高一數學 第一課時 平面與平面垂直的判定

8.6.3平面與平面垂直

第一課時平面與平面垂直的判定

課標要求1.理解二面角的有關概念，會作二面角的平面角，能求簡單二面角的

平面角的大小.2.借助長方體，通過直觀感知，歸納出平面與平面垂直的判定定理,

并加以證明.3.會應用平面與平面垂直的判定定理注明平面與平面垂直.

【引入】觀察任何一個長方體，可以發現長方體的任何兩個相鄰的面都給我們以

相互垂直的形象.我們知道，兩條直線互相垂直，是說它們的夾角是直角，一條直

線與一個平面相互垂直，那么線面角為直角.由此可以猜測，兩個平面相互垂直,

那么這兩個平面的夾角也應該是直角.

一、二面角

探究1如圖，在日常生活中，我們常說“把門開大一些”.

(1)“把門開大一些”是指哪個角大一些？

提示門所在的平面與墻所在的平面形成的角大一些.

(2)用圖中的ZAOB能刻畫門與墻所成角的大小嗎？

提示能.

【知識梳理】

1.二面角的概念

|半平面：平面內的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常

概稱為半平面.

念從一條直線出發的兩個生土面所組成的圖形叫做二面角，這條

直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面

圖

示

1

棱為/，面分別為G,4的二面箱記為紇上￡.如圖所示，也可在

記

a，夕內（棱以外的半平面部分）分別取點P,Q，將這個二面角記

法

作二面角PT-O

2.二面角的平面兒的概念

在二面角。一/一夕的棱/上任取一點0,以點。為垂足，在

文字半平面。和夕內分別作垂直于棱/的射線0A和0B,則射

線0A和0B構成的NA0B叫做二面角的平面角

un

圖示

平

面

0AQ,OB}?n/?=/,0日,OAL,OB11ZAOB

角符號

是二面角的平面角

范圍()OWNAO8W18()。

二面角的大小可以用它的平面角來度量,二面角的平面角是

規定多少度，就說這個二面角是多少度.平面角是直魚的二面角

叫做直二面角

溫馨提示二面角的平面角的定義是兩條“射線”的夾角，不是兩條直線的夾角，

因此，二面角的取值范圍是（）°W〃W180。.

例1如圖所示，已知三棱錐A—8CD的各棱長均為2,求二面角A—C。一。的平

面角的余弦值.

解如圖，取的中點M,連接AM,BM,

A

則AM_LC。，BM上CD.

由二面角的定義可知NAMB為二面角A—CO—B的平面角.

設點H是△BCD的中心,連接AH,

則A”_L平面BCQ,且點方在線段上.

在RtZkAM/7中，AM=^X2=#,

乙

HM=^X2x1=^,

JJJ

HM卓?

則co*/AMB=^=^=g,

即所求二面角的平面角的余弦值為去

思維升華求二面角的平面角的大小的步驟：

(1)作：作出平面角，一般在交線上找一特殊點，分別在兩個半平面內向交線作垂

線.

(2)證：證明所作的角滿足定義，并指出二面角的平面向.

(3)求：將作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大小.

(4)結論.

訓練1如圖，已知四邊形A8CO是正方形，以，平面ABCD

(1)二面角B-PA-D的平面角的大小為

(2)二面角區一雨一。的平面角的大小為.

答案(1)90。(2)45°

解析（1）：%_L平面48CO,48,AD平面ABCQ,

：.ABA-PAfADVPA,

???NBAD為二面角8一%一。的平面角.

又由題意知N84O=90。，

???二面角B一辦一。的平面角的大小為90°.

(2)'.?%J_平面ABCQ,A&AC平面A8CZ),

：.AB1.PA7ACLPA,

???/84。為二面角B—以一C的平面角.

又四邊形ABC。為正方形，

???N84C=45。，

故二面角8一以一。的平面角的大小是45。.

二、平面與平面垂直的定義與判定定理

探究2建筑工人在砌墻時，泥水匠為了保證墻面與地面垂直，常常在較高處固定

一條端點系有鉛錘的線，再沿著該線砌墻，如圖，這樣就能保證墻面與地面垂直.

(1)由上述可知當直線與平面垂直時，過此直線可作無數個平面，那么這些平面與

已知平面有何關系？

⑵若要判斷兩平面是否垂直，根據上述問題能否得出一個方法？

提示(1)垂直.

(2)可以，只需在一平面內找一直線垂直于另一平面即可.

【知識梳理】

1.平面與平面垂直

(1)定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面魚，就說這兩

個平面互相垂直.平面。與平面//垂直，記作：皿.

(2)畫法：如圖，畫兩個互相垂直的平面時，通常把表示平面的兩個平行四邊形的

一組邊畫成垂直.

2.兩平面垂直的判定定理

自然語言圖形語言符號語言

如果一個平面過另一個平面〃ua,al.￡=

一1

的垂線，那么這兩個平面垂直。_1_￡

溫馨提示判定定理的關鍵詞是“過另一平面的垂線”，所以應用的關鍵是在平

面內尋找另一個面的垂線.

例2（鏈接教材P158例7）如圖所示，在K方體AbCO-AibiCiOi中,A6=AO=1,

AAi=2tM是棱CG的中點.證明：平面平面

證明由長方體的性質可知AWi_L平面

又.BM平面BCCiB,所以

又CG=2,M為CG的中點，

所以CiM=CM=l.

在中，BiM=qBiG+MG=?

同理BM=7BC?+CM2=?

又88=2,所以8|知2+8M2=3山2,從而8MJ_8M.

又451nBM=3i,AIBI,B\M平面AIHIM,

所以8M_L平面

因為3M平面A3M,

所以平面平面A\B\M.

思維升華1.證明面面垂直主要有兩種方法：

（1）面面垂直的定義，（2）面面垂直的判定定理.

2.利用面面垂直的判定定理：要證面面垂直，只需證線面垂直，即在其中一個平

面內尋找一條直線與另一個平面垂直.這是證明面面垂直的常用方法，其基本步驟:

（定4路卜分析題意,根據題H條件選擇證明哪個平

面的垂線

（汕線向H恰'［選擇方法證明紋面垂直

（證向向H根據血血垂直的判定定理證明］

訓練2如圖，在三棱錐A-8CO中，點E,“分別為AC,A。的中點，AO_LC。,

BA=8D.求證：平面EF8_L平面ABD.

證明在△ACO中，因為區尸分別是AC,AO的中點，所以EF〃CD,

又A3_LC。，所以E/LAD,

因為在△AB。中，BA=BD,/為4。的中點，所以

因為EF平面EFB,BF平面EFB,

且所以AO_L平面EM,

因為A。平面ABD,所以平面EFB_L平面4BD

三、平面與平面垂直條件的探求

例3（鏈接教材PI65T21）如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面ABC。為菱形，N84。

=60。，側面△以。為等邊三角形.

⑴求證:ADLPBx

⑵若E為6c1邊上的中點，能否在棱尸C上找到一點尸，使平面。M_L平面A6C。?

并證明你的結論.

⑴證明設G為AO的中點，連接PG,BG,如圖.

因為△辦。為等邊三角形，所以尸G_LAD

在菱形ABC。中，ND4B=60。，

G為4。的中點，所以BGJ_AD

又因為BGCPG=G,BG,PG平面PGB,

所以AO_L平面PGB,

因為08平面PGB,所以AO_L尸及

⑵解當尸為PC的中點時，滿足平面。平面A8CD

證明如下：

如圖，設b為PC的中點，連接OF,EF,DE,

則在△PBC中，EF//PB,從而EF〃平面PGB.

在菱形A8c。中，GB〃DE,

從而。石〃平面PGB,

而EF平面OEF,DE平面。EEEFC\DE=E,

所以平面。石尸〃平面PGB.

由(1),得AOJ_平面PGB,而AQ平面ABC。，所以平面PGBJ_平面ABC。，

所以平面。所_1_平面ABCD.

思維升華根據條件，找特殊點的位置，然后利用面面垂直的判定定理證明面面

垂直.

訓練3如圖所示，在四棱錐P-ABC。中，底面ABCQ,且底面各邊都相等，

M是PC上的一動點，當點M滿足______時，平面平面尸CD(只要填寫一

個你認為是正確的條件即可)

答案3M_LPC（或BMLPC等）

解析連接AC,由題意得8D_LAC,

;弘，平面45c。，30u平面A3CD,

：.PALBD.

又陽門AC=A,

???BQJ_平面PAC,

：.BD±PC.

：.當OM_LPC（或BA/1P0時，即有PC_L平面MBD,而PCu平面PCD,

???平面MBO_L平面PCD.

【課堂達標】

1.在二面角a-1-p的棱/上任取一點0,若乙4。8是二面角a-1-p的平面角，

則必須具有的條件是（）

A.A0_l_80,AOa,BOp

B.A0J_/,BOA-l

CABLLAOa,BOp

D.A0.LLBOL,且40a,BOp

答案D

解析由二面角的平面角定義，應滿足的條件為D項.

2.已知LLa,則過/與以垂直的平面（）

A.有1個B.有2個

C.有無數個D.不存在

答案C

解析由面面垂直的判定定理知，凡過/的平面都垂直于平面a,這樣的平面有

無數個.

3.對于直線/〃，〃和平面a,B，能得出a_L/?的一個條件是（）

A."7_L〃，m//a,n//P

aC°=m,na

C.m〃n,nl。,ma

D.M〃〃，mA-a,nA.fi

答案C

解析m//n,mYp,又加a,

由面面垂直的判定定理得。_L￡.

4.在正方體A5CD—Ai5iCi。中，截面A1O與底面A4C。所成的二面角A\~BD

一4的平面角的正切值為.

答案也

解析如圖，連接AC交B。于點。,

連接40,A\C.

由題可知A4i_L平面ABCDf

因為3。平面ABC。，所以A4J_3D

因為底面ABC。為正方形，所以ACJ_8D

又AAiGAC=4,所以BQ_L平面44C.

因為A0平面4AC,AiO平面4AC,

所以8QJ_A0,BDA.A\O,

所以N40A即為二面角Ai-BD-A的平面角.

在RtZ\40A中，設A4=〃，則A0=*n,

AA\a

所以tanN404=而二正=啦.

2°

------------------------課時精練----------

一、基礎鞏固

1.直線/_!_平面a,/平面尸，則。與夕的位置關系是（）

A.平行B.可能重合

C.垂直D.相交不垂直

答案C

解析由面面垂直的判定定理，得。與夕垂直.

2.（多選）下列命題正確的是（）

A.兩個相交平面組成的圖形叫做二面角

B.異面直線〃，〃分別和一個二面角的兩個面垂直，則4,〃所成的角與這個二面

角的平面角相等或互補

C.二面角的平面角是從棱上一點出發，分別在兩個面內作射線所成的角

D.二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關系

答案BD

解析由二面角的定義:從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，

所以A不對，實質上它共有四個二面角；

由4,〃分別垂直于兩個面，則4,〃都垂直于二面角的棱，故B正確；

C中所作的射線不一定垂直于二面角的棱，故C不對；

由定義知D正確.

3.自二面角內任意一點分別向兩個面引垂線，則兩垂線所成的角與二面角的平面

角的關系是（）

A.相等B.互補

C.互余D.相等或互補

答案D

解析如圖，A為二面角。一/一萬內任意一點，AB-La,AC-Lfi,

過8作8。_!_/于。，連接C。，

則N8DC為二面角a—/一4的平面角，

乙48Q=NACO=90。，

N84C為兩條垂線48與A。所成角或其補角，

IZA4-ZBDC=180°,

???當二面角的平面角為銳角或直角時，

A3與AC所成角與二面角的平面角大小相等，

當二面角的平面角為鈍角時，

與AC所成角與二面角的平面角大小互補.

4.如圖，點尸在二面角。一八5一”的棱AA上，分別在a,內引射線PM,PN,

截得PM=PN.若N3PM=NBPN=45。，NMPN=60。，則二面角1一八3一夕的平

面角的大小為（）

A.45°

C.9O0

答案C

解析過點M作MQ_LA8,交A8于點Q,

連接QN,MN,易詆4MPQQ4NPQ,

則NPQM=NPQN=90。，:?QNLAB,

則/MQN即為二面角4—AN—￡的平面角，如圖所示.

設PQ=a(a>0),

?:/QPN=NQPM=45。,

：.QN=QM=a,PN=PM=y/2a.

又?：/MPN=6U。,

???△MPN為等邊三角形，則MN=ja.

■:QM+QM?=MM,

：./MQN=90°.

5.（多選）如圖所示，在三棱錐V—A3C中，ZVAB=ZVAC=ZABC=90°,下列

結論正確的是（）

A.平面以C_L平面ABC

B.平面E4B_L平面A8C

C.平面區。，平面V8C

D.平面E4B_L平面VBC

答案ABD

解析由題設VA.LAC,且48nAe=4,，儂，平面ABC,

又四平面VABtVA平面VAC.

.??平面E4C_L平面4BC,平面％81,平面ABC,則A,B正確;

又易知儂J_BC,BCA.AB.且必GAB=A,

???BC_L平面VAB,

又BC平面V8C,從而平面口W_L平面V8C,故D正確.

6.如圖，在正方體A8CD—48G"中，二面角。］一48—。的大小為

答案45°

解析易知48_LAO,4B_LA￡h,

所以N。/。就是二面角Di-AB-C的平面角，顯然/。以。=45。,

所以二面角Di—48—C的大小為45°.

7.已知△ABC中，NB4c=90。，尸為平面ABC外一點，且見=28=PC,則平面

PBC與平面ABC的位置關系是

答案平面PBCJL平面ABC

解析因為B4=P8=PC,所以尸在△ABC所在平面上的射影必落在AABC的外

心上,

P

又RtAABC的外心為3c的中點，設為O,則PO_L平面A3C,又PO平面PBC,

所以平面P3C_L平面ABC.

8.已知三棱錐O—ABC的三個側面與底面全等，且A8=AC=S，BC=2,則二

面角D-BC-A的大小為.

答案900

解析如圖，由題意知A8=AC=BD=C7)=小，BC=AD=2.

A

取8C的中點E,連接DE,AEf

貝】」AE_LBC,DEIBC,

所以NOEA為所求二面角的平面角.

易得AE=OE=也，

又AO=2,所以。/+AE2=A》，

則NOEA=90。，故所求二面角的大小為90。.

9.在直三棱柱ABC-A向G中，AB1BC,。為棱CG上任一點.求證:

⑴直線ABi〃平面ABD；

⑵平面A8OL平面BCCB.

證明(1)由直三棱柱4BC—AIBIG,

得4B〃A8,

因為AiB平面48。，AB平面48。,

所以直線48〃平面A8D

(2)因為三棱柱ABC—A81G為直三棱柱,

所以A8_L88i.

又因為AB_LBC,BB\平面3CG5i,

BC平面BCCiBi,且8BiGBC=8,

所以ABJ_平面BCGBi.

又因為AB平面ABD,

所以平面平面BCC\B\.

10.如圖，已知N8SC=90。，N3SA=NCSA=60。，SA=SB=SC.求證：平面ABC_L

平面SBC.

證明???/8S4=NCSA=60。，SA=SB=SC,

：.△AS8和△ASC都是等邊三角形，

則SA=SB=SC=AB=AC.

則△ABC且△SBC.

又NGSC-9（尸，

???△ABC和3c都為等腰直角三角形.

如圖，取3c的中點。，連接A。，SD,

則AD_L3C,SDLBCy

??.NAOS為二面角A—8C-S的平面角.

設SA=a,在RtZkSBC中，?:SB=SC=a,

：.SD=^a,BD=^a.

在RtZ\A8￡)中，AB=a,BD=^a,

歷

則AD=2a.

在△AOS中，9：Sb1^Ab1==〃2=SA2,

???NAQS=90。，即二面角A-8C-S為直二面角,

故平面45C_L平面SBC.

二、綜合運用

II.在中國古代數學典籍《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為

“鱉嚅”.如圖，四面體是一個鱉嚅，且平面BCQ,BOJ_C。.在下

列判斷中

①COJ_平面A8Q；

③平面ACOJ_平面A8D；

@若48=3。=。。=1,點夕在棱4。上運動（不包括4,C兩點），則三棱錐4一

PBD的體積），是AP長度x的正比例函數.

判斷正確的共有（）

A.1個B.2個

C.3個D.4個

答案D

解析由A8_L平面BC。可得A8JLCO,

又BD1CD,ABQBD=By

所以C0_L平面A8Q,故①正確；

因為AO平面A3O,由①知，ADLCD.故②正確;

由COJ_平面AB。，CD平面4C￡>,

所以平面ACO_L平面430,故③正確;

過P作PE〃CD,交AD于E,

C

則PE_L平面43。，如圖所示.

因為AB=8D=CQ=1,

所以BC=NBU+CD2=?

AC=7AB?+BC2=小.

,APPE一尸x小

由恁=而，知PE=^3=3x,

所以y=VA-PBD=VP-ABD=\X^ABBDPE=TPE=-^.xf故④正確.

J乙kJ1O

12.6(,￡是兩個不同的平面，m,〃是平面。及￡之外的兩條不同直線，給出四個

論斷：

①〃?_!_〃；②1_1_夕；③〃_!_￡；④"z_La.

以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題

答案①③④②

解析將相和〃平移到一起，則確定一平面，

?；^_L0,〃zJ_a.

??.該平面與平面a和平面夕的交線也互相垂直，

從而平面。和平面夕的二面角的平面角為90。，_夕.

故答案為①③④②.

13.如圖所示，把等腰直角三角形4BC沿斜邊AB旋轉至的位置，使。。=

AC.

(2)求二面角C一8。一4的余弦值.

⑴證明取A8的中點。，連接。。，0C,則有OOJ_AB,OC1AB,即/C0Q

是二面角C—AB—。的平面角，

D

E

C

設AC—ci-,則OC=OD=2"，

又CD=AE)=ACj；?CD=a,

???△COD是直角三角形,即NCOQ=90。，

,二面角是直二面角，即平面ABO_L平面4