2025-2026學年高一數學下學期期中模擬卷（強化版）解析版

高一數學下學期期中模擬卷（人教A版）

強化版?全解全析

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證

號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：人教A版必修第二冊【平面向量+復數+立體幾何】

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知復數z=.026+2,則憶|=(

A.1B.V3C.2D.V5

【答案】D

【詳解】因為i?=-l,i3=—ij4=l,i5=i,

所以i2026_,4x506+2=j2=一1,

2+i_2+i

所以Z=

i2026+2--1+2

所以|Z|=V22+12=VS.

2.一水平放置的平面四邊形04BC的直觀圖04夕。如圖所示,其中。4=09=2,0C1K軸,ABJ.K

軸，BC〃/軸，則四邊形0/1BC的面積為（）

A.3V2B.6D.1272

2

1/16

【答案】D

【分析】結合圖形可得4夕=4,求出四邊形07T夕。面積后可得四邊形04?C的面積.

【詳解】設V軸與交點為。，

因為0C_L入軸,4BJ.X軸，

所以。（7/4方，

因為B'C'〃y’軸，

所以四邊形"，。7）為平行四邊形，

故DM=O'C=2,

又，VOy=45°,A'B'1V軸，

得DA=O'A'=2,

故AB'=4.

所以四邊形。’48C面積為32+4）X2=6,

因為四邊形。71BC面積是四邊形。4"的面積的斗，

所以四邊形。力8。的面積為12五.

3.己知兩個單位向量五，B的夾角為150。，則蒼?（百五一勵=（）

A.0B.號C.厘D.平

222

【答案】D

【詳解】依題意可得2?（占方一勵=6己2—2.石=O1ld*—同|Mcosl50。=V5xl2—1x1x（—=

3V3

4.己知。的三個內角4,B,。的對邊分別是a,b,c,A=30°,a=4,c=4K，則角C為（）

A.30°或150°B.60°或120°

C.60°D.30°

【答案】B

2/16

【分析】借助正弦定理計算可得smC=當，即可得角C.

【詳解】由正弦定理可得就=春，即有5訪。=等=嗎=當

on1/1oiiiu*a44

由C>Q,故貝IJ30。VCV150。，故C=60。或120。.

5.已知一圓臺的上底面半徑為1,高為*體積為與，則該圓臺的側面積為（）

A.爭B.苧C.等D.Sir

424

【答案】C

【詳解】設圓臺的下底面半徑為九

147

由題意知式1+r2+r）Kx-=

整理得廠2+廠-6=0,解得r=2（負值舍去），

2

設圓臺的母線長為，，M/=J（2-l）2+（1）=|,

所以該圓臺的側面積為S=n（l+2）x^=-^.

6.帆船比賽中，運動員可借助風力計測定風速的大小與方向，測出的結果在航海學中稱為視風風速.視風風

速對應的向量是真風風速對應的向量與船行風風速對應的向量之和，其中船行風風速對應的向量與船速對

應的向量大小相等、方向相反.圖1給出了部分風力等級、名稱與風速大小的對應關系.已知某帆船運動員在某

時刻測得的視風風速對應的向量與船速對應的向量如圖2所示（線段長度代表速度大小，單位：m/s）,則

該時刻的真風為（）

級數名稱風速大小（單位:m/s）

2輕風1.6?3.3

3微風3.4?5.4

4和風5.5?7.9

5勁風8.0-10.7

圖I

3/16

圖2

A.輕風B.微風C.和風D.勁風

【答案】B

【分析】根據圖象，求出視風風速對應的向量與船速對應的向量，即可得船行風風速對應的向量，由題意,

可求出真風風速對應的向量，根據求模公式，求出大小，對照表格，即可得答案.

【詳解】視風風速對應的向量，起點為（3,4）,終點為（0,3）,則向量為（—3,—1）,

船速對?應的I句量，起點為（2,0）,終點為（3,4）,則向量為（1,4）,

因為船行風風速對應的向量與船速對應的向量大小相等、方向相反，

所以船行風風速對應的向量為（-1,-4）,

由視風風速對應的向量是其風風速對應的向量與船行風風速對應的向量之和，

設真風風速對應的向量為?匕），則｛二;二;，解得

即真風風速對應的向量為（-2,3）,則真風風速大小J（一2）2+32=S叵，

因為3.42=11.56,5.42=29.16,11.56<13<29.16,

所以后￡3.4?5.4,則該時刻的真風為：微風.

7.三棱錐S-4BC中，ABA.AC,SAL^ABC,AB=AC=2,SA=3,球。是三棱錐S—/IBC的外接球,

則球。的體積是（）

A.邛%B.邛%C.誓RD.嘩%

6323

【答案】A

【分析】借助補形法可將原三棱錐補形為長方體，再求出該長方體體對角線長即可得外接球半徑，最后利

用體積公式計算即可得解.

【詳解】如圖，由題意可知，可將三棱錐S-48C補形為長、寬、高分別為2,2,3的長方體，

且三棱錐S—ABC的外接球與長方體的外接球為同一個球，

又該長方體的外接球半徑為R=弋"32=當，

4/16

則球。的體積是爭?3=苧x（亨丫=中.

8.在邊長為2的正三角形ABC的邊4B、4C上分別取M、N兩點，沿線段MN折疊三角形，使頂點A正好落在

邊8c上，則4M的長度的最小值為（）

A.B.竽C.4V3-6D.2

【答案】C

【分析】在圖（2）中，連接MP,白折疊可知AM=PM,根據等邊對等角可得4艮4P=^APM,又因為28Mp

為△/1PM的一個外角，設，區4P=心可得NBMP=2仇

再設力M=MP=x，根據正弦定理可得出關于式的關系式，結合正弦型函數的有界性可求得％的最小值.

【詳解】顯然4P兩點關于折線MN對稱，連接MP,圖（2）中，可得4M=PM,則有N84P=z4PM,

設=Z-BMP=Z.BAP+LAPM=20,再設/M=MP=x,則有MB=2—x,

在△ABC中，Z-APB=180°-^ABP-Z-BAP=120°-0,=120°-20,又4MBp=60°,

在△BMP中，山正弦定理知;^^=焉而，即而言丁=舟，:*=苧+/（^0。一2》

-.■OC<0<6O°,.-.0°<120°-20<120°,.-.^120°-20=90°,即。=15°時，sin（1200-20）=1.

此時％取得最小值舟=晉=4乃-6,貝的最小值為4K-6.

2+V3

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知為，Z2為復數，下列說法正確的是（）

A.若Z；+Z2>0,則Z；>—z2

5/16

B.Zi一藥是純虛數或零

C.若%+1|=0+1|，則Zi=Z2

D.若Z1，Z2是方程;%2—2%+5=0的兩根,則z彳+z號=一6

【答案】BD

【分析】舉例z[=4+i,z2=2-2i,判斷A；利用復數的運算法則判斷B；利用反例法判斷選項C.利用

韋達定理計算判斷選項D.

【詳解】舉例說明：若Zi=4+i,々=2—2i,則z彳=15+8i,z]=—8L>0?

但好與一z名都是虛數，不能比較大小，故A錯；

設Zi=Q+bi（a,》ER）,則zy=Q-bi,故Zi-Zi=2bi,

當七=0時是零，當bHO時，是純虛數，B正確；

令21=—2,Z2=0,滿足|Z[+11=\Z2+11?但一2H0,故Zi*Z2,

ki+1|=\z2+1|不能推出Zi=z）,故C錯誤.

已知ZM2是方程X2—2》+5=0的兩根，由韋達定理得償+第二：，

2

???21+Z2=⑵+Z2）—2Z/2=4—2X5=-6,故D正確.

10.如圖，AC為圓錐S。底面圓。的直徑，點8是圓。上異于4、C的動點，SO=2,OC=五,則下列結論正

確的是（）

B

A.圓錐S。的側面積為

B.三楂錐S一力8C體積的最大值為4

C.圓錐S。外接球的表面積為

D.若AB=BC,￡為線段88上的動點，則SE+CE的最小值為J10+4近

【答案】ACD

【分析】求出圓錐的母線長，利用圓錐的側面積公式可判斷A選項；利用基本不等式結合錐體的體積公式

可判斷B選項；易知球心在直線S。上，所以該圓錐外接球半徑即為△SAC外接圓半徑，利用正弦定理以及

球體表面積公式可判斷C選項；將△SAB、ASBC展開為一個平面，利用余弦定理可判斷D選項.

6/16

【詳解】對于A選項，圓錐S。的母線長為SC=7s02+32=72^+7=V6,

故該圓錐的側面積為ITX?X?=2技r,A對;

對「B選項，因為4c為圓錐SO底面圓。的宜徑，點B是圓。上異「力、C的動點,

所以48_L8C,由勾股定理可得力B2+8C2=4C2=8,

由基本不等式可得力B2+BC2=8>2AB-BC,故48BC<4,

當且僅當4R=RC=2時，等號成立，故=

故%-4BC=B&4BC?SOW：X2X2=$故三棱錐5-4BC體積的最大值為!B錯;

對于C選項，易知球心在直線S。上，所以該圓錐外接球半徑即為△S4C外接圓半徑,

設其外接球半徑為R,SEQC4"二亭

所以家二裝片要二？，故圓錐S°外接球的表面積為4W?2=nx(2R)2=9mC對:

對于D選項，當=時，易知A8=BC=2,將△5AB、△58C展開為一個平面，如下圖所示:

在CS/IB中，SA=SB=顯,48=2,

222

由余弦定理可得cos/SBA=SB+A3-SA6+4-6一限

2SDAD_2x>/6x2

所以sinz5b4=—cos2/SR4=J1—（半）=午5

易知ZJ18C=p故cosz?SBC=cosQ+z.SBA^=—sinz.SBA=—

由余弦定理可得SC?=SB2+BC2-2SB?BC-coszSBC=6+4-2V6x2x（一鑰=10+4。,

當點S、E、C三點共線時，SE+EC的長取最小值，且其最小值為，點+4西,D對.

11.我國南宋著名數學家秦九韶在《數書九章》中提出了已知三角形的三邊長，求三角形的面積的問題,

其求法是：“以小斜哥并大斜吊城中斜哥，余半之，自乘于上.以小斜幕乘大斜幕減上，余四約之，為實;

一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即S,現有△48C滿足

sinA:sinB:sinC=2：V7：3,且S。/?。=6K，則（）

A.△力BC三個內角4B,。滿足關系4+C=28

B.△48。的周長為10+2?

7/16

C.若乙8的角平分線與片。交于。，則8。的長為皚

D.若足為△48C外接圓上任意一點，則冠?前的最大值為14+等

【答案】ABD

【分析】對A,利用正弦定理得出三邊關系，結合余弦定理可判定；對B,由三角形面積公式計算可得三邊

長，從而判定：對C,利用三角形面積公式結合已知條件求解：對D,設2區4c二仇利用正弦定理表示出

AE,由數量積定義求出荏?公，利用正弦函數性質求解最值.

【詳解】對于A,由sin4sinB:sinC=2：A/7：3,得a:b:c=2：V7：3.

設a=2k,h=y/7k,c=3k(k>0),

由余弦定理，cosB=±又0VB<TT,所以

則4+C=IT-]—g=28,故A正確；

對于B,由SAABC=macsinB=￡x2kx3kx，=6舊，解得k=2,

所以。=4力=2夕(=6,則其底長為10+2夕，故B正確；

對于C,由=SfBD+S/D=-B0sin3O。+3BC.BDsin30°,

所以6b=16乂3/“打"4><電)乂表解得30=等，故C錯誤；

對于D,當E在優弧力。上時，設/B4C=仇0VJV-,則/。==一心

在CACE中，LAEC=/.ABC=7*

由正弦定理，人心嗔明唔鳴一),

—?—?廠4VH/2n\

AEAC=2v7x---sin―6)cosO

=早cos2。+；sin0cos0)=^^sin(26++14,

因為0<夕<與，所以26+“g號),

當28+”1，即”工時，sin(26+勺=1,即版?元取得最大值空一+14；

又當點E與點A重合時，荏?無=0；

當點E與點。重合時，AEAC=AC2=28-

當E在劣弧4C上時，若NB4c相司時，此時|版“、于《在優弧.4。上：

8/16

綜上，荏?前的最大值為邛+14,故D1E確.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量優石的夾角為45。，且同=4,|引=VL則向量Z在向量，上的投影向量為.

【答案】拓

【分析】根據投影向量的計算公式即可求解.

【詳解】向前在向量讓的投影向量為[?[二V7X4X亭1

4x4。二產

13.如圖，風景秀美的寶湖畔有四棵高大的銀杏樹，記作48,P,Q,湖岸部分地方圍有鐵絲網不能通過.欲測

量P,Q兩棵樹和4P兩棵樹之間的距離，現可測得4B兩點間的距離為100m,乙PAB=75°/Q4B=45。

ZPBA=6Q°,^QBA=90。.則P,Q兩棵樹和4/兩棵樹之間的距離分別為m、m.

100m

【答案】50V250V6

【分析】利用正弦定理、余弦定理求解即可.

【詳解】在△P/18中，Z.APB=1800-Z,PAB-Z,PBA=180°-75°-60°=45°,

根據正弦定理:^77=:，代入48=100,^PBA=60°,^APB=45°,

sin乙，D/Isin/_/iID

得焉=揣，解得月0=50歷?

在RtZ\Q/lB中，Z.QBA=90°,Z-QAB=45°,AB=100,

所以AQ==100V2,且乙PAQ=LPAB-Z.QAB=750-45°=30°,

根據余弦定理，在△/MQ中，PQ2=AP2+AQ2-2APAQcos^PAQ,

代人得尸Q2=(50V6)2+(1OOV2)2-2x50V6x100V2x平=5000,

因此PQ=50V2,

故答案為：PQ=5OV2,/1P=5076.

9/16

14.已知底面為正方形的直四棱柱的高為4,底面邊長為4,其內部有一個與直四棱柱所有面均相切的內切

球0.現以直四棱柱上底面的中心為頂點，下底面的外接圓為底面作一個圓錐，則該圓錐與內切球。的公共部

分的體積為.注：球缺的體積公式為卜=口等紇R為球的半徑，力為球缺的高.

【答案】黨

【分析】根據題意可知重合部分由圓錐S-AB和球缺構成，根據公式計算體枳即可.

【詳解】解：根據題意該直四棱柱是邊長為4的正方體，

則球的半徑為2,圓錐底面半徑為2VL高為4,

如圖，重合部分由圓錐S-/1B和球缺構成，

設MN=%,則0N=2—x,SN=4—x,AN=y/OA2—ON2=V4x—x2?

又tan“SM=^=,=平=率即臂=多

解得％=+或x=4（舍去），

則MN=/IN=W，SN=*

圓錐S-4B的體積匕=1xn（殍丫Xg=黑，

球缺的體積匕=半?把=Ax?-力（丁=魯，

3381

故重合部分的體積V=匕+匕=翳.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）已知i為虛數單位，zi，Z2是％2+mx+〃=0（7n刀￡/?公=7712一4九〈0）的兩個根.

（1）設Zi，Z2滿足方程zi+（1—i）Z2=9+6i,求m,n的值;

（2）設zi=l+2i,復數zi，Z2所對的向量分別是己與加若向量萬一加與五+23的夾角為鈍角，求實數用勺取值

范圍.

【答案】（l）m=12,n=477

（2）（-7,-1）U（-1,+（?）

10/16

【分析】(1)利用共擾復數性質和韋達定理求解方程參數：

(2)將復數轉化為向量，利用向最夾角為鈍角的條件(數量積為負且不共線)求解參數范圍.

【詳解】(1)因為m,屋€RA=m2—4n<0,

所以方程#+mx+?i=O的兩個根zi，Z2為共挽復數，

設Zi=a+bi,z2=a—b\(a,匕eR),

由韋達定理得zi+z2=一血，z[Z2=n,

將Zi=Q+bi,z2=a—bi代入Z14-(1—i)z2=9+6i,

得a+bi+(1—i)(a-di)=9+6i,即(2Q-b)-ai=9+6i,

所以『ML%>解得｛—二君，所以Zi=—6—21i,z2=-6+21i,

所以m=-Qi+z2)=12,n=zxz2=477.

(2)因為Zi=l+2i,所以Z2=l-2i,所以五=(1,2),b=(1,-2),

所以6-b=-(1,-2)=(t-l,2t+2),a+2b=(1,2)+2(1,-2)=(3,-2),

因為E一行與3+2石的夾角為鈍角，所以(從一石)?(元+2勵<0,且歸一區與五十2區不共線，

所叫/二?J跋窗°0,解得t>-7且t7，

所以實數1的取值范圍為(一7,—與U(-l,+co).

16.(15分)在△ABC中，角4、B、C的對邊分別為a,8、c,若匕=Q(cosC+/sinC),

(1)求角A的大小：

(2)若。為8C中點，AD=V13,b=3c,求邊a.

【答案】(1)4=與

(2)a=2夕

【分析】⑴利用正弦定理對b=a(cosC+孚sin。把邊轉換為三角函數，變形化簡計算出角A的三角函數

值，計算角4的大小；

(2)利用向量加法的法則可知而=*屈+而)，再利用余弦定理，計算邊&

【詳解】(1)因為b=Q(cosC+?sinC),

所以由正弦定理可得sinB=sin/l(cosC+^sinf),

在中,B=n-Q4+C),

11/16

所以sin8=sin(i4+C)=sin4cosc+cos/lsinC=sin4cosc+^sin/lsinC,

BPcos/lsinC=^ySin/lsinC,

因為CE(0,n),sinCH0,所以tam4=VJ,

因為716(0,Tt),所以4=全

(2)因為然=^(A8+AC),所以|而|=gj(而+AC)2=而2+|宿2+2|制祠cos/

=1Jc2+b2+2cbcos^=

又=所以d=乎c,所以c=2,

又因為M=/J2+C2-2bccosA=9c2+c2-6c2cos^=7c2,所以Q=2y/7.

17.（15分）如圖，在梯形48CD中，AB//CD,AB=3CD=6,E為BC上一點,且麗=3說,

DC

APB

（口若力^二山力^十九力。，求m+n的值；

⑵已知而?前二-9.

①求的長；

②若乙8/1。=],設P是線段上的一個動點（含端點），求麗?港的最人值.

【答案】（l）m+〃=?

（2）@AD=2：第.

【分析】（1）根據向量的線性運算，結合圖形的幾何性質，可得答案；

（2）①利用同一組基底而，而表示向量，根據數量積的運算律，可得答案；

（2）-^=A^（0<l<1）,利用基底函而計算而?兩二36萬一?1+6,根據二次函數性質求最值.

【詳解】（1）因為AB//CD,AB=3CD,所以瓦而，

所以荏=近+屁=而+科=而+-^BA+而+硝

=同+*_而+而+/）=癡+海，

又短=m荏+九而，方與而不共線，所以m=；,n=p

4Q

12/16

則?n+九=：.

（2）①由（1）知，荏=冠+涉，

前=-而+而+萍=荷-彳福

所以荏.前=&荏+；而）?（而—冠）=夕?而+癡2_潁2一9.而

=^AD2-^AB2=^AD2-12.

又荏?近=-9,所以%。2-12=一9,解得=2.

②沒Q=蘇政0<A<1）,

則方=AD-AP=AD-AAB,

~PE=AE-AP=^AB+^AD-XAB=6-X）AB+^AD.

又因為4/。=泉AB=6,AD=2,

所以而~PE=（AD-AAB）?［（I-A）而+涉］

1―?23—?217―，―?

=+-AD+-AD

24L4

13171

=-A（--A）x36+-X4+（---A）x6x2x-

Z4Z4Z

=36A2-^A+6.

因為0WaW1,函數/（A）=36"一?+6的對稱軸為;I=虛

所以2=1時，麗?麗的最大值樗.

18.（17分）為了響應全國文明城市的號召，長沙市計劃在公園內建造如圖所示的正四棱臺力BCD—4i/Ci

建筑.

(I)若正四棱臺的上、下底面的邊長分別為6米和10米，高8米求該正四棱臺為8C0—4/GD1的側面積

和體積；

13/16

(2)若正四棱臺的上、下底面的邊長之和為12米，下底與上底邊長之差不超過4米，棱臺高2米，設4Bi

BC=a.求sina的最小值.

【答案】(l)64VT7(m2),號^(m3)

(2彥

【分析】(1)由臺體的體積公式求解該正四棱臺的體積即可；先求出正四棱臺的側面的

高，再由梯形的面積公式求解即可.

(2)設正四棱臺上、下底邊長分別為2x,2y.分別用％,y表示MN,B]B,即可表示出sina,令t=(y-%)2

G(0,4],貝ljsina=。十二,結合函數的單調性即可得出答案.

【詳解】(1)因為正四棱臺的上、下底面的邊長分別為6和10,高為8,

故正四棱臺48co-力體積為V=x(62+102+762x102)x8=等(n^),

記01，。分別為校臺上、下底面的中心，分別取為Ci，8C的中點加，N,

連接。01，OiM,ON,MN,

在梯形01MN0中，過M作MHION于H,

由于正四棱臺側面是全等的等腰梯形，

且OiO=M〃=8,0}M=3,ON=5,所以〃N=2,

所以MN=7MH2+HN2=灰2+22=2g,

故該正四棱臺的側面積S=4x；x(6+10)x2a7=64V17(m2).

(2)設正四棱臺上、下底邊長分別為2x,2y.

由條件可知，x+y=6,0<y-x<2.

此時在等腰梯形B/CCi中，

MN=yj22+(y—x)2,B$=yjMN2+(y—x)2=-J2(y—%)24-4?

所以sina=^=

Bpyj2(y-x)2+4

令c=(y-x)2k=(0,4],

14/16

則sina=戶=戶=R+—容

y/2(t+2)72(t+2)\J2t+23

當且僅當t=4時取等號.

19.(17分)定義：設。為坐標原點，若非零向量由=(。力)，函數/(乃的解析式滿足fa)=asinx+bcos

X，則稱/?(%)為麗的伴隨函數，麗為/?(%)的伴隨向量.

(1)若向量力瓦為函數/(無)=2sin(K+?的伴隨向量，求。材的坐標；

(2)若函數f(x)為向量麗的伴隨函數，在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別為瓦c,f(C)恰好為函數/'(x)的最

大值.

(i)若麗=(24,7),的角平分線交48于點0,c=2,求CD的最大值：

(ii)若加=(b,1),在銳角△,4BC中，求丁=更察的范圍.

【答案】(1)麗=(1,遍)

(2)⑴j(ii)TG[4,|)

【分析】(I)應用和角正弦公式展開，再由伴隨向量的定義寫出兩；

(2)(i)根據已知及輔助角公式得/(%)=25sin(x+◎),tan.=看,結合已知求得sinC=微，cosC=),

再由三角恒等變換、等面積法、基本不等式求CD的范圍，即可得；(ii)根據已知及(i)得乙。=,應用正

弦邊角關系、三角恒等變換得T=■而目/W但J)，利用余弦函數的性質求范圍.

4cosz(4-j)'62/

【詳解】(1)由已知/(x)=2sin(x+9=2(si