高中數學 加練 專題10　第100練　二項分布與超幾何分布、正態分布

第100練二項分布與超幾何分布、正態分布(分值：40分)一、單項選擇題(每小題5分，共10分)1.若隨機變量X~B(4，p)，D(X)=1，則P(X=3)等于()A.16 B.14 C.1答案B解析由題設D(X)=4p(1-p)=1，可得p=12所以P(X=3)=C4312.某地生產紅茶已有多年，選用本地兩個不同品種的茶青生產紅茶.根據其種植經驗，在正常環境下，甲、乙兩個品種的茶青每500克的紅茶產量(單位：克)分別為X，Y，且X~N(μ1，σ12)，Y~N(μ2，σ22)A.Y的數據較X更集中B.P(X≤c)<P(Y≤c)C.甲種茶青每500克的紅茶產量超過μ2的概率大于1D.P(X>c)+P(Y≤c)=1答案D解析對于A，Y的密度曲線更“瘦高”，即數據更集中，A正確；對于B，記x=c，x=μ2，y=0與Y的密度曲線圍成的面積為S1，x=c，x=μ1，y=0與X的密度曲線圍成的面積為S2，則S1>S2，又P(Y≤c)=12+S1，P(X≤c)=12+S∴P(X≤c)<P(Y≤c)，B正確；對于C，∵μ2<μ1，∴甲種茶青每500克的紅茶產量超過μ2的概率P=P(X>μ2)>12，C對于D，由B知P(X>c)=12-S2，P(Y≤c)=12+S∴P(X>c)+P(Y≤c)=1+S1-S2>1，D錯誤.二、多項選擇題(每小題6分，共12分)3.已知隨機變量ξ~N(0，σ2)，φ(x)=P(ξ≤x)，其中x>0，則下列等式正確的是()A.φ(-x)=1-φ(x)B.P(|ξ|≤1)=1-2φ(1)C.P(|ξ|≤1)=2φ(1)-1D.P(|ξ|>1)=2-2φ(1)答案ACD解析因為隨機變量ξ~N(0，σ2)，則正態曲線關于直線x=0對稱，因為φ(x)=P(ξ≤x)，則由正態曲線的對稱性可得φ(-x)+φ(x)=1，即φ(-x)=1-φ(x)，故A正確；又P(|ξ|≤1)=P(-1≤ξ≤1)=P(ξ≤1)-P(ξ≤-1)=φ(1)-φ(-1)，由于φ(-1)=1-φ(1)，所以P(|ξ|≤1)=2φ(1)-1，故B錯誤，C正確；P(|ξ|>1)=1-P(|ξ|≤1)=1-2φ(1)+1=2-2φ(1)，故D正確.4.在一個袋中裝有質地、大小均一樣的6個黑球、4個白球，現從中不放回地任取4個小球，設取出的4個小球中白球的個數為X，則下列結論正確的是()A.P(X=2)=3B.隨機變量X服從二項分布C.隨機變量X服從超幾何分布D.E(X)=8答案ACD解析隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，4，P(X=k)=C4kC64-kC104因此隨機變量X服從超幾何分布，B錯誤，C正確；P(X=0)=C64CP(X=1)=C41CP(X=2)=C42C62P(X=3)=C43CP(X=4)=C44CE(X)=1×821+2×37+3×435+4×1210=8三、填空題(共5分)5.在一次考試中，考生成績X~N(80，σ2)，若P(70≤X≤90)=35，則從參加這次考試的考生中任意選取3名考生，至少有2名考生的成績高于90分的概率為答案13解析根據X~N(80，σ2)，P(70≤X≤90)=35所以P(80≤X≤90)=12P(70≤X≤90)=3則P(X>90)=12-P(80≤X≤90)=12-310設從參加這次考試的所有考生中選取3人，至少有2名考生成績高于90分為事件A，有2名考生成績高于90分為事件B，有3名考生成績高于90分為事件C，所以A=B∪C，事件B和事件C互斥，所以P(A)=P(B∪C)=P(B)+P(C)=C32152×45+C3四、解答題(共13分)6.(13分)為了引導人民強健體魄，某市組織了一系列活動，其中乒乓球比賽的冠軍由A，B兩隊爭奪，已知A，B兩隊之間的比賽采用5局3勝制，且本次比賽共設有3000元獎金，獎金分配規則如下：①若比賽進行3局即可決定勝負，則贏方獲得全部獎金，輸方沒有獎金；②若比賽進行4局即可決定勝負，則贏方獲得90%的獎金，輸方獲得10%的獎金；③若比賽打滿5局才決定勝負，則贏方獲得80%的獎金，輸方獲得20%的獎金.已知每局比賽A隊、B隊贏的概率分別為13，23(1)若比賽進行4局即可決定勝負，則A隊贏得比賽的概率為多少？(4分)(2)求A隊獲得獎金金額X的分布列及數學期望.(9分)解(1)因為比賽進行了4局即可決定勝負，且A隊贏得比賽，所以第4局必然是A隊贏，且前3局比賽中A隊贏2局，所以若比賽進行了4局即可決定勝負，則A隊贏得比賽的概率為C32×132×23(2)由題意知X的所有可能取值為3000，2700，2400，600，300，0，則P(X=3000)=133=P(X=2700)=C32×132×23P(X=2400)=C42×132×23P(X=600)=C42×232×13P(X=300)=C32×232×13