第五章相似性原理和因次分析

第五章相似性原理和因次分析§5.1量綱分析的意義和量綱和諧性原理§5.2量綱分析法§5.3相似理論基礎§5.4模型實驗量綱分析的意義和量綱和諧原理量綱分析法相似理論基礎模型實驗第五章量綱分析和相似原理

從哲學的角度上講，人類生命的意義是認識自然規律、尊重自然規律、利用自然規律為人類服務。而事實上，在這個包容萬象的大千世界中，只有少數的自然現象可以通過純理論研究而得到結果。

在流體力學中有不少問題目前尚不能通過數學來求解，因為在有些情況下，可能是對過程的全部現象了解的還不夠，難以用微分方程來描述；而另一些情況則是微分方程組的求解困難。在這種情況下，只能依靠實踐，直接通過實驗手段來尋找這些流動過程的規律性。

實驗研究對流體力學的發展具有十分重大的意義。隨著科學技術的發展，實驗越來越復雜，計算量越來越大。由于經濟上的考慮和技術上的限制，對實物進行實驗會遇到很大困難或很難實現。因此，有很多問題都是在實驗室條件下進行模型實驗研究的。物理量～簡稱量，是可以定性區別和定量確定的現象或物體的屬性。基本量和導出量在自然界中，物理量之間存在一定的聯系。例如，在力學現象中，只要適當的選定出三個量之后，就可依據定義或物理定律將其他兩個表示出來。這種彼此相互獨立，又可將其他量表示出來的一組物理量成為基本量。而其他的物理量成為導出量。§5.1量綱分析的意義和量綱和諧原理基本單位和導出單位在一定的單位制中，對最初選定基本量規定出他們的測量單位，稱為基本單位。導出量的測量單位稱為導出單位。§5.1量綱分析的意義和量綱和諧原理量綱某一物理量的種類稱為該物理量的量綱。基本量綱和導出量綱基本量綱就是基本量的量綱。同樣導出量的量綱就稱為導出量綱。§5.1量綱分析的意義和量綱和諧原理相似理論在描述物理現象的用方程式表達的客觀規律已知的情況下，探求兩現象相似的條件。因次分析法在決定某物理現象的諸因素已知的條件下,根據因次和諧性就能推導出描述該現象的物理方程。§5.1量綱分析的意義和量綱和諧原理兩個物理現象相似兩個同一類物理現象，如果在對應時、空點上，所有表征現象的相應物理量都保持各自固定的比例關系（向量方向相同）。兩個流場相似若兩個流場的對應時、空點上，所有表征現象的相應物理量都保持各自固定的比例關系（向量方向相同），則稱兩個流場相似。相應物理量包括幾何學、運動學、動力學和熱力學參數。§5.1量綱分析的意義和量綱和諧原理量綱和諧性原理量綱和諧性原理是量綱分析的基礎。量綱和諧性原理的簡單表述是：凡正確反映客觀規律的物理方程，其各項的量綱一定是一致的，這是被無數事實證實了的客觀原理。推論：（1）凡正確反映客觀規律的物理方程，一定能表示成由無量綱項組成的無量綱方程。（2）量綱和諧性原理規定了一個物理過程中有關物理量之間的關系。

因次分析法就是通過對現象中物理量的因次以及因次之間相互聯系的分析來研究現象相似性的方法。它是以方程式的因次和諧性為基礎的。下面介紹在因次分析中十分重要的π定理。一、π定理某一物理現象，它涉及n個變量，其中有m個基本變量，則此n個變量間的關系?（x1，x2，…，xn）=0，可用（n-m）個無量綱的π項關系式來表示，即

?（π1，π2，…，πn-m）=0以上這個結論就是著名的π定理，也稱布金漢定理。§5.2

量綱分析法二、使用π定理的具體步驟（i=1,2,...,

）3）排列n-m個π項，如該物理現象中的m=3，其基本變量為x1，x2，x3，作為重復變量，則各個π項的組成為：1）找出影響某物理現象的n個獨立物理變量。2）從n個變量中選擇m個基本變量，基本變量的條件為其量綱中包括n個變量中所有的基本量綱。m一般等于這些變量所涉及的基本量綱的個數。基本變量應選取最簡單，最有代表性和容易測量的物理量，如物體的長度，流體的密度和粘度，相對速度等。

4）根據各個π項必須為無量綱量的條件，決定待定指數αi、βi、γi列出具體的π項。5）該物理現象可用（n-m）)個無量綱π項的函數關系來表示。6）必要時，可將各π項相互或自相乘除，盡量使各個π項為一般所熟悉的純數，如雷諾數、馬赫數等。7）根據實驗，決定具體的函數關系式。【例題10-2】證明有壓管流中的壓強損失⊿p可表示為：解：根據實驗，知道壓強損失⊿p與管長，管徑d，管壁粗糙度K，流體運動粘性系數，密度ρ和流速有關，于是有

在這7個量中，基本量綱數為3，因而可選擇三個基本變量，不妨取管徑d[d]=L平均流速[]=LT-1密度ρ[ρ]=ML-3用未知指數寫出無量綱參數πi(i=1~4）。將各量的量綱代入，寫出量綱公式對每一個寫出量綱和諧方程組分別解得：故有根據π定理，得或于是，便得式中函數的具體形式由實驗確定。由實驗得知，壓差與管長l成正比，即有瑞利法式中某一物理量qi可表示為其他物理量的指數乘積瑞利法的基本原理是某一物理過程同幾個物理量有關寫出量綱表達式：將上述量綱表達成：按量綱和諧性原理確定指數a、b、c、……p瑞利法寫出指數乘積式例5-1求水泵輸出功率的表達式寫出量綱表達式：將上述量綱表達成：按量綱和諧性原理確定指數a、b、c瑞利法例5-1求水泵輸出功率的表達式寫出表達式：按量綱和諧性原理確定指數a、b、c解得：整理方程式：K由實驗確定

幾何相似是指流動空間幾何相似。即形成此空間任意相應兩線段夾角相等，任意相應線段長度保持一定的比例。若以表示原型的特征長度，以表示模型的特征長度，以表示原型長度與模型長度的比值，稱為長度比尺。即一、力學相似的基本概念力學相似是指兩個流動現象中相應點處的各物理量彼此之間互相平行（指向量物理量，如速度與力等），并且互相成一定的比例（指向量或標量物理量的數值，標量如長度與時間等）。1、幾何相似§5.3相似性理論基礎

原型與模型相應線段夾角必須相等，即

同理，相應體積之比，則為長度比尺的立方。顯然，兩相應面積之比，為長度比尺的平方

2、運動相似運動相似是指兩流動的對應流線幾何相似，或者說，對應點的流速大小成同一比例，方向相同。所以，速度比尺為有了速度比尺和長度比尺，可以根據簡單的的關系得出時間比尺

3、動力相似

動力相似是指原型流動和模型流動中，要求同名力作用，且對應的同名力互成同一比例。即力的比尺為式中參數的右下標、P、G、I、E分別表示粘性力、壓力、重力、慣性力和彈性力。這里所提的同名力，指的是具有同一物理性質的力。根據動力相似，應有一、相似準則

動力相似應包括所有外力動力相似，而實際上要做到這一點是不可能的。對于某個具體流動來說，雖然同時作用著各種不同性質的外力，但是它們對流體運動狀態的影響并不是一樣的，總有一種或兩種外力居于支配地位，它們決定著流體運動狀態。因此，在模型實驗中，只要使其中起主導作用的外力滿足相似條件，就能夠保證兩流動現象有基本相同的運動狀態。這種只考慮某一種外力的動力相似條件稱為相似準則。相似數準則一、相似準則怎樣來達到流動的動力相似以保證運動相似呢？

設想在兩相似水流中，取兩個相應質點n和m，研究兩質點所受粘性力、壓力、重力及慣性力。假設流體不可壓縮，則不需要考慮彈性力相似的問題。根據動力相似條件，應有相似數1、歐拉相似準則

如果兩個相似流動中起主導作用的力是壓力，那么要在壓力作用下使原型與模型流動動力相似,則

由于慣性力相似與運動相似直接相關，我們把以上的關系式分別寫為和慣性力相聯系的下列等式；；

假定在原型水流中所取的質點是邊長為Ln的立方體，模型水流中所取的相應的質點是邊長為Lm的立方體，則兩水流質點所受壓差作用分別為和。這里采用壓差⊿p而不用壓強，是因為壓力是表面力，作用于質點的有效壓力是質點兩表面的壓差而不是壓力。

作用在兩立方體上的慣性力分別為于是，可得和以符號表示比值，得

稱為流動的歐拉數。故歐拉數表征壓力（差）和慣性力的相對比值。原型水流和模型水流壓力和慣性力的相似關系可以寫為這就是壓力相似準則，或稱為歐拉相似準則。以符號Fr表示比值，則有

稱為流動的弗諾德數。弗諾德數表征慣性力與重力的相對比值。2、弗諾德相似準則同理由重力相似，可以導出原型流動和模型流動的相似關系，可以寫為

3、雷諾相似準則類似地，如果兩個相似流動中起主導作用的是粘性力，則有以符號表示比值，即：顯然，就是前面已經介紹的重要無量綱參數—雷諾數。雷諾數表征慣性力與黏性力之比。同樣，原型流動與模型流動粘性力和慣性力的相似關系可以寫為

即原型流動和模型流動的雷諾數相等。這就是粘性力相似準則，也稱為雷諾相似準則。5、馬赫相似準則在高速氣流中，彈性力起主導作用。由彈性力相似，可導出式中為當地音速。

這個速度的比值就是馬赫數M。它表征慣性力與彈性力之比。由此可見，彈性力相似，就是原型流動和模型流動的馬赫數相等，即

雷諾數和弗諾德數中都包含定性長度和定性速度。因此，若使雷諾數和弗諾德數都相等，就要求原型和模型在長度和速度比尺之間要保持一定關系。由雷諾數模型律，有或或寫成比尺關系的形式，即§5.4

模型實驗

在多數情況下，模型和原型采用同種類且溫度相同的流體，此時，故有

或另一方面，根據弗諾德數相等，可導出

顯然，對于同種、同溫的流體，若要同時滿足雷諾模型律和弗諾德模型律，則容易導出

這意味著模型尺寸與原型相同。因此模型實驗就失去意義了。

即使是對于不同種的流體，若通過調整運動粘度比尺，使上述兩模型律同時滿足，則有

這要求在模型流動中，采用特定粘度的流體，實際上這是很不容易實現的。因此，在模型律的應用時，通常的做法是要求對流動現象起決定或主導作用的那一個模型律相似就可以了。

【例題10-1】煤油管路上的文丘里流量計，入口直徑為300mm，喉部直徑為150mm，在1:3的模型中用水來進行試驗。已知煤油的比重為0.8