2026年高考數學一輪復習講義：圓的方程（附答案）

§8.3圓的方程

【課標要求】1.理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，掌握圓的標準方程與一般方程2能根據圓的

方程解決一些簡單的數學問題與實際問題.

j----------------------------------------落實主干知識---------------------------1

1.圓的定義和圓的方程

定義平面上到定點的距離等于_______的點的集合叫做圓

圓心C__________

標準(A-a)2+^-/?)2=r(r>0)

半徑為____

方程

/+產瓜+比產二。圓心C______________

一般

(D2+E2-4E>0)半徑『_______________

2.點與圓的位置關系

平面上的一點,yo)與圓C：。-〃)2+()，-/?)2=戶之間存在著下列關系：

(I)|A/C|>/,<=>M在,B|J(xo-a)2+(y()-b)2>r^M在圓外；

(2)|MC|=r=M在>即(x()-a)2+(y()-b)2=r<=^M在圓上；

(3)|MC|</-<=>M在,即(x()-a)2+(yi)-b)2<r<=>M在圓內.

S自主診斷

1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“Y”或“x”)

(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.()

(2)(x-2)2+(y+l)2=a2(aWo)表示以Q,1)為圓心，。為半徑的圓.()

(3)方程AF+8.t)，+C/+￡>x+及v+40表示圓的充要條件是A=CWO,8=0,D^+E2-4AF>0.()

(4)若點”(丫0,)，0)在圓聲產⑺什小葉尸二0外，貝|J君+y,+4o+Q,0+QO()

2.已知圓x2+/+2r-4y+1=0關于直線x-y+/=0對稱，則實數，等于()

A.-3B.lC.-lD.3

3(多選)已知圓C：4+產4x+6y+ll=0與點A(0,?5),則()

A.圓C的半徑為2

B.點A在圓。外

C.點A在網。內

D.點A與圓C上任一點距離的最小值為企

4.以點A(0,-1),僅2,1)為直徑端點的圓的方程為.

國微點提醒

1.掌握圓的兩個性質

(1)圓心在過切點且垂直于切線的直線上；

(2)圓心在任一弦的中垂線上.

2.牢記兩個相關結論

(1)圓的“直徑式”方程：以A(xi，yi),>2)為直徑端點的圓的方程為(.Ej)a-{2)+GiyD(xy2)=O.

(2)圓的參數方程：圓心為(小b),半徑為，?的圓的參數方程為鬻'其中。為參數，可用來設圓上

—D-rrsinc/,

的點的坐標.

■探究核心題型.

題型一圓的方程

例1設的圓心M在直線2Y-)，?I=0上，點(3,0)和(0,1)均在上，則的方程

為.

思維升華求圓的方程的常用方法

(1)直凌法：直接求出圓心坐標和半徑，寫出方程.

(2)待定系數法

①若已知條件與圓心3，力)和半徑，?有關，則設圓的標準方程，求出。，b,r的值；

②選擇圓的一般方程，依據已知條件列出關于。，E,尸的方程組，進而求出。，E,產的值.

跟蹤訓練1(2024.南昌模擬)設圓心在x軸的圓。過點(1,1),且與直線)=2x-l相切，則圓C的標準

方程為.

題型二與圓有關的軌跡問題

命題點1直接法

例2已知線段AB的長度為4,動點M與點A的距離是它與點8的距離的企倍，則△M48面積的最

大值為()

A.8V2B.8C.4V2D.y

命題點2定義法

例3已知圓C：(*1)2+()，-1)2=1,點M是圓上的動點，AM與圓相切，且|AM|=2,則點A的軌跡方程

是()

A.)2=4x

B.^+y2-2x-2y-3=0

C.x2+y2-2y-3=0

D.y2=-4x

命題點3相關點代入法

例4(2024.新課標全國II)已知曲線Cx2+y2=16(>>0),從C上任意一點P向x軸作垂線段P為

垂足，則線段PP'的中點M的軌跡方程為()

X*2y2

A苦2。)

B.9*30)

c￡o=i(y>0)

D.^+y=Kv>0)

思維升華求與圓有關的軌跡問題的常用方法

(1)直接法：直接根據題目提供的條件列出方程.

(2)定義法：根據圓、直線等定義列方程.

(3)相關點代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式.

跟蹤訓練2己知RtZSABC的斜邊為AB,且A(-l,0),3(3,0).求:

(1)直角頂點C的軌跡方程；

(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程.

題型三與圓有關的最值問題

命題點1利用幾何性質求最值

例5(多選)已知實數X,y滿足,F+)，2-4y+3=0,貝lj()

A.當xNO時，［的最小值是-百

X

B.f+y2的最小值是1

C.y-x的最小值是2-V2

D.k+y+31的最小值為2

命題點2利用對稱性求最值

例6已知A(0,2),點P在直線x+.y+2=0上，點。在圓C：爐+產以為二。上，則|PA|+|PQ|的最小值

是.

命題點3利用函數求最值

例7設點P(x,)，)是圓f+G，-3)2=l上的動點，定點42,0),8(-2,0).則可?麗的最大值為.

思維升華與圓有關的最值問題的求解方法

(1)借助幾何性質求最值：形如〃=T,t=ax+by,(心。)2+()，功＞形式的最值問題.

x-a

(2)建立函數關系式求最值：列出關于所求目標式子的函數關系式，然后根據關系式的特征選用配方法、判

別式法、基本不等式法等求最值.

(3)求解形如IPMI+IPM(其中M,N均為動點)且與圓。有關的折線段的最值問題的基本思路：①“動化定”，

把與圓上動點的距離轉化為與圓心的距離；②“曲化直”，即將折線段之和轉化為同一直線上的兩線段之

和，一般要通過對稱性解決.

跟蹤訓練3(1)(2024?商洛模擬)已知P(xo,泗)是圓C/+產242)，+1=0上任意一點，則空的最大值為

比一3

()

A.-2

C.-D.*

33

⑵已知圓C：(x-3)2+(y-4)2=l,設點尸是圓。上的動點.記d=|PBF+|PA|2,其中A(0,1),5(0,-I),則d

的最大值為.

答案精析

落實主干知識

1.定長3，b)r(一/|VZ)2+F2-4F

2.(1)圓外(2)圓上(3)圓內

自主診斷

1.⑴、(2)X(3)4(4)4

2.D3.BD4.(%-1)2+/=2

探究核心題型

例1(X-1)2+。+1)2=5

解析方法一設。M的方程為

(方。)2+()，-〃)2=3任>0),

(2a+匕-1=0,m=1,

則卜3—Q)2+F=r2,解得人=-1,

[a2+(1-b)2=r2,(r2=5,

/.0M的方程為。-1產+()，+1)2=5.

方法二設OM的方程為X2+/+DA+EV+F=0(D2+E2-4R>0),

則-|),

,,)9+3D4-F=0,

ll+E+F=0,

(D=-2,

解得E=2,

F=-3,

???OM的方程為

x2+y2-2x+2y-3=0,

即(X-1)2+()，+1)2=5.

方法三設A(3,0),3(0,1),O歷的半徑為r,

則以后懸=_，線段48的中點坐標為(I，1),

.,?線段A8的垂直平分線方程為

十[.|),

即注廣4=0.

聯立朦;二：二觸得

???M(1,-1),

.'?戶二|四川2

=(3-1)2+[0-(-1)]2=5,

/.OM的方程為(.1)2+()，+1產=5.

跟蹤訓練1(x-3)2+}?2=5

解析方法一設圓C的圓心為(/〃,0),

則由于該點到直線產2E的距離.黑曾)廠工1I,

結合圓C與直線相切，知圓C的半徑為鳥"1.

V5

所以圓C的標準方程是

(x-m)-+y-=---.

而圓C過點(1,1),所以(1加)2+13嚴,解得〃7=3.

所以圓C的標準方程是

(x-3)2+/=5.

方法二因為點(1,1)在直線)=2x-l上，

所以圓。與直線尸2丫-1的切點為(1,1),

則過圓心C和切點(1,1)的直線方程為)，-1=祗。-1),

即尸夕+|,

又因為圓心C在x軸上，

則()二與+1,得A-3,

即C(3,()),圓C的半徑為，(3-+(0-1產二花,故圓C的標準方程是(X-3)2+V=5.

例2A[以線段A8的中點O為坐標原點，A8所在直線為x軸建立平面直角坐標系，

設M(x,y),

且A(-2,0),B(2,0),

由|MA|二迎|M8|,

得(x+2)2+y2=2(x-2)2+2y2,

化簡得M的軌跡方程為圓(x-6)2+y2=32()H0),半徑r=4或，

如圖，有S.8號?■科廣8&.

所以AMAA面積的最大值為8V2.]

例3B[因為圓C：(x-l)2+C-l)2=l,

所以圓心C(1,1),半徑L1,

因為點M是圓上的動點，

所以|材0=1,

又4”與圓相切，且|AM|=2,

M\AC\=y/\MC\2+\AM\2=y[5,

設AQ,y),則⑴1)2+81)2=5,

即r+產2￥-2)，-3=0,

所以點A的軌跡方程為

八'+)2-2A-2.y-3-0.]

例4A[設點M(x,y),

則P(x,y0),P\x,0),

因為“為PP的中點，

所以yo=2y,即P(x,2y),

又尸在曲線/+)?=16()>0)上，

所以.?+4產16()>0),

即《目=1。>0),

即點M的軌跡方程為

22

茜xv=180)?]

跟蹤訓練2解(1)方法一設Qr,y),因為A,8,C三點不共線，所以戶4).

因為AC.LBC，且AC,BC斜率均存在，

所以,口c=-l,

所以yy

x+lx-3

化簡得x2+y2-2x-3=0.

因此，直角頂點C的軌跡方程為

^+/-2￥-3=0(>^0),

即(心1)2+9=4(>孚0).

方法二設線段A3的中點為。，由中點坐標公式得。(1,0),由直角三角形的性質知|CQ|=，48|=2.由圓的

定義知，動點。的軌跡是以Q(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A,B,C三點不共線，所以應除去與x軸

的交點).

所以直角頂點C的軌跡方程為

(41)2+/4()孚0).

⑵設M{x,>-),C(xo,yo),

因為R(3,0),目M是線段8。的中點，

所以由中點坐標公式得門竽，產等，

所以XQ=2X-3,yo=2y.

由⑴知，點C的軌跡方程為

(x-l)2+y2=4(j^0),

將所2廿3,沖=2)，代入得(21-4)2+?戶4()￥0),

gP(x-2)2+/=l(y^0).

因此直角邊8C的中點M的軌跡方程為a-2)2+)，2=l(yW0).

微拓展

典例(1)例+)=3

解析設P(x,)，),由題意可得，緇二企，

^\PA\=V2\PB\,

則(x-V6)2+/=2(x-y)2+y2

整理得/+)2=3.

解析依題意，由sinA=2sinB,

得18cl=2|AC|,“cosB+bcosA

a2+c2-b2.b2+c2-a2

-=c=2,

即|A8|=2,以A8邊所在的直線為▲?軸，線段人3的垂直平分線為)，軸建立平面直角坐標系，

設4(1,O),B(-1,0),C(x,y),xW0,

2

由|BC|二2|4C1,則C的軌跡為阿波羅尼斯圓，其方程為1一§+/=y,沖0,

邊A8上的高的最大值為g,

所以(S△八8C)max二g.

例5BC［由9+產4)葉3=0,得./+°:2)2=1.該方程表示圓心為C(0,2),半徑r=l的圓.

設部(#0)，則k表示圓上的點(除去點(0,1)和(0,3))與原點0(0,0)連線的斜率,

解得或kWW,故A錯誤；

因為F+9表示圓上的點到原點的距離的平方，又圓心在),軸上，

所以當.『0,.尸1時，W+y2取得最小值，且最小值為1,故B正確；

設產廠〃，則產什4,4表示當直線產x+〃與圓有公共點時，直線在)?軸上的截距，

則產21YI

解得2-迎《瘧2+企，

即的最小值是2-V2，故C正確；

|x+y+3|表示圓上的點到直線x+>H-3=0距離的四倍，

圓心(。，2)到直線x+y+3=0的距離為d=^=,

則|x+”3|的最小值為屈x偌-1)=5,，故D錯誤.]

例62V5

解析因為圓C：/+)，2-4『2)=0,

即(片2產+()，-1)2=5,

所以圓C是圓心為C(2,1),半徑L石的圓.

設點,4(0,2)關于直線x+v+2=0的對稱點為A\m,n),

吧+山+2=0,

所以22

三二1

m-0，

解得｛:二二士故4'(-4,-2).

連接AC交圓C于。(圖略)，交直線x+y+2=0于P,此時，

IPA1+IPQI取得最小值，

由對稱性可知|P4|+|PQ|=|PA]+\PQ\=\A'Q\=\A'C\-r=2y/5.

例712

解析方法一由題意，

得同二(2-x,-y),

而二(-2-x,-)，)，

所以西.麗=f+廣4,

由于點P(x,)，)是圓上的