函數模型及其應用（全國適用）-2027年高考數學一輪復習講義（原卷版及解析）

2.12函數模型及其應用

期知識清單

1.三種函數模型的增長差異

y=a\a>{)y=log,A(?>l)y=kr(k>0)

在(0,+8)上的增減性增函數增函數增函數

隨X增大逐漸近隨X增大逐漸近似與X軸平

圖象的變化趨勢保持固定增長速度

似與y軸平行行

y=a\a>\)：隨著x的增大，y增長速度越來越快，會遠遠大于)，=心4>0)

增長速度

的增長速度，丁=1。8/(公>1)的增長速度越來越慢

增長結果存在一個XO,當x>xo時，有">kx>k)g,/

2.常見的函數模型

函數模型函數解析式

一次函數模型f(x)=ax-\-b(a,b為常數,〃W0)

二次函數模型fix)=a^?-\-bx-\-c{a,b,c為常數,GWO)

指數函數模型/U)=/?d+cm,b,c為常數,。>()且1,bWO)

對數函數模型/(x)=/?logax+c(a,byc為常數,a>0且aW1,/?W0)

事函數模型f(x)=ax,,-\-b(a,b,n為常數,〃W0)

考點一利用二次函數模型解決實際問題

考點二分段函數模型的應用

考點三分式型函數模型的應用

考點四指數函數模型的應用

考點五對數函數模型的應用

考點六幕函數模型的應用

考點七建立函數模型解決實際問題

突

考點一二次函數模型的應用

I.（25-26高二下?上海?期中）某公園有一一塊如圖所示的區域。AC6,該場地由線段Q4、OB、AC及曲線段BC圍

成.經測量，ZAOB=90°,3=08=100米，曲線3c是以08為對稱軸的拋物線的一部分，點。到04、08的距

離都是50米現擬在該區域建設一個矩形游樂場。行加工其中點。在曲桂段AC上，點E,F分別在線段。4,OA上，

且該游樂場最短邊長不低于30米.設=x米，游樂場的面積為S平方米.

（1）試建立平面直角坐標系，求曲線段8C的方程；

⑵求面積S關于x的函數解析式S=/（x）,并計算面積S的最大值（結果精確到0.01）.

2.（2526高一上?上海奉賢?期末）某小區要建造一個直徑為16m的圓形噴水池，并在池的周邊靠近水面的位置安

裝一圈噴水頭使噴出的水柱在離池中心點3m的地方達到最高高度4m,各方向噴來的水柱在池中心上方點匯合（如

下圖）.

過水池的中心任取一個豎直截面，如圖所示.根據力學的原理，噴出的水柱軌跡應為一條拋物線，此拋物線上任何

一個點電池中心的水平距離與其所處的高度之間是對應的.建立如右下圖所示的直角坐標系.則池中心。與匯合點

H之間的距離OH=m.

3.（2526高一上?山西忻州?期末）某AI公司為提高經濟效益,大力進行新產品研發,現計劃投入100萬元，全部

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用于甲、乙兩種產品的研發，每種產品至少要投入10萬元，對市場進行調研分析后發現，甲產品的利潤尸，乙產

10>/^1+45(10<?<27),

品的利潤Q與研發投入。(單位：萬元)分別滿足。=8000=?+35(10<?<90),設甲產品

-----+130(27<a490),

a+\

的投入為x(單位：萬元)，兩種產品的總利潤為/(x)(單位：萬元).

(1)求/@)的表達式；

(2)試問如何安排甲、乙兩種產品的研發投入，才能使總利潤最大，最大利潤是多少萬元?

4.(25-26高一上?寧夏銀川?期末)2025年12月29口，中國向國際旦信聯盟(ITU)一次性提交20.3萬顆低軌衛星

頻軌資源申請，2026年商業航天發射活動將更加活躍，東方空間“引力一號”、深藍航天“星云一號”、星河動力“智

神星一號“、中科宇航“力箭二號”等火箭均-制定發射計劃，備受關注的天兵科技“天龍三號”，據悉也將在近期迎來

首飛.某企業自主研發了一款火箭專用高級設備，并從2026年起全面發售.經測算，生產該高級設備每年需投入固定

x2+1Ox,0<X<50

成本400萬元，每生產X百臺高級設備需要另投成本y萬元，且)=1835400

——x+------1683.50<x<100

2x

,xwN.每百臺高級設備售價為90萬元，假設每年生產的高級設備能夠全部售出，且高級設備年產量最大為10000臺.

(1)求企業獲得年利潤M(萬元)關于年產量x(百臺)的函數關系式；

(2)當年產量為多少時，企業所獲年利潤最大？并求最大年利潤.

考點二分段函數模型的應用

5.(25-26高一下.廣東深圳期中)某鄉鎮響應“打造生態旅游”的號X,因地制宜地將該饃打造成“上態水果特色小

鎮經調研發現：某珍稀水果樹的單株產量w（單位：千克）與施用肥料」（單位：千克）滿足如下關系：

4（/+3）,04x42,

W=70v肥料成本投入為10x元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工費）合計203元.已知這

——,2<x^5,

2x+\

種水果的市場售價大約為21元/千克，且銷售暢通，供不應求，記該水果樹的單株利潤為y（單位：元）.

（I）寫出單株利潤y（單位：元）關于施用肥料X（單位：千克）的關系式.

⑵若施用肥料X（2<x?5）千克，當X取何值時，該水果樹的單株利潤最大？最大利潤是多少？

6.（25-26高三下.安徽阜陽?月考）某蛋糕店每天做若干個生日蛋糕，每個制作成本為50元，當天以每個100元售

出，若當天白天售不出，則當晚19:00后以每個30元價格作為普通蛋糕低價售出，可以全部售完.

⑴若蛋糕店每天做2（）個生日蛋糕，寫出當天的利潤y（單位：元）關于當天蛋糕需求量〃（單位：個，〃eN’）的

分段函數關系式；

（2）蛋糕店記錄了100天生口蛋糕的口需求量（單位：個）整理得下表：

日需求量〃17181920212223

頻數（天）10202014131310

日利潤XyZaaaa

（i）假設蛋糕店在這100天內每天制作20個生日蛋糕，求x,y,z,a及這100天的日利潤（單位：元）的平均數；

（ii）若蛋糕店一天制作20個生日蛋糕，以100天記錄的各需求量的頻率作為概率，求當天利潤不少于900元的概

率.

7.（25-26高二下?山東棗莊?階段檢測）某企業生產一種必要的生活物資，且單筆訂單最少預定生產10噸物資，己

知生產一批物資所需要的固定成本為5千元，每生產x噸物資另需流動成本/（“千元，當生產量小于20噸時，

/（x）=_f+49x-205,當生產量不小于20噸時，/（x）=-30lnx+24x+5.該企業為了提高企業的誠信度，贏得

良好的社會效益，將每噸物資的售價定為25千元.已知生產的物資能全部售出.

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（1）寫出總利潤g（x）（千元）關于生產量X（噸）的函數解析式（注：總利潤=總收入-流動成本-固定成本）；

（2）當生產量為多少時，總利潤最??？此時總利潤是多少？（參考數據：ln20=3.0）

8.（2026?安徽淮北?一模）某蛋糕店每天做若干個生日蛋糕，每個制作成本為5（）元，當天以每個100元售出，若當

天白天售不出，則當晚19:00后以30元/個價格作為普通蛋糕低價售出，可以全部出完.

⑴若蛋糕店每天做20個生日蛋糕，寫出當天的利潤），（單位：元）關于當天蛋糕需求量〃（單位：個，〃wN.）的分

段函數關系式；

（2）蛋糕店記錄了100天生日蛋糕的日需求量（單位：個）整理得下表：

日需求

17181920212223

量n

頻數（

10202014131310

天）

日利潤XZaaaa

⑴假設蛋糕店在這100天內每天制作20個生日蛋糕，求仁九z,〃及這100天的日利潤（單位：元）的平均數；

（ii）若蛋糕店一天制作20個生日蛋糕，以100天記錄的各需求量的頻率作為概率，求當天利潤大少于900元的概

率.

考點三分式型函數模型的應用

9.（2425高二下?江蘇常州?月考）為冷卻生產出來的工件，某工廠需要建造一個無蓋的長方體水池，要求該水池的

底面是正方形，且水池最大儲水量為6m1已知水池底面的造價為600元/n?,側面的造價為400元/n?.（注：銜

接處材料損耗忽略不計）

（I）把水池的造價S（單位：元）表示為水池底面邊長龍（單位：m）的函數；

（2）若（/>1的常數），為使水池的總造價最低，應如何確定水池底面的邊長？

10.（25-26高三?上海?二輪復習）為踐行“科技強國''戰略，某社區計劃建設一座融合智慧節能技術的八邊形休閑廣

場，其中兩個相同的矩形相8和￡尸6〃構成的十字形區域總面積為200m2.中心正方形MNPQ區域將安裝國產太

陽能光伏板（兼具休憩遮陽功能），造價為210（）元/n?；周圍四個矩形區域（圖中陰影部分）鋪設透水地磚，造價

為105元/m2；再在四個三角形區域種植耐旱固碳植物，助力碳中和，造價為40元/nf.設總造價為W（單位：元），

AD=x（單位：m）.

EF

⑴設。。長為V（單位：m）,用工表示），，并求出工的取值范圍；

（2）A。?｛何值時可使總造價最低，并求出最低造價.

11.（25-26高一上?云南楚雄?期末）某公司經市場調研發現，若本季度在某材料上多投入x（OvxvlO）萬元，則

該材料的銷售量可增加〃=生噸，每噸的銷售價格為萬元，另外生產〃噸該材料還需要投入其他成本與萬

x+2VP）4

元.

（I）求出該公司本季度增加部分的利潤y（單位：萬兀）與X之間的函數關系式；

（2）當x為多少時，該公司在本季度增加部分的利潤最大?最大為多少萬元？

12.（25-26高一上?湖南郴州?期末）習近平總書記在相關重要會議中強調了“加快建設科技強國，推動人工智能等前

沿技術創新”的發展方向.某企業為響應這一戰略，計劃在2026年布局人工智能大模型應用開發，生產智能終端配套

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的AI算法服務包.通過市場分析,全年需投入固定成本260萬元（含研發、服務器部署等）,每生產工千個算法服務包，

10x2+100x,0<x<40.

需另投入成本R（力萬元，且式"）=10000已知每個算法服務包的售價為0.6萬元，假設年內

601X+-----------7260,x>40.

x

生產的眼務包當年能全部銷售完.

（1）試寫出2026年利潤L（萬元）關于年產量%（千個）的函數解析式；

（2）當2026年產量為多少千個時，企業所獲利潤最大？并求出最大利潤.

考點四指數函數模型的應用

13.（25-26高二下?湖南郴州?期中）我國某航天科研團隊在行星探測任務中，測得某行星的大氣壓強〃（單位：kPa）

隨高度〃（單位：km）的變化滿足指數衰減規律：〃=〃（百林，其中〃。為海平面處的大氣壓強，攵為常量.已知在

高度為50km處，大氣壓強為海平面處的;，若某探測器測得當前高度的大氣壓強為海平面處的:，則當前高度約

為（）

A.150kmB.100kmC.175kmD.125km

14.（2026?寧夏銀川?三模）在冷鏈物流中，某蔬菜的保鮮時間）’（亙位：小時）與貯藏溫度x（單位：。C）之間滿

足：y=（其中"，方為常數）.若該蔬菜在貯藏溫度x為9℃的環境下保鮮時間），為261小時，在23℃的環境下

保鮮時間為29小時.若該蔬菜運輸總物流時間為87小時，為保障運輸安全，要求保鮮時間不少于運輸時長的1.2倍,

則該蔬菜在物流過程中的貯藏溫度工的最大整數數值為.（參考數據：ln3*L099,ln29=3.367,

In104.4^4.648）

15.（2026?四川成都?模擬預測）2021年，鄭州大學考占科學隊在滎陽官莊遺址發現了一處大型青銅鑄造作坊.利用

碳14測年確認是世界上最古老的鑄幣作坊.已知樣本中碳14的質量N隨時間/（單位：年）的衰變規律滿足

N=旃（M表示碳14原有的質量）.經過測定，官莊遺址青銅布幣一同出土的有機物樣本中碳14的質量

約是原來的孝至:，據此推測青銅布幣生產的時期距今約（）年（按區間的中點進行估計，近似到十年）？（參

考數據：I鳴3。1.6）

A.1880年B.2580年C.3550年D.4150年

16.（2026?江蘇?三模）某種病毒在特定環境下可通過空氣傳播，其病毒載量Q"）（單位：拷貝數/升）與時間，（小

時）的關系為=其中攵>1,。。為初始病毒載量，則病毒載量在，=小時達到峰值，之后病

毒載量每經過1小時衰減為原來的日倍，當低于暑時不具傳染性，則從，=0起，該病毒具有傳染性的總時長為

_____小時.

考點五對數函數模型的應用

17.（2026?北京石景山?二模）人們通常以分貝（符號是dB）為單位來表示聲音強度的等級.一般地，如果強度為/

的聲音對應的等級為LdB,則有L=101g/.已知某品牌筆記本電腦工作時產生的噪音強度的等級約為52dB,如

果通過攻善相關結構，將其噪音的強度減少為原來的一半，則改善后的噪音強度的等級約為（）

（參考數據：愴2*0.301）

A.49dBB.46dBC.26dBD.13dB

IX.（2026.山東德州.模擬預測）在人工智能的圖象識別算法優化過程中，模型的準確率提升倍數A與訓練數據量單

位：GB）的關系式為A=hl.5與，其中左為常數?當訓練數據量為e'GB時，模型的準確率提升倍數為225當準確

率提升倍數4達到135時，模型在識別復雜圖象時能達到極高的準確率，要想達到此標準，應該選擇的訓練數據量

約為（）（參考數據:ln2?0.7,ln3?l.l,lnl0?2.3）

A.1048GBB.I05IGBC.lO^GBD.1057GB

19.（25-26高一下.江西景德鎮?月考）我們都處于有聲世界之中.音量的單位是分貝（dB）,對于一個強度為/的聲

波，音量的計算公式是〃=10館/，這里常數/。是人耳能聽到的聲音的最低聲波強度，則30dB時的聲音強度/是

IOdB時聲音強度/,的（）

A.2倍B.4倍C.10倍D.100倍

20.（25-26高一上?河南鄭州?期末）大西洋雄魚每年都要逆流而上，游回產地產卵.研究鞋魚的科學家發現鞋魚的游

速v（單位：m/s）可以表示為u=2，其中。表示魚的耗氧量的單位數.假設甲鞋魚和乙鞋魚都做勻速直線

運動，乙在中正前方18m處，9s后中正好追上乙，則中鮮魚與乙鞋的耗氧量的單位數的比值為（）

A.3B.9C.27D.81

考點六幕函數模型的應用

21.（25-26高一上?廣東深圳?期末）某公司為提高企業經濟效益，大力進行新產品研發，現計劃投入100萬元，全

部用于甲、乙兩種產品的研發.在對市場進行調研分析后發現，甲產品的利潤M。）（單位：萬元），乙產品的利潤N*）

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（2）根據表格數據求出所選兩個模型的函數解析式：

（3）試問如何安排甲、乙兩種產品的研發投入，才能使總利潤最大?

22.（25-26高一?全國?寒假作業）某藥廠研制出一種新型藥劑，投放市場后其廣告投入工（萬元）與藥品利潤y（萬

元）存在的關系為丁=丁為常數）.其中x不超過5萬元.已知去年投入廣告費用為3萬元時，藥品利潤為27

萬元，若今年廣告費用投入5萬元，預計今年藥品利潤為（）

A.115萬元B.120萬元C.125萬元D.130萬元

23.（25-26高一上?上海?期中）某體育用品商店開展促銷活動，據統計，該店每天的銷售收入不低于2萬元時，其

純利潤）’（單位：萬元）隨銷售收入I（單位：萬元）的變化情況如下表所示：

X（萬元）235

\_59

）'（萬元）

444

⑴根據表中數據，分別用模型y=iQg,G+M+〃（〃>0且〃工1）與），=cG?+d建立>關于x的函數解析式:

⑵已知當工=9時，=3.3,你認為（1）中哪個函數模型更合理？請說明理由.（參考數據：V57?7.55）

24.（25-26高一上?全國?單元測試）遺忘曲線（又稱“艾賓浩斯遺忘曲線”）是由德國心理學家艾賓浩斯iH.Ebbinghaus）

研究發現，描述了人類大腦對新事物遺忘的規律.陳同學利用信息技術擬合了“艾賓浩斯遺忘曲線”，得到記憶率），

與初次記憶經過的時間x（單位：時）的大致關系：）=1-0.6/叱4￡（0,2000）,若陳同學需要在明天15：（）0考語

z[\0.06/&\0.06

文時擁有復習背誦記憶的42%,則他明天復習背誦的時間需大約在（）參考數據：（1?0.95931。1.025,

2。06=1.0425.

A.14：30B.14：00C.13：30D.13：00

考點七建立函數模型解決實際問題

25.（2026.浙江紹興?模擬預測）2026年某新能源車企搭載AI智能續航系統，汽車勻速行駛時，剩余續航里程），（km）

與行駛總時間Mh）滿足函數關系），=600e~°g.該車先勻速行駛2h,之后進入擁堵路段，系統切換能耗模式，剩余

續航按衰減（為為勻速2h后的剩余續航，，為擁堵行駛時間）.當剩余續航降至150km時，汽車從出發到

此刻的總行駛時長約為（）（參考數據：In2乞0.693）

A.5.6hB.5.8hC.6.0hD.6.2h

26.（湖南邵陽市2026年普通高中學業水平合格性考試模擬試題高二數學）大西洋鯉魚每年都要逆流而上，游回產

O

地產卵研究酷魚的科學家發現鮮魚的游速（單位：）可以表示為丫,其中。表示鞋他的耗氧量，，為

um/s=/1%Too

常數，且f〉0.若一條鯉魚的游速為L5m/s時，它的耗氧量為2700個單位，則當這條鯉魚的耗氧量為900個單位

時，它的游速是m/s.

27.（2026?貴州貴陽.二模）某地區發現一種傳染病，初期感染人數增長符合指數函數模型丁=乂9（其中），為感染

人數，M為初始感染人數，4為傳播系數，/為發現疫情后的天數，e為自然對數的底數）.已知發現疫情第1天感

染人數為120人，第3天感染人數為270人.若感染人數達到1000人時需要啟動緊急防控預案，則最遲應在發現

疫情后第（）天啟動.（參考數據；皿2=0.7,ln3?l.l,In10^23）

A.6B.7C.8D.9

28.（25-26高三下?四川成都?階段檢測）人工智能大語言模型訓練是借助海量數據與特定算法，實現模型知識學習

與能力迭代的復雜過程.在一定條件下，某人工智能大語言模型訓練N個單位的數據量所需的時間7=%lgN（單

位：h）,其中外為常數.在此條件下，訓練2（）0000個單位的數據量與訓練2000個單位的數據量所需的時間之差為

8h,當訓練，"個單位的數據量所需論時間為16h時，m=（）

A.10000B.15000C.20000D.30000

1.（遼寧大連育明高中、丹東二中、本溪高中四校聯考2026屆高三下學期教學質量調研數學試題）為了鼓勵大家

節約用水，某市實行了階梯水價制度，其中每戶的綜合用水單價與戶年用水量的關系如卜表所示.

分檔戶年用水量/m?綜合用水單價/（元m-）

第一階梯0~240（含）3.0

第二階梯240-330（含）4.5

第三階梯330以上5.5

假設該市某戶2025年繳納水費855元，則該戶2025年用水量為（）

10/49

A.190加3D.285〃?3

B.217/wC.270

2.（25-26高一上?安徽阜陽?期末）為了節約用電，某城市對居民生活用電實行“階梯電價”，其計費方法如下：每戶

每月用電量不超過200度時，按0.5元/度計費；超過200度但不超過400度時，超過200度的部分按0.7元/度計費；

超過400度時，超過400度的部分按0.9元/度計費.若某戶居民本月繳納電費為276元，則該戶居民本月用電量為

（）

A.400度B.420度C.440度D.460度

3.（2026?重慶?模擬預測）聲強級，是指聲強x（單位：W/m2）和定值。（單位：W/m2）比值的常用對數值再乘以

10,即聲強級〃（x）=10lg土（單位：dB）.已知人與人交談時的聲強級約為45dB,一種火箭發射時的聲強和人與人

a

交談時的聲強的比值約為IO?,那么這種火箭發射的聲強級約為（）

A.150dBB.285dBC.145dBD.235dB

4.（2026?北京西城?二模）某工廠2023年的年產值為小這一年工廠制定10年規劃，欲通過技術革新、管理優化等

手段，促使工廠產值的年平均增長率為x%,以期2033年的年產值達到2023年的4倍.實踐中，由于市場環境逐步

向好，工廠產值的年增長率超過預期.已知2025年的工廠年產值恰好達到規劃中2026年的既定目標，如果從2026

年起未來8年（含2026年）的年平均增長率與前2年實際年平均增長率相同，那么2033年工廠的年產值為（）

A.6aB.8。C.9aD.12a

5.（2026?河南?模擬預測）一化工廠產生的廢氣中含二氧化硫的濃度為0.9%,經過/分鐘凈化后，廢氣中二氧化硫

的濃度為3%,并滿足）,=0.05+4/太根據環保要求，當廢氣中二氧化硫的濃度降至0.1%時，達到排放標準，則該

化工廠的廢氣達到排放標準需要至少凈化（參考數據：h】15*2.708,lnl7=2.833,血9。2.944）（）

A.136分鐘B.140分鐘

C.142分鐘D.150分鐘

6.（2026?江蘇南通?三模）社區便民商超售賣綠色雜糧禮盒，每盒進貨成本為10元.己知日銷售量與每盒售價（元）

滿足關系式：。（〃）=300用二萬七如“，其中〃為每盒售價（12<〃<24）,Q（p）為每日銷量.若要使每口銷售利潤

最大，則每盒禮盒應定價為（）

A.17.9元R.IX。元C.19.9元D.20.9元

7.（25-26高一上?陜西漢中?期末）（多選）一水池有2個進水口，1個出水口，每個進水口的進水速度如圖甲所示，

出水口的出水速度如圖乙所示.某天從Oh至iJ6h,該水池的蓄水量如留丙所示，則下列說法正確的有（）

，,進水量/m3

?！竔時間/：

甲乙內

A.Oh到3h只進水不出水

B.3h到4h不進水只出水

C.3h到4h有一個進水口關閉

D.4h到6h不進水不出水

8.（25-26高一上?河北滄州?期末）（多選）某企業生產一種機器的固定成本為0.5萬元，但每生產100臺時又需可變

成本0.25萬元，市場對此商品的年需求量為500臺，銷售收入函數為R（x）=5x-g/（萬元）其中不是產品

的年產最（單位：百臺），則下列說法正確的是（）

A.利潤N表示為年產量％的函數為=-0.5x2+4.75x-0.5（0<^<5）

345

B.當年產量為475臺時企業所得的利潤最大，為三萬元

C.當年產量0.11WxW48（單位：百臺）時，企業不虧本

D.企業不虧本的最大年產量為500臺

9.（25-26高三下?四川成都?開學考試）（多選）某地區為研究森林中某種鳥類的種群數量變化，使用公式:

丹=6#+幻"第>-1）來研究種群數量的變化趨勢，其中2為最終預測數量，月為初始數量，攵為種群數量的年增長

率，〃為預測的年數，則（）

A.當％c（T,。），則這期間種群數呈下降趨勢

B.當Aw（0,l）,則這期間種群數呈下降趨勢

C.若初始數量用=10。。，年增長率為左=0.03,則2年后預測種群數量約為1061

D.若初始數量4=3000,年增長率為A=-0.02,則2年后預測種群數量約為2991

10.（2D26?河南南陽?模擬預測）（多選）在物理學中，聲音的強弱叫做響度，單位為宋（sone）,響度級為響度的相

對量，它反映了人耳依據聲壓和頻率對聲音做出的主觀響度感受，單位為方（phon）,實驗發現，響度級LN與響度

S的關系式為lgS=0.0301x（LV—40）,則（）（參考數據：1g2*0.301）

A.響度級每增加10方，響度約增加一倍B.響度級為40方，響度為1宋

C.當響度為2宋時，響度級約為45方D.當響度為8宋時，響度級約為70方

11.（2026.河北秦皇島.模擬預測）（多選〉地震震級根據地震儀記錄的地震波振幅來測定，一般采用里氏震級標準.

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里氏震級的計算公式為M=lg與（其中常數4是距震中100公里處接收到的0級地震的地震波的最大振幅，Ana、

是指我們關注的這次地震在距震中100公里處接收到的地震波的最大振幅）.地震的能量E（單位：焦耳）是指當地

震發生時，以地震波的形式放出的能量.已知E=l（）48x|（產"，其中M為地震震級.下列說法正確的是（）

A.若地震震級M增加I級，則最大振幅Anu增加到原來的10倍

B.若地震震級M增加2級，則放出的能量E增加到原來的20倍

C.若最大振幅41tx增加到原來的10倍，則放出的能量E增加到原來的1（）J歷倍

D.若最大振幅增加到原來的10（）倍，則放出的能量E也增加到原來的1（）（）倍

12.（25-26高一上?四川攀枝花?期末）（多選）某實驗室監測一種放射性物質的濃度衰減規律，其濃度c（單位：mg/L）

與時間/（單位：天）的關系為c=（2>0,為常數），己知該物質初始濃度1=0時）為8mg/L,3天后

濃度降至lmg/L,則（）

A.a=2

B.該物質濃度減少50%需要花1天時間

C.5天后該物質濃度會低于0.2mg/L

D.設該物質濃度降至4mg/L、2mg/L,0.5mg/L對應的時間分另］為乙、q、4，則G=2億f）

13.（25-26高三下?江西撫州?月考）（多選）僦是氫的同位素之一，它的原子核帶有放射性，會發生衰變.若樣本中

負的質景N隨時間，（單位：年）的衰變規律滿足關系式％=乂）?2一品，其中乂表示旅原有的質景，則（）

（參考數據：愴2。0.301）

A.經過24.86年后，樣本中的家會全部消失

B.樣本中氽的半衰期（放射性物質質量衰減一半所用的時間稱作半衰期）為12.43年

C.經過74.58年后，樣本中的瓶的質量變為原來的!

D.若x年后，樣本中瓶的質量為0.4N。，則.”17

14.（25-26高一上?廣東廣州?期末）（多選）某元素的原子核帶有放射性，會發生衰變.若樣本中該元素的質量N隨

時間，（單位：年）的衰變規律滿足關系式義=做,.2-忌，其中M表示該元素原有的質量，則下列說法正確的有（）

（參考數據：國2弋0.301）

A.經過24.86年后，樣本中的該元素會全部消失

B.樣本中該元素的半衰期（放射性物質質量衰減一半所用時間稱作半衰期）為12.43年

C.經過62.15年后，樣本中的該元素的質量變為原來的士

D.若x年后，樣本中該元素的質量為0.4N。，則工<17

15.（2026?北京海淀,二模）某環?；饡纳鷳B修復專項賬戶有資金2000萬元.基金會制定了如下使用方案：在

第〃年開始時，若賬戶中的資金超過10萬元，則在該年將賬戶中的一半資金投入使用；若賬戶中的資金不超過10

萬元，則在該年將賬戶中的全部資金投入使用，修復:項目在該年結頁.按上述使用方案，第4年投入使用的資金為

萬元，該修復項目將在笫年結束.

16.（25-26高二下?河南南陽?月考）小琴3月8日用分期付款的方式購買一件商品，商品價格為220。元，購買當天

支付200元，當年4月開始算分期付款的第一個月，每月的8日還款一次，月利率為0.5%.25個月還清.每次還款

數額相同,按復:利計息，則每月還款金額為7匕.（最后結果保留4位有效數字，參考數據：（1+0.5%）25aLi33）

17.（25-26高三下?上海?月考）自然界中，大多數生物存在著世代重疊現象，它們在生活史中會持續不斷地繁殖后

代，且有時不同的世代能在同一時間進行繁殖.假定某類生物的生長發育不受密度制約時，其增長符合模型：

N⑺二乂/，其中乂為種群起始個體數量，r為增長系數，N⑺為，時刻的種群個體數量.當f=?時，種群個體數

量是起始個體數量的2倍.若N（4）=150,則/V（IO）=.

18.（25-26高一卜??安徽?開學考試）某科研團隊研發了一種新型光催化降解污染物材料，實驗發現，其降解效率/⑺

20（1-2.5^）,0<z<3

（單位：mg/g）隨光照時間/（單位：/力變化的關系式為/（，）=&.若/=1時降解效率為12mg/g,

17+5x22,/>3

則/=4時降解效率為mg/g.

19.（25-26高二下?上海?期中）某體育公園欲建連片的羽毛球館若干間，用200萬元購買土地15000平方米.該公園

每間球館的建設面枳為1500平方米，球館的總建筑面枳的每平方米平均建設費用與球館數有關：當建*間球館時，

每平方米的平均建設費用（單位：元）可近似用/（1）=100。（1+；1?。荼硎?為了使該球館每平方米的綜合費用最省

（綜合費用是建設費用與購地費用之和），該體育公園應建幾個球館？

20.（25-26高二下?重慶萬州?期中）已知甲、乙兩地的距離是100km,按交通法規規定,甲、乙兩地之間的公路車

速應限制在0?120km/h,統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y（升）關于行駛速度x（千米

13

/小時）的函數解析式可以表示為：y=

128000oO

（1）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？

⑵當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

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2.12函數模型及其應用

題知識清單

1.三種函數模型的增長差異

y=a\a>{)y=log,A(?>l)y=kr(k>0)

在(0,+8)上的增減性增函數增函數增函數

隨X增大逐漸近隨X增大逐漸近似與X軸平

圖象的變化趨勢保持固定增長速度

似與y軸平行行

y=a\a>\)：隨著x的增大，y增長速度越來越快，會遠遠大于)，=心4>0)

增長速度

的增長速度，丁=1。8/(公>1)的增長速度越來越慢

增長結果存在一個XO,當x>xo時，有">kx>k)g,/

2.常見的函數模型

函數模型函數解析式

一次函數模型f(x)=ax-\-b(a,b為常數,〃W0)

二次函數模型fix)=a^?-\-bx-\-c{a,b,c為常數,GWO)

指數函數模型/U)=/?d+cm,b,c為常數,。>()且1,bWO)

對數函數模型/(x)=/?logax+c(a,byc為常數,a>0且aW1,/?W0)

事函數模型f(x)=ax,,-\-b(a,b,n為常數,〃W0)

考點一利用二次函數模型解決實際問題

考點二分段函數模型的應用

考點三分式型函數模型的應用

考點四指數函數模型的應用

考點五對數函數模型的應用

考點六幕函數模型的應用

考點七建立函數模型解決實際問題

考點

考點一二次函數模型的應用

I.（25-26高二下?上海?期中）某公園有一一塊如圖所示的區域。AC6,該場地由線段Q4、OB、AC及曲線段BC圍

成.經測量，ZAOB=90°,3=08=100米，曲線3c是以08為對稱軸的拋物線的一部分，點。到04、08的距

離都是50米現擬在該區域建設一個矩形游樂場。行加工其中點。在曲桂段AC上，點E,F分別在線段。4,OA上，

且該游樂場最短邊長不低于30米.設=x米，游樂場的面積為S平方米.

（1）試建立平面直角坐標系，求曲線段8C的方程；

⑵求面積S關于x的函數解析式S=/（x）,并計算面積S的最大值（結果精確到0.01）.

【答案】（1）），=-0.02丁+100（044450）

,、L（-0.02x2+100）,30<A<50

⑵/xX）、，：2721.66.

x（-x+100）,50<x<70

【分析】（1）以。為坐標原點，。4、。8所在直線分別為x軸、），軸，然后根據題意求解析式即可；

（2）分別求出/）在不同線段上的解析式，然后計算面積；在不同情況計算最大值，然后比較兩個最大值就可以得

到面積最大值.

【詳解】（1）以。為坐標原點，QA、。8所在直線分別為x軸、），軸，

建立平面直角坐標系.如圖所示，則A[100,0）,C（50,50）,8（0,100）.

設曲線段BC所在拋物線的方程為），=?+〃（〃<（））

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由題意可知，點8（0,100）和0（50,50）在此拋物線上，

故a=-0.02,Z?=l00

所以曲線段BC的方程為：產-0.02A-+100（0<x<50）

（2）由題意，線段AC的方程為），=-x+100（50Wx<100）.

當點。在曲線段8c上時，5=x（-0.02x2+100）（30<X<50）.

當點D在線段AC上時，5=A（-A+1（X））（50<A<70）.

x(-0.02.r2+100),30<%<50

所以〃力二

x(-x+IOO),5O<x^7O

當30?x<50時，/(力=-0.061+100,令-0.()6./+1()0=0,

得,=學?竽（舍去）.

3。學時,華,50時，r(x)<0.

當xe當

因此當T時,/50761000076曰山曰曰.廿

S=/----------是極大值，也是取大怛

當50vxK70時，f(x)=-(X-50)2+25(X)

當x=50時，S=/(5O)=25OO是最大值,

因為50<x《70,所以無最大值，

所以當工=亞色時，S取得最大值，最大值為幽逃。2721.66.

39

2.（25-26高一上?上海奉賢?期末）某小區要建造一個直徑為16m的圓形噴水池，并在池的周邊靠近水面的位置安

裝一圈噴水頭使噴出的水柱在離池中心點3m的地方達到最高高度4m,各方向噴來的水柱在池中心上方點匯合（如

下圖）.

過水池的中心任取一個豎直截面，如圖所示.根據力學的原理，噴出的水柱軌跡應為一條拋物線，此拋物線上任何

一個點弗池中心的水平距離與其所處的高度之間是對應的.建立如右下圖所示的直角坐標系.則池中心。與匯合點

H之間的距離OH=m.

【答案】—

【分析】由題意設出二次函數的頂點式，代入/(8)=0即可求解..

【詳解】由題意得y軸右側圖象為二次函數的一部分，頂點為(3,4),

可設二次函數頂點式/(x)=〃(x-3)2+4,

44，

且/(8)=25〃+4=0,解得°=_去，則/@)=_卜_3)~+4,

則阿=/(0)=裝64

3.(25-26高一上?山西忻州?期末)某AI公司為提高經濟效益，大力進行新產品研發，現計劃投入100萬元，全部

用于甲、乙兩種產品的研發，每種產品至少要投入10萬元，對市場進行調研分析后發現，甲產品的利潤P,乙產

107^+45(10<6/<27),

品的利潤。與研發投入。(單位：萬元)分別滿足P=800(?=t/+35(10<?<90),設甲產品

-----+130(27<〃490),

。+1

的投入為x(單位：萬元)，兩種產品的總利潤為f(x)(單位：萬元).

⑴求Ax)的表達式；

(2)試問如何安排甲、乙兩種產品的研發投入，才能使總利潤最大，最大利潤是多少萬元？

105/X^T-X+180,10<X<27

【答案】(l)/(x)={800

-------x+265,27<x<90

x+1

(2)甲投入27.3萬元,乙投入72.7萬元時,利潤最大是209.4萬元

【分析】(1)根據題意，分情況列出關系式，寫成分段函數形式即可：

(2)分情況求出各段的最大值，利用換元法結合二次函數的性質、基本不等式計算最值并比較即可.

【詳解】(1)甲產品的投入為x(單位：萬元)，則乙產品的投入為l(X)-x(單位：萬元)，

則乙產品的利潤Q=(1(X)-幻+35=135-x

當10《X427時，P=10x/r^+45,

所以/(K)=10A/^T+45+(135—X)=K)V^T—X+180,

當27VxM90時，P=一駕+130,

x+l

3,堡i\800s八/…、800

所以/|x)=-----+130+(135-x)=-------x+265,