山東省日照市校際聯(lián)合2024-2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省日照市校際聯(lián)合2024-2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，，且，則的值為（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】因為向量，，且，所以，即，解得.故選：C.2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由直線得其斜率為，設直線的傾斜角為（），則，所以，所以直線的傾斜角為，故選：D.3.直線過橢圓的一個焦點，則的值為（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】橢圓的半焦距為，焦點為或，直線過一個焦點則或，∴或，故選：C．4.復數(shù)，在復平面內對應的點分別為，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得，，則，.故選：A.5.已知直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，若直線平面，則（）A. B.10 C. D.【答案】C【解析】若直線平面，則，即，解得.故選：C.6.已知圓及直線，當直線與圓相交所得弦長最短時，直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圓標準方程是，圓心為，半徑為2，直線過定點，，在圓內部，直線與圓相交所得弦長最短時，，，所以，∴的方程為，即，故選：D．7.雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線交雙曲線的兩支于，兩點，為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.3【答案】C【解析】由題意可作圖如下：則①，②，在等邊中，，可得，則，由，則，在中，，由余弦定理可得，即，由，則，解得.故選：C.8.如圖，二面角的大小為，棱上有兩點，線段，，，.若，，，則線段的長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵二面角的大小為，，，∴，由題意得，，，∴，∴，即線段的長為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知曲線.（）A.若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B.若m=n>0，則C是圓，其半徑為C.若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為D.若m=0，n>0，則C是兩條直線【答案】ACD【解析】對于A，若，則可化為，因為，所以，即曲線表示焦點在軸上的橢圓，故A正確；對于B，若，則可化為，此時曲線表示圓心在原點，半徑為的圓，故B不正確；對于C，若，則可化為，此時曲線表示雙曲線，由可得，故C正確；對于D，若，則可化為，，此時曲線表示平行于軸的兩條直線，故D正確；故選：ACD.10.下列四個命題中正確的是（）A.過點且在軸上的截距是在軸上截距的倍的直線的方程為B.向量是直線的一個方向向量C.直線與直線之間的距離是D.圓與圓有兩條公切線【答案】BD【解析】選項A：由題意可知直線斜率存在且不為，設直線方程為，令解得，令解得，因為該直線在軸上的截距是在軸上截距的倍，所以，解得或，所以直線方程為或，A說法錯誤；選項B：直線的斜率為，方向向量為，當時，B說法正確；選項C：由得，則直線與直線之間的距離，C說法錯誤；選項D：由題意圓圓心為，半徑，圓圓心為，半徑，因為，，所以兩圓相交，有且僅有兩條公切線，D說法正確；故選：BD.11.已知正方體的棱長為1，平面與對角線垂直，則（）A.正方體的每條棱所在直線與平面所成角均相等B.平面截正方體所得截面面積的最大值為C.當平面與正方體各面都有公共點時，其截面多邊形的周長為定值D.直線與平面內任一直線所成角的正弦值的取值范圍為【答案】ACD【解析】如圖，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系.對于A：因平面與對角線垂直，所以平面的一個法向量為，，，，，同理,所以直線分別與直線所成角相等，所以直線與平面所成角也相等，根據(jù)正方體性質可知，正方體的每條棱所在直線與平面所成角均相等，故A正確；對于B：如圖，點分別為棱的中點，則正六邊形為平面過正方體中心時截正方體所成圖形，由正方體性質可知，當平面由此位置向或趨近時，截面面積變小，故截面面積最大即為正六邊形的面積，其中，所以正六邊形的面積為，故B錯誤；對于C，當平面與正方體各面都有公共點時，截圖為六邊形，如圖陰影部分，，同理可得，故六邊形周長為定值，所以C正確；對于D，直線與平面內任一直線所成角的正弦值的最小值即為直線與平面所成角的正弦值，設直線與平面所成角為，則，設平面與平面的交線為，因為⊥平面，平面，故⊥，故直線與的夾角為，故直線與平面內任一直線所成角的正弦值的最大值為1，所成角的正弦值取值范圍為，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則_______________.【答案】【解析】，則，，，故答案為：．13.已知正三棱錐的棱長都為2，則側面和底面所成二面角的余弦值為________.【答案】【解析】如圖所示，過點S作底面ABC，點O為垂足，連接OA，OB，OC，則點O為等邊三角形ABC的中心，.延長AO交BC于點D，連接SD，則，，∴為側面SBC與底面ABC所成的二面角的平面角.又在等邊三角形ABC中，，∴在中，.14.已知雙曲線的上、下焦點分別為，，點在上，且軸，過點作的平分線的垂線，與直線交于點，若點在圓上，則的值為__________.【答案】【解析】根據(jù)題意，不妨設點在第一象限，過點的垂線與的平分線交于,連接，作圖如下：對，令，故可得，故點坐標為；易知三角形與三角形全等，則，由雙曲線定義可得：，即，即；在中，，在中，由余弦定理得：；則，整理化簡可得：，，也即，則，解的，又，故.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知圓過點，，圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）過點的直線交圓于兩點，且，求直線的方程.解：（1）設圓的標準方程為：，由題意可得：，解之得：，所以圓標準方程為：；（2）由弦心距公式可知，圓心到直線的距離為：.當直線斜率不存在時，的方程為，顯然此時圓心到直線的距離為，不符合題意；當直線斜率存在時，設的方程為：，即，由點到直線的距離公式可得：，解之得：或，所以直線的方程為：或.16.如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，平面，，，，點為棱的中點.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求點到平面的距離.解：（1）以為坐標原點，正方向為軸正方向，可建立如圖空間直角坐標系，則，，，，，，，，設平面的法向量，則，令，解得：，，，，即直線與平面所成角的正弦值為.（2）由（1）知：，，，，，設平面的法向量，則，令，則，，，點到平面的距離.17.已知等腰梯形中，，，為的中點，與交于點（如圖1）.將沿折起到位置，使得二面角為直角（如圖2）.（1）求平面與平面所成角的余弦值；（2）設點為線段上的動點（包含端點），直線與平面所成角為，求的取值范圍.解：（1）如圖1，連接，由已知且，所以是平行四邊形，而，從而是菱形，所以，同理是平行四邊形，所以，是等邊三角形，，圖2中，，，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，以為原點，為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，，設平面的一個法向量是，則，取，則，設平面的一個法向量是，則，取，則，，所以面與平面所成角的余弦值為；（2）設，，則，,因為，所以，所以．18.在平面直角坐標系中，點，，若以軸為折痕，將直角坐標平面折疊成互相垂直的兩個半平面（如圖所示），則稱此時點，在空間中的距離為“點，關于軸的折疊空間距離”，記為.（1）若點，，在平面直角坐標系中的坐標分別為，，，求，的值；（2）若點，在平面直角坐標系中的坐標分別為，，已知點滿足，求點在平面直角坐標系中的軌跡方程；（3）若在平面直角坐標系中，點是橢圓上的點，過點的兩條直線，分別交橢圓于，兩點，其斜率滿足.證明：當時，為定值，并求出該定值.（1）解：如圖建立空間直角坐標系，則點在空間中的坐標分別為，，，∴；.（2）解：由題意可知，點在空間中的坐標為，對點分類討論，①當點在軸的上半平面，即時，點在空間中的坐標為，∴，化簡得：，因此，在平面直角坐標中，點在軸上半平面的軌跡為以為圓心，以1為半徑的半圓.②點在軸的下半平面，即時，點在空間中的坐標為，化簡得：，∴點的軌跡方程為：或（3）證明：①當直線與軸垂直時，顯然不成立；②當直線不與軸垂直時，設直線的方程為：，，聯(lián)立方程，，∵，∴代入韋達定理可得：，即解得或，當時，直線經(jīng)過點,故舍去∴，則，且，當時,由得當過點2,0，；當過點，.∴點在軸的上半平面，點在軸的下半平面，點在空間中的坐標分別為，為定值.19.在平面直角坐標系中，、、、，若動點、滿足，，直線與直線相交于點.（1）求點的軌跡方程；（2）已知過點的直線（與軸不重合）和點軌跡交于、兩點，過點作直線的垂線，垂足為點.設直線與軸交于點，求面積的最大值.解