪聲，然后通過主動降噪芯片生成與噪聲相位相反、振幅相同的聲波來抵消噪聲（如圖）.已知

第3頁共33頁

噪聲的聲波曲線y=4cos@x+M（其中4>0,心0,OW8V2兀）的振嗝為1,周期為2兀，初相位為則通過主動

降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為（）

【解題思路】由振幅可得力的值，由周期可得口的值，由初相位可得9的值，即可得出聲波曲線的解析式，進

而可得主動降噪芯片生成的聲波曲線的解析式.

【解答過程】解：因為噪音的聲波曲線尸4cos3c+M（其中00,Q0,叱廠2兀）的振幅為1,則4=1,

周期為2兀，則①=彳=§=1，初相位為％3=號,

T2n22

所以噪聲的聲波曲線的解析式^=cosg+p=-sinx,

所以通過主動降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為產sinx.

故選:A.

【變式1.3］（2025高一上?江蘇?專題練習）如圖，彈簧掛著的小球做上下運動，它在卻時相對于平衡位置的

高度h（單位：cm）由關系式h=2sin（/+J確定以/為橫坐標，h為縱坐標，下列說法錯誤的是（）

A.小球在開始振動（即片0）時的位置在（0,近）

B.小球的最高點和最低點與平衡位置的距離均為2cm

C.小球往史運動一次所需時間為2點

D.每秒鐘小球能往復振動1次

n

【解題思路】對于A,把片0代入已知函數，求得y值即可得初始位置;

第4頁共33頁

對于B,由解析式可得振幅，即為所求；

對于C,由函數的解析式及周期公式即可求解;

對于D,由頻率與周期的關系即可求解..

【解答過程】對于A,由題意可得當/=0時，h=2sin(0+^)=V2,

故小球在開始振動時的位置在(0,a);故A正確；

對于8,由解析式可得振幅月=2,故小球的最高點和最低點與平衡位置的距離均為2cm；

故B正確；

對于C,可得函數的周期為片名=斗=2心故小球往復運動一次需次s；故C正確；

U)1

對于D,由C可知，片2兀，可得頻率為戶(Hz),即每秒鐘小球能往復振動1次，故D不正確.

I2n

故選：D.

【題型2三角函數在圓周運動問題中的應用】

1J1例2](24-25高一下?四川成都?期末)筒車亦稱“水轉筒車”，一種以水流作動力，取水灌田的工具，

如圖是某公園的筒車，假設在水流穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做逆時針方向勻速圓周運動.現

有一半徑為2米的筒車，在勻速轉動過程中，筒車上一盛水筒時距離水面的高度〃(單位：米，記水筒M在

水面上方時高度為正值,在水面下方時高度為負值)與轉動時間X單位:秒)滿足函數關系式”=2sin偌什”4,

成他。且片。時，盛水筒M位于水面上方2.25米處，當筒車轉動到第80秒時;盛水筒〃距離水面的高度為

C.1.25D.0.25

【解題思路】根據2sin9+：=2.25求出的即可得到函數解析式，再代入片80計算可得.

【解答過程】依題意可得2sin9+12.25,即sin”g又°口網,,所以“弋，

所以〃=2sin備+/+￡

第5頁共33頁

則當片80時〃=2sin6x80+/+：=2sin：=2$嗚+：=2.25,

即當筒車轉動到第80秒時，盛水筒M距離水面的高度為2.25米.

故選：B.

【變式2.1］（24-25高一上?廣東湛江?期末）如圖是摩天輪的示意圖，已知摩天輪半徑為40米，摩天輪中心

。到地面的距離為41米，每30分鐘按逆時針方向轉動1圈.若初始位置方是從距地面21米時開始計算時

間，以摩天輪的圓心O為坐標原點，過點O的水平直線為x軸建立平面直角坐標系設從點勺運動到點尸時

所經過的時間為人單位：分鐘），且此時點尸距離地面的高度為hl單位：米），則h是關于/的函數.當匯H時，

h（r）=（）

A.40如1（口-3+41B.40sin（W—）+41

\\567\306/

C.40sin俱-41D.40sinG—）-41

\I56/\306/

【解題思路】先由題意得到“。兒吟進而得到/min后，以3為始邊，”為終邊的角口-％從而得到點尸的

o15o

縱坐標為40sin（［L?,即P距地面的高度函數求解.

13o

【解答過程】由題意得八0夕0=也而是以Ox為始邊，0%為終邊的角，

OO

由。尸在/min內轉過的角為引=（，可知以Ox為始邊，

OP為終邊的角為自-.，則點尸的縱坐標為40sin焦

所以點尸距地面的高度為h=40sin6上^）+41,

故選:A.

【變式2.2］（24-25高一下?重慶沙坪壩?階段練習）明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車

的工作原理（如圖）.假定在水流量穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動，筒

車轉輪的中心O到水面的距離。為1.5m,筒車的半徑，為2.5m，筒轉動的角速度①為專rad/s,如圖所示，

盛水桶M（視為質點）的初始位置?（）距水面的距離為3m,則3s后盛水桶M到水面的距離近似為（）（0=1.4,

第6頁共33頁

V3?1.7).

A.4.5mB.4.0mC.3.5mD.3.0m

【解題思路】根據題意，建立平面直角坐標系，構造三角函數模型，求得三角函數解析式，進而求解問題即

可.

【解答過程】根據題意，建立如卜所示平面直角坐標系：

根據題意，盛水桶M到水面的距離h與時間/滿足：h=Asin(fo/+^)+^^>0,^0((),；)：

因為筒轉動的角速度為爭ad/s,故”=含

又"8=1.5+25=4又+8=1.5-2.5=-1,解得4=2.5,3=1.5,則h=2.5sin(9什骨)+1.5；

又當片0時，h=3,則2.5sin0+1.5=3,sin3=3則cos3=Jl-sin,=g；

故當片3時，h=2.5sin(^x3+8)+1.5=2.5xg(cos3+sinG+1.5=2.5乂與x(+1.5=3.95%.

故選:B.

【變式2.3](24-25高一上?陜西榆林?期末)如圖，一個大風車的半徑是9m,每I6min旋轉一周，最低點離

地面1.5m,若風車翼片從最低點按逆時針方向開始旋轉，則該翼片的端點P離地面的距離h(m)與時間(min)之

間的函數關系是()

第7頁共33頁

9m

A.h=-9cos-/+10.5B.h=9cosJf+10.5

oX

C.h=-9sin^r+1.5D.h=9sin^/+1.5

88

【解題思路】建立平面直角坐標系，結合解直角三角形以及角速度求得。離地面的距離力與時間/之間的函

數關系.

【解答過程】以最低點的切線作為X軸，最低點作為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系.

風車上翼片端點。所在位置可由函數X0,來刻畫，而且hQ)=y(/)+1.5,

又設P的初始位置在最低點，即

在RUO/Q中，cos外卡，所以尸一9cos>9,

又冷=4□和白，□y(/)=-9cos：/+9,

15too

則hQ)=-9cos?+105

o

【題型3三角函數在生活中的應用】

L」【例3】(24-25高一上?全國?課后作業)某品牌汽車的輪胎內徑為16英寸，在試驗階段為得到車輛相

關數據，在輪胎內徑邊緣安裝一傳感器，可以實時監控汽車勻速宜線運動時傳感器所在點距離地面的高度h,

已知汽車勻速運動時軸承每秒轉動2圈，從傳感器轉動到最高點處開始計時，則高度h(單位：英寸)關于

時間，(單位：秒)的函數解析式為()

A.h(/)=8cos4兀/+8B.h(z)=8cos4兀/

C.h(r)=8sin4n/+8D.h(z)=8sin4m

第8頁共33頁

【解題思路】建立合適的坐標系，求出h（。關于/的函數解析式；

【解答過程】以輪胎軸承中心為原點，分別以過原點且平行于地面的所在直線為X軸,

垂直于地面的所在直線為y軸建立平面直角坐標系，可設hO=4os&+伙月＞0g＞0）,

由輪胎內徑為16英寸可得，輪胎的半徑是8英寸，所以4=8,

當尸0時，將（0,16）代入解得8=8,乂軸承每秒轉動2圈，

則軸承的角速度'為3一言-4九rad/s,則h（/）—8cos4n/+8.

故選：A.

【變式3.1］（2025高三?全國?專題練習）如圖，某港口某天從6h到18h的水深），（單位：m）與時間工（單

位:h）之間的關系可用函數/6~sin@x+3不5，＞0。＞04/＜涵似刻畫，據此可估計當天12h的水深為（）

A.B.4mC.（5-千）mD.（5-W）m

【解題思路】根據函數圖象可確定周期，即可求解根據最低點得4=3,即可.代入伍,￡）求解e=-%從而

根據解析式代入『12即可得解.

【解答過程】由題圖可得巴=18-6=12,則口=也

co6

當sin（/x+°）=-l時，），取得最小值，為-4+5=2,得4=3,

■:函數產3sin（'+夕）+5的圖象過點（6,￡）,

，3sin(-6+°)+5=3即sin%一.乂何杉，.*.^=3sin

當E2時，y=3sin「兀-，+5=-；+5=（

故選；A.

第9頁共33頁

【變式3.2]（24-25高一下?北京昌平?期末）海水受日月的引力，在一定的時候發生漲落的現象叫潮汐L般

早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋.下面是某港

口在某季節某天的時間與水深值（單位：m）的部分記錄表.

時間0:003:006:009:0012:00

水深

5.07.55.02.55.0

值

據分析，這個港口的水深值與時間的關系可近似的用三角函數來描述.試估計13：（）0的水深值為（）

A.3.75B.5.83C.6.25D.6.67

【解題思路】觀察表中數據求出周期和最大最小值，然后可得力數力，將表中最大值點坐標代入解析式可得仍

然后可得所求.

【解答過程】記時間為x,水深值為7，

設時間與水深值的函數關系式^y=f（x）=Asin償>0,①>0）,

由表中數據可知，7=12,/2max=7.5j2min=2.5

r-r-2氧n/7.5-2.55,7.5+25.

所以6>=不=2，A=——=-,b=——=5,

IZOLLL

所以72=|sinRx+（p）+5,

又.尸3時，尸7.5,所以:sin（：x3+@）+5=7.5,

所以g+°=g+2%兀，即3=24兀/Z,

所以尸:sin^x+2Z；7r2+5=|sin^.v+5,

f（\3人|sin.+5=|sin：+5=+5=6.25,

即13:00的水深值大約為6.25.

故選：C.

【變式3.3]（24-25高一下?江西萍鄉?期中）時鐘花原產于南美洲熱帶，我國云南部分地區有引進栽培.時

鐘花的花開花謝非常有規律，其開花時間與氣溫密切相關，開花時所需氣溫約為20C,氣溫上升到約30C

開始閉合，在花期內，時鐘花每天開閉一次.某景區種有時鐘花，該景區6時?16時的氣溫y（C）隨時間

x（時）的變化趨勢近似滿足函數尸10sin￡「聚+25,則在6時?16時中，賞花的最佳時段大致為（）

A.7.3時?11.3時B.8.7時?11.3時

第10頁共33頁

C.7.3時?12.7時D.8.7時?12.7時

【解題思路】由三角函數的性質結合條件即得.

【解答過程】當遼幾⑹時，沁

84L24J

由尸1Osin《x-9+25=20,得sin=一$

所以江-］=-［行個說7（時）;

N4h3

由尸lOsin《X-2+25=30,得sin

所以時）.

o4n3

故在6時E6時中，觀花的最佳時段約為8.7時□11.3時.

故選：B.

【題型4幾何中的三角函數模型】

1J［例4］（24-25高三上?河北邢臺?期末）如圖，已知0A8是半徑為2千米的扇形，OAUOB,。是弧

AB上的動點，過點C作CH04,垂足為從某地區欲建一個風景區，該風景區由△AOC和矩形OOE”組

成，且。〃=2。。，若風景區的修建費為100萬元/平方千米，則該風景區的修建最多需要（）

C.255萬元D.250萬元

【解題思路】設□4OC=a，心網,利用a表示風景區的面積，求出最大值，進而可求得該風景區的修建最

多需要多少費用.

【解答過程】設?AOC=a,"口”,/,則O"=2cosakm,（9￡>=cosakm,

所以矩形ODEH的面積S|=2cos%：<m2,

=x2><2

又S/joci2sina=2sin6zkin,

所以風景區面積S=2cos2a+2sina=2-2sin%+2sina=-2/sin^-^T+g）,

第11頁共33頁

當sina=:時，S有最大值:km2,故最多需要9100=250萬元的修建費.

故選：D.

【變式4.1］（24-25高一上?山東煙臺?期末）如圖，直線48與單位圓相切于點O,射線OP從04出發繞著點。

逆時針旋轉，在此過程中，記/OP=x（0〈xV7T）,射線。屋殺過的單位圓O內陰影部分的面積為S,貝！對函數S=/（x）

說法正確的是（）

A.當x=f時，SW

242

B.\Jx}/x2f使得/出片/詼？

C.對”□（（）,%都旬，+.”=危）+：

D.對“□（（）,》都有〃!7%"|+."=兀

【解題思路】根據題設可得危）=廠“必?且0令5,結合圖分析各項的正誤.

【解答過程】如下圖（O。與OP重合）匚OCZ>2x,則陰影部分面積/（x）=：xix2x—；sin2x=x—；sin2x,且0<1-<兀,

所以/（5）=3一:sin7t=1A錯：

由圖知在旋轉過程中陰影面積不斷變大，不存在修辦2使得月B錯；

當X口?,,則/+xj=^+x-gsini7r+2x）=^+x+1sinZ#+/（x）,C錯；

6+,=\~x~\sin（兀-2x）+T+x-；sin（兀+2x）=~x~；sin2x++x+；sin2.r=7t,D對，.

故選：D.

第12頁共33頁

【變式4.2](24-25高三上?河北保定?期末)如圖，點尸為射線j=v5x與以原點。為圓心的單位圓的交點，

?動點在圓0上以點P為起始點，沿逆時針方向運動，每2秒轉?圈.則該動點橫坐樹關于運動時間/

B?下sin佝-/

D.心改白-])

【解題思路】動點的運動速度為兀rad/s,射線產治八.對應的角度為歸土故動點P行程的射線。P對應的角度為

加,得到答案.

【解答過程】動點的運動速度為日rrad/s,射線丫對應的角度為%號

故動點P行程的射線。尸對應的角度為三+加，故/0=cos-什],

故選：C.

【變式4.3](2025?山西二模)三國時期，吳國數學家趙爽繪制“勾股圓方圖”證明了勾股定理@方稱之為“畢

達哥拉斯定理”).如圖，四個完全相同的直角三角形和中間的小正方形拼接成?個大正方形，角a為直角三角

形中的一個銳角，若該勾股圓方圖中小正方形的面積箏與大正方形面積S2之比為1:25,則cos(a+半尸()

BT7N/2

D-F

10IOc?y

【解題思路】由題意得QE=DCcosa=EC-EH=DCsina-wDC,從而可得sina-cosa=,給等式兩邊平方化簡后得

2sinacosa=g,從而可求出sina+cosQ='而cos(a+彳尸cosacos寧一sinasin上=-^(sin?+cosa),進而可求得答

第13頁共33頁

案.

【解答過程】由題意得。。=5￡〃，因為。＞QCsina,

DE=DCcosa=EC-EH=DCs\na-DC,

所以sina-cosa=/則1-2sin?cosa=&

所以2sinocosa=5,

所以(sina+cosa)2=1+2sinacosa=

因為aZI(O,：),所以sina+cosa=(,

所以cos(a+)=cosacos^-sinasiny

日.、

=--—(sina+cosa)

=_"=_運,

2510

故選:D.

模塊二擬合法建立三角函數模型

?知識梳理

1.用擬合法建立三角函數模型

數據擬合問題的實質是根據題目提供的數據而出值圖.求相關函數的解析式進而研究實際問題.在求解

與三角函數有關的函數擬合問題時，需弄清楚40夕的具體舍義，只有掌握了這三個參數的含義，才可以

實現符號語言（解析式）與圖形語言（函數圖象）之間的相互轉化.

題型歸納

【題型5用擬合法建立三角函數模型】

1J［例5】（24-25高一?全國?課后作業）某港口水深y（米）是時間/（OS咚24,單位：小時）的函數，下

第14頁共33頁

表是水深數據:

f（小時）03691215182124

J（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.0

根據上述數據描成的曲線如圖所示，經擬合，該曲線可近似地看成正弦函數尸ZsinM+b的圖象

（）試根據數據表和曲線,求出尸月sinM+b（4>0,Q?0力>0）的表達式；

（2）一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底與水面的距

離）為7米，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，它在港內停留的時間最多不

能超過多長時間？（忽略離港所用的時間）

【解題思路】（1）根據圖象的最高點和最低點可以求出4力，由兩個最高點的之間的距離可以求出口，從而

可求函數的表達式；

（2）在當好日24的前提下，解不等式把11.5即可.

【解答過程】⑴根據數據，產鱉改，

<-A+b=!

口/=3,6=1（）,7^=15-3=12,

2n兀

匚吟=『

□函數的表達式為尸3sin.Z+10f0<,<24；；

（2）由題意，水深虔4.5+7,

即3sinJ什10^11.5（歸S24）,

6

62

□-/□2E+［,2E+引，k=0,1,

666J

□f口［1,5］或匯［13,17］；

所以，該船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全進港，

若欲于當天安全離港，它在港內停留的時間最多不能超過16小時.

第15頁共33頁

【變式5.1］（24-25高一下?湖北黃岡?階段練習）某市某日氣溫MC）是時間《0WW24,單位：小時）的函數,

下而是該天不同時間的氣溫預報數據：

/（時）03691215182124

XC)15.714.015.720.024.226.024.220.015.7

根據上述數據描出的曲線如圖所示，經擬合，該曲線可近似地看，或函數產/sin（〉W+9）+5（力＞0,1吐0,|/|〈兀）的圖

象.

⑴根據以上數據，試求函數戶XsinW+E+b（4＞0,卬＞019|＜加）的表達式

（2）大數據統計顯示，某種特殊商品在室外銷售可獲得3倍于室內銷售的利潤，但對室外溫度的要求是氣溫

不能低于23C,根據（1）中所得模型，一個24小時營業的商家想獲得最大利潤，應在什么時間段（用區

間表示）將該種商品放在室外銷售？（忽略商品搬運時間及其他非主要因素）

【解題思路】（I）由［“藝求得b=20/=6,又由f=12,求得再由片3時，得到sin（：+o）=-1,求

1一月+0=142124

得少=-手，即可求得函數的解析式；

（2）令這23,得到sin*/—；）*解得11+24心也19+24%,WZ,進而得到答案.

【解答過程】（I）解：由的圖象，可得｛絲［2，，解得人20,介6,

I一/十分=14

又由915-3=12,解得人24,所以片務,,

因為片3時，可得尸14,即6sin（著+夕）+20=14,解得sin（彳+^尸一1,

即；+^=4+2E,HZ,所以8=弓+，兀左DZ,

又因為|夕|〈兀，解得8=-手，所以尸6sin*L.）+20,f□兒241

（2）解:令於23,即6sin（爭—與）+20223,可得sin（1L1星,

第16頁共33頁

+2kn<7;/-7<7+2kn,kQZ,解得11+24仁也19+24MTZ,

又因為匯（0,24）,所以當A=0時,可得11W也19,

所以一個小時營業的商家想獲得最大利潤，應在E/11,1夕時間段將該種商品放在室外俏售.

【變式5.2]（24-25高一下?江西景德鎮?期中）“八月十八潮，壯觀天下無.一蘇軾《觀浙江濤》，該詩

展現了湖水漲落的壯闊畫面，某中學數學興趣小組進行潮水漲落與時間的關系的數學建模活動，通過實地

考察某港口水深），（米）與時間處二24（單位：小時）的關系，經過多次測量篩選，最后得到下表數據：

/（小時）03691215182124

y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1

該小組成員通過查閱資料、咨詢老師等工作，以及現有知識儲備，再依據上述數據描成曲線，經擬合，該

曲線可近似地看成函數圖象.

（1）試根據數據表和曲線，求出近似函數的表達式；

（2）-?般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底

與水面的距離）為8米，請你運用上面興趣小組所得數據■，結合所學知識，給該船舶公司提供安全進此港

時間段的建議.

【解題思路】（1）根據數據,畫出散點圖、連線，結合正弦型函數的性質進行求解即可；

（2）根據正弦型函數的單調性進行求解即可.

【解答過程】（I）畫出散點圖，連線如下圖所示：

設尸博…根據最大值3最小值7,可歹歷程為：匕窩口｛3

第17頁共33頁

再由7=三=12,得cy=g,

Q6

y=3sing什10(0<t<24)；

6

(2)3sin7/+10-8>3.5Dsin7/>；.

662

vo<r<24,

：.Q<^t<47r,

6

.*.;<;/<7,或?+2讓*二F+2〃

ooonno

解得1SW5,或133sl7,

所以請在1：00至5：00和13：00至17：00進港是安全的.

【變式5.3］（24-25高一上?福建福州?階段練習）某港門的水深M米）是時間x（0SK24,單位：小時）的函數,

下面是水深數據：經擬合，該曲線可近似地看成正弦函數產4sin（①x）+b的圖象.

M時）03691215182124

y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.0

（I）試根據以上數據，求出產4sin（（yx）+6的表達式;

（2）一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離不少于4.5米時是安全的，如果某船的吃水深度（船底與

水面的距離）為7米，那么該船在葉么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，則在港內停留的時間

最多不能超過多長時間（忽略進出所用的時間）？

【解題思路】⑴根據數據，P藝:可得4=3,6=10,由六】5-3=12,可求s杉從而可求函數的表達

<-A+b=l6

式；

（2）由題意，水深八4.5+7,即3s:nl+1041.5（0ClxLJ24）,從而可求x」［l,5］或xEl［13,17］進而可得答案.

6

【解答過程】（1）根據數據，/震1）

匚力=3,Z?=10,

片15-3=12,

2兄JT

n

Ey=3sin-x+10

函數的表達式為,v=3sin，+10（0口、124）：

第18頁共33頁

（2）由題意，水深），口4.5+7,

即3sinEx+10E111.5（0UxL24）,

6

sin-x>|,

62

□劣口[2〃6~?,2而+巧，k=0,1,

666

□xD[l,5]n￡AG[13,17]；

所以，該船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全進港.

若欲于當天安全離港，它在港內停留的時間最多不能超過16小時.

課后作業（19題）

一、單選題

1.（24-25高一上?全國?課后作業）如圖是一向右傳播的繩波在某一時刻繩子各點的位置圖，由乙點開始經

【解題思路】最小值和最大值之間的橫坐標相差;周期，由此可以知道答案.

【解答過程】因為最小值和最大值之間的橫坐標相差;周期，

而乙在最低點，

所以經過;周期后，乙點與丁點相同.

故選：D.

2.（24-25高一上?全國?課后作業）某城市在某天的氣溫變化7（單位：°C）與時間/（單位：h）的關系可以

近似表示為h8sin借/-夕+18北凡2”,則下列說法中錯誤的是（）

A.當日最大溫差為16°CB.中午十二點時達到當日最高溫

C.午夜兩點之后溫度開始逐步上升D.早晚八點時溫度相同

第19頁共33頁

【解題思路】結合函數解析式，由正弦型函數性質逐個判斷即可.

【解答過程】最高溫度為7=8+18=26口，最低溫度為7=-8+18=10

所以當日最大溫差為26-10=16口，A正確；

將7=26代入48sin俏/-2+⑶解得E4,B錯誤；

令2E—^^己人曰52而+晨女口2，解得24什20華24%+14,Q0時，即，口立,144

所以函數7在f□僅』4/上單調遞增，C正確；

將「8/2=20分別代入原函數中解得71=18口,72=1811,即早晚八點時溫度相同，D正確.

故選：B.

3.（24-25高一上.全國?課后作業）已知現代600千瓦風力發電機上，每個扇葉長度為20m,對應塔高（旋

轉中心距離地面的高度）為60m,扇葉逆時針方向每分鐘旋轉27轉.若〃點為扇葉尖上一點，當M位于最

低點時開始計時，則知離地面的距離h（單位：m）與其轉動時間/（單位：s）的函數關系式為（）（角速

度=圓半徑轉過的弧度/運動時間）

A.h=60-20cos-^/B.h=60+20cos—/

C.h=60-20sin^/D.h=60+20sin^/

ioio

【解題思路】依題意建系，設h（/）=/lsin（①什°）+b,理解題意可得44。的值，代入點（0,40）,求出9,結合選項

即得.

【解答過程」以旋轉中心為原點，扇葉長度為半徑建立平面直角坐標系.

由題意可得M點作勻速圓周運動的角速度為①=2?=*add，

可得/秒后M點旋轉過的弧度為苧rad/s,

設函數h（/）=/sin（M+9）+。，由題可得4=20,6=60,

所以h（1）=20sin（知+缶+60,當片。時，h=6（）-20=40,

代人可得sin°=-l,則得0=-：+2任，左rZ,

第20頁共33頁

貝ijh（/）=20sin（得Lg）+60=60-20cos/.

故選：A.

4.（24-25高一上?全國?課后作業）如圖，在勻強磁場中，一不計重力的帶電粒子在磁場作用下逆時針做勻

速圓周運動，以運動軌跡的中心為圓心，建立坐標系，已知軌跡半徑為3cm,粒子旋轉一周需要的時間為

2s.若從4點處開始計時，則該帶電粒子運動的過程中與x軸所在平面的距離h與時間/會0）的函數關系式可以

C.h=3sin(n/-

【解題思路】根據h表示距離為非負數排除AC,根據函數的單調性可判斷BD.

【解答過程】由題意知，h表示距離為非負數，A,C錯誤；

粒子從起始位置開始運動，至h軸的距離逐步增加，達到最大值后開始減小，

h=|3sin,+；）|中，當匯“。寸，吟□（/，函數單調遞增，滿足題意，B正確;

中，當歸■，浦-:匚（一：,0）,函數單調遞減，D錯誤.

故選;B.

5.（24-25高三上?北京?階段練習）音樂噴泉曲線形似藤蔓上掛結的葫蘆?,也可稱為“葫蘆曲線它的性質是

每經過相同的時間間隔，它的振幅就變化一次.如圖所示，某一條葫蘆曲線的方程為6=（2-；閆）|sincM侖0,

其中國表示不超過x的最大整數.若該條曲線還滿足①匚。,3》經過點兀,》.則該條葫蘆曲線與直線-卜交

點的縱坐標為（）

第21頁共33頁

【解題思路】根據曲線方程上的點歷杳兀,源得①=2,將尸）代入計算可得縱坐標.

【解答過程】將點“以"弋入葫蘆曲線的方程可得（2-淚）卜i吟.V

即卜in5司=1,由⑦。,3）可得①=2,

因此曲線方程為|y|=（2-；目）|sin2x|,

當戶卜時,可得回=（2T用）卜in2刷=（2一凋冰in我卜卜詞哼

所以交點的縱坐標為±?.

故選：C.

6.（2025高一上?全國?專題練習）阻尼器是一種以提供阻力達到減震效果的專業工程裝置，我國第一高樓

上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“鎮樓神器”，如圖3）.由物理學知識可知，某阻尼器的運動過

程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移.y（單位：m）和時間/（單位：s）的函數關系為

y=Win（Q）t+（p）（Q）＞0,加］＜R）,如圖（2）.若該阻尼器在擺動過程中連續三次到達位置/（-1勺）的時間分

別為“，3，且“+「2=2,『2+，3=6,則在一個周期內阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m

的總時間為（）

【解題思路】先確定函數的一個周期，再解不等式求另一個周期.最后計算總時間即可.

【解答過程】由題意得與“+/2）=1，*2+6尸3,

第22頁共33頁

故函數尸sinGx+〃〃X）,"/<兀）的周期為7=2x（3T尸4,所手=：,可得尸sing/+“

令sin（1+->0.5,解得軟+：-：（p<t<4k+g-Z,

故總時間為4%+^―-（p—（4k+1—-（p）=；,

3Jt3R3

綜上在一個周期內阻尼器離開平衡位置的位移大于O.5m的總時間為卜.

故選：D.

7.（2025高三?全國?專題練習）如圖，長方形44C。的邊/傷=2,801,。是的中點.點看邊BC,C。與

。力運動，記ZI80P=x.將動點P到48兩點距離之和表示為x的函數危），則產心）的圖像大致為（）

【解題思路】借助排除法，計算/■夕、/版排除C、D,計算時的情況可得》口“，0時圖像不是線段，

可排除A.

【解答過程】由題意可得/償=彼+/=2於，/般=廬西4=乃+1,

故〃9勺歲，由此可排除C、D；

當時點尸在邊BC上，ra=tam-,以=〃屏+?屏=/l+tan2x,

所以./&>tanA+i4+tan2x,可知xJ他/時圖像不是線段.可排除A,故選B.

第23頁共33頁

故選：B.

8.124-25高?上?全國?單元測試)如圖，,個大風車的半徑為6m,12min旋轉-周，它的最低點飛離地面2m,

風車翼片的一個端點P從飛開始按逆時針方向旋轉，則點尸離地面距離h(m)與時間^而”之間的函數關系式

是()

A.h(z)=-6sin-/+6B.hQ)=-6cost+6

66

C.hQ)=-6sin，+8D.h(/)=-6cos》+B

66

【解題思路】利用待定系數法設出函數解析式后，由題意可得函數周期、最大最小值等，即可計算出函數中

相應系數，即可得解.

【解答過程】根據題意可設hQ)=/cosM+8,則/<0,8>0.LllZmin旋轉一周，

□"=12,口①=：.

36

［最大值與最小值分別為14,2,

□｛一駕飛、解得力=-6,6=8.

IA+B=2

h")=-6cos"+8.

故選：D.

二、多選題

9.(24-25高一上?全國?課后作業)(多選)彈簧振子以0為平衡位置，在8、C兩點間做簡諧振動，B、。相

距20cm,某時刻振子處在4點，經0.5s振子首次到達C點，下列說法正確的有()

A.振動的振幅為10cm

B.周期7=ls

C.彈簧振子在5s內通過的位移為200cm

D.彈簧振子在5s內通過的路程為200cm

【解題思路】利用簡諧運動中振幅、周期、位移等概念一一分析即可.

【解答過程】由題意知振幅的2倍為20,則振幅為10cm,故A正確；

第24頁共33頁

0.5s振子首次到達C點，即￡=05所以7=1,故B正確；

所以5s內振子通過的路程為奈x20=200,故D正確：

5s對應5個周期，所以振子又回到B點，位移為0cm,故C錯誤.

故選：ABD.

10.(24-25高一下?湖北?期中)如圖，摩天輪的半徑為5