2026高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-直線與圓

第1講直線與圓

—探究真題明確方向?

1.(2025?天津,T12)已知小叼-6=0與x軸交于點(diǎn)4,與/軸交于點(diǎn)5,與(.什1)2+什-3)2=/(/>0)交于C,。兩

點(diǎn)，［48|=3|。|,則尸.

2.(2024?全國甲卷，理T12)已知b是a,c的等差中項(xiàng)，直線分助"c=0與圓N+儼+48=0交于48兩點(diǎn),

則|力8|的最小值為()

A.lB.2C.4D.2V5

3.(2023?新課標(biāo)H卷，T15)已知直線x-〃/1=0與OC：(x-l)2+V=4交于48兩點(diǎn)，寫出滿足“△力6C面積

為的m的一個(gè)值為.

4.(2023?新課標(biāo)I卷，T6)過點(diǎn)(0,-2)與圓/+y_4x-l=0相切的兩條直線的夾角為a,則sina等于()

A.lB.半C.平D.平

444

5.(2025?全國I卷,T7)已知圓爐+62)2=*。>0)上到直線產(chǎn)苗x+2的距離為1的點(diǎn)有且僅有兩個(gè),則r的取

值范圍是()

A.(0,1)B.(l,3)

C.(3,+8)D.(0,+8)

6.(多選)(2021?新高考全國I卷，T11)已知點(diǎn)尸在圓X5)2心5產(chǎn)16上，點(diǎn)4(4,0),5(0,2),則()

A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于10B點(diǎn)P到直線AB的距離大于2

C.當(dāng)NP44最小時(shí)，|尸冽=3&D.當(dāng)最大時(shí)，|P8|=3&

命題熱度：

本講是歷年高考命題常考的內(nèi)容，屬于中低檔題目，主要以選擇題或填空題的形式進(jìn)行考查，分值約為

5~6分.

考查方向：

一是直線的方程、兩直線的位置關(guān)系、距離問題；二是圓的方程，主要考查圓的方程的求解以及幾何性質(zhì)

的應(yīng)用；三是直線和圓的位置關(guān)系，主要考查位置關(guān)系的判斷，由位置關(guān)系求解參數(shù)的值或范圍，由弦長、

半徑和圓心距引發(fā)解三角形是重點(diǎn)；四是圓與圓的位置關(guān)系，主要考查位置關(guān)系的判斷和公共弦等相關(guān)問

題.

1.答案2

解析由題意得直線人x-y+6=0與x軸交于力(-6,0),與y軸交于8(0,6),

所以M8|=?62+62=6五,則|CQ|=2四,

圓(工+1)2+8-3)2=戶的半徑為廣，圓心(-1,3)到直線x-y+6=0的距離為由二與|3L、泛，t^\CD\=2Vr2—d2

解得尸2(負(fù)值舍去).

2.答案C

解析因?yàn)槿耸莔e的等差中項(xiàng)，

所以28=。+c,c=2b-a,

代入直線方程ax+by+c=0得ax+by-2b-a=0,

即a(x-1)+Z>(y+2)=0,

令得憂工

故直線恒過(1,?2),設(shè)尸(1,?2),

圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得X2+0H-2)2=5,

設(shè)圓心為C,畫出直線與圓的圖形，如圖，

由圖可知，當(dāng)尸C_L48時(shí)，|力用最小，

又|PC|=1,\AQ=yfS,

此時(shí)M8|=2MQ=2j|4C|2一|PC|2

=2V5—1=4.

3.答案2(2,-2,I，一加任意一個(gè)皆可以)

解析設(shè)直線x-〃沙+1=0為直線/,點(diǎn)。到直線/的距離為4,由弦長公式得|』8|=2>/4—

1O

所以S3寸dx2V4^d2-,

解得,江等或『普，

又2

Vl+m2Vl+m2,

所以系考或春岑,

vl+m25Vl+m25

解得加=±|或〃?=±2.

4.答案B

所以回心到/(0,-2)的距離為J(2—0)2+(0+2)2=2夜,

由于圓心與4(0,?2)的連線平分N8力C,

所以出總金備孥，

所以cosZ.BAC=\?2sin左號(hào)幺-*0,

所以N84C為鈍角，且/A4C+a=T,

所以sina=sinZBAC=V1—cos2/-BAC=^-.

4

5.答案B

解析由題意，在圓/+&42)2=戶(》0)中，圓心為E(0,-2),半徑為尸,

故由圖可知，

當(dāng)尸1時(shí)，

圓/+&+2)2=/&>())上有且僅有1個(gè)點(diǎn)(4點(diǎn))到直線y=^3x+2的距離等于1；

當(dāng)尸3時(shí)，

圓爐+什+2)2=/(尸>0)上有且僅有3個(gè)點(diǎn)(&C,。點(diǎn))到直線產(chǎn)存+2的距離等于1,

則當(dāng)r的取值范圍為(1,3)時(shí)，

圓/+8+2)2=產(chǎn)(/>0)上有且僅有2個(gè)點(diǎn)到直線產(chǎn)VIr+2的距離等于1.

6.答案ACD

解析設(shè)圓("5)2+05)2=16的圓心為“(5,5),由題易知直線48的方程為*1,即X+2.F-4=0,則圓心M

到直線的距離*等”關(guān)>4,所以直線48與圓M相離，所以點(diǎn)P到直線48的距離的最大值為

4+d=4+?,4+?<5+Fp=10,故A正確.

v5v5yj5

易知點(diǎn)P到直線力"的距離的最小值為d-4=&4,A=-4</^p-4=l,故B不正確.

v5V5y5

過點(diǎn)B作圓A7的兩條切線，切點(diǎn)分別為M。，如圖所示，連接MMM。，則當(dāng)/P84最小時(shí)，點(diǎn)

P與N重合,|P"=J|M8|2—|MN|2=j52+(5—2)2—42=3衣,當(dāng)NP4力最大時(shí)，點(diǎn)尸與0重合，|「用=3

V2,故C,D都正確.

考點(diǎn)一直線、圓的方程

例1(1)(多選)下列說法正確的是()

A.已知直線x+y-a=O與直線3x-a尹3=0平行，則它們之間的距離是遮

B.“a=-l"是“直線〃2工6+1=0與直線》-砂-2=0互相垂直”的充要條件

C.當(dāng)點(diǎn)P(3,2)到直線〃?x/l-2〃?=0的距離最大時(shí)，〃?的值為-1

D.已知直線/過定點(diǎn)P(l,0),且與以力(2,-3),4(-3,-2)為端點(diǎn)的線段有交點(diǎn)，則直線，的斜率左的取

值范圍是(一8,?3]0l，+00)

答案ACD

解析對(duì)于A,直線x+y-a=O與直線3x-砂+3=0平行，貝U1X(-〃)-3=0,解得。=-3,

直線3.什3盧3=0,即x+y+1=0,

則直線x+)H-3=0與直線x+y>+1=0的距離為一V5,選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B,由兩直線互相垂直得，^2X1+(-1)X(-a)=0,解得。=?1或折0,可知“。=?1”是兩直線垂直的充分

不必要條件，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,將直線方程變形為加(x-2)+l?y=0,

由tl-y=0,何ty=l,

則直線m?/1?2〃?=0過定點(diǎn)0(2,1),斜率為加，

當(dāng)直線〃?x-yH-2〃7=O與PQ垂直時(shí)，點(diǎn)P(3,2)到直線〃?x-八1-2機(jī)=0的距離最大，

因?yàn)椋?尸-1，選項(xiàng)c正確；

對(duì)于D,如圖，kp,4=2-1="，

-2-01

由圖可知，當(dāng)左2：或kW-3時(shí)，直線/與線段/A有交點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確.

(2)(多選)(2025?咸陽模擬)已知圓。的方程為小+產(chǎn)8工+12=0,點(diǎn)M(X。，)，0)是圓C上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)

原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.圓C的半徑為2

B.滿足QM=5.5的點(diǎn)〃有兩個(gè)

C.x0+2y0的最大值為4+2而

D.若點(diǎn)2在x軸上，則使10M=2/M恒成立的點(diǎn)P有兩個(gè)

答案ABC

解析對(duì)于A,圓的方程可化為(*4)2+產(chǎn)=4,所以圓心C(4,0),半徑為2,故A正確；

對(duì)于B,由于|OC|=4,所以圓。上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離是4+2=6,

最小距離是4?2=2,因此滿足|OM|=5.5的點(diǎn)M有兩個(gè)，故B正確；

對(duì)于C,令沏+2乂)=J則劭=卜2加所以M(f-2yo，泗)，

將點(diǎn)口(卜2%，心)代入圓。的方程并整理，

2

得5yMi6-4/>0+(/-8/+12)=0,

依題意有J-(16-4/)2-20(Z2-8/+12)^0,即28/-4W0,

解得4-2VSW/W4+2通，

因此干+2%的最大值為4+2代，故C正確；

對(duì)于D,不妨設(shè)P(m0),由于|OM|=2|PM|,

所以+疥2卜0->)2+端

整理得說+羽-尊0片=0.

因?yàn)辄c(diǎn)M(*o,泗)在圓。上，

所以焉+%-8%()+12=0,

則俘_8b。+(12_豹=0,

因?yàn)楸葹辄c(diǎn)M的橫坐標(biāo)，且點(diǎn)M為圓C上任意一點(diǎn)，

停—8=0,

所以;2T=。,

解得片3,所以符合要求的點(diǎn)尸是唯一的，故D錯(cuò)誤.

［規(guī)律方法］(1)解決直線方程問題的三個(gè)注意點(diǎn)

①利用小82-42坊=0后，要注意代人檢駿，排除兩條直線重合的可能性.

②要注意直線方程每種形式的局限性.

③討論兩直線的位競(jìng)關(guān)系時(shí)，要注意直線的斜率是否存在.

(2)解決圓的方程問題一般有兩種方法

①幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位嵬關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程.

②代數(shù)法：用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù).

跟蹤演練1(1)(多選)已知直線/：產(chǎn)依'+2h3,則下列說法正瑜的是()

A.直線/恒過定點(diǎn)(-2,-3)

B.若直線/在x軸上的截距為1,則

C.若直線/與直線2r+y-l=0垂直，則k=-^

D.若則直線/的傾斜角的取值范圍為槨，n)

答案AB

解析直線/：尸Ax+2h3=4(x+2)-3,令x+2=0,即x=-2,得尸-3,

所以直線/恒過定點(diǎn)(?2,?3),故A正確；

若直線/在x軸上的截距為1,則直線/過點(diǎn)(1,0),代入直線/的方程得0=什2〃-3,

解得上1,故B正確；

若直線/與直線2x+y-l=0垂直，貝株X(-2)=-l,解得舊，故C錯(cuò)誤；

設(shè)直線/的傾斜角為仇則仁anOeVl

又0￡[0,兀)，所以由正切函數(shù)的單調(diào)性可知0￡七，以，故D錯(cuò)誤.

(2)(2025江西四月適應(yīng)性聯(lián)考)與直線嚴(yán)察，和直線尸瓜都相切且圓心在第一象限，圓心到原點(diǎn)的距

離為左的圓的方程為.

答案1)2+61)2上滬

解析設(shè)圓心坐標(biāo)為(。，6)(。>0,4>0),

由于所求圓與直線產(chǎn)務(wù)和直線廠都相切，

|V3a-3Z)|_|V3a—Z)|

改歷^二樂A

化簡得。2=〃，而4>O,b>0,則。心

又圓心到原點(diǎn)的距離為遮，即a2+b2=2,

解得口=8=1,即圓心坐標(biāo)為(1,1),

則半徑為I需匚*1,

故所求圓的方程為(X-1)2+01)22咨.

考點(diǎn)二直線、圓的位置關(guān)系

考向1直線與圓的位置關(guān)系

例2(多選)(2025?石家莊模擬)已知直線/：x+ay-3=0與圓C：/+y_81+6＞16=0,則下列說法正確的是

()

A.當(dāng)a=2時(shí)，直線/與圓。相交

B.若直線/與圓C相切，則

C.圓C上一點(diǎn)2到直線/的最大距離為V1U+3

D.若圓C上恰好有三個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為2,則

答案AC

解析當(dāng)〃-2時(shí)，直線/：A-i2y-3-0,圓C的方程可化為(片4)，1813)~9,

陵、

所以國心C(4,?3),半徑尸3,

則圓心C到直線/的距離4=吟言戶=屋3,

vl2+22

所以直線/與圓。相交，故A正確；

因?yàn)橹本€/與圓C相切，所以圓心。到直線/的距離d=^^3,解得kg,故B錯(cuò)誤；

因?yàn)橹本€/恒過定點(diǎn)(3,0),

所以國心C到直線/的最大距離為J(3—4"+(0+3)2=/詬,

則圓C上一點(diǎn)P到直線/的最大距離為舊+尸/而+3,故C正確；

因?yàn)閳D。上恰好有三個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為2,

所以圓心C到直線/的距離解得斫。或1故D錯(cuò)誤.

考向2圓與圓的位置關(guān)系

例3(多選)(2025?銅仁模擬)已知圓G：刀2+3+2)2=4,圓G：x2+^2-4jH-a=0＞則下列說法正確的是

()

A.?＜4

B.若片0,則圓G與圓。2有且僅有1個(gè)公共點(diǎn)

C.若圓G與圓G的公共弦長為4,則。=-16

D.當(dāng)a=?32時(shí)，若動(dòng)圓“與圓G外切，同時(shí)與圓G內(nèi)切，網(wǎng)點(diǎn)”的軌跡方程為41O

答案ABC

解析對(duì)于圓G：/+產(chǎn)4y+。=0,

轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程/+0，-2)2=4-4,

因?yàn)榘霃綖?=云＞0,所以。＜4,A正確；

若。=0,圓G：/十(y+2)2=4,

圓心C|(0,-2),半徑后=2,

22

圓C2：x+(y-2)=4,

圓心C2(0,2),半徑尸2=2,

兩圓心間的距離|%。2|=|—2—2|=4=勺+/2，則兩圓外切，

所以兩圓有且僅有1個(gè)公共點(diǎn)，B正確；

若圓G與圓。2的公共弦長為4,因?yàn)閳AG的直徑為4,

所以公共弦為圓G的直徑，即兩圓的公共弦所在的直線過圓G的圓心(0,-2),

由侈;，上0,兩式相減可得8k0，

將(0,-2)代入8y-4=0得。=-16,C正確；

當(dāng)a=-32時(shí)，圓G：/+&-2)2=36,

圓心。2(0,2),半徑，2=6,

圓G：/+s+2)2=4,圓心G(。，?2),半徑門=2.

設(shè)動(dòng)圖"的半徑為火,因?yàn)閯?dòng)圓“與圓G外切，同時(shí)與圓G內(nèi)切，

則|MQ|=R+2,|MC2|=6-/?,

所以|MCI|+|MC2|=8＞|CIC2|=4,

根據(jù)橢圓的定義可知點(diǎn)M的軌跡是以G(0,-2),C2(0,2)為焦點(diǎn)的橢圓，且2a=8,2c=4,

可得口=4,c=2,/=/_/=16-4=12,

故其軌跡方程為儒=l(yW-4),D錯(cuò)誤.

［規(guī)律方法］(1)與圓的弦長有關(guān)的問題常用幾何法，即利用圓的半徑廣，圓心到直線的距離乙及半弦長

構(gòu)成直角三角形的三邊，利用其關(guān)系來處理.

(2)兩圓相交公共弦的方程可通過兩圓的方程相減求得，進(jìn)而在一個(gè)圓內(nèi)，利用垂徑定理求公共弦長.

跟蹤演練2⑴Q025?湖南名校聯(lián)合體模擬)己知直線/：尸公伙＜0)與圓C：9+產(chǎn)2x+4尸■］=()相交于

M,N兩點(diǎn)，其中點(diǎn)。為圓心，若Ov/MCNW等則4的取值范圍為()

4啜0)0)

C.(-CO,尋D.(_8,

答案B

解析x2+j^-2x4-4y+1=0化為(x-1)2+(y+2)2=4,

所以國心C(l,-2),半徑為2.

0v/MGVW￥=l<dv2,

其中d為圓心C到直線/的距離.

因?yàn)?修，

所以1W黑＜2,

因?yàn)镵O,所以［WAvQ

(2)已知圓C：(*4)2+53)2=1和兩點(diǎn)力(-〃7,0),B(m,0)(〃40).若圓。上存在點(diǎn)P,使得N4P8=90。，

則m的最人值為.

答案6

解析以48為直徑的圓O的方程為工2+y=”?2,圓心為原點(diǎn)，半徑為尸[=加，

圓C：(x?4)2+(y-3)2=l的圓心為(4,3),半徑為廠2=1.

要使國。上存在點(diǎn)P,使得N/P8=90。，則圓O與圓。有公共點(diǎn)，

所以

即|”1|W，42+32W|M+1|,

\m-1|<5,

所以|m+l|Z5,解得4WmW6,

m>0,

所以m的最大值為6.

考點(diǎn)三隱圓

例4(1)已知點(diǎn)4(-3,0),8(3,0),若圓。田+1)2+8?如2)2=1上存在點(diǎn)“滿足拓?麗=?5,則實(shí)數(shù)a的

值不可能為()

A.2B.lC.OD.-2

答案A

解析設(shè)M(x,歹)，因?yàn)镸4MB=-5,M4=(-3-x,-y),MB=(3-x,-y),

所以海?麗=(-3-x)(3-x)+(-y)2=x2_9+y=-5,即

所以點(diǎn)M的軌跡是圓，方程為/+產(chǎn)=4.

由題意知，圓x2+)^=4與圓(x-a+1)2+什/-2)2=1有公共點(diǎn)，

所以2-1WJ(a—1尸十(a十2/W2+1,解得-2WaWl,故A不滿足題意.

(2)(多選)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)0(0,0),尸(3,0)的距離的比為發(fā)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C,貝lj()

A.動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為a+l)2+y2=4

B.直線x?y+2=0與曲線。交于力，8兩點(diǎn)，則|4B|的長為半

C.曲線C與曲線。：。-1)2+川=4的公切線有2條

D.已知點(diǎn)E(-l,1),點(diǎn)N為曲線C上任意一點(diǎn)，則2|NOHNE|的最大值為g

答案ACD

解析設(shè)M(x,y),由船可得者金：，

化簡得X2+/+2X-3=0,即(x+1)2+產(chǎn)4.

故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x+l)2+jP=4,A正確；

(x+iy+)a=4的圓心為(-1,0),半徑為r=2,

所以國心到直線叼汁2=0的距離"上詈臂，

所以IAB[=2?2-d2=2」4-吳舊,B錯(cuò)誤；

曲線。的圓心為(1,0),半徑為2,

因?yàn)閮?nèi)圓心間的距離為J(1+I)+0』2,大于半徑差小于半徑和，所以兩個(gè)圓是相交關(guān)系，所以公切線

有2條，C正確；

由題意得動(dòng)點(diǎn)N與點(diǎn)。(0,0),點(diǎn)尸(3,0)的距離的比為今所以2|NO|-|NE|=|NP|-|NE|W|PE|=g,D正

確.

[規(guī)律方法]發(fā)現(xiàn)隱圓的主要方法

(1)由定義可以判斷(動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為定值).

(2)由兩定點(diǎn)〃，動(dòng)點(diǎn)〃滿足萬彳而f是常數(shù))，求出點(diǎn)〃的枕跡方程確定圓.

(3)由兩定點(diǎn)B,動(dòng)點(diǎn)尸滿足|P/F+|P砰是定值確定圓.

(4)由兩定點(diǎn)4B,動(dòng)點(diǎn)尸滿足除處＞0且無W1)確定圓(阿波羅尼斯圓).

跟蹤演練3(多選)在平面直角坐標(biāo)系中，存在三點(diǎn)4(-1,0),8(1,0),C(0,7),動(dòng)點(diǎn)P滿足|以|=近

\PB\,則()

A.點(diǎn)P的軌跡方程為(無-3)2+儼=8

B.當(dāng)△以片面積最大時(shí)，|尸,4|=2①

C.當(dāng)NP44最大時(shí)，|尸/|=2通

D.點(diǎn)P到直線力。距離的最小值為警

答案ABD

解析設(shè)P(x,y),

由|P4|=V2|P5|得|P*2=2|。|2,

即(X+I)2+W=2[(X-1)2+P2],

化簡得(23)2+y=8,

即點(diǎn)P的軌跡方程為(x-3)2+y2=8,A正確；

???直線48過圓。-3)2+儼=8的圓心，

???點(diǎn)P到直線48的距離的最大值為圓(*3)2+產(chǎn)=8的半徑八即為2vL

丁|46|=2,

/.APAB的面積最大為2X2義2V2=2V2,

此時(shí)P(3,±2偽,

A|PJ|=1(3+1)2+(2V2)2=2V6,B正確；

當(dāng)/尸48最大時(shí)，

則PA為圓(*3)2+產(chǎn)=8的切線，

/.|PJ|=V(3+1)2-8=2V2,C錯(cuò)誤；

直線NC的方程為7代戶7-0,

則圓心(3,0)到直線4c的距離為哼若

???點(diǎn)P到直線4c距離的最小值為嚕26專，D正確.

專題強(qiáng)化練

［分值：85分］

一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共40分)

1.(2025?烏魯木齊適應(yīng)性檢測(cè))直線/：2r+3y-1=0的一個(gè)方向向量為()

A.(3,2)R(3,-2)

C.(2,3)D,(2,-3)

答案B

解析由直線方程為2x+3y-l=0,則(3,-2)是直線的一個(gè)方向向量.

2.(2025?新余模擬)已知直線("?+1月3VH=0與直線4//町汁1=0平行，則m的值為()

A.3B.-4

C.3或-4D.3或4

答案B

解析由題意得1)-12=m2+m-\2=(/n+4)(/n-3)=0,可得m=-4或m=3,

當(dāng)片-4時(shí)，直線3x-3y-l=O與直線4.r-4y+l=0平行，符合題意；

當(dāng)〃7=3時(shí)，直線4x+3yH=0與直線4x+3yH=0重合，不符合題意；

〃?=-4.

3.(2025?紹興模擬)直線x=2被圓QM)2+(y-2)2=5截得的弦長為()

A.2B.4C.2V3D.2V5

答案B

解析圓。-1)2+6，-2)2=5的圓心為(1,2),半徑尸而，

又圓心(1,2)到直線x=2的距離"=|2—1|=1,

所以弦長為2"2_#=2］(遮)2_12=4.

4.(2025?佛山質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C：與吟L1的周長為()

A.12B.14C.I6D.20

答案D

解析曲線C：WL1等價(jià)于

*O

>or>o

X—X

-:

O-O

y>或1y<

x-y_x-y

-+-11--

43一4-3

Z

/X<oX<

-，-o,

l>o

或

y或yV

，o,

<--X-

(x+-y1-y

一-

K-43-43

r

lX>o

-

燈O

其

表

>示M

-y

+-1(40)和(0.3)為端點(diǎn)的線段.

任3

其長度為同理可得，其他線段的長度均為5,

所以由線C：臀L1的周長為4X5=20.

ID

5.(2025?包頭模擬)若(/2尸+0汁1戶2,則上產(chǎn)的最小值為()

A.-1B.0C.1D.2

答案B

解析令如，力又咪爭L

令—L4,整理得kx-y-\=0,

由題意可得嗡整理得后《0,解得

所以故審1的最小值為0.

6.(2025?寧波模擬)已知點(diǎn)A/(m0),NQ，3)到同一直線的距離分別為2,3,若這樣的直線恰有2條，則。

的取值范圍為(

A.(-2,0)B.(-2,6)

C.(0,6)D.(2,6)

答案B

解析以M(Q,0)為圓心，2為半徑的圓為(x-a)2+>2=4,

以M2,3)為圓心,3為半徑的圓為(x-2)2+&-3)2=9,

若符合題意的直線恰有2條，則上述兩圓相交，

而|MM=J(2-a)2+9,

所以lv|MN|<5,即l<J(2—a)2+9<5,

可得l<(2-a)2+9<25,

所以-4〈2-〃v4,解得-2q<6.

2

7.(2025?安慶模擬)已知點(diǎn)P在圓(x—|)+產(chǎn)江，力(-2,0),;W(1,1),則§PA|+|PM|的最小值為(

)

A.lB.V2C.2V2D.V10

答案B

解析設(shè)P(x,歷，B(a,0),hPA\=\PB\.

?5

則Q+2)2+y2=J(x_Q)2+y2,

整理得再廣竿x+空0,

已知點(diǎn)尸的軌跡方程展開整理得/土產(chǎn)-5/4=0,

——=5,

則93-4_4解得。=2,所以8(2,0).

所以如卻+|PM=|P6|+|PMN|M8|=J(2—1)2+(0-1尸=近，

當(dāng)P在線段上時(shí)等號(hào)成立，所以新川+IPM的最小值為反

8.(2025?沈陽模擬)函數(shù)外)萼工+62-8%+25(0Wx<4)的最小值為()

A.4B.苧C.乎D.5

答案c

解析因?yàn)楱D)聾x+d(x-4)2+(3—0)2,

當(dāng)產(chǎn)0時(shí)，犬0)=5；

當(dāng)0<xW4時(shí)，如圖所示.

設(shè)P(x,3),C(0,3),4(4,0),/PCB=45。,PB1CB于點(diǎn)、B,

則./(x)=|PC|sin/PC8+|P川=|P8|+|P川，

由圖可知，\PB\+|PA|的最小值為點(diǎn)A到直線AC的距離d.

易知直線8c的方程為y=x+3,

即x->+3=0,

|4-。+31_7/<

所以人Vl2+(-l)2~~2

故/(X)的最小值為竽.

二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共18分)

9.(2025?濰坊模擬)已知點(diǎn)P(2,2),圓C爐+產(chǎn)18,則()

A.點(diǎn)P在圓。內(nèi)

B.點(diǎn)P與圓。上的點(diǎn)之間的最大距離為6立

C.以點(diǎn)P為中點(diǎn)的弦所在直線的方程為x+y-4=0

D.過點(diǎn)P的直線被圓C截得弦長的最小值為VTU

答案AC

解析對(duì)于A,因?yàn)?2+22=8<18,所以點(diǎn)P在圓C內(nèi)，故A正確；

對(duì)于B,由|PC|=>22+22=2魚,圓C的半徑尸3VL

知點(diǎn)P與圓C上的點(diǎn)之間的最大距離為2&+3夜=5無，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由％PL^

可知以點(diǎn)，為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為Q-1,故以點(diǎn)P為中點(diǎn)的弦所在直線的方程為y-2=-(x-2),即

x+)，-4=0,故C正確；

對(duì)于D,由圓的性質(zhì)可知，當(dāng)PC與過點(diǎn)P的弦垂直時(shí)，所得弦長最短，此時(shí)弦長為2〃2一附|2=2

V18—8=2V10,故D錯(cuò)誤.

10.下列說法錯(cuò)誤的是()

A."Q=?1"是"直線x-qv+3=0與直線ax?yH=0互相垂直”的充要條件

B.直線xcosa-yH=0的傾斜角。的雙值范圍是[。，總口仁，n)

C.若圓G：x2+^2-6x+4y+12=0與圓G：x^y2-14x-2p+t?=0有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則。=34

D.若直線/過點(diǎn)M(?2,3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線/的方程為x+尸1

答案ACD

解析對(duì)于A,當(dāng)。=-1時(shí)，直線x+jH~3=0與直線*尸4=0互相平行，

即“k-1”不是“直線x-砂+3=0與直線仆-尹1=0互相垂直”的充要條件，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由直線xcosa-尸"3=0的傾斜角。滿足tanQcosaa[-l,1],

因?yàn)閱杘,兀)，可得或%。(兀，所以柒上，界u吃,TT),所以B正確;

對(duì)于C,圓G：xj產(chǎn)^/卬+葭巾的圓心為G(3,-2),半徑r=l,

2

圓C2：x^y-14x-2>H-?=0的圓心為G(7,1),半徑R=，50—a(a<50),

因?yàn)楸麍A有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則兩圓外切或內(nèi)切，

則7(3-7)2+(-2-1)2=5=I+V50^或J(3—7)+(—2—1)2=5=|1-V50^H|,

解得q=34或a=14,所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由直線/過點(diǎn)M(?2,3),

當(dāng)直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且不為0時(shí)，設(shè)直線/的方程為洛1,

可得等鼻1,解得。=1,此時(shí)直線方程為x+尸1;

當(dāng)直線/過原點(diǎn)時(shí)，滿足在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，此時(shí)直線/的方程為)=浜，所以D錯(cuò)誤.

11.(2025?渭南質(zhì)檢)設(shè)直線系A(chǔ)/：xcos火(y-2)sing3(0W興2兀)，則下列四個(gè)命題為真命題的是()

A.M中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)

B.存在定點(diǎn)P不在M中的任一條直線上

CM中的直線所能圍成的正三角形面積都相等

D.對(duì)于任意整數(shù)〃(〃力3),存在正〃邊形，其所有邊均在〃中的直線.上

答案BD

解析對(duì)于A,令憂羿,裔詡

消去。可得￡+&-2)2=9,圓心(0,2)到直線系M中每條直線的距離d-后/荷3=「,

故直線系M表示圓F+62)2=9的切線的集合，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,對(duì)任意仇存在定點(diǎn)(0,2)不在直線系"中的任一條直線上，故B正確;

對(duì)于C,直線系W中的直線所能圍成的正三角形邊長不一定相等，故面積也不一定相等，如圖中的等邊

△48C和等邊故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由于圓/+什_2)2=9的外切正〃邊形(〃23),其所有邊均在直線系〃中的直線上，故D正確.

三、填空題(每小題5分，共15分)

12.(2025?安徽A10聯(lián)盟質(zhì)檢)已知圓C：/+產(chǎn)/心4=0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線六產(chǎn)3=0對(duì)稱，則圓C的半徑

為.

答案V13

解析因?yàn)閳A上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線/y-3=0對(duì)稱，所以直線x-y-3=0過圓心(三，0),

從而￡-3=0,解得〃1=6,

則圓C的方程為(*3)2+產(chǎn)=13,

故圓。的半徑為

13.(2025?紅河州、文山州、普洱市、臨滄市檢測(cè))已知直線/：阿什〃尸3(心0,心0),若直線/被圓工什產(chǎn)2片

2)=0所截得的弦長為2VL則〃〃7的最大值為.

答案!

解析因?yàn)閳A(x-1)2+(y-1)2=2的半徑r=V2,

圓心(1,1),直線/被圓所截得的總長為2位，

所以圓心(1,1)在直線上，即m+〃=3,

又因?yàn)椤ā?<(巴廣)

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

Q

所以mn的最大值為工.

14.(2025?齊魯名校聯(lián)考)已知三個(gè)正數(shù)小廠2,A構(gòu)成公比為［(1>1)的等比數(shù)列，圓G：(x-n)2+/=r?

(/=1,2,3),過圓C3上一點(diǎn)P分別作圓G，。2的切線，切點(diǎn)分別為。，R，若黑巖，則4=.

11VI乙

答案3

解析不妨設(shè)尸1=1,廠2=夕，〃3=必，

則三個(gè)圓心分別為C。,0),G(,0),。3(寸，0),

根據(jù)勾股定理得|PQ|2=|PC]|2?1,|PR|2=|Pg|2-/,

所以Ml]—亡一

勿口|PQ|2IPCJ2-14,

因?yàn)辄c(diǎn)尸在圓（x—q2）2+y2=/上,

故可設(shè)點(diǎn)P（夕2cos。+q2,（72sin8）,其中OWTT,

川?（q2cos8+q2_q）2+（q2sin6）2_q2_m

_

人」（q2Cos0+q2-i）2+（q2sin0）2-i4*

瑟理ZEJ2q3（qT）（l+cos6）；3

罡主付2q2（q2_i）（i+cos。）二？

即言產(chǎn)!，解得4=3.

IB思維創(chuàng)新,、

（每小題6分，共12分）

15.（多選）（2025?新余模擬）數(shù)學(xué)之美，古來共談.如圖甲，在平面直角坐標(biāo)系中有OO：N+y=1與x軸分別交

于4B兩點(diǎn),尸為。0上的動(dòng)點(diǎn)，以力產(chǎn)為直徑的。￡的位置隨尸點(diǎn)位置的變化而變化，當(dāng)P點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)

過一周時(shí)，掃過的區(qū)域是圖乙所示的美麗的“心形”（記作M）,則下列說法正確的是（）

A.若NPAB4則OE與x軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)為（?1,0）和0）

B.圖乙中”內(nèi)的點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的最大值為1.25

C.若以。為圓心的圓可以完全覆蓋區(qū)域M,則該圓的半徑最小為人2

2

D.圖乙中加與），軸的公共部分上的點(diǎn)到x軸距離的最大值為