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高考解答題專項突破（一）導數與函數的綜合問題第2課時利用導數證明不等式課時作業目錄

考點一直接構造函數證明不等式已知函數f(x)＝a(x－1)－lnx＋1.(1)求f(x)的單調區間；(2)當a≤2時，證明：當x>1時，f(x)<ex－1.待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般地，可以直接構造“左減右”的函數，利用導數研究其單調性，借助所構造函數的單調性即可得證．1.設函數f(x)＝x3－2x2＋ax＋blnx，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y＝－x＋e.(1)求a，b的值；(2)證明：f(x)>－x.

“凹凸反轉法”證明不等式的方法步驟在證明過程中，“隔離化”是關鍵．如果證g(x)≥f(x)恒成立，只需證g(x)min≥f(x)max恒成立，但只有當f(x)與g(x)取到最值的條件是同一個x的值時取等號，否則只能得到g(x)>f(x)．

(2)已知函數f(x)＝ex＋x＋a，g(x)＝ln(x＋1)＋ln2，證明：當a≥0時，f(x)>g(x)．4.已知函數f(x)＝ax－sinx.(1)若函數f(x)為增函數，求實數a的取值范圍；(2)求證：當x>0時，ex>2sinx.證明與正整數n有關的不等式的策略在證明與正整數n有關的不等式時，往往是從題目中已經證得的結論(參數取值范圍、不等式等)出發，通過特殊化處理，即將其中的變量替換為特殊的變量，尤其是可替換為與正整數n有關的式子，然后再結合數列中的裂項求和以及不等式的放縮等方法證得結論．課時作業基礎題(占比20%)中檔題(占比50%)拔高題(占比30%)題號123456難度★★★★★★★★★★★★★考點直接構造函數證明不等式；放縮法證明不等式直接構造函數證明不等式；與正整數n有關的不等式的證明凹凸反轉法證明不等式直接構造函數證明不等式放縮法證明不等式與正整數n有關的不等式的證明3．已知函數f(x)＝elnx－ax(a∈R)．(1)討論f(x)的單調性；(2)當a＝e時，證明：xf(x)－ex＋2ex≤0.5．已知函數f(x)＝xln(x＋a－1)，g(x)＝ex＋cosx－1，其中e＝2.718…為自然對數的底數．(1)當a＝1時，若過點(m，m)與曲線f(x)相切的直線有兩條，求m

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