人教版八年級數學下冊

第二十章勾股定理20.2.1勾股定理的逆定理大禹治水的直角難題一是“用3、4、5段繩長圍出的三角形為什么是直角”??二是“沒有工具時，怎么用繩子確定堤壩拐角的直角”和咱們之前學習的勾股定理有沒有關系？勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊為c,那么a2+b2=c2.如果反過來，它就一定是直角三角形嗎？治水測量中的猜想取繩長3cm、4cm、5cm，圍出三角形，用量角器測量最大角的度數。345三邊分別為3，4，5，滿足關系：32+42=52，則該三角形是直角三角形．三邊在數量上有什么關系？問題1

用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？是做一做：分別以這些數為邊長畫出三角形(單位：cm).

①5，12，13；

②7，24，25；

③8，15，17．治水測量中的猜想治水測量中的猜想

下面有三組數分別是一個三角形的三邊長a,b,c:

①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.問題2

這三組數在數量關系上有什么相同點？①5,12,13滿足52+122=132,②7,24,25滿足72+242=252,③8,15,17滿足82+152=172.治水測量中的猜想問題3

據此你有什么猜想呢?由上面幾個例子，我們猜想：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.我覺得這個猜想不準確，因為測量結果可能有誤差.我也覺得猜想不嚴謹，前面我們只取了幾組數據，不能由部分代表整體.從猜想走向定理已知：如圖，△ABC的三邊長a，b，c，滿足a2+b2=c2．求證：△ABC是直角三角形．ABCabcab證明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，

A′C′=b，B′C′=a，∴△ABC是直角三角形A′B′C′從猜想走向定理符號語言：在△ABC中，若a2

+b2=c2則△ABC是直角三角形.如果三角形的三邊長a，b，c滿足

a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.勾股定理的逆定理：bcCaBA知識點

1勾股定理的逆定理從猜想走向定理方法點撥勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三邊長，且滿足兩條較小邊的平方和等于最長邊的平方，即可判斷此三角形為直角三角形，最長邊所對應的角為直角.治水直角難題破解幫工匠解決導入時的難題了堤壩拐角需要直角，有兩塊地，第一塊測量的三邊長度分別為第二塊地測量的三邊長度分別為這兩塊地是直角三角形嗎？

a=8，

b=15，c=17;a=14，b=13，c=15.

解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，根據勾股定理的逆定理，這個三角形是直角三角形，且∠C是直角.(2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴這個三角形不是直角三角形.治水直角難題破解知識點

2勾股數如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.滿足a2+b2=c2的三個正整數，稱為勾股數.常見勾股數：勾股數拓展性質：一組勾股數，都擴大相同倍數k(k為正整數)，得到一組新數，這組數同樣是勾股數.3，4，55，12，136，8，107，24，258，15，179，40，4110，24，26等等【變式題1】若△ABC的三邊a,b,c滿足a:b:c=3:4:5，試判斷△ABC的形狀.∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.解：設a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2∴(3k)2+(4k)2=(5k)2【變式題2】(1)若△ABC的三邊a,b,c，且a+b=4,ab=1,

c=，試說明△ABC是直角三角形.解：∵a+b=4,ab=1∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14又∵c2=14∴a2+b2=c2∴△ABC是直角三角形(2)若△ABC的三邊a,b,c滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.試判斷△ABC的形狀.解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c∴a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0即(a－3)2+(b－4)2+(c－5)2=0∴a=3,b=4,c=5∴a2+b2=c2∴△ABC是直角三角形例2如圖，在正方形ABCD中，F是CD的中點，E為BC上一點，且CE＝CB，試判斷AF與EF的位置關系，并說明理由．ABCDEF解：AF⊥EF.理由如下：設正方形的邊長為4a,則EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.在Rt△CEF中，EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.在Rt△ADF中，AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF為直角三角形，且AE為斜邊．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.1.下列各組數是勾股數的是

(

)A.3，4，7B.5，12，13C.1.5，2，2.5D.1，3，52.將直角三角形的三邊長擴大同樣的倍數,則得到的三角形()A.是直角三角形B.可能是銳角三角形C.可能是鈍角三角形D.不可能是直角三角形BA課堂檢測3.已知△ABC，AB=n2-1，BC=2n，AC=n2+1(n為大于1的正整數).試問△ABC是直角三角形嗎？若是，哪一條邊所對的角是直角？請說明理由.解：∵AB2+BC2=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2=AC2∴△ABC直角三角形，邊AC所對的角是直角

∴△ABC是直角三角形且∠B是直角.∴△ADC是直角三角形且∠D是直角7.如圖，在四邊形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，AD=CD=,求四邊形ABCD的面積.ABCD勾