2024年中考數學二輪題型突破題型8 函數的實際應用 類型3 利潤最值問題29題（專題訓練）（教師版）

類型三利潤最值問題（專題訓練）1．（2023·四川遂寧·統考中考真題）端午節是我國入選世界非物質文化遺產的傳統節日，端午節吃粽子是中華民族的傳統習俗．某超市為了滿足人們的需求，計劃在端午節前購進甲、乙兩種粽子進行銷售，經了解．每個乙種粽子的進價比每個甲種粽子的進價多2元，用1000元購進甲種粽子的個數與用1200元購進乙種粽子的個數相同．(1)甲、乙兩種粽子每個的進價分別是多少元？(2)該超市計劃購進這兩種粽子共200個（兩種都有），其中甲種粽子的個數不低于乙種粽子個數的2倍，若甲、乙兩種粽子的售價分別為12元/個、15元/個，設購進甲種粽子m個，兩種粽子全部售完時獲得的利潤為w元．①求w與m的函數關系式，并求出m的取值范圍；②超市應如何進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少元？【答案】(1)甲粽子每個的進價為10元，則乙粽子每個的進價為12元；(2)①w與m的函數關系式為；②購進甲粽子134個，乙粽子66個才能獲得最大利潤，最大利潤為466元【分析】（1）設甲粽子每個的進價為x元，則乙粽子每個的進價為元，根據“用1000元購進甲種粽子的個數與用1200元購進乙種粽子的個數相同”列出分式方程，解方程即可；（2）①設購進甲粽子m個，則乙粽子個，，由題意得，再由甲種粽子的個數不低于乙種粽子個數的2倍，得；②由一次函數的性質即可得出結論．【詳解】（1）解：設甲粽子每個的進價為x元，則乙粽子每個的進價為元，由題意得：，解得：，經檢驗：是原方程的解，且符合題意，則，答：甲粽子每個的進價為10元，則乙粽子每個的進價為12元；（2）解：①設購進甲粽子m個，則乙粽子個，利潤為w元，由題意得：，∵甲種粽子的個數不低于乙種粽子個數的2倍，∴，解得：，∴w與m的函數關系式為；②∵，則w隨m的增大而減小，，即m的最小整數為134，∴當時，w最大，最大值，則，答：購進甲粽子134個，乙粽子66個才能獲得最大利潤，最大利潤為466元．【點睛】本題考查了分式方程的應用，一元一次不等式的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）找出數量關系，正確列出一元一次不等式．2.某種商品每件的進價為10元，若每件按20元的價格銷售，則每月能賣出360件；若每件按30元的價格銷售，則每月能賣出60件．假定每月的銷售件數y是銷售價格x（單位：元）的一次函數．(1)求y關于x的一次函數解析式；(2)當銷售價格定為多少元時，每月獲得的利潤最大？并求此最大利潤．【答案】(1)(2)價格為21元時，才能使每月獲得最大利潤，最大利潤為3630元【分析】（1）設，把，和，代入求出k、b的值，從而得出答案；（2）根據總利潤=每件利潤×每月銷售量列出函數解析式，配方成頂點式，利用二次函數的性質求解可得答案．(1)解：設，把，和，代入可得，解得，則；(2)解：每月獲得利潤．∵，∴當時，P有最大值，最大值為3630．答：當價格為21元時，才能使每月獲得最大利潤，最大利潤為3630元．【點睛】本題主要考查了一次函數解析式的求法和二次函數的應用，解題的關鍵是理解題意找到其中蘊含的相等關系，并據此得出函數解析式及二次函數的性質，然后再利用二次函數求最值．3．（2023·云南·統考中考真題）藍天白云下，青山綠水間，支一頂帳篷，邀親朋好友，聽蟬鳴，聞清風，話家常，好不愜意．某景區為響應文化和旅游部《關于推動露營旅游休閑健康有序發展的指導意見》精神，需要購買兩種型號的帳篷．若購買種型號帳篷2頂和種型號帳篷4頂，則需5200元；若購買種型號帳篷3頂和種型號帳篷1頂，則需2800元．(1)求每頂種型號帳篷和每頂種型號帳篷的價格；(2)若該景區需要購買兩種型號的帳篷共20頂（兩種型號的帳篷均需購買），購買種型號帳篷數量不超過購買種型號帳篷數量的，為使購買帳篷的總費用最低，應購買種型號帳篷和種型號帳篷各多少頂？購買帳篷的總費用最低為多少元？【答案】(1)每頂種型號帳篷的價格為600元，每頂種型號帳篷的價格為1000元(2)當種型號帳篷為5頂時，種型號帳篷為15頂時，總費用最低，為18000元【分析】（1）根據題意中的等量關系列出二元一次方程組，解出方程組后得到答案；（2）根據購買種型號帳篷數量不超過購買種型號帳篷數量的，列出一元一次不等式，得出種型號帳篷數量范圍，再根據一次函數的性質，取種型號帳篷數量的最大值時總費用最少，從而得出答案．【詳解】（1）解：設每頂種型號帳篷的價格為元，每頂種型號帳篷的價格為元．根據題意列方程組為：，解得，答：每頂種型號帳篷的價格為600元，每頂種型號帳篷的價格為1000元．（2）解：設種型號帳篷購買頂，總費用為元，則種型號帳篷為頂，由題意得，其中，得，故當種型號帳篷為5頂時，總費用最低，總費用為，答：當種型號帳篷為5頂時，種型號帳篷為15頂時，總費用最低，為18000元．【點睛】本題考查了二元一次方程組應用，一元一次不等式應用及一次函數的應用，找出準確的等量關系及不等關系是解題的關鍵．4.某服裝店以每件30元的價格購進一批T恤，如果以每件40元出售，那么一個月內能售出300件，根據以往銷售經驗，銷售單價每提高1元，銷售量就會減少10件，設T恤的銷售單價提高元．（1）服裝店希望一個月內銷售該種T恤能獲得利潤3360元，并且盡可能減少庫存，問T恤的銷售單價應提高多少元？（2）當銷售單價定為多少元時，該服裝店一個月內銷售這種T恤獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】（1）2元；（2）當服裝店將銷售單價50元時，得到最大利潤是4000元【分析】（1）根據題意，通過列一元二次方程并求解，即可得到答案；（2）設利潤為M元，結合題意，根據二次函數的性質，計算得利潤最大值對應的的值，從而得到答案．【詳解】（1）由題意列方程得：（x＋40-30）（300-10x）＝3360解得：x1＝2，x2＝18∵要盡可能減少庫存，∴x2＝18不合題意，故舍去∴T恤的銷售單價應提高2元；（2）設利潤為M元，由題意可得：M＝（x＋40-30）（300-10x）＝-10x2＋200x＋3000＝∴當x＝10時，M最大值＝4000元∴銷售單價：40＋10＝50元∴當服裝店將銷售單價50元時，得到最大利潤是4000元．【點睛】本題考查了一元二次方程、二次函數的知識；解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程、二次函數的性質，從而完成求解．5．（2023·江蘇揚州·統考中考真題）近年來，市民交通安全意識逐步增強，頭盔需求量增大．某商店購進甲、乙兩種頭盔，已知購買甲種頭盔20只，乙種頭盔30只，共花費2920元，甲種頭盔的單價比乙種頭盔的單價高11元．(1)甲、乙兩種頭盔的單價各是多少元？(2)商店決定再次購進甲、乙兩種頭盔共40只，正好趕上廠家進行促銷活動，促銷方式如下：甲種頭盔按單價的八折出售，乙種頭盔每只降價6元出售．如果此次購買甲種頭盔的數量不低于乙種頭盔數量的一半，那么應購買多少只甲種頭盔，使此次購買頭盔的總費用最小？最小費用是多少元？【答案】(1)甲、乙兩種頭盔的單價各是65元，54元．(2)購14只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費用最小,最小費用為1976元【分析】（1）設購買乙種頭盔的單價為x元，則甲種頭盔的單價為元，根據題意，得，求解；（2）設購m只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費用最小,設總費用為w,則，解得，故最小整數解為，，根據一次函數增減性，求得最小值=．【詳解】（1）解:設購買乙種頭盔的單價為x元，則甲種頭盔的單價為元，根據題意，得解得，，，答：甲、乙兩種頭盔的單價各是65元，54元．（2）解：設購m只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費用最小,設總費用為w,則，解得，故最小整數解為，，∵，則w隨m的增大而增大，∴時，w取最小值，最小值．答：購14只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費用最小,最小費用為1976元．【點睛】本題考查一元一次方程的應用，一次函數的性質，一次函數的應用、一元一次不等式的應用；根據題意列出函數解析式，確定自變量取值范圍是解題的關鍵．6.某企業投入60萬元（只計入第一年成本）生產某種產品，按網上訂單生產并銷售（生產量等于銷售量）．經測算，該產品網上每年的銷售量y（萬件）與售價x（元/件）之間滿足函數關系式y＝24－x，第一年除60萬元外其他成本為8元/件．(1)求該產品第一年的利潤w（萬元）與售價x之間的函數關系式；(2)該產品第一年利潤為4萬元，第二年將它全部作為技改資金再次投入（只計入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求該產品第一年的售價；②若第二年售價不高于第一年，銷售量不超過13萬件，則第二年利潤最少是多少萬元？【答案】(1)(2)①第一年的售價為每件16元，②第二年的最低利潤為萬元．【分析】（1）由總利潤等于每件產品的利潤乘以銷售的數量，再減去投資成本，從而可得答案；（2）①把代入（1）的函數解析式，再解方程即可，②由總利潤等于每件產品的利潤乘以銷售的數量，再減去投資成本，列函數關系式，再利用二次函數的性質求解利潤范圍即可得到答案．(1)解：由題意得：(2)①由（1）得：當時，則即解得：即第一年的售價為每件16元，②第二年售價不高于第一年，銷售量不超過13萬件，解得：其他成本下降2元/件，∴對稱軸為當時，利潤最高，為77萬元，而當時，（萬元）當時，（萬元）所以第二年的最低利潤為萬元．【點睛】本題考查的是二次函數的實際應用，二次函數的性質，理解題意，列出函數關系式，再利用二次函數的性質解題是關鍵．7．（2023·四川內江·統考中考真題）某水果種植基地為響應政府號召，大力種植優質水果．某超市看好甲、乙兩種優質水果的市場價值，經調查，這兩種水果的進價和售價如下表所示：水果種類進價（元千克）售價（元）千克）甲a20乙b23該超市購進甲種水果15千克和乙種水果5千克需要305元；購進甲種水果20千克和乙種水果10千克需要470元．(1)求a，b的值；(2)該超市決定每天購進甲、乙兩種水果共100千克進行銷售，其中甲種水果的數量不少于30千克，且不大于80千克．實際銷售時，若甲種水果超過60千克，則超過部分按每千克降價3元銷售．求超市當天售完這兩種水果獲得的利潤y（元）與購進甲種水果的數量x（千克）之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍；(3)在（2）的條件下，超市在獲得的利潤y（元）取得最大值時，決定售出的甲種水果每千克降價元，乙種水果每千克降價m元，若要保證利潤率（）不低于，求m的最大值．【答案】(1)；(2)；(3)1.2【分析】（1）根據題意列出二元一次方程組求解即可；（2）設購進甲種水果的數量的數量為x千克，則購進乙種水果的數量的數量為千克，根據題意分兩種情況：和，然后分別表示出總利潤即可；（3）首先根據題意求出y的最大值，然后根據保證利潤率（）不低于列出不等式求解即可．【詳解】（1）由題意列方程組為：，解得；（2）設購進甲種水果的數量的數量為x千克，則購進乙種水果的數量的數量為千克，∴當時，；當時，；綜上所述，；（3）當時，，∴當時，y取最大值，此時（元），當時，，∴（元），∴由上可得：當時，y取最大值520（元），∴由題意可得，，∴解得．∴m的最大值為1.2．【點睛】此題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，一次函數的應用，解題的關鍵是正確分析題目中的等量關系．8.某水果店將標價為10元/斤的某種水果．經過兩次降價后，價格為8.1元/斤，并且兩次降價的百分率相同．（1）求該水果每次降價的百分率；（2）從第二次降價的第1天算起，第x天（x為整數）的銷量及儲藏和損耗費用的相關信息如下表所示：時間（天）x銷量（斤）120﹣x儲藏和損耗費用（元）3x2﹣64x+400已知該水果的進價為4.1元/斤，設銷售該水果第x（天）的利潤為y（元），求y與x（1≤x＜10）之間的函數解析式，并求出第幾天時銷售利潤最大，最大利潤是多少？【答案】（1）10%；（2）y＝﹣3x2+60x+80，第9天時銷售利潤最大，最大利潤是377元【解析】【分析】（1）根據題意，可以列出相應的方程，從而可以求得相應的百分率；（2）根據題意和表格中的數據，可以求得y與x（1≤x＜10）之間的函數解析式，然后利用二次函數的性質可以求出第幾天時銷售利潤最大，最大利潤是多少．【詳解】解：（1）設該水果每次降價的百分率為x，10（1﹣x）2＝8.1，解得，x1＝0.1，x2＝1.9（舍去），答：該水果每次降價的百分率是10%；（2）由題意可得，y＝（8.1﹣4.1）×（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）＝﹣3x2+60x+80＝﹣3（x﹣10）2+380，∵1≤x＜10，∴當x＝9時，y取得最大值，此時y＝377，由上可得，y與x（1≤x＜10）之間的函數解析式是y＝﹣3x2+60x+80，第9天時銷售利潤最大，最大利潤是377元．【點睛】本題考查二次函數的應用、一元二次方程的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質和方程的知識解答．9.（2023·廣東深圳·統考中考真題）某商場在世博會上購置A，B兩種玩具，其中B玩具的單價比A玩具的單價貴25元，且購置2個B玩具與1個A玩具共花費200元．(1)求A，B玩具的單價；(2)若該商場要求購置B玩具的數量是A玩具數量的2倍，且購置玩具的總額不高于20000元，則該商場最多可以購置多少個A玩具？【答案】(1)A、B玩具的單價分別為50元、75元；(2)最多購置100個A玩具．【分析】（1）設A玩具的單價為x元每個，則B玩具的單價為元每個；根據“購置2個B玩具與1個A玩具共花費200元”列出方程即可求解；（2）設A玩具購置y個，則B玩具購置個，根據“購置玩具的總額不高于20000元”列出不等式即可得出答案．【詳解】（1）解：設A玩具的單價為x元，則B玩具的單價為元；由題意得：；解得：，則B玩具單價為（元）；答：A、B玩具的單價分別為50元、75元；（2）設A玩具購置y個，則B玩具購置個，由題意可得：，解得：，∴最多購置100個A玩具．【點睛】本題考查一元一次方程和一元一次不等式的應用，屬于中考常規考題，解題的關鍵在于讀懂題目，找準題目中的等量關系或不等關系．10.國慶節前，某超市為了滿足人們的購物需求，計劃購進甲、乙兩種水果進行銷售．經了解，甲種水果和乙種水果的進價與售價如下表所示：水果單價甲乙進價（元/千克）售價（元/千克）2025已知用1200元購進甲種水果的重量與用1500元購進乙種水果的重量相同．（1）求的值；（2）若超市購進這兩種水果共100千克，其中甲種水果的重量不低于乙種水果重量的3倍，則超市應如何進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？【答案】（1）16；（2）購進甲種水果75千克，則乙種水果25千克，獲得最大利潤425元【分析】（1）根據用1200元購進甲種水果的重量與用1500元購進乙種水果的重量相同列出分式方程，解之即可；（2）設購進甲種水果m千克，則乙種水果100-m千克，利潤為y，列出y關于m的表達式，根據甲種水果的重量不低于乙種水果重量的3倍，求出m的范圍，再利用一次函數的性質求出最大值．【詳解】解：（1）由題意可知：，解得：x=16，經檢驗：x=16是原方程的解；（2）設購進甲種水果m千克，則乙種水果100-m千克，利潤為y，由題意可知：y=（20-16）m+（25-16-4）（100-m）=-m+500，∵甲種水果的重量不低于乙種水果重量的3倍，∴m≥3（100-m），解得：m≥75，即75≤m＜100，在y=-m+500中，-1＜0，則y隨m的增大而減小，∴當m=75時，y最大，且為-75+500=425元，∴購進甲種水果75千克，則乙種水果25千克，獲得最大利潤425元．【點睛】本題考查了分式方程和一次函數的實際應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出方程和函數表達式．11．（2023·湖北荊州·統考中考真題）荊州古城旁“荊街”某商鋪打算購進，兩種文創飾品對游客銷售．已知1400元采購種的件數是630元采購種件數的2倍，種的進價比種的進價每件多1元，兩種飾品的售價均為每件15元；計劃采購這兩種飾品共600件，采購種的件數不低于390件，不超過種件數的4倍．(1)求，飾品每件的進價分別為多少元？(2)若采購這兩種飾品只有一種情況可優惠，即一次性采購種超過150件時，種超過的部分按進價打6折．設購進種飾品件，①求的取值范圍；②設計能讓這次采購的飾品獲利最大的方案，并求出最大利潤．【答案】(1)種飾品每件進價為10元，B種飾品每件進價為9元；(2)①且為整數，②當采購種飾品210件，B種飾品390件時，商鋪獲利最大，最大利潤為3630元【分析】（1）分別設出，飾品每件的進價，依據數量列出方程求解即可；（2）①依據題意列出不等式即可；②根據不同的范圍，列出不同函數關系式，分別求出最大值，比較即可得到李榮最大值．【詳解】（1）（1）設種飾品每件的進價為元，則B種飾品每件的進價為元．由題意得：，解得：，經檢驗，是所列方程的根，且符合題意．種飾品每件進價為10元，B種飾品每件進價為9元．（2）①根據題意得：，解得：且為整數；②設采購種飾品件時的總利潤為元．當時，，即，，隨的增大而減小．當時，有最大值3480．當時，整理得：，，隨的增大而增大．當時，有最大值3630．，的最大值為3630，此時．即當采購種飾品210件，B種飾品390件時，商鋪獲利最大，最大利潤為3630元．【點睛】本題考查了分式方程的應用，一元一次不等式組的應用，一次函數利潤最大化方案問題，關鍵是對分段函數的理解和正確求出最大值．12.某公司生產的一種營養品信息如下表．已知甲食材每千克的進價是乙食材的2倍，用80元購買的甲食材比用20元購買的乙食材多1千克．營養品信息表營養成份每千克含鐵42毫克配料表原料每千克含鐵甲食材50毫克乙食材10毫克規格每包食材含量每包單價A包裝1千克45元B包裝0.25千克12元（1）問甲、乙兩種食材每千克進價分別是多少元？（2）該公司每日用18000元購進甲、乙兩種食材并恰好全部用完．①問每日購進甲、乙兩種食材各多少千克？②已知每日其他費用為2000元，且生產的營養品當日全部售出．若A的數量不低于B的數量，則A為多少包時，每日所獲總利潤最大？最大總利潤為多少元？【答案】（1）甲、乙兩種食材每千克進價分別為40元、20元；（2）①每日購進甲食材400千克，乙食材100千克；②當為400包時，總利潤最大．最大總利潤為2800元【分析】（1）設乙食材每千克進價為元，根據用80元購買的甲食材比用20元購買的乙食材多1千克列分式方程即可求解；（2）①設每日購進甲食材千克，乙食材千克．根據每日用18000元購進甲、乙兩種食材并恰好全部用完，利用進貨總金額為180000元，含鐵量一定列出二元一次方程組即可求解；②設為包，根據題意，可以得到每日所獲總利潤與m的函數關系式，再根據A的數量不低于B的數量，可以得到m的取值范圍，從而可以求得總利潤的最大值．【詳解】解：（1）設乙食材每千克進價為元，則甲食材每千克進價為元，由題意得，解得．經檢驗，是所列方程的根，且符合題意．（元）．答：甲、乙兩種食材每千克進價分別為40元、20元．（2）①設每日購進甲食材千克，乙食材千克．由題意得，解得答：每日購進甲食材400千克，乙食材100千克．②設為包，則為包．記總利潤為元，則．的數量不低于的數量，，．，隨的增大而減小。當時，的最大值為2800元．答：當為400包時，總利潤最大．最大總利潤為2800元．【點睛】本題主要考查了一次函數的應用、分式方程、二元一次方程的應用，解答本題時要明確題意、弄清表格數據的意義及各種量之間關系，利用方程的求未知量和一次函數的性質解答，注意分式方程要檢驗．13．（2023·湖南·統考中考真題）低碳生活已是如今社會的一種潮流形式，人們的環保觀念也在逐漸加深．低碳環保，綠色出行成為大家的生活理念，不少人選擇自行車出行．某公司銷售甲、乙兩種型號的自行車，其中甲型自行車進貨價格為每臺元，乙型自行車進貨價格為每臺元．該公司銷售臺甲型自行車和臺乙型自行車，可獲利元，銷售臺甲型自行車和臺乙型自行車，可獲利元．(1)該公司銷售一臺甲型、一臺乙型自行車的利潤各是多少元？(2)為滿足大眾需求，該公司準備加購甲、乙兩種型號的自行車共臺，且資金不超過元，最少需要購買甲型自行車多少臺？【答案】(1)該公司銷售一臺甲型、一臺乙型自行車的利潤分別為元；(2)最少需要購買甲型自行車臺【分析】（1）該公司銷售一臺甲型、一臺乙型自行車的利潤分別為元，根據題意列出二元一次方程組，解方程組即可求解；（2）設需要購買甲型自行車臺，則購買乙型自行車臺，依題意列出不等式，解不等式求最小整數解，即可求解．【詳解】（1）解：該公司銷售一臺甲型、一臺乙型自行車的利潤分別為元，根據題意得，，解得：，答：該公司銷售一臺甲型、一臺乙型自行車的利潤分別為元；（2）設需要購買甲型自行車臺，則購買乙型自行車臺，依題意得，，解得：，∵為正整數，∴的最小值為，答：最少需要購買甲型自行車臺．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，根據題意列出方程組以及不等式是解題的關鍵．14.某水果商店銷售一種進價為40元/千克的優質水果，若售價為50元/千克，則一個月可售出500千克；若售價在50元/千克的基礎上每漲價1元，則月銷售量就減少10千克．（1）當售價為55元/千克時，每月銷售水果多少千克？（2）當月利潤為8750元時，每千克水果售價為多少元？（3）當每千克水果售價為多少元時，獲得的月利潤最大？【分析】（1）由月銷售量＝500﹣（銷售單價﹣50）×10，可求解；（2）設每千克水果售價為x元，由利潤＝每千克的利潤×銷售的數量，可列方程，即可求解；（3）設每千克水果售價為m元，獲得的月利潤為y元，由利潤＝每千克的利潤×銷售的數量，可得y與x的關系式，有二次函數的性質可求解．【解析】（1）當售價為55元/千克時，每月銷售水果＝500﹣10×（55﹣50）＝450千克；（2）設每千克水果售價為x元，由題意可得：8750＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，解得：x1＝65，x2＝75，答：每千克水果售價為65元或75元；（3）設每千克水果售價為m元，獲得的月利潤為y元，由題意可得：y＝（m﹣40）[500﹣10（m﹣50）]＝﹣10（m﹣70）2+9000，∴當m＝70時，y有最大值為9000元，答：當每千克水果售價為70元時，獲得的月利潤最大值為9000元．15．（2023·云南·統考中考真題）藍天白云下，青山綠水間，支一頂帳篷，邀親朋好友，聽蟬鳴，聞清風，話家常，好不愜意．某景區為響應文化和旅游部《關于推動露營旅游休閑健康有序發展的指導意見》精神，需要購買兩種型號的帳篷．若購買種型號帳篷2頂和種型號帳篷4頂，則需5200元；若購買種型號帳篷3頂和種型號帳篷1頂，則需2800元．(1)求每頂種型號帳篷和每頂種型號帳篷的價格；(2)若該景區需要購買兩種型號的帳篷共20頂（兩種型號的帳篷均需購買），購買種型號帳篷數量不超過購買種型號帳篷數量的，為使購買帳篷的總費用最低，應購買種型號帳篷和種型號帳篷各多少頂？購買帳篷的總費用最低為多少元？【答案】(1)每頂種型號帳篷的價格為600元，每頂種型號帳篷的價格為1000元；(2)當種型號帳篷為5頂時，種型號帳篷為15頂時，總費用最低，為18000元．【分析】（1）根據題意中的等量關系列出二元一次方程組，解出方程組后得到答案；（2）根據購買種型號帳篷數量不超過購買種型號帳篷數量的，列出一元一次不等式，得出種型號帳篷數量范圍，再根據一次函數的性質，取種型號帳篷數量的最大值時總費用最少，從而得出答案．【詳解】（1）解：設每頂種型號帳篷的價格為元，每頂種型號帳篷的價格為元．根據題意列方程組為：，解得，答：每頂種型號帳篷的價格為600元，每頂種型號帳篷的價格為1000元．（2）解：設種型號帳篷購買頂，總費用為元，則種型號帳篷為頂，由題意得，其中，得，故當種型號帳篷為5頂時，總費用最低，總費用為，答：當種型號帳篷為5頂時，種型號帳篷為15頂時，總費用最低，為18000元．【點睛】本題考查了二元一次方程組應用，一元一次不等式應用及一次函數的應用，找出準確的等量關系及不等關系是解題的關鍵．16.某商品的進價為每件40元，在銷售過程中發現，每周的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系可以近似看作一次函數y＝kx+b，且當售價定為50元/件時，每周銷售30件，當售價定為70元/件時，每周銷售10件．（1）求k，b的值；（2）求銷售該商品每周的利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數解析式，并求出銷售該商品每周可獲得的最大利潤．【分析】（1）利用待定系數法可求解析式；（2）由銷售該商品每周的利潤w＝銷售單價×銷售量，可求函數解析式，由二次函數的性質可求解．【解析】（1）由題意可得：30=50k+b10=70k+b∴k=?1b=80答：k＝﹣1，b＝80；（2）∵w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣x+80）＝﹣（x﹣60）2+400，∴當x＝60時，w有最大值為400元，答：銷售該商品每周可獲得的最大利潤為400元．17．（2023·四川廣安·統考中考真題）“廣安鹽皮蛋”是小平故里的名優特產，某超市銷售兩種品牌的鹽皮蛋，若購買9箱種鹽皮蛋和6箱種鹽皮蛋共需390元；若購買5箱種鹽皮蛋和8箱種鹽皮蛋共需310元．(1)種鹽皮蛋、種鹽皮蛋每箱價格分別是多少元？(2)若某公司購買兩種鹽皮蛋共30箱，且種的數量至少比種的數量多5箱，又不超過種的2倍，怎樣購買才能使總費用最少？并求出最少費用．【答案】(1)種鹽皮蛋每箱價格是30元，種鹽皮蛋每箱價格是20元；(2)購買種鹽皮蛋18箱，種鹽皮蛋12箱才能使總費用最少，最少費用為780元【分析】（1）設種鹽皮蛋每箱價格是元，種鹽皮蛋每箱價格是元，根據題意建立方程組，解方程組即可得；（2）設購買種鹽皮蛋箱，則購買種鹽皮蛋箱，根據題意建立不等式組，解不等式組可得的取值范圍，再結合為正整數可得所有可能的取值，然后根據（1）的結果逐個計算總費用，找出總費用最少的購買方案即可．【詳解】（1）解：設種鹽皮蛋每箱價格是元，種鹽皮蛋每箱價格是元，由題意得：，解得，答：種鹽皮蛋每箱價格是30元，種鹽皮蛋每箱價格是20元．（2）解：設購買種鹽皮蛋箱，則購買種鹽皮蛋箱，購買種的數量至少比種的數量多5箱，又不超過種的2倍，，解得，又為正整數，所有可能的取值為18，19，20，①當，時，購買總費用為（元），②當，時，購買總費用為（元），③當，時，購買總費用為（元），所以購買種鹽皮蛋18箱，種鹽皮蛋12箱才能使總費用最少，最少費用為780元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式組的應用，正確建立方程組和不等式組是解題關鍵．18.在“鄉村振興”行動中，某村辦企業以，兩種農作物為原料開發了一種有機產品，原料的單價是原料單價的1.5倍，若用900元收購原料會比用900元收購原料少．生產該產品每盒需要原料和原料，每盒還需其他成本9元．市場調查發現：該產品每盒的售價是60元時，每天可以銷售500盒；每漲價1元，每天少銷售10盒．（1）求每盒產品的成本（成本＝原料費＋其他成本）；（2）設每盒產品的售價是元（是整數），每天的利潤是元，求關于的函數解析式（不需要寫出自變量的取值范圍）；（3）若每盒產品的售價不超過元（是大于60的常數，且是整數），直接寫出每天的最大利潤．【答案】（1）每盒產品的成本為30元．（2）；（3）當時，每天的最大利潤為16000元；當時，每天的最大利潤為元．【分析】（1）設原料單價為元，則原料單價為元．然后再根據“用900元收購原料會比用900元收購原料少”列分式方程求解即可；（2）直接根據“總利潤=單件利潤×銷售數量”列出解析式即可；（3）先確定的對稱軸和開口方向，然后再根據二次函數的性質求最值即可．【詳解】解：（1）設原料單價為元，則原料單價為元．依題意，得．解得，，．經檢驗，是原方程的根．∴每盒產品的成本為：（元）．答：每盒產品的成本為30元．（2）；（3）∵拋物線的對稱軸為=70，開口向下∴當時，a=70時有最大利潤，此時w=16000，即每天的最大利潤為16000元；當時，每天的最大利潤為元．【點睛】本題主要考查了分式方程的應用、二次函數的應用等知識點，正確理解題意、列出分式方程和函數解析式成為解答本題的關鍵．19.某工廠計劃在每個生產周期內生產并銷售完某型設備，設備的生產成本為10萬元/件．（1）如圖，設第x（0＜x≤20）個生產周期設備售價z萬元/件，z與x之間的關系用圖中的函數圖象表示．求z關于x的函數解析式（寫出x的范圍）．（2）設第x個生產周期生產并銷售的設備為y件，y與x滿足關系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的條件下，工廠第幾個生產周期創造的利潤最大？最大為多少萬元？（利潤＝收入﹣成本）【分析】（1）分別得出當0＜x≤12時和當12＜x≤20時，z關于x的函數解析式即可得出答案；（2）設第x個生產周期工廠創造的利潤為w萬元，①當0＜x≤12時，可得出w關于x的一次函數，根據一次函數的性質可得相應的最大值；②當12＜x≤20時，可得出w關于x的二次函數，根據二次函數的性質可得相應的最大值．取①②中較大的最大值即可．【解析】（1）由圖可知，當0＜x≤12時，z＝16，當12＜x≤20時，z是關于x的一次函數，設z＝kx+b，則12k+b=16，解得：k=?∴z=?1∴z關于x的函數解析式為z=16，(0＜x≤12)（2）設第x個生產周期工廠創造的利潤為w萬元，①當0＜x≤12時，w＝（16﹣10）×（5x+40）＝30x+240，∴由一次函數的性質可知，當x＝12時，w最大值＝30×12+240＝600（萬元）；②當12＜x≤20時，w＝（?1=?5=?5∴當x＝14時，w最大值＝605（萬元）．綜上所述，工廠第14個生產周期創造的利潤最大，最大是605萬元．20.甲、乙兩汽車出租公司均有50輛汽車對外出租，下面是兩公司經理的一段對話：甲公司經理：如果我公司每輛汽車月租費3000元，那么50輛汽車可以全部租出．如果每輛汽車的月租費每增加50元，那么將少租出1輛汽車．另外，公司為每輛租出的汽車支付月維護費200元．乙公司經理：我公司每輛汽車月租費3500元，無論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護費共計1850元．說明：①汽車數量為整數；②月利潤=月租車費-月維護費；③兩公司月利潤差=月利潤較高公司的利潤-月利潤較低公司的利潤．在兩公司租出的汽車數量相等的條件下，根據上述信息，解決下列問題：（1）當每個公司租出的汽車為10輛時，甲公司的月利潤是_______元；當每個公司租出的汽車為_______輛時，兩公司的月利潤相等；（2）求兩公司月利潤差的最大值；（3）甲公司熱心公益事業，每租出1輛汽車捐出a元給慈善機構，如果捐款后甲公司剩余的月利潤仍高于乙公司月利潤，且當兩公司租出的汽車均為17輛時，甲公司剩余的月利潤與乙公司月利潤之差最大，求a的取值范圍．【答案】（1）48000，37；（2）33150元；（3）【分析】（1）用甲公司未租出的汽車數量算出每輛車的租金，再乘以10，減去維護費用可得甲公司的月利潤；設每個公司租出的汽車為x輛，根據月利潤相等得到方程，解之即可得到結果；（2）設兩公司的月利潤分別為y甲，y乙，月利潤差為y，同（1）可得y甲和y乙的表達式，再分甲公司的利潤大于乙公司和甲公司的利潤小于乙公司兩種情況，列出y關于x的表達式，根據二次函數的性質，結合x的范圍求出最值，再比較即可；（3）根據題意得到利潤差為，得到對稱軸，再根據兩公司租出的汽車均為17輛，結合x為整數可得關于a的不等式，即可求出a的范圍．【詳解】解：（1）=48000元，當每個公司租出的汽車為10輛時，甲公司的月利潤是48000元；設每個公司租出的汽車為x輛，由題意可得：，解得：x=37或x=-1（舍），∴當每個公司租出的汽車為37輛時，兩公司的月利潤相等；（2）設兩公司的月利潤分別為y甲，y乙，月利潤差為y，則y甲=，y乙=，當甲公司的利潤大于乙公司時，0＜x＜37，y=y甲-y乙==，當x==18時，利潤差最大，且為18050元；當乙公司的利潤大于甲公司時，37＜x≤50，y=y乙-y甲==，∵對稱軸為直線x==18，當x=50時，利潤差最大，且為33150元；綜上：兩公司月利潤差的最大值為33150元；（3）∵捐款后甲公司剩余的月利潤仍高于乙公司月利潤，則利潤差為=，對稱軸為直線x=，∵x只能取整數，且當兩公司租出的汽車均為17輛時，月利潤之差最大，∴，解得：．【點睛】本題考查了二次函數的實際應用，二次函數的圖像和性質，解題時要讀懂題意，列出二次函數關系式，尤其（3）中要根據x為整數得到a的不等式．21.黔東南州某超市購進甲、乙兩種商品，已知購進3件甲商品和2件乙商品，需60元；購進2件甲商品和3件乙商品，需65元．（1）甲、乙兩種商品的進貨單價分別是多少？（2）設甲商品的銷售單價為x（單位：元/件），在銷售過程中發現：當11≤x≤19時，甲商品的日銷售量y（單位：件）與銷售單價x之間存在一次函數關系，x、y之間的部分數值對應關系如表：銷售單價x（元/件）1119日銷售量y（件）182請寫出當11≤x≤19時，y與x之間的函數關系式．（3）在（2）的條件下，設甲商品的日銷售利潤為w元，當甲商品的銷售單價x（元/件）定為多少時，日銷售利潤最大？最大利潤是多少？【分析】（1）設甲、乙兩種商品的進貨單價分別是a、b元/件，由題意得關于a、b的二元一次方程組，求解即可．（2）設y與x之間的函數關系式為y＝k1x+b1，用待定系數法求解即可．（3）根據利潤等于每件的利潤乘以銷售量列出函數關系式，然后寫成頂點式，按照二次函數的性質可得答案．【解析】（1）設甲、乙兩種商品的進貨單價分別是a、b元/件，由題意得：3a+2b=602a+3b=65解得：a=10b=15∴甲、乙兩種商品的進貨單價分別是10、15元/件．（2）設y與x之間的函數關系式為y＝k1x+b1，將（11，18），（19，2）代入得：11k1+∴y與x之間的函數關系式為y＝﹣2x+40（11≤x≤19）．（3）由題意得：w＝（﹣2x+40）（x﹣10）＝﹣2x2+60x﹣400＝﹣2（x﹣15）2+50（11≤x≤19）．∴當x＝15時，w取得最大值50．∴當甲商品的銷售單價定為15元/件時，日銷售利潤最大，最大利潤是50元．22.超市購進某種蘋果，如果進價增加2元/千克要用300元；如果進價減少2元/千克，同樣數量的蘋果只用200元．（1）求蘋果的進價．（2）如果購進這種蘋果不超過100千克，就按原價購進；如果購進蘋果超過100千克，超過部分購進價格減少2元/千克．寫出購進蘋果的支出y（元）與購進數量x（千克）之間的函數關系式．（3）超市一天購進蘋果數量不超過300千克，且購進蘋果當天全部銷售完．據統計，銷售單價z（元/千克）與一天銷售數量x（千克）的關系為．在（2）的條件下，要使超市銷售蘋果利潤w（元）最大，求一天購進蘋果數量．（利潤＝銷售收入購進支出）【答案】蘋果的進價為10元/千克；；（3）要使超市銷售蘋果利潤w最大，一天購進蘋果數量為200千克．【分析】（1）設蘋果的進價為x元/千克，根據等量關系，列出分式方程，即可求解；（2）分兩種情況：當x≤100時，當x＞100時，分別列出函數解析式，即可；（3）分兩種情況：若x≤100時，若x＞100時，分別求出w關于x的函數解析式，根據二次函數的性質，即可求解．【詳解】解：（1）設蘋果的進價為x元/千克，由題意得：，解得：x=10，經檢驗：x=10是方程的解，且符合題意，答：蘋果的進價為10元/千克；（2）當x≤100時，y=10x，當x＞100時，y=10×100+（10-2）×（x-100）=8x+200，∴；（3）若x≤100時，w=zx-y==，∴當x=100時，w最大=100，若x＞100時，w==zx-y==，∴當x=200時，w最大=600，綜上所述：當x=200時，超市銷售蘋果利潤w最大，答：要使超市銷售蘋果利潤w最大，一天購進蘋果數量為200千克．【點睛】本題主要考查分式方程、一次函數、二次函數的實際應用，根據數量關系，列出函數解析式和分式方程，是解題的關鍵．23.某商家銷售一款商品，進價每件80元，售價每件145元，每天銷售40件，每銷售一件需支付給商場管理費5元，未來一個月按30天計算，這款商品將開展“每天降價1元”的促銷活動，即從第一天開始每天的單價均比前一天降低1元，通過市場調查發現，該商品單價每降1元，每天銷售量增加2件，設第x天且x為整數的銷售量為y件．直接寫出y與x的函數關系式；設第x天的利潤為w元，試求出w與x之間的函數關系式，并求出哪一天的利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】；第20天的利潤最大，最大利潤是3200元．【解析】【分析】(1)根據銷量=原價的銷量+增加的銷量即可得到y與x的函數關系式；(2)根據每天售出的件數×每件盈利=利潤即可得到的W與x之間的函數關系式，即可得出結論．【詳解】由題意可知；根據題意可得：，，，，函數有最大值，當時，w有最大值為3200元，第20天的利潤最大，最大利潤是3200元．【點睛】本題考查了二次函數的應用，弄清題意，找到關鍵描述語，找準等量關系準確的列出函數關系式是解決問題的關鍵．24.某工藝品廠設計了一款每件成本為11元的工藝品投放市場進行試銷，經過市場調查，得出每天銷售量y（件）是每件售價x（元）（x為正整數）的一次函數，其部分對應數據如下表所示：每件售價x（元）…15161718…每天銷售量y（件）…150140130120…（1）求y關于x的函數解析式；（2）若用w（元）表示工藝品廠試銷該工藝品每天獲得的利潤，試求w關于x的函數解析式；（3）該工藝品每件售價為多少元時，工藝品廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？【答案】（1）y=-10x+300；（2）w=-10x2+410x-3300；（3）售價為20元或21元，利潤最大，為900元．【解析】【分析】（1）根據表格中數據利用待定系數法求解；（2）利用利潤=銷售量×（售價-成本）即可表示出w；（3）根據（2）中解析式求出當x為何值，二次函數取最大值即可．【詳解】解：（1）設y=kx+b，由表可知：當x=15時，y=150，當x=16時，y=140，則，解得：，∴y關于x的函數解析式為：y=-10x+300；（2）由題意可得：w=（-10x+300）（x-11）=-10x2+410x-3300，∴w關于x的函數解析式為：w=-10x2+410x-3300；（3）∵=20.5，當x=20或21時，代入，可得：w=900，∴該工藝品每件售價為20元或21元時，工藝品廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大，最大利潤是900元．【點睛】本題考查了求一次函數表達式，二次函數的實際應用，解題的關鍵是弄清題中所含的數量關系，正確列出相應表達式．25.某公司銷售一種商品，成本為每件30元，經過市場調查發現，該商品的日銷售量y（件）與銷售單價x（元）是一次函數關系，其銷售單價、日銷售量的三組對應數值如下表：銷售單價x（元）406080日銷售量y（件）806040（1）直接寫出y與x的關系式_________________；

（2）求公司銷售該商品獲得的最大日利潤；（3）銷售一段時間以后，由于某種原因，該商品每件成本增加了10元，若物價部門規定該商品銷售單價不能超過a元，在日銷售量y（件）與銷售單價x（元）保持（1）中函數關系不變的情況下，該商品的日銷售最大利潤是1500元，求a的值．【答案】（1）；（2）當銷售單價是75元時，最大日利潤是2025元；（3）70【解析】【分析】（1）根據題中所給的表格中的數據，可以直接寫出其關系式；（2）根據利潤等于每件的利潤乘以件數，再利用配方法求得其最值；（3）根據題意，列出關系式，再分類討論求最值，比較得到結果.【詳解】（1）設解析式為，將和代入，可得，解得，所以y與x的關系式為，所以答案為；（2），∴拋物線開口向下，函數有最大值∴當時，答：當銷售單價是75元時，最大日利潤是2025元．（3）當時，解得，∴有兩種情況①時，在對稱軸左側，w隨x的增大而增大，∴當時，②時，在范圍內，∴這種情況不成立，．【點睛】該題考查的是有關函數的問題，涉及到的知識點有一次函數解析式的求解，二次函數應用題，在解題的過程中，注意正確找出等量關系是解題的關鍵，屬于簡單題目.26.小紅經營的網店以銷售文具為主，其中一款筆記本進價為每本10元，該網店在試銷售期間發現，每周銷售數量（本）與銷售單價（元）之間滿足一次函數關系，三對對應值如下表：銷售單價（元）121416每周的銷售量（本）500400300（1）求與之間的函數關系式；（2）通過與其他網店對比，小紅將這款筆記本的單價定為元（，且為整數），設每周銷售該款筆記本所獲利潤為元，當銷售單價定為多少元時每周所獲利潤最大，最大利潤是多少元？【答案】（1）；（2）銷售單價為15元時，每周所獲利潤最大，最大利潤是1750元．【解析】【分析】（1）根據待定系數法解答即可；（2）根據每周銷售利潤=每本筆記本的利潤×每周銷售數量可得w與x的二次函數關系式，再根據二次函數的性質即可求出結果．【詳解】解：（1）設與之間的函數關系式是，把，和，代入，得，解得：，；（2）根據題意，得；，有最大值，且當時，隨的增大而增大，為整數，時，有最大值，且w最大（元）．答：銷售單價為15元時，每周所獲利潤最大，最大利潤是1750元．【點睛】本題考查了二次函數的應用，屬于常考題型，正確理解題意、熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．27.某服裝批發市場銷售一種襯衫，襯衫每件進貨價為50元，規定每件售價不低于進貨價，經市場調查，每月的銷售量（件）與每件的售價（元）滿足一次函數關系，部分數據如下表：售價（元/件）606570銷售量（件）140013001200（1）求出與之間的函數表達式；（不需要求自變量的取值范圍）（2）該批發市場每月想從這種襯衫銷售中獲利24000元，又想盡量給客戶實惠，該