指數函數性質的有關應用

指數函數性質的有關應用汝南高中：張紅衛2/1/2023指數函數比較大小

例1、比較下列各題中兩個值的大小：底數相同:根據單調性∵函數在R上是增函數，而指數2.5<3．（1）＜解：∴<（2）∵函數在R上是減函數，而指數-0.1>-0.2解：∴＜練習比較兩個數的大小

（1）2.012.8

2.013.5

(2)

0.79－0.1

0.790.1

<>鑰匙底數相同，指數不同。做題方法：利用指數函數的單調性來判斷.（數形結合）。解：根據指數函數的性質，得：且從而有例2，比較兩個數的大小指數不同，底數也不同:與1比較練習比較兩個數的大小>鑰匙指數不同，底數也不同。做題方法：引入中間量法（常用0或1）。底數不同,指數相同:比商法例3.比較下列兩個值的大小

54.7，

44.7練習比較兩個數的大小

36.2________26.2>鑰匙指數相同，底數不同。做題方法：利用比商法來判斷1、底數相同，指數不同。做題方法：利用指數函數的單調性來判斷.（數形結合）。3、指數相同，底數不同。做題方法：利用比商法來判斷.

2、指數不同，底數也不同。做題方法：引入中間量法（常用0或1）。比較指數大小的方法心中無圖，一塌糊涂；心中有圖，胸有成竹。指數式不等式解法指數式不等式解法-----范例1指數式不等式的解法-----類型1指數式不等式的解法-----范例2分解因式，得∵∴∴指數式不等式的解法----類型2指數函數求值域求下列函數的值域:分析:(1).(2)可由函數圖象分析得出,(3)分情況討論。xoy210.25(2)xoy214(1)⑴f(x)=(2)x(0≤x≤2)⑵f(x)=(1/2)x(0≤x≤2)⑶f(x)=ax(0<a,a≠1,0≤x≤2)a>1xyy0<a<1x總結:指數函數求值域（1）圖象法（2）函數的單調性o2o2解:(一)由函數圖象得出.

(二)利用函數單調性.①若a>1,則f(x)在[0,2]為增函數函數值域為[1,a2]②若0<a<1,則f(x)在[0,2]為減函數值域為[a2,1]與指數函數有關的定義域、值域問題

求下列函數的定義域與值域：

(1)y＝；(2)y＝由題目可獲取以下主要信息：①所給函數與指數函數有關；②定義域是使函數式有意義的自變量的取值集合，③值域是函數值的集合，依據定義域和函數的單調性求解.[題后感悟]對于y＝af(x)這類函數，(1)定義域是指只要使f(x)有意義的x的取值范圍(2)值域問題，應分以下兩步求解：①由定義域求出u＝f(x)的值域；②利用指數函數y＝au的單調性求得此函數的值域．求下列函數的值域解答本題可以看成關于2x的一個二次函數，故可令t＝2x，利用換元法求值域.[解題過程]

函數定義域為R.令2x＝t(t>0)，則y＝4x＋2x＋1＋1＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2.∵t>0，∴t＋1>1，∴(t＋1)2>1，∴y>1，∴值域為{y|y>1，y∈R}．[題后感悟]如何求形如y＝b(ax)2＋c·ax＋d的值域？①換元，令t＝ax；②求t的范圍，t∈D；③求二次函數y＝bt＋ct＋d，t∈D的值域．例2.求下列函數的值域含有指數函數的復合函數的單調性復合函數y＝af(x)單調性的確定：當a>1時，單調區間與f(x)的單調區間_____；

當0<a<1時，f(x)的單調增區間是y的單調_____

___．f(x)的單調減區間是y的單調_______．相同