現代信號處理教程（第三版）課件 第12、13章 基于小波變換的信號奇異性檢測及去噪、Hilbert Huang變換基礎

第12章基于小波變換的信號奇異性檢測及去噪12.1信號的奇異性檢測12.2基于小波變換的信號奇異性檢測12.3由小波變換模最大重建信號12.4小波去噪12.1信號的奇異性檢測一、Lipschitz指數二、傅里葉變換與信號的規則性三、小波變換與信號的奇異性

信號中所包含的信息主要體現在信號的瞬變點或瞬變的區域中，屬高頻成分，或細節。因此，信號中的瞬變部分也正是我們需要檢測的。信號的瞬變程度常用信號的“奇異性（singularity）”或“規則性(regularity)”來描述

規則性在數學上用于描述函數局部特征；在信號處理中用于描述信號在某點，或某個區域內的平滑性和奇異性。規則性常用Lipschitz指數來度量。

若信號在附近滿足下述關系 式中充分小的量；過點的階多項式；常數；

定義：一、Lipschitz指數實際上，是在處臺勞級數的前項：則說信號在處有李氏指數顯然，的取值在和之間。所以例如，若由上面的討論，可知：若在處次可微，但階導數不連續，那么它次不可微，因此2.若在處的李氏指數為，則積分一次，李氏指數加1以上定義針對一點，擴大到一個區間

則說在上有均勻的李氏指數。若：都滿足2.當且僅當的積分在區間有均勻的李氏指數時，在區間才有均勻的李氏指數；可以證明：當且僅當的導數在區間有均勻的李氏指數時，在區間才有均勻的李氏指數；

若在處一次可微，但一階導數不連續（分段線性函數），則在拐點處的；

而在處的。

階躍函數在階躍點的；白噪聲，因為各點獨立，有

所謂奇異性（singularity)，是指信號中的不連續點。其李氏指數小于1。這些奇異點反映了信號的瞬變，往往包含有豐富的信息。我們當然可以通過小波變換來檢測這些奇異點。也即：將信號瞬變點的檢測轉化為小波變換奇異點的檢測。檢測能力取決于小波的特點。

由此可以看出，和信號在，或在區間 上的可微性有關。若在此處的導數階次越高，相應的越大。反映在信號的特性上， 在此處越平滑。這樣，若信號在某處的消失矩越高，則越具有規則性，相應的李氏指數越高。二、傅里葉變換與信號的規則性

顯然，一個信號的傅里葉變換和該信號的規則性一定有著緊密的聯系，也就是說，由信號的傅里葉變換的特點可以大致判斷信號的規則性。

若信號在某一點或某一個區間內可微的階次越高，信號在該點或該區間內越平滑，或越具有高的規則性。一個信號越平滑，它含有的高頻分量越少，其傅里葉變換隨著頻率的增大就衰減得越快。作為這一現象的一個直接結果，頻譜的支撐范圍也就越小。由上述結果可以看出，如果的階導數變為沖激信號，那么其傅里葉變換以的速度衰減，即如果信號傅里葉變換滿足則是有界的，次可微的，且各階導數有界。定理13.1.1

三、小波變換與信號的奇異性關于小波變換的定義：定義1：

通用的定義定義2：

卷積形式定義令在計算方法上沒有本質區別則定義2的好處：將小波變換看作是信號通過系統的輸出。而系統的“單位沖激響應”正是小波函數（作伸縮）。這樣，有利于信號奇異點檢測的討論。設為一低通函數，如：令三個基本概念：1.低通都是帶通的，可作為小波函數2.信號平滑后求導，等效于直接用平滑函數的導數濾波等效等效信號平滑后求二階導，等效于直接用平滑函數的二階導數濾波數學的點，應是的極值點；的點，應是的轉折點；3.綜合上述討論：若為一低通函數，并有

用對作小波變換，得，它等于零的點反映了的極值點，從而可實現對極值的檢測；結論：

用對作小波變換，得，它等于零的點反映了的轉折點，從而可實現對轉折點的檢測；小波對階躍輸入和脈沖輸入的處理結果幾點說明：1.信號中常見的“瞬變”有兩種，一是邊緣的突變，這相當于在該處迭加了一個階躍信號；另一個是峰值的突變，這相當于在該處迭加了一個沖激信號。這兩種情況分別對應了信號的極值點和轉折點，它們都可以統稱為信號中的奇異點

2.是低通，二階可導，所以，是反對稱的，是偶對稱的；3.是的導數；5.信號中突變點的位置，可能反映在小波變換的過零點上，也可能反映在小波變換的極值點上。但由于過零點易受噪聲的干擾，一般地說，根據過零點檢測不如根據極值點檢測穩健；4.因為沖激函數是階躍函數的導數，所以，尖脈沖的小波變換大致是階躍式函數邊緣的小波變換的導數；6.檢測信號邊緣宜用類似于的反對稱小波，檢測尖脈沖宜用類似于的偶對稱小波。7.為保證檢測有效，一方面，，應分別是某一低通函數的一階和二階導數，另一方面，尺度要選的合適，使信號的奇異點在該尺度下能盡量的反映出來。拐點階躍點峰值點12.2基于小波變換的信號奇異性檢測

一、小波變換與信號的李氏指數二、小波變換的模極大值

由信號的奇異點（階躍點和峰值點）在小波變換中的表現，可以想象，小波變換應和表征信號奇異性及規則性度量的李氏指數之間有著密切的聯系。

一、小波變換與信號的李氏指數成立體現了小波變換（的模）和李氏指數之間的關系。

設，并且在處具有李氏指數，是小波的消失矩的階次，則存在常數,使得定理13.2.1說明：Mallata早期的論文中定義：不是所以：

：李氏指數

：與小波有 關的常數

：尺度給定：及，如果即：則說在區間上有李氏指數。從小波變換的角度判斷李氏指數令則或如果，則小波變換的極值隨尺度（即）的增大而增大；如果，則小波變換的極值隨尺度（即）的增大而減小；如果，則小波變換的極值隨尺度（即）的變化而不變。把尺度、李氏指數和小波變換聯系了起來例例原信號是三個正弦的級聯，中間的頻率大二、小波變換的模極大值小波變換的模；小波變換的局部模極大值；在尺度－時間平面上所有模極大值的連線稱為模極大值線。由于小波變換的模極大值包含了信號的瞬變信息，所以，由模極大值線，一方面可以檢測信號的奇異性，大致求出某處的李氏指數，另一方面，也可由模極大值重建出信號，這有利于去噪。

關于“影響錐（coneofinfluence）”的概念：

考慮信號在處有一個奇異點，可以想象，在處的奇異性將不會影響到整個尺度－時間平面上的小波變換，而主要影響該平面上圍繞的一個小的范圍。假定所使用的小波具有緊支撐，支撐范圍是，那么的支撐范是所謂影響錐，是指尺度－時間平面上使得包含在 范圍內的所有點的集合。于是，的影響錐為顯然，在的影響錐內，的小波變換主要取決于它在附近的值，在影響錐內，小波變換滿足例12.2.1信號：CWT：模極大：

對模極大值曲線，沿著尺度減小的方向向下搜索，在尺度接近為零的方向所對應的時間，即是信號中奇異點的位置。從而實現了奇異性檢測。可以得曲線橫坐標：縱坐標：或由曲線斜率?對應t=416處尖脈沖，

＝0.75對應t=162處的階躍，

＝0.0對應t=64處鈍脈沖，

＝1.375對應t=280處快速下降，＝1.25例12.2.2由上述方法判斷沖激信號、階躍信號和三角波的奇異性,并求李氏指數。可求出：斜率分別是－0.5,0.5,1.5所以，李氏指數分別是－1，0，1例12.2.3粗晶材料的小波檢測

對粗晶材料的探傷在超聲檢測工作中經常遇到，典型的粗晶材料如奧氏體不銹鋼鑄件、鑄鐵、粗晶鈦合金等。被測材料的微觀結構（如鋼中的晶粒和鑄鐵中的石墨片）較大時，由于它們對超聲的強烈散射，會造成嚴重的材料噪聲和信號衰減，致使超聲檢測的靈敏度、穿透力等特性嚴重下降。因此，提高強散射材料缺陷檢出能力和信噪比是無損檢測領域中的重要研究課題。采用信號處理技術，提取缺陷信息是一類被廣泛研究的技術。

泛美EPOCH4-PLUS探傷儀對粗晶奧氏體不銹鋼的檢測：試塊中含有距探測面65mm深的0.8mm的平底孔。由于晶粒粗大，造成了強烈的散射噪聲（工程上稱之為草狀回波）。可見，即使先進的超聲探傷儀，也無法直接實現對粗晶材料中小缺陷的檢測。

恒帶寬時頻分析恒Q時頻圖像研究一、恒帶寬（FB）和恒Q（小波）分析研究二、小波選擇

高斯小波時頻圖像 Shannon小波時頻圖像研究三、高斯小波參數的選擇高斯小波的帶寬；高斯小波的中心頻率；帶寬的影響：研究四、由連續高斯小波變換，選取最感興 趣的區域，提取特征，重建信號，再將 二維顯示改為A型顯示，達到粗晶檢測 和定位的目的。12.3由小波變換模最大重建信號

小波變換的極大值（或過零點）包含了信號的瞬變性質，即奇異部分的特征。因此，人們研究是否可以用小波變換的極大值來重建原信號。因為過零點易受干擾，所以用過零點重建不如用極大值重建。人們對是否能夠由極大值準確重建，或準確重建需要的條件進行了很多研究。結論是：利用極大值只能做到近似重建，但數值計算表明，近似的均方誤差可達到的量級。

用模最大重建，可通過設置閾值，對原信號的奇異性進行改造，也可去除噪聲，也可減小存儲量和計算量。重建的理論較為復雜，詳見教材和Mallat的論文。原始一段心電信號用模極大重建的心電信號，誤差30dB12.4小波去噪一、小波去噪的原理二、小波閾值施加的方式三、小波閾值估計的思路四、MATLAB中的小波閾值去噪是信號處理中永恒的話題！信號模型：信號，一般為低頻噪聲，一般為高頻利用小波變換，將逐級分解，噪聲就體現在各級的“細節”上。對這些細節適當處理，即可有效的去除噪聲。一、小波去噪的原理對上述的加法性噪聲模型，經正交小波變換后，最大程度的去除了的相關性，其能量將集中在少數的小波系數上。由上節的討論可知，這些系數即是在各個尺度下的模極大。但是，噪聲經正交小波變換后仍然是白噪聲，因此，其小波系數仍然是互不相關的，它們將分布在各個尺度的所有時間軸上。這一結論就為我們抑制噪聲提供了理論依據，即在小波變換的各個尺度上保留那些模極大點，而將其他的點置零，或是給以最大程度的減小，然后利用處理后的小波系數做小波反變換，即可達到抑制噪聲的目的。可證明：白噪聲的正交小波小波變換仍是的白噪聲。信號“Blocks”加噪信號去噪信號可以看出：在尺度1和2“細節”信號的整個時間軸上都存在噪聲。將其置零，和概貌一起重建，得“去噪信號”。去噪的步驟：信號的小波分解；對各級高頻系數用不同的閾值量化；對量化后的系數進行重建，得到去噪后的信號。關鍵是步驟2，包含兩部分內容：DWT估計噪聲選擇閾值對系數使用閾值IDWT

閾值越大，去噪效果越好，我們稱去噪后的信號越“平滑”，這是因為僅有少量的小波系數被采用，大部分置零。但會去除部分有用的信號；

閾值的選擇即是閾值的估計，要考慮兩個因素，即信號的長度和噪聲的能量。根據一定的法則建立“風險函數”，使風險最小；閾值的使用，是指如何改變小波系數。閾值越小，去噪后的信號和原信號越接近，去噪效果越差。噪聲在小波變換中的行為：

假定噪聲模型是白噪聲，即是平穩的，各個樣本之間是互不相關的，它們可能服從均勻分布，也可能服從高斯分布。白噪聲經正交小波變換后仍是白噪聲；2.由于白噪聲的李氏指數為負的，所以隨著尺度的增大，小波系數逐漸減小；3.由上述原因，白噪聲經小波變換后，能量主要集中在取小的值時的尺度中；反之，信號的能量主要集中在尺度較大的系數上。硬閾值軟閾值

改進的閾值GeneralizedCrossValidation(GCV)二、小波閾值施加的方式小波系數選擇的閾值加閾值后的小波系數硬閾值：當小波系數的絕對值小于閾值時，令其為零；大于閾值時，小波系數幅度不變；軟閾值：當小波系數的絕對值小于閾值時，令其為零；大于閾值時，小波系數幅度都減去閾值。閾值曲線變為連續。GCV:當小波系數小于閾值時，不是簡單的為零，而是平滑的減小為零。既保證了大的小波系數，又保證了加閾值后系數的平滑過渡。對小波變換，顯然有兩種施加閾值的方法：

1.各個尺度下的小波系數使用同一閾值

2.閾值隨尺度的不同而變化。三、小波閾值估計的思路小波閾值在去噪過程中起到了決定性的作用。如果太小，那么，施加閾值以后的小波系數中將包含過多的噪聲分量，達不到去噪的目的；反之，如果太大，那么將去除一部分信號的分量，從而使由小波系數重建后的信號產生過大的失真。因此，在實際工作中，首先要估計閾值的大小。

記是對小波系數施加閾值后重建的信號，是中殘留的噪聲，那么信號模型：由近似所產生的“風險（risk）”定義為MSE是均方誤差，N是數據的長度。和MSE都是閾值的函數

正交小波變換保持信號的能量在變換前后不變，記是對噪聲施加閾值后的小波系數式中

是施加閾值后觀察信號的小波系數。目的：使風險函數最小來尋求最優的閾值研究：施加閾值后用來近似S的行為。即：如果使用不加閾值的小波系數X作為對S的估計，那么該估計是無偏的，但這時由于沒有去除噪聲，因此X對S估計的方差將會很大。可以設想：如果用代替X來作為對S的估計，那么估計的偏差將會增大，但方差將會減小。由于：

令：可以證明：該式表明，估計的“風險(Risk)”是風險函數的均值，它等于估計偏差的平方加上估計的方差。達到了最大，即有用信號小波變換系數的能量。若偏差等于零，那么估計的方差達到最大值，即噪聲的方差。則去除了所有的噪聲，也去除了所有的信號（即小波系數）。這時的偏差如果令

方差、偏差與風險隨閾值變化的行為使偏差和方差同時都達到最小的閾值應選作為最優閾值。這時，該閾值將使估計的風險為最小，

①如果是定義在[0,1]上由分段多項式構成的函 數，其離散值；②對做正交小波變換的小波的消失矩大于 中多項式的最高階次；③噪聲是方差為的零均值的高斯白噪；那么，如果使為最小，則基于均方誤差的最小風險閾值：實際工作中最小均方誤差很難估計，利用“通用閾值”：。

和隨著N的變化基本上差一個常數。

兩式給出的閾值，一方面和噪聲的方差有關，另一方面又和信號的長度有關。對于前者，應該比較好理解，因為噪聲的方差就是噪聲的能量，自然和和小波系數的大小有關；而對于后者，似乎不好理解。文獻[Jan01]對此給出了說明，即：由于正交小波變換有去除相關和使能量集中的性質，因此信號經小波變換后，其能量集中在少數的小波系數上。增加數據點數，等效于增加了信息的冗余，這時代表信號的小波系數的個數不會增加，增加的只是這些系數的幅度。因此允許小波閾值有所增加。實際上，隨著N的增加，只是緩慢地增加。例如，若假定，那么，

N＝256時，＝3.33N＝4096時＝4.09。另一方面，對方差為的高斯白噪聲，經正交變換后，其小波系數分布在整個時間軸上，這些小波系數保證其能量也為。如果閾值N和無關，那么將有較多的噪聲小波系數通過閾值，從而使重建的信號中仍含有較多的噪聲。因此，從這兩方面來看，合理的方法是讓閾值一方面正比于，另一方面隨N的增大而緩慢增加。除了最小風險閾值及通用閾值外，還有：基于觀察數據的小波變換估計出的“SURE（Stein’sUnbiasedRiskEstimation）”閾值；使最大風險最小化的“最小最大（minimax）”閾值。上述給出的僅僅是閾值估計的思路，詳細的討論需要有關較多的參數估計的理論和相當復雜的推導。

閾值的選擇即是閾值的估計，要根據信號的長度和噪聲的能量，按照某種準則“估計”出閾值。如最小均方估計，Bayesian(貝葉斯）估計等。根據一定的法則建立“風險函數”，使風險最小；

MATLAB中使用如下四種閾值選取方法：1.Sqtwolog:固定閾值選取；

2.Minimaxi:用極大極小原理選取閾值；

3.Rigrsure:利用Stein的無偏似然估計；

4.Heursure:啟發式閾值選取。

四、MATLAB中的小波閾值1.Sqtwolog:固定閾值選取：噪聲的方差信號的長度

這種方法并沒有尋求在方差與偏差之間的平衡，而是在去除所有噪聲的同時，盡量的保留信號。2.Minimaxi:用極大極小原理選取閾值YesNo

選取的閾值使最大風險最小化,也是固定閾值。3.Rigrsure:利用Stein的無偏似然估計rigrsure方法采用SURE（Stein’s無偏風險估計）原理進行自適應閾值的選取。4.Heursure:啟發式閾值選取是rigrsure和sqtwolog兩種閾值的綜合，是最優預測變量閾值選擇。如果信噪比很小，SURE估計有很大的噪聲，在這種情況，就采用這種固定的閾值。

YESNO

在上面四個閾值選取方法中，都沒有涉及噪聲的方差，顯然這是不合理的。實際上，MATLAB中對噪聲是單獨處理的：1.首先估計噪聲的方差。估計的方法是取小波系數在各個尺度下絕對值的中值，然后將該中值除以常數0.6745作為該尺度下小波系數中噪聲強度的估計，即式中是小波分解的尺度，median是MATLAB中求中值運算的命令

2.MATLAB中使用上述方差的方法分別是（1）如果使用標志“one”，則上述求出的四個閾值和無關；（2）如果使用標志“sln”，則將求出的閾值再乘以，而且在各個尺度下不變，即是僅用尺度下的小波系數求出的閾值。（3）如果使用標志“mln”，則要求出各個尺的,

并把求出的閾值分別乘以。顯然，在這種情況下，不同的尺度使用的不同的閾值。MATLAB中有關去噪的文件及舉例

ddencmp：獲取在消噪或壓縮過程中的默認閾值（軟閾值或硬閾值）、熵標準。其基本調用形式是： [THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]=ddencmp(IN1,IN2,X)；X是輸入的帶噪信號；IN1是消噪與壓縮的選擇；IN2是小波與小波包的選擇。返回值中，THR為計算得到的閾值；SORH是“軟閾值”還是“硬閾值”的選擇；KEEPAPP保存低頻信號；CRIT只在小波包分析中使用，是熵標準的選擇。在利用小波去噪分析中，閾值的計算公式thr=sqrt(2*log(n))*s，應用的是sqtwolog固定的閾值選取方法，其中s是噪聲層的估計值。Wden：通過對閾值設置等選項的設定，實現對一維信號的自動去噪。其基本調用形式是：[XD,CXD,LXD]=wden(X,TPTR,SORH,SCAL,N,'wname')；其中，參數X是輸入的帶噪信號，TPTR用來指定閾值的選取算法（如基于Stein的無偏風險估計理論的自適應閾值選取算法、極小極大準則等）；SORH為ddencmp函數選擇的閾值使用方式，即“軟閾值”還是“硬閾值”；SCAL規定了閾值處理隨噪聲水平的變化，即估計噪聲水平的參考數據的范圍；wname是選擇的小波基函數的名稱。Ddencmp，只要選擇“小波”和“去噪”，返回的都是“s’，即軟閾值。Thselet：功能是信號去噪閾值的選擇。其基本調用形式是：

THR=thselect(X,TPTR)Thselet是一個一維去噪函數，根據信號X和閾值選擇標準TPTR，來確定去噪的閾值。這里TPTR的可以選擇的設定就是在前面的討論內容中提到的sqtwolog、minimaxi、rigrsure和heursur閾值選取方法。Wdencmp：功能是用小波進行信號的去噪或壓縮。與wden不同的是，wdencmp可以處理二維信號，同時，其參數的設定更加靈活，便于設計自己的去噪方案。其基本調用形式是：[XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2]＝

wdencmp('gbl',X,'wname',N,THR,SORH,KEEPAPP)[XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2]= wdencmp('lvd',X,'wname',N,THR,SORH)[XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2]= wdencmp('lvd',C,L,'wname',N,THR,SORH)'gbl'表示各層都是用同一個閾值處理；'lvd'表示每層用一個不同的閾值處理；KEEPAPP用來規定是否對低頻系數進行閾值量化。PERF0和PERFL2恢復和壓縮范數百分比。C,L是X的小波分解結構。Wnoisest：功能是估計一維小波系數的標準偏差。其基本調用形式是：

STDC=wnoisest(C,L,S)wnoisest函數對于輸入的信號向量S的各層節點，返回其高頻系數的標準偏差的估計值，C,L是S的小波分解結構。這種估計值采用Maximum的絕對偏差除以0.6745，它在一維零均值高斯白噪聲的信號模型中進行消噪處理時很有用。1：生成一個噪聲函數，比較各種閾值方法去噪的結果。可見，對于標準高斯分布的白噪信號，除了minmax方法得到的結果還留有稀疏的幾個值外，其他的幾種閾值方法都把噪聲完全去除了。例2以rigrsure閾值設定為例，考察去噪過程中，各級小波系數的處理。下圖分別給出各級系數同一閾值處理及分級處理的結果。保持低頻分解系數不變。scal=“sln”,scal=“mln”,決定各級閾值的選取。例3強制去噪、默認閾值去噪、給定閾值去噪的比較。強制去噪是將小波變換后的高頻系數全部置零；默認閾值去噪是采用ddencmp函數得到的閾值；給定閾值去噪則是人為的指定各級小波變換后的高頻系數的處理閾值，在這里選擇的閾值為3。例4基于SURE方法閾值選擇的rigrsure和heursure處理方法，的比較。r－rigrsure，h－heursure；第二個字母代表閾值處理方法，即：h－硬閾值，s－軟閾值，這里只有s一種表示；第三個字母代表各級參數的處理方法，即：s－各級一致閾值，m－各級不同閾值。例靜態圖像壓縮－JPEG標準JPEG：JointPhotographicExpertsGroupJPEG標準框圖：DCTHuffman0,1,1,1,1,…靜態圖像壓縮－DWT變換小波變換編碼步驟：DWT量化熵編碼100101110…靜態圖像壓縮－DWT變換H1H01212H1H01212xG1G0121212G1G012x’小波分解小波綜合Mallat算法靜態圖像壓縮－DWT變換二維DWT變換：原始圖像列變換行變換靜態圖像壓縮－DWT變換三層DWT分解的結果：

第4篇Hilbert－Huang變換

第13章Hilbert－Huang變換基礎13.1非平穩和非線性信號13.2已有非平穩信號分析方法簡述13.3關于瞬時頻率的進一步討論13.4經驗模式分解13.5Hilbert譜分析現實世界中信號絕大部分都是非平穩和非線性的，而教科書中討論的眾多數字信號處理的方法都是假定信號是線性的，確定性的，或平穩的。美籍華人科學家黃鍔（N.E.HUANG）教授針對非平穩和非線性信號的分析，于1998年提出了一個稱之為Hilbert－Huang變換的理論，從而為非平穩，特別是非線性信號的分析與處理開辟了一個高效和新穎的途徑。13.1非平穩和非線性信號“平穩”信號有兩種定義方法：一、若隨機信號

的均值為常數，即且自相關函數和選取起點無關，即稱是寬平穩的。寬平穩信號的二階矩（自相關函數，功率譜）不隨時間變化。二、頻率不隨時間變化的信號稱為時不變信

號，或平穩信號。以上兩個定義是一致的。不滿足上述條件的信號就是非平穩信號。自然界的絕大部分信號都是非平穩的。如我們的語音，人體所有生理信號，等等。

“非平穩”信號的模型：Chirp信號

Chirp信號，非平穩關于非線性信號非線性系統輸出的信號；線性系統也可能輸出非線性信號（系統飽和）。線性系統是針對復雜現象而提出的理想化模型。多數情況下，這一假設可近似成立。線性移不變系統（LSI），最大特點：滿足疊加原理。非線性系統：VanderPol微分方程Duffing微分方程在現實世界中確存在著很多非線性系統，其輸出（信號）是無法用線性系統來近似的。我們人體的電生理信號，如ECG，EEG，EMG，都是細胞膜電位通過人體系統后在體表疊加的結果。

人體組織是非線性的，因此，這些信號嚴格地說都是非線性信號，但目前我們都是把它們當作線性信號來處理。實際工作的需要，促使人們探索非平穩和非線性信號的處理方法。

傅里葉變換是信號分析和處理中的基本方法，已獲得了廣泛的應用，其本質是：將周期信號分解為常數幅度、離散常數頻率的正弦的組合。周期信號FS非周期信號將信號分解為常數幅度、連續常數頻率的正弦的組合。FT傅里葉變換的不足：1.不具有時間和頻率的“定位”功能;2.傅里葉變換對于非平穩信號的局限性3．傅里葉變換在分辨率上的局限性顯然，傅里葉變換對非平穩和非線性信號不適用。傅里葉變換的不足是推動新的信號處理的原動力！13.2已有非平穩信號分析方法簡述

短時傅里葉變換

對信號分段，求每一段的傅里葉變換，得到信號的聯合時頻分析，如譜圖。不足：

（1）如何確定多長的一段是局部平穩的？

（2）在分辨率方面也受到不定原理的制約，即為了好的時間定位，希望每一段盡量短，但這影響頻率分辨率，反之亦然。2.Wigner-Ville分布WVD給出了信號的能量隨時間和頻率的分布，被公認為是對非平穩信號分析和處理的重要工具，并已獲得廣泛應用。不足：

（1）是的FT，受不定原理的制約，即時間/頻率分辨率的制約；

（2）瞬時頻率是時間的單值函數，無法表示多分量信號頻率分布的特點，給出的只是多個頻率在一個時間點上的平均值;

（3）交叉項存在。3．小波變換

小波變換是過去二十年來信號處理領域最重要的進展。在HHT提出（1998）之前，它是分析和處理非平穩信號最成功的工具。不足：

（1）本質上也是加窗后的傅里葉變換；

（2）基函數需要預先指定，缺乏自適應性；

（3）如何選擇最優的小波基是一個仍未解決

的問題。13.3關于瞬時頻率的進一步討論瞬時頻率是描述非平穩和非線性信號最重要的工具，也是HHT中的核心內容。但接受和理解都比較困難。原因：來自于頻率的定義。，為得到頻率，至少需要一個周期的長度。小于一個周期的數據將無法求出頻率。“瞬時”，自然也就無法對應頻率；瞬時頻率的定義存在多樣性；瞬時頻率在計算方面還存在問題。將瞬時頻率永遠從通信工程師的詞典中刪除；瞬時頻率在給非線性失真波形賦以物理意義方面是概念上的創新。文獻上說：

傅里葉變換將信號分解為無窮多常數幅度和頻率的復正弦，得到的頻率又稱傅里葉頻率。顯然，傅里葉頻率是和正弦的周期緊密相連的。因此，用通常的頻率的定義來理解瞬時頻率，是行不通的。

但瞬時頻率是客觀存在的。如我們身邊絢麗的色彩，悠揚的旋律，都包含了不斷變化的頻率成分。問題是如何給出確切的定義和有效的計算方法。矛盾！瞬時頻率如何定義？Carson于1937年VanderPol于1937年給出：IF是相位函數的微分問題是：實際的信號總是實的，如何得到其相

位函數

？該問題引出了將實信號變成復信號的需要。理由：（1）實信號的幅頻響應偶對稱，這時求出的信號的

平均頻率（頻率中心）

，無實際的意義。（2）已在1.3節定義，平均頻率是若=0必=0，對非平穩信號，不符合實際（3）復信號易于確定其相位函數。將實信號變成復信號的方法：正交分量法解析信號法解析信號法：Gabor于1946年提出，主要特點

是通過Hilbert變換得到虛部。取正交分量構成復信號正交分量法：理想化方法，假定AM問題是：如何得到出幅度和相位？

因此，該方法不實用。其希爾伯特變換定義為:的解析信號定義為:表示為幅值和幅角的形式:其中:又稱：HilbertIF于是可求出IF:解析信號的特點：（1）可唯一地得到信號的幅度和相位

，從而得到IF;（2）解析信號的頻譜在負頻率處恒為零，克服了實

信號平均頻率為零的問題；

（3）由，可以突出

局部特征，

反映到極坐標里，使得相位函數對時間的微分

是瞬時頻率。基于解析信號的瞬時頻率的定義也存在問題：（1）對任意一個信號，總能求出Hilbert，進而

得到其瞬時頻率，但這樣的結果有無意義？

結論是：只有當為窄帶信號信號時，求

出的瞬時頻率才有物理意義。Bedrosian定理:若的包絡和載波滿足

則通過解析信號求得的瞬時頻率才有物理意義。含意：包絡可從信號的HT中分離出來，確保得到載波的正交分量。（2）由于

是時間的單值函數，因

此，要求所研究的信號

必須是單分量

信號。對多分量信號，要將其分解為

單分量信號。問題：如何分解？（3）信號

必須是零均值的，且相對于

零均值上、下對稱。瞬時頻率的其它定義：的WVD的Cohen類分布體現的瞬時頻率定義的多樣性瞬時頻率的“估計”因為實際數據是有限長數據是離散的基于相位函數的差分法基于過零點的方法，基于最小均方的LMS算法，基于遞歸最小二乘的RLS算法基于時頻分布的算法估計方法：相位函數差分法前向后向中心

第4篇Hilbert－Huang變換13.4經驗模式分解（EmpiricalModeDecomposition，EMDHHT有兩個步驟：經驗模式分解（EMD）Hilbert譜分析EMD將復雜信號分解為一系列簡單信號：稱為“固有模態函數（IntrinsicModeFunction，

IMF）”。一個IMF就是一個窄帶信號。這一分解無需先選定基函數；取決于信號本身；因而是自適應的；是高效的。

IMF的特點：數量有限，少量；是窄帶信號，方便求瞬時頻率；體現信號局部性質，適于非平穩非線性。（1）在持續時間內，其極值點的數目和過零點

的數目應該相等，或最多差一個；（2）在持續時間內，由信號的局部最大和局部

最小定義的上、下包絡的均值為零。IMF要

滿足：一個IMF波形EMD分解過程：給定

找出

的局部最大、最小值點，再利用三次樣條函數對其進行插值得到

的上包絡和下包絡極大值包絡極小值包絡記上包絡為，記下包絡為，求均值曲線，再求

完成了一次迭代。檢查是否符合IMF的要求。一般不會，按所示方法重新迭代，直到符合為止，這樣可得到一個IMF。

再繼續分解，得到新的IMF。包絡均值令滿足結束條件？否是Sifting步驟：插值計算

包絡

信號

一般不是窄帶信號，通過EMD分解，可將其分解為若干近似IMF的分量之和。EMD的關鍵步驟稱為Sifting。Sifting的結束條件可以有多種，包括：1、或的范數小于特定閾值；2、本身為窄帶信號，不能再分解出IMF分量Sifting結束滿足Sifting結束條件？開始EMD流程信號由頻率為1Hz，5Hz，10Hz，20Hz，50Hz,和100Hz的正弦信號之和，對其進行EMD分解;例例關