【金教程】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 5.3平面向量的數(shù)量積課件 文 新人教B

最新考綱解讀1．掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義．2．了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題．3．掌握向量垂直的條件．高考考查命題趨勢1．向量的數(shù)量積及運(yùn)算律一直是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，是高考命題的必選素材．考查形式多為小題，考查內(nèi)容主要是向量的數(shù)量積、幾何意義、模以及夾角、共線和垂直問題．2．作為工具在考查三角函數(shù)、立體幾何、平面解析幾何等內(nèi)容時(shí)經(jīng)常用到．在2009年高考中有10套試卷在此知識點(diǎn)命題多以選擇題、填空題出現(xiàn)，如2009全國Ⅱ，6；2009全國Ⅰ，6；2009湖北，17.3．估計(jì)在2011年高考中仍是考查熱點(diǎn)．若單獨(dú)命題則以選擇題或填空題出現(xiàn).注意：當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量a，b同方向量時(shí)，θ＝0°，當(dāng)且僅當(dāng)a，b反方向時(shí)θ＝180°，當(dāng)且僅當(dāng)a與b垂直時(shí)θ＝90°，記作a⊥b.(2)已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，則a·b＝|a|·|b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)．規(guī)定：0·a＝0注意：投影的絕對值稱為射影．投影是實(shí)數(shù)，不是向量；而射影是非負(fù)實(shí)數(shù)．?dāng)?shù)量積的幾何意義：a·b等于a的長度與b在a方向上的投影的乘積．3．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律成立：a·b＝b·a(2)對實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R)(3)分配律成立：(a±b)·c＝a·c±b·c＝c·(a±b)注意：(1)結(jié)合律不成立：a·(b·c)≠(a·b)·c；(2)消去律不成立a·b＝a·c不能得到b＝c.(3)a·b＝0不能得到a＝0或b＝0.4．兩個個非零向向量垂直直的充要要條件a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.1.兩個個向量的的數(shù)量積積是一個個實(shí)數(shù)，，向量加加、減、、數(shù)乘運(yùn)運(yùn)算的運(yùn)運(yùn)算結(jié)果果是向量量．2．?dāng)?shù)量量積的記記號是a·b不能寫成成a×b也不能寫寫成ab.3．若a、b為實(shí)數(shù)，，且a·b＝0，則則有a＝0或b＝0，，但a·b＝0卻卻不能能得出出a＝0或或b＝0.若a、b、c∈R，且a≠0，，則由由ab＝ac可得b＝c，但由由a·b＝a·c及a≠0卻卻不能能推出出b＝c.4．若若a、b、c∈R，則a(bc)＝(ab)c(結(jié)合合律)成立立，但但對于于向量量a、b、c，(a·b)c≠a(b·c)，這這是因因?yàn)閿?shù)數(shù)量a·b與c相乘是是與c共線的的向量量，而而數(shù)量量b·c與a相乘則則是與與a共線的的向量量，所所以一一般二二者是是不等等的．．5．若若a、b∈R，則|a·b|＝|a|·|b|，但但對于于向量量a、b，卻有有|a·b|≤|a|·|b|，等等號當(dāng)當(dāng)且僅僅當(dāng)a∥b時(shí)成立立．這這是因因?yàn)閨a·b|＝|a|·|b|·|cosθ|而|cosθ|≤1.一、選選擇題題1．(2009年福福建卷卷理9文12)設(shè)a、b、c為同一一平面面內(nèi)具具有相相同起起點(diǎn)的的任意意三個個非零零向量量，且且滿足足a與b不共線線，a⊥c，|a|＝|c|，則則|b·c|的值值一定定等于于()A．以a，b為兩邊的△△的面積B．以b，c為兩邊的△△面積C．以a，b為鄰邊的?的面積D．以b，c為鄰邊的?的面積[答案]C[答案]C[答案]B二、填空題題4．向量a、b滿足(a－b)·(2a＋b)＝－4，，且|a|＝2，|b|＝4，則則a、b夾角的余弦弦值等于________．．6．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，則則a在b方向上的投投影為________．7．已知|a|＝3，|b|＝5，如如果a∥b，則a·b＝________.[錯誤分析析]忽視平行向向量的概念念．a(chǎn)、b的夾角為0°、180°.[解析]∵a∥b，∴a與b夾角是0°°或180°即α＝0°或180°∴a·b＝|a||b|cosα＝±15[答案]±15例1判斷下列各各命題正確確與否：(1)0··a＝0；(2)0··a＝0；(3)若a≠0，a·b＝a·c，則b＝c；(4)若a·b＝a·c，則b≠c當(dāng)且僅當(dāng)a＝0時(shí)成立立；(5)對任任意向量a，有a2＝|a|2(6)(a·b)·c＝a·(b·c)對任意a，b，c向量都成立立；(7)a·b＝0?a＝0或b＝0；(8)|a·b|＝|a|·|b|(9)若a、b的夾角為θ，則b在a上的投影為為：b·cosθ.[解](1)錯：：因?yàn)閷?shí)數(shù)數(shù)與向量的的積還是向向量，所以以是錯的．．(2)對；；因?yàn)橄蛄苛康姆e是數(shù)數(shù)量積，所所以是實(shí)數(shù)數(shù)故正確．．(3)錯；；因?yàn)閍·b＝|a|·|b|cosθ，a·c＝|a|·|c|cosφ所以由a≠0，a·b＝a·c得|b|cosθ＝|c|cosφ.因此原結(jié)結(jié)論是錯的的．(4)錯；；反例：當(dāng)當(dāng)a⊥b，a⊥c時(shí)滿足a·b＝a·c且b≠c，但此時(shí)a不一定是零零向量所以以原結(jié)論是是錯的．(5)對；；由向量的的數(shù)量積定定義式知是是正確的．．(6)錯；；因?yàn)?a·b)和(b·c)均是實(shí)數(shù)數(shù)，所以(a·b)·c與c平行，而a·(b·c)與a平行，a與c不一定平行行，所以等等式不成立立．(7)錯；；因?yàn)閍·b＝|a|·|b|cosθ＝0?|a|＝0或|b|＝0或cosθ＝0，所以以原結(jié)論是是錯的．(8)錯；；因?yàn)閍·b＝|a|·|b|cosθ，－1≤cosθ≤1∴－|a|·|b|≤a·b≤|a|·|b|，故原結(jié)結(jié)論是錯的的．(9)錯；；若a、b的夾角為θ，則b在a上的投影應(yīng)應(yīng)為：|b|·cosθ，所以原結(jié)結(jié)論是錯的的．1．通過該該題我們清清楚了實(shí)數(shù)數(shù)與向量的的乘積和向向量的數(shù)量量積之間的的區(qū)別與聯(lián)聯(lián)系，重點(diǎn)點(diǎn)清楚0··a為零向量，，而0·a為零實(shí)數(shù)．．2．通過該題題我們應(yīng)該該清楚：向向量的數(shù)量量積與實(shí)數(shù)數(shù)間的乘積積運(yùn)算是不不一樣的，，不能直接接照搬實(shí)數(shù)數(shù)的乘法規(guī)規(guī)律．3．向量的的數(shù)量積公公式較多，，且容易混混淆，在學(xué)學(xué)習(xí)中要分分清、理解解其實(shí)質(zhì)，，注意區(qū)分分平行向量量、同向向向量、反向向向量、單單位向量等等概念．思考探究1若a、b、c為任意向量量，m∈R，則下列等等式不一定定成立的是是()A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)B．(a＋b)·c＝a·c＋b·cC．m(a＋b)＝ma＋mbD．(a·b)·c＝a·(b·c)[解析]因?yàn)锳、、B、C均是公公式，所所以都正正確．應(yīng)應(yīng)用排除除法知只只有D選選項(xiàng)是錯錯的．因?yàn)?a·b)和(b·c)均是實(shí)實(shí)數(shù)，所所以(a·b)·c與c平行，而而a·(b·c)與a平行，a與c不一定平平行．所所以選項(xiàng)項(xiàng)D不一一定成立立．[答案]D例2已知|a|＝1，，|b|＝5，，且a、b的夾角為為60°°，求下下列各式式子的值值；(1)a·2b；(2)3a2＋b2；(3)(5a＋b)·(3a－2b)；(4)|4a＋b|[分析]直接根據(jù)據(jù)定義或或性質(zhì)計(jì)計(jì)算即可可．[解](1)a·2b＝|a|·|2b|cos60°°＝5(2)3a2＋b2＝3|a|2＋|b|2＝3＋25＝28例3已知向量量a＝(m－2，m＋3)，，b＝(2m＋1，m－2)的的夾角為為鈍角，，求m的取值范范圍．[分析]根據(jù)向量量的數(shù)量量積公式式知，只只需讓a·b<0且a與b不共線即即可．1．本題題易錯點(diǎn)點(diǎn)(1)兩兩個向量量的數(shù)量量積a·b易錯為a×b，書寫時(shí)時(shí)要嚴(yán)格格區(qū)分，，符合““·”在在向量運(yùn)運(yùn)算中不不是乘號號，既不不能省略略，也不不能用““×”代代替；(2)把把a(bǔ)·b＝|a|·|b|·|cosα|與“a·b＝|a|·|b|”混淆淆．(3)兩兩個向量量的夾角角為鈍角角時(shí)，忽忽視平角角的情況況．思考探究究2(1)已已知兩單單位向量量a與b的夾角為為120°，若若c＝2a－b，d＝3b－a，試求c與d的夾角．．[分析]要求兩向向量夾角角θ的取值范范圍，可可先求cosθ的取值范范圍．(2)設(shè)設(shè)非零向向量a＝(x,2x)，b＝(－3x,2)，且且a，b的夾角為為鈍角，，求x的取值范范圍．[分析]解題思維維的入手手點(diǎn)是在在“Rt△ABC中”，據(jù)此進(jìn)進(jìn)行翻譯譯和轉(zhuǎn)化化1．向量量作為高高考的必必考內(nèi)容容，它可可以與三三角函數(shù)數(shù)、解析析幾何等等知識綜綜合，如如本題(是2004年年湖北高高考卷第第19題題)2．利用向向量處理理幾何問問題的方方法步驟驟為：①①建立平平面直角角坐標(biāo)系系；②設(shè)設(shè)點(diǎn)的坐坐標(biāo)；③③求出有有關(guān)向量量的坐標(biāo)標(biāo)；④利利用向量量的運(yùn)算算計(jì)算結(jié)結(jié)果；⑤⑤得到結(jié)結(jié)論．思考探究究3已知：如如圖所示示，ABCD是菱形，，AC和BD是它的兩兩條對角角線，求求證：AC⊥BD.[思路點(diǎn)點(diǎn)撥]對于線段段的垂直直，可以以聯(lián)想到到兩個向向量垂直直的充要要條件，，而對于于這一條條件的應(yīng)應(yīng)用，可可以考慮慮向量式式的形式式，也可可以考慮慮坐標(biāo)形形式的充充要條件件．[點(diǎn)評]如能熟練練應(yīng)用向向量的坐坐標(biāo)表示示及運(yùn)算算，則將將給解題題帶來一一定的方方便，通通過向量量的坐標(biāo)標(biāo)表示，，可以把把幾何問問題的證證明轉(zhuǎn)化化成代數(shù)數(shù)式的運(yùn)運(yùn)算，體體現(xiàn)了向向量的數(shù)數(shù)與形的的橋梁作作用.注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)思想方方法的數(shù)數(shù)學(xué)1．?dāng)?shù)形結(jié)合合的思想想方法．．由于向量本身身具有代數(shù)形形式和幾何形形式雙重身份份，所以在向向量知識的整整個學(xué)習(xí)過程程中，都體現(xiàn)現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合合的思想方法法，在解決問問題過程中要要形成見數(shù)思思形、以形助助數(shù)的思維習(xí)習(xí)慣，以加深深理解知識要要