高中數學 加練 綜合練1

綜合練1(分值：80分)一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.已知復數z滿足z·i=1+2i，則z的虛部為()A.-1 B.-i C.1 D.i答案A解析由z·i=1+2i，可得z=1+2ii=(1+2i)ii2=2-i2.已知向量a，b滿足|a|=2，|b|=3，且(a+b)⊥b，則a與b的夾角為()A.π6 B.π3 C.2π答案D解析因為(a+b)⊥b，所以(a+b)·b=0，即a·b+b2=0，又|a|=2，|b|=3，所以a·b+b2=23cos〈a，b〉+3=0，解得cos〈a，b〉=-32又0≤〈a，b〉≤π，則a與b的夾角為5π63.已知sinα=2sin(α+2β)，且tanβ=2，則tan(α+β)等于()A.-6 B.-2 C.2 D.6答案A解析由題意知，sinα=2sinα+2則sinα+β-sinα+βcosβ-cosα+βsinβ=2sinα+βcosβ所以sinα+βcosβ=-3cosα+β所以tanα+β=-3tanβ4.陀螺是中國民間的娛樂工具之一，早期陀螺的形狀由同底的一個圓柱和一個圓錐組合而成.如圖，已知一木制陀螺內接于一表面積為64π的球，其中圓柱的兩個底面為球的兩個截面，圓錐的頂點在該球的球面上，若圓柱的底面直徑為43，則該陀螺的體積為()A.48π B.56π C.64π D.72π答案B解析如圖，作陀螺的軸截面，則陀螺的軸截面內接于圓O，設圓O的半徑為R，圓柱的底面半徑為r.由4πR2=64π?R=4，球心為圓柱的中心，又圓柱的底面半徑r=23，所以球心到圓柱底面的距離d=R2-所以圓柱的高為2d=4，圓錐的高h=R-d=2，所以該陀螺的體積V=πr2×4+13πr2×2=48π+8π=56π5.跑步運動越來越受大眾喜愛.據統計，某校有高一、高二、高三三個年級，這三個年級中喜歡跑步的教師分別占該年級教師人數的40%，30%，35%，且這三個年級的教師人數之比為3∶3∶4，現從這三個年級中隨機抽一名教師，則該教師喜歡跑步的概率為()A.0.35 B.0.32 C.0.45 D.0.36答案A解析設事件A表示“隨機抽一名教師喜歡跑步”，事件B1，B2，B3分別表示“抽到的教師來自高一、高二、高三年級”，∵三個年級的教師人數之比為3∶3∶4，∴P(B1)=33+3+4=0.3P(B2)=33+3+4=0.3P(B3)=43+3+4=0.4，∵高一、高二、高三三個年級中喜歡跑步的教師分別占該年級教師人數的40%，30%，35%，∴P(A|B1)=40%=0.4，P(A|B2)=30%=0.3，P(A|B3)=35%=0.35，根據全概率公式得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.3×0.4+0.3×0.3+0.4×0.35=0.35.6.已知函數f(x)及其導函數f'(x)的定義域均為R，記g(x)=f'(x)，函數f(2x+3)的圖象關于點(-1，1)對稱.若對任意x∈R，有f(x+3)=x+f(3-x)，則下列說法正確的是()A.g(x)不為周期函數B.f(x)的圖象不關于點(1，1)對稱C.g(211)=1D.f(985)=1答案C解析因為函數f(2x+3)的圖象關于點(-1，1)對稱，所以f(2(x-1)+3)+f(2(-x-1)+3)=2，即f(2x+1)+f(-2x+1)=2，則f(x)的圖象關于點(1，1)對稱，B錯誤；由f(x+3)=x+f(3-x)，得f(x+3)-12(x+3)=f(3-x)-12(3-x令h(x)=f(x)-12x，則f(x)=h(x)+12由h(x+3)=h(3-x)，得h(x)的圖象關于直線x=3對稱.又f(x)的圖象關于點(1，1)對稱，則f(x+1)+f(1-x)=2，所以h(x+1)+12(x+1)+h(1-x)+12(1-x)=2，即h(x+1)+h(1-x)則可得h(x)的圖象關于點1，故h(x)為周期函數，且一個周期為8，h(x)=h(x+8)，所以f(985)=h(985)+9852=h(1)+9852=12+9852又f(x)=h(x)+12x=h(x+8)+12x=f(x+8)-12(x+8)+則f(x+8)=f(x)+4，所以f'(x)=f'(x+8)，由g(x)=f'(x)得g(x)=g(x+8)，故g(x)為周期函數，A錯誤；由f(x+3)=x+f(3-x)，兩邊求導得f'(x+3)=1-f'(3-x)，由g(x)=f'(x)得g(x+3)+g(3-x)=1，令x=0得g(3)=12利用g(x)的一個周期為8，則g(211)=g(8×26+3)=g(3)=12，C正確二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.正態分布是一種重要的概率分布，它是由法國的數學家、天文學家DeMoivre于1733年提出，但由于德國數學家Gauss率先應用于天文學研究，故正態分布又稱為高斯分布，記作X~N(μ，σ2).當μ=0，σ=1時的正態分布稱為標準正態分布，如果令Z=X-μσ，則可以證明Z~N(0，1)，即任意的正態分布可以通過變換轉化為標準正態分布，如果Z~N(0，1)，那么對任意的a，通常記Φ(a)=P(Z<a)，也就是說，Φ(a)表示N(0，1)對應的正態曲線與x軸在區間(-∞，a)內所圍的面積.為了解某市高三數學復習備考情況，該市教研機構組織了一次模擬考試，經研究發現本次考試的數學成績X近似服從正態分布N(103，202).則下列說法正確的有參考數據：可供查詢的(部分)標準正態分布N(0，1)對應的概率值.a0.240.250.260.350.36Φ(a)0.59480.59870.60260.63680.6406A.已知Φ(a)=0.7，則P(|Z|<a)=0.6B.Φ(a)+Φ(-a)=1C.按以往的統計數據，該市數學成績能達到升一本分數要求的同學約占40%，據此估計本次考試成績達到升一本要求的數學成績約為108分(精確到整數)D.已知該市考生約有10000名，某學生此次考試數學成績為110分，則該學生在全市排名大概位于3630~3640名之間答案BCD解析對于A，因為Φ(a)=0.7，即P(Z<a)=0.7，可得P(Z≥a)=1-P(Z<a)=0.3，所以P(|Z|<a)=1-2P(Z≥a)=0.4，故A錯誤；對于B，因為Φ(a)+Φ(-a)=P(Z<a)+P(Z<-a)=P(Z<a)+P(Z>a)=1，故B正確；對于C，由題意可知，P(Z≥a)=1-Φ(a)=0.4，即Φ(a)=0.6，對比表格可知，0.25<a<0.26，即0.25<X-10320<0.26，解得108<X<108.所以估計本次考試成績達到升一本要求的數學成績約為108分，故C正確；對于D，由題意可知，a=110-10320=0.35且Φ(0.35)≈0.6368，可得P(Z≥0.35)=1-Φ(0.35)≈0.3632，則10000×0.3632=3632，所以該學生在全市排名大概位于3630~3640名之間，故D正確.8.如圖，圓F1：(x+1)2+y2=1，圓F2：(x-1)2+y2=9，動圓P與圓F1外切于點M，與圓F2內切于點N，記圓心P的軌跡為曲線C，則()A.C的方程為x24+y23=1(B.∠MPN的最小值為120°C.MP·PF1+NP·PD.曲線C在點P處的切線與線段MN垂直答案BCD解析對于A，設動圓P的半徑為r，由條件得|PF1|=r+1，|PF2|=3-r，則|PF1|+|PF2|=4>|F1F2|=2，且P，M，N不重合，故點P的軌跡是以F1，F2為焦點的橢圓(去掉P，M，N重合的點)，則曲線C的方程為x24+y23=1(x≠-2對于B，由圖可知∠MPN與∠F1PF2互補，當P點為橢圓短軸端點時，∠F1PF2最大，此時sin∠F2PO=ca=12，所以∠F2PO則∠F1PF2的最大值為60°，所以∠MPN的最小值為120°，故B正確；對于C，MP·PF1+NP·PF2=-r(r+1)+r(3-r)=2r(1-r)≤2×r+1-r22=對于D，設點P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，F1(-1，0)，F2(1，0)，下面先證明橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)在點P(x0，y0)處的切線方程為x0xa2聯立x2a2+y2b2=1，x0xa2+y0yb2=1，消去y得(a2y02+則Δ=4a4y02(b2x02+a2y02-a2b2)，又b2x02+a2y0所以橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)在點P(x0，y0)處的切線方程為x0xa2則曲線C在點P(x0，y0)處的切線方程為x0x4+y0y3=1，當切線斜率不存在時，P(2，0)，此時切線方程為x=2，易得M(0，0)，N(4當切線斜率存在時，y0≠0，切線斜率為-3x又|PN|NF2|=r3所以PN=-r3NF2，PM則(x2-x0，y2-y0)=-r3(1-x2，-y2)(x1-x0，y1-y0)=r(-1-x1，-y1)，得x解得x所以kMN=3=3y0(1+又r=|PF1|-1=(x0+1)2+y0因為-2<x0<2，所以12x0+2>0所以r=12x0+2-1=12x0所以kMN=2y01+2所以-3x04y0×4y03x0=-1三、填空題(每小題5分，共10分)9.(x3-1)x2+1答案-9解析二項式x2+1x6的展開式的通項為Tk+1=C6k(x2)6-k·1xk=C6kx12-3而(x3-1)x2+1x6=x所以當12-3k=-3，即k=5時有常數項C65x15-3×5當12-3k=0，即k=4時有常數項-C64x12-3×4所以所求展開式的常數項為6-15=-9.10.歐拉函數φ(n)(n∈N*)的函數值等于所有不超過正整數n，且與n互質的正整數的個數(公約數只有1的兩個正整數稱為互質整數)，例如：φ(3)=2，φ(4)=2，則數列φ(2n)φ答案3解析由題意可知，小于2n的所有正奇數都與2n互質，共有2n-1個，所以φ(2n)=2n-1，小于3n且大于0的所有與3n不互質的數是3的倍數，故與3n互質的數共有3n-3n-1=2×3n-1(個)，即φ(3n)=2×3n-1，所以φ(2n)φ則其前n項和為Sn=12×+…+23n-1=四、解答題(共28分)11.(13分)已知函數f(x)=3sin2ωx+π3(ω>0(1)求函數f(x)的單調遞增區間；(6分)(2)已知△ABC的邊長分別為a，b，c，其所對應的角分別為A，B，C，且f(A)=32，AB·AC=23，a=5，求該三角形的周長.(7分解(1)由函數f(x)=3sin2ωx+π3(ω>0所以2π2ω=π，即ω=1，所以f(x)=3sin令-π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，解得-5π12+kπ≤x≤π12+kπ所以函數f(x)的單調遞增區間為-5π12+kπ(2)因為f(A)=3sin2A+π所以sin2A+π因為0<A<π，可得π3<2A+π3<所以2A+π3=2π3，解得A=因為AB·AC=bccosA=32bc=23，所以bc=4由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得5=b2+c2-43，所以(b+c)2=b2+c2+2bc=13+43=(23+1)2，所以b+c=23+1，則△ABC的周長為a+b+c=23+1+5.12.(15分)已知P為拋物線E：y2=2x上的動點，Q為圓C：(x-a)2+y2=1(a>1)上的動點，若|PQ|的最小值為3-1.(1)求a的值；(5分)(2)若動點P在x軸上方，過P作圓C的兩條切線分別交拋物線E于另外兩點A，B，且滿足|PA|=|PB|，求直線AB的方程.(10分)解(1)設P(x0，y0)，|PQ|的最小值為3-1，即|PC|的最小值為3，又C(a，0)，則|PC|=(x0-a)2+y02=當x0=a-1時，|PC|min=2a-1=所以a=2.(2)連接AB，CP，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，當直線PA的斜率存在時，y1+y0≠0，直線PA的斜率kPA=y1-y0x直線PA的方程為y-y0=2y1+y0(x即直線PA的方程為2x-(y1+y0)y+y0(y1+y0)-2x0=0，化簡得2x-(y1+y0)y+y0y1=0，當直線PA的斜率不存在時，y1+y0=0，直線PA的方程為x=x0也滿足上述方程，同理得直線PB的方程為2x-(y2+y0)y+y0y2=0，直線AB的方程為2x-(y1+y2)y+y1y2=0，則點C(2，0)到直線PA的距離為|4+y1y0|4+(y1+y0)2=1，即同理(y02-1)y22+6y0y2則