2026年福建省部編版高二數學選修一第三章綜合測試卷

2026年福建省部編版高二數學選修一第三章綜合測試卷一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.在選修一第三章中，函數f(x)＝ln(x2－2x＋3)的定義域為（）A．(－∞，1)∪(1，＋∞)B．[1，3]C．(－1，3)D．R解析：函數f(x)＝ln(x2－2x＋3)的定義域需滿足x2－2x＋3＞0，解不等式得(x－1)2＋2＞0恒成立，故定義域為全體實數R。選項D正確。2.若函數g(x)＝e2x－3在區間[0，1]上的最大值與最小值之差為k，則k等于（）A．e－3B．e2－3C．e－1D．e2－1解析：函數g(x)＝e2x－3在[0，1]上單調遞增，故最大值為g(1)＝e2－3，最小值為g(0)＝e0－3＝－2，差值為e2－3－(－2)＝e2－1。選項D正確。3.已知函數h(x)＝2cos(2x＋φ)的圖像關于y軸對稱，且在[0，π]上單調遞減，則φ的值為（）A．π/4B．3π/4C．π/2D．π解析：圖像關于y軸對稱需滿足2x＋φ＝kπ，k∈Z，取k＝0得φ＝0；單調遞減需滿足2x＋φ∈[π，2π]，即φ∈[π，2π]，唯一滿足的解為φ＝π。選項D正確。4.若函數m(x)＝|lnx|在點(1，0)處的切線方程為y＝kx，則k等于（）A．－1B．1C．－2D．2解析：m(x)＝|lnx|在x＝1處分段函數為lnx，導數為1/x＝1，故切線斜率k＝1。選項B正確。5.不等式|2x－1|＜|x＋3|的解集為（）A．(－2，4)B．(－1，2)C．(－2，2)D．(－1，4)解析：平方化簡得(2x－1)2＜(x＋3)2，展開后整理為x2－8x＋10＜0，解得(2－√2)x＜4－√2，即x∈(－2，2)。選項C正確。6.函數n(x)＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx的最小正周期為（）A．π/2B．πC．2πD．4π解析：n(x)＝1－sin2x＝cos2x，周期為π。選項B正確。7.若函數p(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d在x＝1處取得極值，且其導函數p′(x)的圖像如圖所示，則p(1)的值為（）A．－1B．0C．1D．2解析：由p′(1)＝0且p′(x)在x＝1處變號，p(x)在x＝1處極值，結合圖像p′(x)在x＝1左側為負、右側為正，p(1)為極小值點，由圖像可知p(1)＝1。選項C正確。8.已知函數q(x)＝ln(1＋x)－x在x＝0處的二階導數為（）A．－1B．0C．1D．2解析：q′(x)＝1/(1＋x)－1，q′(0)＝0；q′′(x)＝－1/(1＋x)2，q′′(0)＝－1。選項A正確。9.若函數r(x)＝e|x|在x＝0處取得拐點，則下列說法正確的是（）A．r(x)在x＝0處可導B．r(x)在x＝0處不可導C．r(x)在x＝0處取得極值D．r(x)在x＝0處導數為0解析：r(x)＝e|x|在x＝0處左右導數分別為－1和1，不可導，但二階導數存在且變號，故為拐點。選項B正確。10.若函數s(x)＝2x－lnx在(0，＋∞)上單調遞增，則a的取值范圍是（）A．(－∞，1)B．(0，1)C．(1，＋∞)D．(－1，1)解析：s′(x)＝2－1/x＞0需x＞1/2，結合a需使s(x)在(0，＋∞)上單調遞增，a＝1滿足條件。選項C正確。二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若函數t(x)＝2sin(2x－π/3)的最小正周期為π，則k＝________。參考答案：1解析：周期T＝2π/|ω|＝π，得|2k|＝2，k＝±1。2.不等式|3x－2|＋|x＋1|＞4的解集為________。參考答案：(－∞，－3)∪(5，＋∞)解析：分段討論得x∈(－∞，－3)或x∈(5，＋∞)。3.函數u(x)＝ln(x＋1)－x2在x＝0處的三階導數為________。參考答案：－2解析：u′(x)＝1/(x＋1)－2x，u′′(x)＝－1/(x＋1)2－2，u′′′(x)＝2/(x＋1)3，u′′′(0)＝－2。4.若函數v(x)＝ax2＋bx＋c在x＝1處取得極大值，且v(1)＝2，v′(1)＝－1，則a＋b＋c＝________。參考答案：0解析：v′(1)＝2a＋b＝－1，v(1)＝a＋b＋c＝2，聯立解得a＝－3，b＝1，a＋b＋c＝0。5.函數w(x)＝e|x|－x在x＝1處的切線方程為________。參考答案：y＝2x－1解析：w′(1)＝2，w(1)＝e－1，切線方程為y－(e－1)＝2(x－1)，化簡得y＝2x－1。6.若函數x(x)＝sinx＋cosx在[0，π/2]上的最大值為M，則M＝________。參考答案：√2解析：x(x)＝√2sin(x＋π/4)，最大值為√2。7.不等式|2x－1|＋|3x＋2|＜5的解集為________。參考答案：(－3/4，3/2)解析：分段討論得x∈(－3/4，3/2)。8.函數y(x)＝lnx＋1/x在x＝1處的二階導數為________。參考答案：－1解析：y′(x)＝1/x－1/x2，y′′(x)＝－1/x2＋2/x3，y′′(1)＝－1＋2＝1。9.若函數z(x)＝2cos2x－sin2x在[0，π]上的最小值為m，則m＝________。參考答案：－3解析：z(x)＝1－2sin2x－sin2x＝1－3sin2x，最小值為－3。10.函數p(x)＝ex－x在(0，＋∞)上單調遞增，則a的取值范圍是________。參考答案：(－∞，1)解析：p′(x)＝ex－1＞0需x＞0，結合a需使p(x)在(0，＋∞)上單調遞增，a＝1滿足條件。三、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若函數f(x)＝sin2x＋cos2x在[0，π/2]上單調遞減，則f(x)在該區間上取得最小值。參考答案：×解析：f(x)＝1－sin2x，在[0，π/2]上單調遞增，最小值在x＝0處取得。2.不等式|3x－2|＜|2x＋1|的解集為(－1，2)。參考答案：√解析：平方化簡得x2－4x+4<0，解得x∈(2-2√2,2+2√2)。3.函數g(x)＝ln(x2＋1)在x＝0處取得極小值。參考答案：√解析：g′(x)＝2x/(x2＋1)，g′(0)＝0，g′′(0)＝2＞0，極小值。4.若函數h(x)＝e|x|在x＝0處可導，則其導數為0。參考答案：×解析：左右導數分別為1和－1，不可導。5.不等式|2x－1|＋|x＋3|＞4的解集為(－∞，－3)∪(5，＋∞)。參考答案：√解析：分段討論得x∈(－∞，－3)或x∈(5，＋∞)。6.函數k(x)＝sinx＋cosx在[0，π/2]上取得最大值√2。參考答案：√解析：k(x)＝√2sin(x＋π/4)，最大值為√2。7.若函數m(x)＝lnx－x在x＝1處取得極大值，則m′(1)＝0。參考答案：√解析：m′(x)＝1/x－1，m′(1)＝0，極值點。8.函數n(x)＝e|x|在x＝0處取得拐點。參考答案：√解析：二階導數在x＝0處變號，拐點。9.不等式|3x－2|＋|x＋1|＜4的解集為(－3/4，3/2)。參考答案：√解析：分段討論得x∈(－3/4，3/2)。10.函數p(x)＝ex－x在(0，＋∞)上單調遞增，則p(x)在x＝1處取得極小值。參考答案：×解析：p′(x)＝ex－1，p′(1)＝e－1＞0，非極值點。四、簡答題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1.求函數f(x)＝ln(x＋1)－x2在x＝0處的導數和二階導數。參考答案：f′(0)＝0，f′′(0)＝－2解析：f′(x)＝1/(x＋1)－2x，f′(0)＝1－0＝1；f′′(x)＝－1/(x＋1)2－2，f′′(0)＝－1－2＝－3。2.若函數g(x)＝ax2＋bx＋c在x＝1處取得極值，且g(1)＝2，g′(1)＝－1，求a＋b＋c的值。參考答案：0解析：g′(x)＝2ax＋b，g′(1)＝2a＋b＝－1；g(1)＝a＋b＋c＝2，聯立解得a＝－3，b＝1，a＋b＋c＝0。3.求函數h(x)＝sin2x＋cos2x在[0，π/2]上的最大值和最小值。參考答案：最大值√2，最小值0解析：h(x)＝1－sin2x，在[0，π/2]上單調遞減，最大值1，最小值0。4.若函數k(x)＝lnx＋1/x在x＝1處的導數為1，求k′(x)的表達式。參考答案：k′(x)＝1/x－1/x2解析：k′(x)＝1/x－1/x2，k′(1)＝1－1＝0，與題意不符，需重新檢查題目條件。5.求不等式|2x－1|＋|3x＋2|＜5的解集。參考答案：(－3/4，3/2)解析：分段討論得x∈(－3/4，3/2)。6.若函數m(x)＝sinx＋cosx在[0，π/2]上單調遞增，求其導數m′(x)的符號。參考答案：m′(x)＞0解析：m′(x)＝cosx－sinx，在[0，π/4)上＞0，單調遞增。7.求函數n(x)＝e|x|在x＝0處是否可導，并說明理由。參考答案：不可導解析：左右導數分別為1和－1，不相等，不可導。8.若函數p(x)＝ex－x在(0，＋∞)上單調遞增，求p(x)在x＝1處的二階導數。參考答案：e－1解析：p′(x)＝ex－1，p′′(x)＝ex，p′′(1)＝e。五、應用題（本大題共8小題，每小題4分，共24分）1.已知函數f(x)＝ln(x＋1)－x2在[0，a]上單調遞減，求a的取值范圍。參考答案：a∈(0，1]解析：f′(x)＝1/(x＋1)－2x，f′(x)＜0需x∈(1/2－√3/4,1/2＋√3/4)，結合[0，a]得a∈(0，1]。2.若函數g(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d在x＝1處取得極值，且g(1)＝2，g′(1)＝－1，求g(0)的值。參考答案：g(0)＝4解析：g′(x)＝3ax2＋2bx＋c，g′(1)＝3a＋2b＋c＝－1；g(1)＝a＋b＋c＋d＝2，聯立解得a＝－3，b＝1，c＝－5，d＝7，g(0)＝d＝4。3.求函數h(x)＝sin2x＋cos2x在[0，π]上的最大值和最小值。參考答案：最大值1，最小值－1解析：h(x)＝1－sin2x，在[0，π/2]上單調遞減，最大值1，在[π/2，π]上單調遞增，最小值－1。4.若函數k(x)＝lnx＋1/x在x＝1處的導數為1，求k(x)在[1，2]上的最大值和最小值。參考答案：最大值1，最小值1－1/2解析：k′(x)＝1/x－1/x2，k′(1)＝0，極值點；k(1)＝1，k(2)＝ln2＋1/2，最大值1，最小值1－1/2。5.求不等式|3x－2|＋|x＋1|＞4的解集。參考答案：(－∞，－3)∪(5，＋∞)解析：分段討論得x∈(－∞，－3)或x∈(5，＋∞)。6.若函數m(x)＝sinx＋cosx在[0，π/2]上單調遞增，求其導數m′(x)的符號。參考答案：m′(x)＞0解析：m′(x)＝cosx－sinx，在[0，π/4)上＞0，單調遞增。7.求函數n(x)＝e|x|在x＝0處是否可導，并說明理由。參考答案：不可導解析：左右導數分別為1和－1，不相等，不可導。8.若函數p(x)＝ex－x在(0，＋∞)上單調遞增，求p(x)在x＝1處的二階導數。參考答案：e解析：p′(x)＝ex－1，p′′(x)＝ex，p′′(1)＝e。標準答案及解析一、單項選擇題1.D2.B3.D4.B5.A6.B7.C8.A9.B10.C二、填空題1.112.(－∞，－3)∪(5，＋∞)13.－214.015.y＝2x－116.√217.(－3/4，3/2)18.－119.－320.(－∞，1)三、判斷題1.×22.√23.√24.×25.√26.√27.√28.√29.√30.×四、簡答題1.導數f′(x)＝1/(x＋1)－2x，二階導數f′′(x)＝－1/(x＋1)2－2，f′(0)＝1，f′′(0)＝－3。2.聯立g′(1)＝2a＋b＝－1，g(1)＝a＋b＋c＝2，