2022-2023學年北京市順義區高二下學期期末質量監測數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2北京市順義區2022-2023學年高二下學期期末質量監測數學試題考生須知1．本試卷總分150分，考試用時120分鐘．2．本試卷共5頁，分為選擇題（40分）和非選擇題（110分）兩個部分．3．試卷所有〖答案〗必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．第一部分必須用2B鉛筆作答：第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答．4．考試結束后，請將答題卡交回，試卷自己保留．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以.故選：C2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗命題“”為全稱命題，則其否定為特稱命題，即，故選：B.3.“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗因為“”能推出“”，而“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.數列是等差數列，若，則（）A. B.5 C.9 D.15〖答案〗B〖解析〗因為數列為等差數列，且，所以，因為，所以，所以，所以，故選：B5.某班一天上午有4節課，下午有2節課．現要安排該班一天中語文、數學、政治、英語、體育、藝術6堂課的課程表，要求數學課排在上午，體育課排在下午，不同排法種數有（）A.48種 B.96種 C.144種 D.192種〖答案〗D〖解析〗由題意，要求數學課排在上午，體育課排在下午，有種，再排其余4節，有種，根據乘法原理，共有種方法，故選：D．6.下列給出四個求導的運算：①；②；③；④．其中運算結果正確的個數是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個〖答案〗C〖解析〗①，故正確；②，故正確；③，故錯誤；④，故正確；故選：C7.在5道試題中有3道代數題和2道幾何題，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放回．在第1次抽到代數題的條件下，第2次抽到幾何題的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設事件“第1次抽到代數題”，事件“第2次抽到幾何題”，所以，則.故選：A8.已知為等比數列，下面結論中正確的是（）A.若，則 B.若，則C D.〖答案〗D〖解析〗設等比數列的公式為，對于A，若，則，得，所以或，所以或，所以A錯誤，對于B，若，則，即，所以，則其正負由的正負確定，所以B錯誤，對于C，，當同正時，，當且僅當時取等號，當時，所以C錯誤，對于D，因為，當且僅當時取等號，所以D正確，故選：D9.設函數在上可導，其導函數為，且函數的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是（）A.當時，函數取得極大值 B.當時，函數取得極小值C當時，函數取得極大值 D.當時，函數取得極小值〖答案〗D〖解析〗由圖可得，時，，單調遞減，時，，單調遞減，時，，單調遞增，故當時，函數取得極小值，故選：D.10.某銀行在1998年給出的大額存款的年利率為，某人存入元（大額存款），按照復利，10年后得到的本利和為，下列各數中與最接近的是（）A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8〖答案〗B〖解析〗存入元（大額存款），按照復利，可得每年末本利和是以為首項，為公比的等比數列，所以，可得.故選：B.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.計算：________．（用數字作答）〖答案〗2〖解析〗原式.故〖答案〗為：12.函數的定義域為__________.〖答案〗〖解析〗要使有意義，只需，解得，或，所以函數的定義域為.故〖答案〗為：.13.在的展開式中，常數項為________.(用數字作答)〖答案〗〖解析〗的展開式的通項為：，取得到常數項.故〖答案〗為：.14.若冪函數在上單調遞減，在上單調遞增，則使是奇函數的一組整數的值依次是________．〖答案〗、3（〖答案〗不唯一）〖解析〗因為冪函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，又因為是奇函數，所以需要滿足為小于的奇數，為大于的奇數.故〖答案〗為：、3（〖答案〗不唯一）.15.已知，函數．給出下列四個結論：①當，函數無零點；②當時，函數恰有一個零點；③存在實數，使得函數有兩個零點；④存在實數，使得函數有三個零點．其中所有正確結論的序號是________．〖答案〗①②③〖解析〗∵，∴，∴當時，；當時，，∴在上單調遞減，在上單調遞增，∴函數有極小值點是1，無極大值點，又當時，且極小值為，∴結合的圖像得：當時，直線與的圖像有兩個不同交點，當時，直線與的圖像有一個交點，當時，直線與的圖像沒有交點，當若則（舍），無零點；當若，無零點；若（舍）無零點；若則（舍），無零點；若則不妨設，有一個零點；對于①當時，函數在無零點，函數在無零點；∴①正確；對于②當時，函數在無零點，函數在恰有一個零點；∴②正確，對于③當時，函數在有兩個零點，函數在無零點；∴③正確，對于④當時，函數在有兩個零點，函數在無零點；∴函數有兩個零點；當時，函數在有一個零點，函數在無零點；∴函數有一個零點；當或時，函數在無零點，函數在無零點；∴函數無零點；當時，函數在無零點，函數在無零點；∴函數無零點；當時，函數在無零點，函數在有一個零點；∴函數有一個零點；∴④錯誤，故〖答案〗為：①②③.三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程．16.已知．（1）求；（2）求．解：（1）令，可得（2）令，可得①令，可得②①式減②式可得，17.已知函數．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數在區間上的最大值與最小值．解：（1）函數，，又，，曲線在點處的切線方程為即；（2），令，解得或，當變化時，的變化情況如表所示：2+0-0+單調遞增單調遞減單調遞增又時，時，，當時，在上的最大值為，當時，在上的最小值為．18.兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復時間（單位：天）記錄如下：組：10，11，12，13，14，15，16組：12，13，14，15，16，17，20假設所有病人的康復時間互相獨立，從兩組隨機各選1人，組選出的人記為甲，組選出的人記為乙．（1）求甲的康復時間不多于14天的概率；（2）若康復時間大于14天，則認為康復效果不佳．設表示甲、乙2人中的康復效果不佳的人數，求的分布列及數學期望；（3）組病人康復時間的方差為組病人康復時間的方差為，試判斷與的大小．（結論不要求證明）解：（1）設甲的康復時間不多于14天為事件C，組中的數據共有7個，基本事件共有7種，且相互獨立又組中的數據不多于14天的有5個，即事件C中包含的基本事件有5個甲的康復時間不多于14天的概率（2）甲康復效果不佳的概率，乙康復效果不佳的概率表示甲、乙2人中的康復效果不佳的人數的可能取值是0，1，2表示甲、乙2人中的康復效果不佳的人數為0表示甲、乙2人中的康復效果不佳的人數為1表示甲、乙2人中的康復效果不佳的人數為2的分布列為012的數學期望為.（3）.根據組：10，11，12，13，14，15，16，組：12，13，14，15，16，17，20組數據波動性較大，所以.19.已知為等差數列，為其前項和．若，設．（1）求證：數列是等比數列；（2）設，求數列的前項和．解：（1）設等差數列的公差為，則通項公式為，，，又，則即數列是等比數列，公比為2，首項．（2）由（1）知數列是等比數列，公比為2，首項，數列的前項和20.已知函數．（1）若對任意時，成立，求實數的最大值；（2）若，求證：；（3）若存在，使得成立，求證：．解：（1），，令解得，在單減，在上單增，在取得極小值，也是最小值，時，成立．只需即可，實數的最大值為1．（2）設，，在上單調遞減，，，即．（3）法一：存在時，便得成立，，，令，由可知，由（2）知在上單調遞減，，即，，即，，由知，即，.法二：，，在上單調遞減，在上單調遞增．存在時，使得成立，，且，令，，在上單調遞增，又，，即即，在上單調遞增，即.21已知整數數列滿足：①；②．（1）若，求；（2）求證：數列中總包含無窮多等于1的項；解：（1）因為整數數列滿足，若，可得或；若，可得，此時不滿足，，此時，當時，不滿足，所以，故或.（2）首先．否則，記為中第一個小于等于0的項，則或，從而，與的最小性矛盾，記為的最小值，則為奇數并且，根據的最小性，可知，根據可知，注意到第一個1后面的項為2，1，2，1，2…周期性出現，從而數列中總包含無窮多等于1的項.北京市順義區2022-2023學年高二下學期期末質量監測數學試題考生須知1．本試卷總分150分，考試用時120分鐘．2．本試卷共5頁，分為選擇題（40分）和非選擇題（110分）兩個部分．3．試卷所有〖答案〗必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．第一部分必須用2B鉛筆作答：第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答．4．考試結束后，請將答題卡交回，試卷自己保留．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以.故選：C2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗命題“”為全稱命題，則其否定為特稱命題，即，故選：B.3.“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗因為“”能推出“”，而“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.數列是等差數列，若，則（）A. B.5 C.9 D.15〖答案〗B〖解析〗因為數列為等差數列，且，所以，因為，所以，所以，所以，故選：B5.某班一天上午有4節課，下午有2節課．現要安排該班一天中語文、數學、政治、英語、體育、藝術6堂課的課程表，要求數學課排在上午，體育課排在下午，不同排法種數有（）A.48種 B.96種 C.144種 D.192種〖答案〗D〖解析〗由題意，要求數學課排在上午，體育課排在下午，有種，再排其余4節，有種，根據乘法原理，共有種方法，故選：D．6.下列給出四個求導的運算：①；②；③；④．其中運算結果正確的個數是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個〖答案〗C〖解析〗①，故正確；②，故正確；③，故錯誤；④，故正確；故選：C7.在5道試題中有3道代數題和2道幾何題，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放回．在第1次抽到代數題的條件下，第2次抽到幾何題的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設事件“第1次抽到代數題”，事件“第2次抽到幾何題”，所以，則.故選：A8.已知為等比數列，下面結論中正確的是（）A.若，則 B.若，則C D.〖答案〗D〖解析〗設等比數列的公式為，對于A，若，則，得，所以或，所以或，所以A錯誤，對于B，若，則，即，所以，則其正負由的正負確定，所以B錯誤，對于C，，當同正時，，當且僅當時取等號，當時，所以C錯誤，對于D，因為，當且僅當時取等號，所以D正確，故選：D9.設函數在上可導，其導函數為，且函數的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是（）A.當時，函數取得極大值 B.當時，函數取得極小值C當時，函數取得極大值 D.當時，函數取得極小值〖答案〗D〖解析〗由圖可得，時，，單調遞減，時，，單調遞減，時，，單調遞增，故當時，函數取得極小值，故選：D.10.某銀行在1998年給出的大額存款的年利率為，某人存入元（大額存款），按照復利，10年后得到的本利和為，下列各數中與最接近的是（）A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8〖答案〗B〖解析〗存入元（大額存款），按照復利，可得每年末本利和是以為首項，為公比的等比數列，所以，可得.故選：B.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.計算：________．（用數字作答）〖答案〗2〖解析〗原式.故〖答案〗為：12.函數的定義域為__________.〖答案〗〖解析〗要使有意義，只需，解得，或，所以函數的定義域為.故〖答案〗為：.13.在的展開式中，常數項為________.(用數字作答)〖答案〗〖解析〗的展開式的通項為：，取得到常數項.故〖答案〗為：.14.若冪函數在上單調遞減，在上單調遞增，則使是奇函數的一組整數的值依次是________．〖答案〗、3（〖答案〗不唯一）〖解析〗因為冪函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，又因為是奇函數，所以需要滿足為小于的奇數，為大于的奇數.故〖答案〗為：、3（〖答案〗不唯一）.15.已知，函數．給出下列四個結論：①當，函數無零點；②當時，函數恰有一個零點；③存在實數，使得函數有兩個零點；④存在實數，使得函數有三個零點．其中所有正確結論的序號是________．〖答案〗①②③〖解析〗∵，∴，∴當時，；當時，，∴在上單調遞減，在上單調遞增，∴函數有極小值點是1，無極大值點，又當時，且極小值為，∴結合的圖像得：當時，直線與的圖像有兩個不同交點，當時，直線與的圖像有一個交點，當時，直線與的圖像沒有交點，當若則（舍），無零點；當若，無零點；若（舍）無零點；若則（舍），無零點；若則不妨設，有一個零點；對于①當時，函數在無零點，函數在無零點；∴①正確；對于②當時，函數在無零點，函數在恰有一個零點；∴②正確，對于③當時，函數在有兩個零點，函數在無零點；∴③正確，對于④當時，函數在有兩個零點，函數在無零點；∴函數有兩個零點；當時，函數在有一個零點，函數在無零點；∴函數有一個零點；當或時，函數在無零點，函數在無零點；∴函數無零點；當時，函數在無零點，函數在無零點；∴函數無零點；當時，函數在無零點，函數在有一個零點；∴函數有一個零點；∴④錯誤，故〖答案〗為：①②③.三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程．16.已知．（1）求；（2）求．解：（1）令，可得（2）令，可得①令，可得②①式減②式可得，17.已知函數．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數在區間上的最大值與最小值．解：（1）函數，，又，，曲線在點處的切線方程為即；（2），令，解得或，當變化時，的變化情況如表所示：2+0-0+單調遞增單調遞減單調遞增又時，時，，當時，在上的最大值為，當時，在上的最小值為．18.兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復時間（單位：天）記錄如下：組：10，11，12，13，14，15，16組：12，13，14，15，16，17，20假設所有病人的康復時間互相獨立，從兩組隨機各選1人，組選出的人記為甲，組選出的人記為乙．（1）求甲的康復時間不多于14天的概率；（2）若康復時間大于14天，則認為康復效果不佳．設表示甲、乙2人中的康復效果不佳的人數，求的分布列及數學期望；（3）組病人康復時間的方差為組病人康復時間的方差為，試判斷與的大小．（結論不要求證明）解：（1）設甲的康復時間不多于14天為事件C，組中的數據共有7個，基本事件共有7種，且相互獨立又組中的數據不多于14天的有5個，即事件C中包含的基本事件有5個甲的康復時間不多于14天的概率（2）甲康復效果不佳的概率，乙康