2026高考物理模型講義：豎直面內的圓周運動模型（原卷版）

2026版高考物理培優模型

專題09豎直面內的圓周運動模型

目錄

一.一般圓周運動的動力學分析..............................................................1

二.豎直面內“繩、桿（單、雙軌道）”模型對比分析...........................................1

三.豎直面內圓周運動常見問題與二級結論...................................................2

三.過拱凹形橋模型.........................................................................14

一,一般圓周運動的動力學分析

如圖所示，做圓周運動的物體，所受合外力與速度成一般夾角時，可將合外力沿速度和垂直速度分解，則

由牛頓第二定律，有：

Fn=fnan,an改變速度v的方向，an=—

r

作一般曲線運動的物體，處理軌跡線上某一點的動力學時，可允以該點附近的一小段曲線為圓周的一部分

作曲率圓，然后即可按一般圓周運動動力學處理。

P

二,豎直面內“繩、桿（單、雙軌道）”模型對比分析

輕繩模型（沒有支撐）輕桿模型（有支撐）

常見

類型

巳1-

過最高點的臨由〃吆得V臨=Ngr由小球能運動即可得V（8=0

界條件對應最低點速度v^>y[5gr

對應最低點速度v低NJ而

繩不松不脫軌

V侖4薪或V低w不脫軌

條件

F低-mg=mv?2/rF低-〃?g=mvn2/r

最低點彈力

F^=mg+nivK2/r,向上拉力F低=〃?g+"“低2/〃向上拉力

(1)當v=0時，FN=mg，尸N為向上支持力

(2)當0(口<或％寸，一廠N十〃比二以：，君N向上

過最高點時，歸\/還，&+〃吆=〃5繩、

2支持力，隨V的增大而減小

最高點彈力軌道對球產生彈力心=*-/咫

(3)當i，=詼時，FN=0

向下壓力

(4)當時，FN+"Ig=，嚀,FM為向下壓力

并隨v的增大而增大

在最高X

點的R

取豎直向下為正方向

圖線取豎直向下為正方向

三.豎直面內圓周運動常見問題與二級結論

【問題1】一個小球沿一豎直放置的光滑圓軌道內側做完整的圓周運動，軌道的最高點記為A和最低點記

為C,與原點等高的位置記為B。圓周的半徑為

要使小球做完整的圓周運動，當在最高點A的向心力恰好等于重力時，由工可得u二廊①

R

對應C點的速度有機械能守恒

〃ig2R=-mv1--得vc=15gR②

當小球在C點時給小球一個水平向左的速度若小球恰能到達與0點等高的D位置則由機械能守恒

mgR=-得匕.=J2gH③

小結：(1).當匕.>j5gR時小球能通過最高點A小球在A點受軌道向內的支持力

2

由牛頓第二定律FA+mg="22④

(2).當匕=，頻時小球恰能通過最高點A小球在A點受軌道的支持力為0

由牛頓第二定律mg⑤

R

(3).3J2gH<匕.<45gR時小球不能通過最高點A小球在八點，上升至DA圓弧間的某一位向右做斜拋運

動離開圓周，旦】，越大離開的位置越高，離開時軌道的支持力為0

v2h

在DA段射重力與半徑方向的夾角為e則〃?gcos。=m—、cos。=—

AR

(4).當Ov匕<J荻時小球不能通過最高點A上升至C。圓弧的某一位置速度減為0之后沿圓弧返回。上

升的最高點為C永不脫離軌道

【問題2］常見幾種情況卜.物體受軌道的作用力

⑴從最高點A點靜止釋放的小球到達最低點C：由機械能守恒〃吆2A=

在C點由牛頓運動定律：Fv-mg=得Ev=5mg⑥

R

(2)從與O等高的D點(四分之一圓弧)處靜止釋放到達最低點C：由機械能守恒mgR=-mvl

在C點由牛頓運動定律：F-mg=〃t±得Fv=⑦

NR

(3)從A點以初速度唳=釋放小球到達最低點

由機械能守恒mg2R=-mvc--mv\

在C點由牛頓運動定律：FN-mg=m-^得Ev=6/〃g⑧

1.(2025?廣西柳州?模擬預測)如圖為一小朋友在一個空心水泥管里玩"踢球游戲，將該過程簡化為豎直面

內半徑為廣的固定圓環，在圓環的最低點有一質量為機的小球，現給小球一水平向右的瞬時速度打小球沿

圓環內側運動，重力加速度為g,不計小球與圓環間的摩擦。下列說法正確的是()

A.若丫=2>/^7,小球可以通過圓環最高點

B.若u=2?7,小球在最低點對圓環壓力大小為4〃7g

C.若-=廊，小球脫離圓環的位置與圓心的連線與水平方向夾角的正弦值為。

D.若i，=胸，小球脫離圓環的位置與圓心的連線與水平方向夾角的正弦值為:

2.（2024.山東泰安?模擬預測）如圖所示，光滑圓環軌道豎直固定放置，軌道半徑為七一小球從最低點以

水平速度如沿軌道運動，在某位置脫離軌道后，恰好經過圓環軌道的圓心。已知重力加速度為g,不計空

氣阻力，則血的大小為（）

A.gG)gRB.?2+BgR

C.<(4-揚冰D.出-BgR

3.（2024.貴州?三模）某人站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質量為1kg的小球，

甩動手腕，使球在豎直平面內以手為圓心做圓周運動，其簡化示意圖如下。握繩的手離地面高度為1.0m且

保持不變，現不斷改變繩長使球重復上述運動，每次繩在球運動到最低點時都恰好達到最大拉力被拉斷，

球以繩斷時的速度水平飛出，通過水平距離x后落地。己知繩能承受的最大拉力為15N,重力加速度大小取

lOm/s?,忽略手的運動半徑和空氣阻力，則x的最大值為（）

A.0.4mB.0.5mC.1.0mD.1.2m

4.（2024?河北邯鄲?模擬預測）蕩秋千是一項古老的休閑體育運動。如圖所示，李明同學某次蕩秋千時，。、

A兩點分別為其運動過程中的最低點和最高點，A到。的過程中，李明的身體姿勢保持不變。已知李明和座

椅的總質量為加，兩根平行的秋千繩長均為L,A點時繩子與豎直方向的夾角為仇重力加速度大小為g,

空氣阻力和繩的質量忽略不計。下列說法正確的是（）

A.在A位置時，該同學速度為0,處于平衡狀態

B.在。位置時，該同學處于失重狀態

C.在A位置時，每根秋千繩的拉力大小為加geos。

3

D.在。位置時，每根秋千繩的拉力大小約為8咫-〃吆cose

5.如圖所示，不可伸長的輕質細繩一端固定在。點，另一端拴住一個小球（視為質點）。在。點正下方一

半純長的地方有一枚與豎直平面垂直的釘子A,把小球拉起使細繩在水平方向伸直，由靜止開始釋放小球,

當細繩碰到釘子后的瞬間（細繩未斷）（）

A.小球的角速度增大到碰釘子前瞬間角速度的2倍

B.細繩對小球的拉力突然減小

C.小球的線速度突然增大到碰釘子前瞬間線速度的2倍

D.細繩對小球的拉力增大到碰釘子前瞬間拉力的2倍

6.如圖所示，用一根輕繩系著一個可視為質點的小球，輕繩的長度為乙最初小球靜止在圓軌跡的最低點

4點，現在A點給小球一個初速度如，使其在豎直平面內沿逆時針方向做圓周運動，已知8點與圓心。等

高，。點是圓軌跡的最高點，重力加速度為g。不計一切阻力，下列說法正確的是（）

A

A.小球做的是勻變速曲線運動

B.若要使得小球做完整的圓周運動，小球運動到C點的速度至少是歷

C.若小球無法做完整的圓周運動，則小球可能在C點脫離圓軌跡

D.若小球無法做完整的圓周運動，則小球可能在B點和。點之間的某一點脫離圓軌跡

7.如圖甲所示，陀螺可在圓軌道外側旋轉而不脫落，好像軌道對它施加了魔法，被稱為“魔力陀螺”，它可

等效為圖乙所示的模型，豎直固定的磁性圓軌道半徑為R,質量為，〃的質點沿軌道外側做完整的圓周運動,

A、C兩點分別為軌道的最高點與最低點，仄。兩點與軌道圓心等高，質點受到始終指向圓心、大小恒為

2〃?g的磁性引力作用，不計摩擦和空氣阻力，重力加速度大小為g,下列說法正確的是（）

A.若質點經過A點時的速度大小為"我,則此時質點受到凱道的彈力大小為〃吆

B.若質點經過8點時的速度大小為歷,則此時質點受到凱道的彈力大小為mg

C.若質點經過C點時的速度大小為廊,則此時質點受到軌道的彈力大小為2/郎

D.若質點經過。點時的速度大小為廊,則此時質點受到軌道的彈力大小為2〃名

8.如圖甲所示，輕桿一端固定在。點，另一端固定一小球，現讓小球在豎直平面內做半徑為R的圓周運動。

小球運動到最高點時，桿與小球間彈力大小為乙，小球在最高點時的速度大小為已其外-，圖像如圖乙

所示，重力加速度g取lOm/s2,小球可視為質點，不計一切阻力。則下列說法正確的是（）

A.小球的質量為2kg

B.小球做圓周運動的半徑為2.5m

C.5=2i，：時，在最高點桿對小球的彈力大小為40N

D.聲=片時?，小球的向心加速度大小為lom/s?

9.（多選）（2024.河北?三模）如圖所示，在豎直平面內有一固定光滑軌道，其中4B是長度為R的水平軌道，

BCDE是圓心為0、半徑為R的;圓弧軌道，兩軌道相切于3點。一可視為質點的小球從4點以某速度％（大

4

小未知）水平向左運動，重力加速度大小為g。下列說法正確的是（）

B.當%=血浜時，小球不會脫離圓弧軌道

C.若小球能通過七點，則％越大，小球在B點與E點所受的彈力之差越大

D.小球從E點運動到A點的最長時間為（6-G）《

10.（多選）（2024?山東?模擬預測）如圖所示，一輕繩系一質量為小小球，豎直懸掛在。點，現將小球沿圓

弧拉至與0等高的A點，由靜止自由釋放。小球運動過程中經過。點時，繩與輕直方向的夾角為以下

判斷正確的是（）

A.小球下擺到最低點的過程中，重力平均功率為0,細繩拉力一直增大

B.小球運動至C點時，其加速度大小為gsina

C.小球運動至C點時，輕繩對小球的拉力大小為3〃吆cosa

D.若小球經過C點時重力功率最大，則cosa=@

3

11.（多選）如圖甲所示，長為力輕繩一端固定在。點，另一端全一小球。在小球靜止時給小球一個瞬時速

度打此時輕繩拉力為心，鳥--圖像如圖乙所示。已知重力加速度g取lOmH,小球可視為質點，不計一

切阻力。下列說法正確的是（）

A.小球的質量為1kg

B.小球做圓周運動的半徑為1.0m

C.當F=25m，s2時，小球能做完整的圓周運動

D.當?=30m2/s2時，小球通過最高點時受到輕繩拉力的大小為10N

12.（多選）如圖，光滑管形固定圓軌道半徑為A（管徑遠小于R）,小球〃、人大小相同，質量均為〃?，其

直徑略小于管徑，能在管中無摩擦運動。兩球先后以相同速度u通過軌道最低點，且當小球〃在最低點時,

小球〃在最高點，以下說法正確的是（）

v

A.速度i，應滿足v>2闞，才能使兩球在管內做圓周運動

B.當丫=腐時，小球〃在軌道最高點對軌道無壓力

C.當小球匕在最高點對軌道無壓力時，小球〃比小球匕所需向心力大5/咫

D.只要口>，5gR，小球。對軌道最低點的壓力比小球b對軌道最高點的壓力大6mg

13.（多選）如圖所示，有一豎直放置、內壁光滑的圓環，可視為質點的小球在豎直平面內做圓周運動，已

知圓環的半徑為R,重力加速度為g,小球在最低點Q的速度為%,不計空氣阻力，則（）

Q

A.小球運動到最低點。時，處于超重狀態

B.小球的速度0。越大，則在P、Q兩點小球對圓環內壁的壓力差越大

C.當%二離無時，小球在。點受內壁壓力為”普

D.當%時，小球一定能通過最高點2

14.（多選）如圖所示，傾角45。的光滑軌道4B和水平軌道BC平滑相連，右側是光滑的半圓軌道CDE,半

徑R=0.4m°一可視為質點的質量為〃?=0.2kg的滑塊從軌道48上高度兒處由靜止釋放。滑塊與8c間的動

摩擦因數〃=0.5,重力加速度g取10m/s2,滑塊恰好能通過最高點E之后，恰好落到8點。下列選項中正確

的是（）

A

A.水平軌道8C的長度為0.8m

B.滑塊釋放點的高度為加=L0m

C.如果增加釋放點的高度加，滑塊有可能垂直打到斜面上

D.如果將釋放點的高度調整為％=（）.8m,滑塊在半圓軌道CDE上運動過程中有可能脫離軌道

15.（多選）如圖所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道內做圓周運動，管道半徑為R,小球半徑為r,R遠

大干r,且「略小于管道內徑，重力加速度為取則下列說法正確的是（）

A.小球通過最高點時的最小速度喙m=。

B.小球通過最高點時的最小速度％廊

C.小球在水平線"以下的管道中運動時，內側管壁對小球?定無作用力

D.小球在水平線"以上的管道中運動時，外側管壁對小球一定無作用力

16.（2024.北京海淀.二模）如圖所示，不可伸長的輕繩一端固定在距離水平地面高為〃的。點，另一端系

有質量為機，可視為質點的小球，將小球拉至。點正上方的A點，給其一水平方向的初速度%，使其恰好

通過A點后，在豎直平面內以。點為圓心做半徑為，?的圓周運劭。當小球運動到最低點8時，繩恰好被拉

斷，小球水平飛出。不計空氣阻力及繩斷時的能量損失，重力加速度為g。求：

（1）小球初速度的大小％。

（2）繩能承受拉力的最大值4。

17.（2024?湖南?模擬預測）如圖所示，豎直平面內的光滑軌道由兩部分拼接而成，其中MNP為半徑/?=：m

4

半圓弧軌道，PQ為半徑r=lm的;圓軌道，將質量，〃=Q3kg的小球A從"點正上方的某點由靜止釋放，

4

小球無碰撞地從點進入軌道后，與靜止在軌道最低點N處的小球B發十師性正碰，小球A反彈后恰好能

回到M點，小球B沿軌道運動到Q點水平飛出后又恰好經過“點。兩小球均可視為質點，不計空氣阻力,

取重力加速度大小g=IOm/s2,求：

（1）兩小球碰撞后小球B的速度大小viV

（2）小球B經過。點時對軌道的壓力大小心。

18.（2024.遼寧大連?二模）如圖所示，豎直平面內的軌道由直軌道48和半圓弧軌道BC平滑連接組成，C

點為半圓弧軌道最高點。小球從直軌道上的4點由靜止開始滑下,A點距軌道最低點的豎直高度為力=2.6m,

滑到軌道底端后又滑上半徑為R=0.4m的半圓弧軌道（不考慮經過連接處的速率變化），小球質量為

m=0.2kg。（^=10m/s2）

（1）若接觸面均光滑，求小球滑到。點時速度和對軌道的壓力。

（2）若接觸面不光滑，小球運動到C點時對軌道的壓力為1N,求全過程中克服摩擦力做的功。

19.如圖所示，半徑為R的光滑圓形軌道固定在豎直平面內，。為圓心、。、b、c、4為圓形軌道上的點，

其中ac為豎直直徑，人與圓心等高，d和圓心的連線與水平方向的夾角為45。。一小球靜止在圓形軌道底端

〃點，某時刻小球獲得一個水丫：向右的瞬時初速度%（未知），已知重力加速度為g,?可答下列問題：

(1)若使小球運動過程中不脫離軌道，求小球的初速度%的范圍；

(2)若小球在d點脫軌，求小球的初速度％；

(3)以d點為坐標原點，水平方向為x軸(向右為正)，豎直方向為S軸(向上為正)建立平面直角坐標系。

若小球仍在〃點脫軌，求小球脫離軌道后的運動軌跡方程。

20.如圖所示，光滑豎直圓軌道ABC。與光滑的水平軌道平滑連援，圓弧軌道4、。為最低點，位置稍錯開。

輕質彈簧左側與墻面拴接，右側與物塊不拴接。已知物塊的質量為，〃=lkg,物塊將彈簧壓縮后，使彈簧儲

存的彈性勢能5=50J。解除彈簧鎖定，物塊被彈出后進入圓軌道。已知物塊可以看做質點，不計空氣阻力,

月取lOm/s?。求:

(1)物塊離開彈簧時的速度大小%;

(2)為保證物塊在運動中不脫離軌道，求圓軌道半徑R的取值范圍。

21.某校科技小組參加了如圖所示的軌道游戲項目，圖中P為彈性發射裝置，48為傾角為。=37。的傾斜軌

道，8c為水平軌道，CDC為豎直圓軌道，CE為足夠長的傾斜曲線軌道，各段軌道均平滑連接，AB.BC

段動摩擦因數為〃=05,其余各段軌道均光滑。已知滑塊質量為m=O/kg,圓軌道半徑/?大小可以調整，

軌道A8長為Im,8c長為1.2m,彈射裝置P把滑塊以％為4mzs速度水平彈出，恰好從A點沿斜面方向無

2

碰撞進入斜面，滑塊可視為質點。(sin370=0.6,cos370=0.8,g5Z10m/s)

(2)花滑塊從A點進入軌道后運動不脫離軌道，圓軌道半徑R應滿足的條件。

22.如圖所示，長為L不可伸長的輕繩一端固定于。點，另一端系有質量為的小球(可視為質點)，使小

球在豎直平面內以。點為圓心做圓周運動。已知重力加速度為g，忽略空氣阻力的影響。

A

J

\!/

'、：/

J」一J

B

(1)若小球經過圓周最高點A點時繩對小球的拉力大小F,求：小球經過圓周最高點4點時速度大小〃；

(2)加大小球的速度后，在最低點輕繩恰好被小球拉斷，小球立即做平拋運動，落地點與8點之間的水平距

離s,8點距水平地面的高度為力(圖中未畫出)，求：

a小球經過圓周最低點B點時速度大小也;

。.輕繩能承受的最大拉力為4。

23.如圖所示，質量m=lkg的小物塊靜置在粗糙的水平平臺的A點，在大小為3N的恒力作用下，從平臺

的B點以3m/s的速度水平飛出，恰好從C點無碰撞的進入半徑為R的光滑圓形軌道。已知C*是圓形軌道

的一條直徑，從F點到軌道的最高點是一個光滑圓管，NEOF=37。，小物塊與平臺的動摩擦因數4=04，

⑵求4C兩點間的高度差；

(3)若小物塊能夠進入圓管，試分析軌道半徑R的取值范圍。

24.如圖所示，豎直平面內的;圓弧形光滑管道半徑略大于小球半徑，管道中心到圓心距離為R,人端與圓

心。等高，AD為水平面，8端在O的正下方，小球自A點正上方由靜止釋放，自由下落至A點時進入

管道

o

3

(1)如果管道與小球接觸的內側壁(圖中較小的;圓周)始終對小球沒有彈力，小球釋放點距離A點的最小

4

高度為多大？

(2)如果小球到達8點時，管壁對小球的彈力大小為小球重力大小的9倍。求：

a.小球運動到管道最高點E時對管道的彈力；

b.落點。與A的水平距離。

三.過拱凹形橋模型

1.(多選)資料顯示，質量為ISxlO'kg的某型號小汽車，其輪胎的最大承重為3.0X1CTN,超過該值將會

爆胎。某次汽車以30m/s的速度勻速通過一段凸凹不平的路面時，將這段路面簡化為弧形，其最高點和最

低點分別為4、B,對應圓弧的半徑，?均為150m,兩圓弧的圓心連線。02與豎直方向間的夾角為30。，取

g=10m/s2,則汽車()

A.從A點到A點的過程中重力做功約為2.25xl（）6j

B.通過最高點A時對路面的壓力為6000N

C.通過最低點3時不會爆胎

D.若以38m/s的速度勻速通過該路段時，不會脫離路面

2.如圖所示，一光滑絕緣的半圓柱體固定在水平地面上，其橫截面是半徑為R