2026屆高三數學二輪復習講義：專項突破（六）第3節 導數與單調性、極值和最值（含解析）

第3講導數與單調性、極值和最值

—探究真題明確方向」

1.(2023?新課標II卷，T6)已知函數/U)=〃eJlnx在區間(1,2)上單調遞增，則。的最小值為()

A.e2B.eC.e-1D.e2

2.(2022?全國乙卷，文T11)函數/W=cosx+(x+l)sinx+1在區間[0,2汨的最小值、最大值分別為()

A.1,5B.-斗，三CfD.-F,%2

3.(多選)(2025?全國II卷，T10)己知_/U)是定義在R上的奇函數，且當心>0時，,以)=。2_3兄、+2,則()

A<0尸0B.當x<0時，/x)=-(x2-3)ex-2

CJU)22當且僅當x>V3D.x=-\是/U)的吸大值點

4.(2024?新課標H卷,T16)已知函數Jlx)=ev-ca-a\

(1)當。=1時，求曲線>子>)在點(I,五1))處的切線方程；

(2)若兒丫)有極小值，且極小值小于0,求。的取值范圍.

命題熱度：

本講是歷年高考命題必考的內容，屬于中高檔題目，具有一定的難度，三種題型都有所考查，分值約為

11?26分.

考查方向：

考查重點一是判斷函數的單調性以及單調性應用，如求參數范圍、比較大小、解不等式等，二是函數極值,

主要是求函數的極值，由極值求參數的值、范圍等，三是函數的最值以及最值的應用.

1答案C

解析依題可知，八彳)=〃。3、0在(1,2)上恒成立，顯然a>0,

所以疣2在(1,2)上恒成立，

a

設g(K)=xe\xG(l,2),

所以義。)=(X+1把、0,

所以我力在(1,2)上單調遞增，

g(x)〉g(D=e,故

即〃。匕丁，即。的最小值為5.

e

2.答案D

解析/(x)=cosx+(.v+1)sinx+1,x￡[0,2n]t則/(x)=-sinx+sinx+(x+l>cosx=(x+1)cosx,x￡[0,2n].

令/⑶=0,解得x=-l(舍去)，x=]或卡

僧卜。，學管+1領受號，

又/O)=cos0+(0+l)sin0+1=2,

/27i)=cos2兀+(27t+l)sin2兀+1=2,

所以jV)rnax=/Q)=2+p

A-V),nin=/修)二號.故選D.

3.答案ABD

解析對于A,因為凡r)是定義在R上的奇函數，則4))=0,故A正確；

對于B,當x<0時，-Q0,則力0=力孑)={(幻故B正確;

對于C,1)=(1-3)e-2=2(e-l)>2,故C錯誤;

對于D,當x<0時，大幻二。-%2)]2則八外=⑶/比人乜江心，-2%〃)^,

令人:)=0,解得戶-1或43(舍去)，

當了￡(-8,-])時，八])>0,此時九0單調遞增,

當n0)時，八工)<0,此時大幻單調遞減,

則產-1是./U)的極大值點，故D正確.

4.解(1)當4=1時,則危)=1*1,

/(x)=ev-l,

可得川尸e-2,f(l)=e-l,

即切點坐標為(1,e-2),

切線斜率上e-1,

所以切線方程為>,-(e-2)=(e-1)(.r-1),

即(e-l)x-y-l=0.

(2)方法一因為yu)的定義域為R.

且/V)=e%,

若〃W0,則八用>0對任意x￡R恒成立，

可知汽燈在R上單調遞增，

無極值，不符合題意；

若。>0,令/(x)>0,解得Qlna,

令/V)<0,解得xvlna,

可知人幻在(-8,Ina)上單調遞減,

在(Ina,+8)上單調遞增,

則/U)有極小值/(Ina)=a-a\na-a3,無極大值，

由題意可得,fi\na)=a-a\na-a3<0,

即i?+lna-l>0,

令g3)=/+lna-\,a>0,

則g'g)=2a+90,

可知g(a)在(0,+8)上單調遞增，

且g⑴二0，

不等式a2+\na-l>0等價于g(a)>g(l),

解得47>1,

所以“的取值范圍為(1,+°°).

方法二因為y(x)的定義域為R,

且『⑴二e”,

若/U)有極小值，

則/(/)=&%有零點，

令/(.v)=ev-?=0,可得er=a,

可知y=ex與y=a有交點，則a>0,

令/(K)>0,解得x>lna；

令/W<0，解得x<lna,

可知?v)在(-8,Ina)上單調遞減,

在(Ina,+8)上單調遞增,

則.")有極小值川na)=a-alna-a3,

無極大值，符合題意，

由題意可得，./(Ina)=a-alna-ay<0,

即rr+lna-l>0,

令g{a}=cr-\-\na-\,a>0,

因為尸〃2,)=InaJ在(0,+8)上均單調遞增，

所以式a)在(0,+8)上單調遞增，

且g⑴=0,

不等式a2+lna-1>0等價于g(a)>g(1),

解得<7>1,

所以〃的取值范圍為(1,+8).

考點一利用導數研究函數的單調性

考向1利用導數求函數的單調區間

例1已知函數於)=(x-2把吟d-ar,討論函數段)的單調性.

解由題意得函數7U)的定義域為R,

/(x)=(x-1)er+fl(x-1)=(x-1)(er+?).

①當aDO時,

若工￡(-8,1),則/(幻<0,

所以人工)在(-8,1)上單調遞減;

若x￡(l,+8),則八幻>0,

所以式幻在(1,十8)上單調遞增.

②當K<。<0時，In(</)<1,

若x￡(—8,ln(-fl))U(l,+oo),則人工)>0,

所以乂力在(-8,in(?a)),(1,+8)上單調遞增;

若x￡(ln(-?),1),則八x)v(),

所以JU)在(ln(-a),I)上單調遞減.

③當<7=-e時，ln(-a)=1,

對Vx￡R,八處20,所以兒0在R上單調遞增.

④當a<-e時，ln(-a)>l,

若x￡(-8,1)U(ln(-?),+8),則八x)>0,

所以凡。在(-8,1),(In(-a),+8)上單調遞增;

若x￡(l,ln(-a)),則/V)v0,

所以JU)在(1,In(-a))上單調遞減.

綜上所述，當時，/U)在(-8,])上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增；

當-e<”0時，./U)在(-8,m(-a)),(1,+8)上單調遞增,在(皿也)，1)上單調遞減;

當?=-e時，兒丫)在R上單調遞增；

當a<-e時，./U)在(-8,1),(ln(-a),+8)上單調遞增，在(1,ln(-a))上單調遞減.

考向2單調性的應用

例2(1)若函數7U)=lnx+or2-2在區間G，1)內存在單調遞減區間，則實數a的取值范圍是()

A.(-8,B.(一(，+8)

C.(-2,+8)D.(-8,+8)

答案A

解析由/x)=Inx+ajc-2可得，/(萬=120r.

因為函數40=lnx+以2-2在區間6，1)內存在單調遞減區間，

所以f(x)<0在xwQ,1)時有解，即興-點在1)時有解.

設g(K尸一點,工仁6,1)，

顯然式用在G，1)上單調遞增，所以gQ)<g(x)<g(l).

所以依g(l)=悔，故實數〃的取值范圍是(一8,

(2)(2025?長沙模擬)已知產信)是定義在(1,+8)上的連續可導函數，其導函數為)可口)，若加工)勺"),

且次3)=6,則不等式./(Inx)>21nx的解集為()

A.(H3)B.(3,e2)

C.(1,e3)D.(e,e3)

答案D

解析令g(x尸%Q>1),

則g?尸

X2

因為0(丫)勺&),則0Xx)-/(x)<O,

所以g'(x)<0,

則ga)=停在區間(1，+8)上單調遞減，又<3)=6，由y(Mx)>2lnx,lnx>l,

彳導管>2=*即儼皿>g(3),

(inx>1,llnx>1,

所以l<lnx<3,解得e<v<c3,

故原不等式的解集為(e,e)

［規律方法］(1)討論函數的單調性一般可以歸結為參數對不等式解集的影響進行分類討論.

(2)函數人丫)在區間。上單調遞增(或遞減)，可轉化為八x)20(或/V)WO)在上恒成立.

(3)若函數,守(X)在區間m,份上不逡調，則轉化為人力二0在(a,b)上有解(需驗證解的兩側導數是否異號).

(4)函數八人)在區間。上存在單調遞增(或遞減)區間，可轉化為/1)>0(或/(?vO)在人丘。上有解.

跟蹤演練1(1)(2025南澤模擬)已知函數於)二(4/1好6-。?工是R上的增函數，則()

A..a=bB.?=7b

C.6r=lnbD.a二e"

答案C

解析由J(x)=(x-a-1)eA-(|—a)bx,

得f\y)=(x-a)e'-bx+ab=(x-a)(e'-b),

因為汽幻是R上的增函數，則Fa)20對x￡R恒成立,即a?a)e?b)20對x￡R恒成立,

當Z?W0時，ex-/?>0,此時上《2()對工WR不恒成立，不滿足題意；

當>>0時，等價于a-〃)a-lnb)20對x￡R恒成立,a=\nb.

(2)(2025?張掖模擬)已知a=9eln2,b=18,c=4eln3,則a,b,c的大小關系為()

A..h>a>cB.a>c>b

C.a>b>cD.b>c>a

答案A

解析令火x尸等，xe(l,e),

則TV尸注竺>o對任意的工￡(1，e)恒成立，

所以函數人力在(1,e)上單調遞增，

所以此)習(2)》1)=0,

gP->—>0,故2>eln2>0,

e2

所以9eln2<9X2=18,即〃幼,

又因為6t=9eln2=eln29=eln512>cln8l=cln34=4chi3=c,即a>c,因此b>a>c.

考點二利用導數研究函數的極值

例3（2025?鄭州模擬）已知函數yU）=xhi（4x）（a^0）.

（1）若直線產」與曲線產/W相切，求。的值；

e

（2）若及丫）有極大值，且極大值大于1,求a的取值范圍.

解⑴設直線尸吊與曲線.產心）的切點為（出，一J,則屬血斷戶-,①

/（x）=ln（av）+l,貝《In（.）+1=（）.②

由①②解得%o',a=\.

e

⑵當AO時，段）的定義域為（0,+8）,/（x）=］n（ax）+l是增函數.

令ln（ax）+l=O,解得廣工.

ae

當x￡（°，￡）時，八x）<0，

當工￡仁，+8）時，&）>o,

所以K0在（0,上單調遞減，在仁,+8）上單調遞增，則/（X）有極小值，沒有極大值，不符合題意，

所以qvo；

因為“<o,所以?r）的定義域為（-8,0）.

當在（-8,J時，「（種0,

當°）時，八用<仇

所以?在（一8,J上單調遞增，在仁，O）上單調遞減，則曲有極大值/J,沒有極小意

因為JU）的極大值大于1,

所以J（機）=2>1，解得-，<a<。.

故a的取值范圍為（一10）.

［規律方法］/（Xo）=O是可導函數啟）在x=xo處取得極值的必要不充分條件，即f（x）的變號零點才是/X）的極

值點，所以判斷/U）的極值點時，除了找八的=0的實數根的外，還需判斷其丫）在為左側和右側的單調性.

跟蹤演練2（1）（多選）（2025?重慶模擬）已知函數/（幻，x^［-a,a］的圖象是一條連續不斷的曲線，設其導

數為1（幻，函數ga）=a\nra）的圖象如圖，則下列說法正確的是（）

Z^\a

A./U）在x=-l處取極大值

B.x=l是?Y）的極大值點

CJ（x）沒有極小值點

D.x=I可能不是導函數八x）的極大值點

答案ACD

解析由題圖知,

X-1)(-1，0)(0,1)(1，

g。)4--+-

++-4-

人力+---

???八)在(也，?1讓單調遞增.在(-1,G上單調遞減.

??JU)在戶-1處取得極大值，無極小值點，故A,C正確，B錯誤；

又當0<x<1,1<xWa時,/(x)<0,^(1)=0,

當戶1時，所以八1)不一定等于0,

當八1)=0時，x=l是導函數人%)的極大值點，

當八l)W0時，％=1不是導函數八燈的極大值點，故D正確.

(2)(2025?哈爾濱模擬)若函數,")二.rlnx-("7-l)ln2工存在唯一極值點，則實數m的取值范圍是()

A.(l,+8)B.[l,4-00)

C.{l-±]u[l,+oo)D,[l-^,+oo)

答案B

解析由y(x)=xlnx-(//7-l)ln2xA>0,求導可得/(x)=lnx+1-巴」,

tX

由題意得函數八x)存在唯一變號零點，

令/U)=0得,m-\=xlnx+x,

令g(/)=xlnx+x,x>0,求導可得g‘2=Inx+2,由g'(%)=0,解得x=5,

當0<六4時，短(幻<。；當x=時，g'a)>o，

ee

所以函數g(x)在(0，上單調遞減，在G，+8)上單調遞增，則g(x)min=g(3二專

畫出函數g(X)的大致圖象如圖所示，

由圖知，當心"專即-專時，下專為八幻的不變號零點，不符合題意；故”120,即心1,故實數

加的取值范圍是[1,+OO).

考點三利用導數研究函數的最值

例4⑴(2022?全國甲卷)當x=1時，函數yU)=alnx+$取得最大值-2,則八2)等于()

A.」B-I《DJ

答案B

解析因為函數;(x)的定義域為(0,+8),

所以依題意可知|"1)=一2,

［八1)=0，

而

所以F=-2'即［”一2,

(a-b=0,(b=-2,

所以

因此函數y(x)在(o,i)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減,

當戶1時取最大值，滿足題意.

所以f(2)=-l6=4.

(2)(2025?石家莊模擬)如圖所示，圓錐的內接圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，則該圓錐體積的最小

值為()

A.4nB-T

C.5兀D?等

答案B

解析設圓錐的高為/?,底面半徑為4竹1),則圓錐內接的圓柱上面的小圓錐的高為小2,

4

由圖易知黑二篝,

UDC

日口九一2h..2r

.Jl=——,

PP-1-=-r,r—1

J該圓錐的體積丫二成戶力二

33y(r—1)

mil丫，=2方2(2一3)

刈V3(1)2，

令V'=0,則/"=1，

當l<y|時，VkO；當r>|時，V>0,

即丫在(1,|)上單調遞減，在(|,+8)上單調遞增,

當尸:時，V取得最小值為;.

［規律方法］求函數在無窮區間(或開區間)上的最值，一般要根據函數的單調性和極值畫出函數的大致圖象,

借助圖象求解.求最值時不能想當然地認為極值點就是最值點，要通過比較再下結論，圖象上最高點和最低

點的函數值即為函數的最大值和最小值.

跟蹤演練3(2025?長沙模擬)J知函數、/U)=3--21n1+(〃-1)］+3在區間(1,2)上有最小值，則實數a的取

值范圍是()

49

A.?>-3B.--<a<-10

3

49

C.--<a<-3D.-10<a<-3

答案D

解析函數yU)=3f-21nA+(?-1)A+3,求導得/(A)=6A-|+?-1二竺+(?1)%-2,

由凡￥)=3/-21nx+(a-l)x+3在區間(1,2)上有最小值,

得/")在區間(1,2)上有變號零點且在零點兩側的函數值左負右正，

令//(A)=6x2+(t7-1)x-2,/?(0)=-2<0,則〃(幻在區間(1,2)上有變號零點且在零點兩側的函數值左負右正，

M=(a-l)2+4x6x2>0,

因此，九(1)=6+。-1-2V0,

U(2)=6x4+2(a-1)-2>0,

解得“0<〃<-3,

所以實數。的取值范圍是-10<a<-3.

專題強化練

［分值：90分］

一、單項選擇題(每小題5分，共30分)

1.函數“r)=f-lnx-x的單調遞減區間是()

A?,1)B&+8)

C.((),1)D.(l,+8)

答案C

解析由題意可得/(X)=2A+1=2/：T=3+?(I),X>0,

令八_v)=0,得ml,

所以當x￡(0,1)時，八x)〈0,函數凡i)單調遞減，所以函數./U)才-lnx-x的單調遞減區間是(0,1).

2.設函數/(.r)=七，若/U)的極小值為正，則。等于()

A.--B.-C.-D.2

222

答案B

解析由已知得，八力二平黑々xW-a),

令八/)=0,有x=\-a,

當x<\-a且x^-a時，/(x)<0,

當x>\-a時，r(x)>。，

所以?在尸1處取得極小值川-a)=e包近，所以1-6t=1,得<7=1.

3.若函數Ar尸也的單調遞減區間為(1,+8),則〃等于()

A.-B.lC.eD.e2

e

答案B

m

解A,n析+r-/(X)\=—a-(a*ln一x+l)-=—fl-l-a—lnx,

因為久丫)的單調遞減區間為(1,+8),而/(x)的定義域為(0,4-00),

所以久1)的一個極值點為1,

所以/(1)=等二0，解得1.

所以五工尸3

令人/)<(),即要<0,解得Q1,

所以.心)的單調遞減區間為(1,+8),符合題意，綜上，4=1.

4.函數/U)的大致圖象如圖所示，設A丫)的導函數為八幻，則八X次x)>0的解集為()

A.(-8,O)U(1,3)B.(l,3)

C.(0,1)U(3,+8)D.(-8,0)U(3,+8)

答案C

解析由函數JU)的圖象可知，

當XE(-8,0)U(3,+8)時，段)<o；

當xG(0,3)時,危)>0；

又由圖可知，當X￡(-8,1)時，函數./U)單調遞增，則八外>0；

當x￡(l,+8)時,函數人用單調遞減，則F(x)<0,

所以的解集為(o.i)u(3.+8).

5.(2025?齊齊哈爾模擬)已知函數八/)=*F+句nx在廣2處有最小值，且最小值為l-21n2,貝ija+〃的值為()

1Q

A.3B.-C.--D.-3

22

答案C

解析函數火x)或nX的定義域為(0,+8),且f(x)=ax+^t

由于函數凡丫)在x=2有最小值，則函數於)在x=2處取極小值，則f(2)=2a+^b=0,

所以b=-4a,

又/U)min=y(2)=2a+blii2=2a-4a\n2,

所以2a-4aln2=l-21n2,解得t/=1,

所以b=-2,

經檢驗，當它，加=-2時，函數人力與^Inx在戶2處有最小值，且最小值為l-21n2,故a+仁點

6.(2025?遵義模擬)已知函數段)=*-lnxd(a>0),若Vx>0,危)20,則的最大值是()

112

A.-B.-C.-D.1

2ee

答案A

解析由題意知，若Vx>0,./(x)20,

即/?<-ar-lnx,

2

1少

令Ag。)二產「1nx,x>0,

令g(x)=0,解得x=f,

當時，g'(x)<。，g(x)單調遞減；

當時，g'(x)>0,g(x)單調遞增；

所以gWmin=g(Y)=|+|ln小

即b^-+-\n”，

22

所以紜白磐

a2a2a

則力S)=黑,

由/f(a)=0得?=1,

所以當0<〃<1時，》3)>0,單調遞增；

當a>\時，〃'3)<0,/?(〃)單調遞減，

所以力，即的最大值為

2a2

二、多項選擇題(每小題6分，共12分)

7.(2025?邯鄲模擬)已知函數?t)=(F3把'，則下列結論正確的是()

A.lim3^=3

x-*0X

B.函數,")在(-1,1)上單調遞減

C.函數./U)有極大值6e，

D.函數/W在［-4,?2］上的最小值為尺4)

答案BC

解析由題意得，/(A)=(A2+2A-3)CV=(A+3)(X-1)CV,

因為10)=3,則盤號金盤弋”。)力0尸_3,故A不正確；

由/V)>0得，x<-3或x>\,

由/U)<0得，

則7U)在(-8,-3)和(1,+8)上單調遞增，在(-3,1)上單調遞減，

所以JU)在八=3處取得極大值為代3)=67,故B,C正確；

因為氏4)噌次-2尸。則函數於)在［-4,-2］上的最小值為尺2),故D不正確?

8.(2025?廈門模擬)已知段)=V+a占展2,不等式段)<2的解集為{小<1且xH-2},則下列說法中正確的是

()

A.函數/(x)的極大值點為1

B.函數./U)的一個對稱中心為點(-1,0)

C.當-2a<2時，12計1)>-2

D.過點(-3,-2)且與曲線.y=/&)相切的直線有2條

答案BCD

解析對于A,因為不等式/U)<2的解集為{也<1且x/-2},

即不等式丁+加+法-水。的解集為{x\x<I且xW-2},

所以方程x3+?A2+Z>.r-4=0的根為x=1和x=-2(二重根)，

得(x+2)2(x-1)=0,即,必+3/-4=0,

所以'則危尸/+3f-2,

力=0,

得/(A)=3X2+6X=3X(X+2),

令人K)<0得?2<i<0,

令/。)>。得x<-2或x>0,

所以函數7U)在(-2,0)上單調遞減，在(-8,_2),(0,+8)上單調遞增，

所以m-2是火幻的極大值點，故A錯誤；

對于B,由A知，X-r)=^+^-2,

則/(-2-x)=(-2-x)3+3(-2-%)2-2=A-3f+2,

所以j［-2-x)t/U)=。，

即/U)的一個對稱中心為點(-1,0),故B正確；

對于C,令〃=2什1,當-2<x<a時，則-3<〃<0,

則要滿足人2什1)>-2,只需使人〃)>-2,

而4〃)+2=/+3〃2=〃2(〃+3),由-3<〃<0,

得/(〃+3)>0,即加)>2所以12什1)>-2,故C正確；

對于D,由A知，f(x)=3j^+bx,

設在點(即，舄+3/-2)處的切線方程為>'-(%o+3%o-2)=(3XQ+6X())(X-XO),

由切線經過點(-3,-2)得，-2-(盼+3就-2)=(3焉+6加(-3-向)，

整理#%o+6%o+9A-()=0,

即XO(XQ+6AO+9)=XO(XO+3)2=0,

解得上0=-3或M)=O,此時存在2條切線滿足題意，故D正確.

三、填空題(每小題5分，共10分)

9.(2025?全國II卷)若x=2是函數,/W=(x-l)a-2)a-a)的極值點，貝!負0)=

答案-4

解析由題意有/U)=(X-1)(x-2)(x-a),

所以jp(x)=(x-2)(x-tz)+(x-l)(x-?)+(x-l)(x-2),

因為戶2是函數/U)的極值點，所以八2)=2-。=0,得〃=2.

當。=2時，/(X)=2(X-2)(X-1)+(X-2)2=(X-2)(3X-4),令/(X)=0,得X=2或

當工￡(一8,g)時，f(X)>0,/U)單調遞增；當XWG，2)時，［(x)<0,ZU)單調遞減;

當x￡(2,+8)時，/(x)>o,ZU)單調遞增，

所以x=2是函數凡。=(1-1)(x-2)(x-a)的極小值點，符合題意，故〃=2.

所以40)=1X(-2)X(-2)=4.

10.(2025?鄭州模擬)若直線下為曲線產泮9的一條切線，貝哈的最小值為

答案-1

解析產ae"叫

設直線尸X與曲線y=e，x+b相切于點(X,X),

則x=e^b'且訛皿+占1,

解得e"也所以x=2,

aa

從而所以"券

設四)=甘^>0)，

^a-(-l-lna)\na

g'(a)=-J......................-----

令g’(a)<0得?0<。<1;令g'(。)>0得,a>\,

所以其幻在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，

所以g(a)min=g(1)=-1,即，的最小值為-1.

四、解答題(共28分)

11.(13分)(2025?哈爾濱模擬)已知函數,/W=(』+l)e-\g(x)=ax+b,其中小b^R.

(1)若曲線月⑶在點(0,/0))處的切線與直線產g(x)垂直,且40)=趴0),求。，6的值；(5分)

(2)若函數/?(x)=〃r)-g(x)在區間(0,+8)上存在極大值，求a的取值范圍.(8分)

解⑴因為/WNd+De、

所以r(x)=29'-a2+1)e"=(2f2-1)e",

所以f(O)=-l,依題意，JXa=J,得

又旭)=1,g(0)=瓦且/0)=g(0),

所以b=l,所以a=b=l.

(2)由題意，”(x尸(f+l)e、-ax?b,

所以力。)=(2jv-f-1Q%,

令^(x)=(2x-A^-l)ex,

則(p*(X)=(2-ZV-2A+X2+l)ev=(x2-4x+3)eA,

令夕”)=0,則f-4x+3=0,解得41或x=3.

當0<x<l時，，(x)>0,所以e(x)在(0,1)上單調遞增；

當l<x<3時，9。)<0,所以8。)在(1,3)上單調遞減；

當x>3時，，(力>0,所以8(x)在(3,+8)上單調遞增.

則灰力在x=\處取得極大值磯1)=0,在x=3處取得極小值s(3)=-4c‘.

因為％(x)在區間(0,+8)上存在極大值，

所以尸9(幻與尸。的圖象在(0,+8)上有交點，

且在交點左側/[(X)的導數大于0,交點右側力(x)的導數小于0,

所以。的取值范圍是(Ye"0).

12.(15分)(2025?重慶模擬)已知函數,/U)=ox-lnx+a2(a￡R).

(1)若/U)在(1,e)上不單調，求實數4的取值范圍；(7分)

(2)當。>0時，求證：Kr)231n々+2.(8分)

(1)解函數/U)=aY-lnx+a2的定義域為(0,+°°),

求導得/(幻二。+，

當々W0時，八x)〈0在(0,+8)上恒成立，函數人幻在(0,+8)上單調遞減，不符合題意;

當心o時，由八幻<(),得o^q,

由八：?)>(),得第/，

函數JU)在(0,?上單調遞減，在6，+8)上單調遞增，

故idve,解得L〃<1,

2e

所以實數〃的取值范圍為G，i).

(2)證明由(1)知，當。>0時，危)的最小值為/O=l+a2+lna,

則l+^+lna-(31na+2)=a2-21na-\,

設g(x)=f-21nx-1,A>0,

求導得gU)=2哈^半嗎

當()4<1時，g'a)v();當x>l時，g'(x)>0,

因此函數g(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+8)上單調遞增,g(x)2g⑴=0,即g(〃)20,

貝!〃231n〃+2,

所以加)231n〃+2.

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(每小題5