2025-2026學(xué)年NT20名校聯(lián)合體高三年級1月質(zhì)檢考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

/NT20名校聯(lián)合體高三年級1月質(zhì)檢考試數(shù)學(xué)（一）考試說明：1．本試卷共150分．考試時間120分鐘．2．請將各題答案填在答題卡上．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．2．樣本數(shù)據(jù)3，8，4，6，27，9，1，5的第75百分位數(shù)為（）A.7.5 B.8 C.8.5 D.93．已知向量與，若，則（）A.4 B．-4 C.1 D．-14．已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，則（）A． B．-1 C． D.25．若橢圓的離心率為，則該橢圓的焦距為（）A． B． C． D．6．已知直線，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為為奇函數(shù)，，若方程在區(qū)間上恰有四個不同的實數(shù)根，則（）A.2 B.4 C.8 D.68．如圖，幾何體中，是正三角形，，平面分別為的中點，直線與平交于點．則的值為（）A.2 B.3 C． D.4二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列命題不正確的有（）A．斜二測畫法不會改變邊長比例B．一條直線和一個點確定一個平面C．過圓錐頂點的所有截面中，軸截面的面積最大D．用任意一個平面截球所得截面一定是一個圓面10．已知函數(shù)，則（）A．在上單調(diào)遞增B．的極大值為0C．有三個零點D．曲線在處的切線方程為11．已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在的右支上，的內(nèi)切圓圓心為，過作，垂足為為坐標(biāo)原點，則（）A．雙曲線的離心率為 B．C．圓心的橫坐標(biāo)為1 D．為雙曲線的切線三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知直線的傾斜角為，則___________．13．已知點，點是拋物線上的一點，點是圓．上的一點，則的最小值為___________．14．在Rt中，為空間中的一個點，，則三棱錐體積的最大值為___________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若為邊上一點，且，求．16．（本小題滿分15分）已知，兩點．（1）求以線段為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動點滿足為的中點，求點的軌跡方程.17．（本小題滿分15分）已知橢圓的上焦點為，焦距為2，橢圓的上頂點到的距離與它到直線的距離之比為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點（0，4）且斜率存在的直線與橢圓交于兩點，求的值．18．（本小題滿分17分）如圖，斜三棱柱的體積為為上一點，平面為銳角．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．19．（本小題滿分17分）將平面內(nèi)任意向量繞坐標(biāo)原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，得到向量．已知雙曲線，將雙曲線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到曲線．（1）求的方程；（2）點在曲線上，曲線在點處的切線為直線．（i）若與兩坐標(biāo)軸分別交于兩點，求的面積；（ii）若兩點都在曲線上（異于點），且滿足，求證：．NT20名校聯(lián)合體高三年級1月質(zhì)檢考試數(shù)學(xué)（一）答案1．【正確答案】B，所以共軛復(fù)數(shù)的虛部為，故選B．2．【正確答案】C數(shù)據(jù)1，3，4，5，6，8，9，27共8個，則，因此第75百分位數(shù)為，故選C．3．【正確答案】D，因為，則，解得．故選D．4．【正確答案】C由等比數(shù)列的性質(zhì)得，解得．故選C．5．【正確答案】C因為橢圓的離心率為，所以，即，所以該橢圓的焦距為．故選C．6．【正確答案】A，且，解得或．由可得；而還可能得，由此可知：“”是“”的充分不必要條件，故選A．7．【正確答案】D取，得，即為奇函數(shù)；取，得，所以，所以，所以的周期為．又為奇函數(shù)，所以的圖象的一個對稱中心為，故圖象的對稱軸為直線，結(jié)合上面結(jié)論可得直線也是圖象的對稱軸，又方程在區(qū)間上恰有四個不同的實數(shù)根，則．8．【正確答案】D因為分別為的中點，所以，延長至點，使得，連接，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以．連接，交于點，過點作的垂線，垂足為，則，又為的中點，所以為的中點，所以，又．由易知，，即，解得，所以．故選D．9．【正確答案】ABC選項A，斜二測畫法可能會改變邊長比例，A選項錯誤；選項B，當(dāng)點在直線外時，直線與該點可確定一個平面，當(dāng)點在直線上時，直線與該點不能確定一個平面，故選項B錯誤；選項C，過圓錐頂點的所有截面中，軸截面的面積是否最大，取決于軸截面三角形的頂角是否不大于90°，故C錯誤；選項D，用任意一個平面截球所得截面一定是一個圓面，故D正確；故選ABC．10．【正確答案】AB函數(shù)，由得或，所以的單調(diào)增區(qū)間為．A選項正確；當(dāng)時，有極大值B選項正確；當(dāng)時，有極小值，又，所以的圖象與軸有兩個交點，C選項錯誤；，所以切線方程為，即D選項錯誤．故選AB.11．【正確答案】ABD對于A選項：由題知，所以雙曲線的離心率為．A選項正確；對于B選項：如圖1所示，設(shè)圓與的三邊分別相切于點，延長交于點，連接，則，，因此B選項正確；對于C選項：如圖1所示，．解得，故圓心的橫坐標(biāo)為2，故C選項錯誤；D選項，如圖2，設(shè)雙曲線在點處的切線為，作，由光學(xué)性質(zhì)可以知道，又，所以，所以為的平分線，故三點共線．故D選項正確．故選ABD．12．【正確答案】由題意可得直線的斜率為，所以，解得．13．【正確答案】6由題意知是拋物線的焦點，過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，記點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)直線與拋物線的準(zhǔn)線垂直，點在線段上時，等號成立，所以的最小值為6．14．【正確答案】因為，所以在過點且與垂直的平面內(nèi)，設(shè)平面，過作的垂線，垂足為，則，且，因為，所以點在以為底面圓心的圓周上，如圖平面平面，且平面平面，由圖可知到底面的最大距離為，所以三棱錐體積的最大值為15．（1）因為，所以由正弦定理得，，（2）因為，所以，因為，所以即，解得.16．（1）因為為直徑，則的中點為，所以圓心為，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)，因為，是線段的中點，由中點坐標(biāo)公式得，所以，（1）知，點的軌跡方程為，將代入得，即.所以動點的軌跡方程為．（除兩點）.17．（1）因為焦距為2，所以，即，又橢圓上頂點到點的距離與到直線的距離之比為，上頂點，則，解得，即，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題知，設(shè)直線，聯(lián)立，得，則，解得或，由韋達(dá)定理可得，所以所以為定值0．18．（1）證明：連接交于點，在斜三棱柱中，四邊形為平行四邊形，為的中點，連接，平面，平面，平面平面，，又在中，為的中點，為中點，又，，又，且平面，平面.（2），所以斜三棱柱的高為1．又平面平面平面平面.過作于，則平面，即為斜三棱柱的高，，.以為原點，所在直線分別為軸，軸，在平面內(nèi)過作垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則