2021高考數(shù)學(理)12 統(tǒng)計與概率 含解析

晨鳥教育專題限時集訓(十

統(tǒng)計與概率1．(2019·全國卷)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度，進行如下試驗：將200小鼠隨機分成AB兩組，每組100，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比，根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內的百分比不低于”，根據(jù)直方圖得到(C)的估計值為求乙離子殘留百分比直方圖中，的值；分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)．[]

由已知得0.70＝a＋＋0.15，故a＝0.35.b＝1－－0.15－0.70＝甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2×0.15＋3×4×＋×0.20＋6×＋×0.05乙離子殘留百分比的平均值的估計值為Earlybird

9090晨鳥教育90903×0.05＋4×5×＋×0.35＋7×＋×0.152．(2017·全國卷)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣(單位：℃)有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于，需求量為瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫天數(shù)

2

16

36

25

7

4以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．求六月份這種酸奶一天的需求量(單位：瓶)的分布列；設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為(單位：)，當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位：瓶)為多少時，的數(shù)學期望達到最大值？[]

由題意知，X有可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)＝200)2＋1636＝＝，P(X＝300)＝，(X＝500)＝

257＋490

＝0.4.因此的分布列為

2000.2

3000.4

5000.4由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為，至少為，因此只需考慮200≤n≤當300≤n≤，若最高氣溫不低于，則＝6n－4n＝2；若最高氣溫位于區(qū)間[，則Y＝6×＋2(n300)－4n＝1－2n；若最高氣溫低于，則＝6200＋2(n－－n＝8002n.因此E()＝2n×＋(1－)×0.4＋－)×0.26400.4n當200≤n時，若最高氣溫不低于，則＝6n－4n＝2；若最高氣溫低于，則＝6200＋2(n－－n＝8002nEarlybird

晨鳥教育因此E()＝2n×(0.4＋－2n×＝160＋1.2n.所以n＝300時，Y的數(shù)學期望達到最大值，最大值為520．3(2020·國卷Ⅲ)某學生興趣小組隨機調查了某市天中每天的空氣質量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)：鍛煉人次空氣質量等級1(優(yōu)2(良3(輕度污染4(中度污染

[0,200]2567

(200,400]161072

(400,600]251280分別估計該市一天的空氣質量等級為的概率；(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；若某天的空氣質量等級為或則稱這天“空氣質量好”某天的空氣質量等級為34則稱這天“空氣質量不好”根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為一天到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關？人次≤空氣質量好空氣質量不好nbc附：K2，

人次400(K2)k

.[]下表：

由所給數(shù)據(jù)，該市一天的空氣質量等級為的概率的估計值如空氣質量等級概率的估計值

10.43

20.27

30.21

40.09一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值為Earlybird

晨鳥教育1100

×20＋300×35＋×45)＝350.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得×列聯(lián)表：人次≤

人次＞400空氣質量好空氣質量不好

3322

378根據(jù)列聯(lián)表得K

2

100×－×37＝5545×

≈5.820.由于＞3.841有95%把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關．4全國卷Ⅱ)如圖是某地區(qū)2000至年環(huán)境基礎設施投資額y單位：億元)的折線圖．為了預測該地區(qū)年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型．根據(jù)年至2016的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，…，^17)建立模型①＝－＋13.5t根據(jù)2010至2016的數(shù)據(jù)時間變量的值^依次為，…，建立模型②：＝＋17.5t分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018的環(huán)境基礎設施投資額的預測值；你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由．[]

^利用模型①地區(qū)2018的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為＝－＋13.5×＝億元．利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為×＝256.5(億元)．利用模型②得到的預測值更可靠．

^y99＋Earlybird

晨鳥教育理由如下：(i)從折線圖可以看出2000年至2016的數(shù)據(jù)對應的點沒有隨機散布在直線y＝30.4＋13.5t下，這說明利用年至年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資額的趨勢.2010年相對年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加2010年至2016的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的附近這說明從2010年開始環(huán)境基礎設施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用年至^2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型＝＋17.5t可以較好地描述年以后的環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預測值更可靠．ⅱ)從計算結果看，相對于2016年的環(huán)境基礎設施投資額億元，由模型①得到的預測值元的增幅明顯偏低利用模型②得到的預測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預測值更可靠．以上給出了2理由，答出其中任意一種或其他合理理由均可1肥城市第一高級中學高三月考)年4月，甲、乙兩校的學生參加了某考試機構舉行的大聯(lián)考，現(xiàn)對這兩校參加考試的學生的數(shù)學成績進行統(tǒng)計分析，數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示，考生的數(shù)學成績X服從正態(tài)分布N，從甲、乙兩校100及以上的試卷中用系統(tǒng)抽樣的方法各抽取了20試卷將這份試卷的得分制作成如圖所示的莖葉圖：試通過莖葉圖比較這40試卷的兩校學生數(shù)學成績的中位數(shù)；若把數(shù)學成績不低于135分的記作數(shù)學成績優(yōu)秀，根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，判斷是否有的把握認為數(shù)學成績在100分及以上的學生中數(shù)學成績是否優(yōu)秀與所在學校有關？從所有參加此次聯(lián)考的學生中(人數(shù)很多)任意抽取3人記數(shù)學成績在分以上的人數(shù)為ξ，求ξ的數(shù)學期望．附若隨機變量X服從正態(tài)分布(μσ)則Pμ－σ<≤μ＋＝P(Earlybird

晨鳥教育－2<≤μ＋σ)＝，μ－σX≤＋3)＝0.997nbc參考公式與臨界值表：2＝，其中n＝a＋b＋＋d.(K

2

≥k)

k

[]

(1)由莖葉圖可知：甲校學生數(shù)學成績的中位數(shù)為

128＋2

＝131.5，乙校學生數(shù)學成績的中位數(shù)為

128＋2

＝所以這40份試卷的成績甲校學生數(shù)學成績的中位數(shù)比乙校學生數(shù)學成績的中位數(shù)高由題意，作出2×2聯(lián)表如下：數(shù)學成績優(yōu)秀數(shù)學成績不優(yōu)秀總計

甲校101020

乙校71320

總計172340計算得K

2

的觀測值k＝

4013－×72020×

≈0.9207<2.706，所以沒有90%把握認為數(shù)學成績在100分及以上的學生中數(shù)學成績是否優(yōu)秀與所在學校有關.因為X～N(110,144)，所以＝，σ＝144＝，所以P(86<X≤＝，所以P(X>134)＝

1－2

＝由題意可知ξ～(3,0.0228)，所以ξ)＝×＝2(2020·沙模擬)某市房管局為了了解該市市民2018年1月至年月期間購買二手房情況首先隨機抽樣其中200名購房者并對其購房面積m(單位：平方米60≤m≤進行了一次調查統(tǒng)計成了如圖所示的頻率分布直方圖，接著調查了該市20181月至2019年月期間當月在售二手房均價y單位：萬元/平方米)制成如圖2所示的散點圖圖中月份代碼1至分別對應年1月至20191月)．Earlybird

ii晨鳥教育ii圖1圖2試估計該市市民的平均購房面積m；從該市2018年1月至2019年1月期間所有購買二手房的市民中任取3人，用頻率估計概率，記這3人購房面積不低于100方米的人數(shù)為，求X的分布列與數(shù)學期望；^^^^^^根據(jù)散點圖選擇＝a＋bx和y＝＋dlnx兩個模型進行擬合，經過數(shù)據(jù)處^^理得到兩個回歸方程，分別為＝0.9369＋x和y＝＋0.030x，并得到一些統(tǒng)計量的值，如表所示：^y＝＋0.028

^y＝＋．03013^∑(i1

5910.000i

13∑(i1y)

050請利用相關指數(shù)判斷哪個模型的擬合效果更好，并用擬合效果更好的模型預測20206月份的二手房購房均價(精確到0.001)．參考數(shù)據(jù)：ln2≈，ln1.10，ln10≈2.30，≈，2，3≈，10≈3.16，19≈Earlybird

iii1＝i333605121iii1＝i33360512121參考公式：

n^∑y＝1－.n∑yi[]

(1)m＝650.05＋×0.1＋8595×＋105×0.2＋×0.15＋125×0.05＝96.每一位市民購房面積不低于方米的概率為0.20＋0.05＝0.4，∴X～(3,0.4)，∴P(X＝)＝C

k×0.4

k×0.63

＝，(X＝＝0.63＝，(X＝＝C×0.4×0.6＝0.432，(X＝＝C

×0.4

2

×＝，(X＝＝0.4

3

＝，∴的分布列為：

0

1

2

3∴E(X)＝3×0.4＝1.2.^^設模型＝9＋＝0.9554＋的相關指數(shù)分別為5910.000R，R，則2＝1－，2＝1－

，∴R＜R，^∴模型y＝＋6lnx擬合效果更好，20216份對應的＝42，^∴y＝4＋6ln42＝4＋6(ln3＋ln≈元/平方米．3．(2020·深圳模擬)2020年是中國改革開放的第42周年，為了分認識新形勢下改革開放的時代性，某地的民調機構隨機選取了該地100市民進行調查，將他們的年齡分成6段[

2030

)，[，

)，…[，80

)

，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．Earlybird

68686814284晨鳥教育68686814284現(xiàn)從年齡在[30)[30，[，)

內的人員中按分層抽樣的方法抽取人，再從這人中隨機抽取3人進行座談，用X表示年齡在[，數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；

內的人若用樣本的頻率代替概率隨機抽樣的方法從該地抽取20名市民進行調查，其中有k市民的年齡在[30，50)的概率為P(＝k)(k＝0，1，2…，20

)

.當P＝)最大時，求k的值．[]

按分層抽樣的方法抽取的8人中，年齡在[，

內的人數(shù)為

＋0.010＋

×8＝1人，年齡在

[

3040

)

內的人數(shù)為

＋0.010＋

×8＝2人，年齡在[，

內的人數(shù)為

＋0.010＋

×8＝5人．所以的可能取值為0,1,2，所以P＝0

C0＝＝，C3(＝1)(＝2)

C1＝＝，C3C2＝＝，C3所以的分布列為

0514

11528

23285153(X)＝0×＋＋2×＝.設在抽取市民中在[，50

內的人數(shù)X服從二項分布頻率分布直方圖可知，年齡在[，)

內的頻率為0.010＋

)

×10，Earlybird

20設t＝＝23i10iiii112323320設t＝＝23i10iiii11232331232所以X～(

20

)

，所以P(X＝)＝Ck(0.35)k(1－0.35)－k

＝0,1,2，…，．(＝k)(0.35)k－0.35(＝k－1)0.35k11－0.35)21＝

7

(21－k)13

(

k＝12…，20

，若t，則<7.35，(＝k－1

)(＝k

；若t，則>7.35，

(X＝k－1

)(＝k

.所以當k＝7，P

(X＝k)最大，即當PX)最大時，k＝7.4(2020·皖南八校第二次聯(lián)考)2019全國美麗鄉(xiāng)村籃球大賽在中國農村改革的發(fā)源地——徽鳳陽舉辦，其間甲、乙兩人輪流進行籃球定點投籃比(每人各投一次為一輪)，在相同的條件下，每輪甲乙兩人在同一位置，甲先投，每人投一次球兩人有1命中命中者得1分未命中者得－分兩人都命中或都未命中，12兩人均得0分，設甲每次投球命中的概率為，乙每次投球命中的概率為，且各次投球互不影響．經過1投球，記甲的得分為X，求X分布列；若經過n輪投球，用p表示經過第i輪投球，累計得分，甲的得分高于乙的得分的概率．①求p，，；②規(guī)定＝，經過計算機計算可估計得＝＋＋(≠1)請根據(jù)＋－①中，p，p的值分別寫出a關于b表達式，并由此求出數(shù)列{p

}通項公式．[]

記一輪投球，甲命中為事件，乙命中為事件，A，相互獨立，12由題意P(A)＝，P(B)＝，甲的得分X的取值為－，(X＝－＝(AB)＝P))＝＝(＝P()＋(A)＝P(B)＋(A)P)×＋1＝，2Earlybird

11326111126362111433363666362163ii11132611112636211