《等差數列前n項和的性質及應用》課件

第四章

4.2.2第2課時等差數列前n項和的性質及應用課程標準1.掌握等差數列前n項和的性質及其應用.2.掌握等差數列前n項和的最值的求法.3.掌握等差數列各項絕對值的和的求法.基礎落實·必備知識全過關重難探究·能力素養全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標檢測基礎落實·必備知識全過關知識點1

等差數列前n項和的函數特征

等差數列的前n項和公式與二次函數的關系令A=,B=a1-,則Sn=An2+Bn.①當A=0,B=0(即d=0,a1=0)時,Sn=0是關于n的常函數,{an}是各項為0的常數列.②當A=0,B≠0(即d=0,a1≠0)時,Sn=Bn是關于n的正比例函數,{an}為各項非零的常數列.③當A≠0(即d≠0)時,Sn=An2+Bn是關于n的二次函數(常數項為0)名師點睛(1)若a1<0,d>0,則數列的前面若干項為負數(或0),所以將這些項相加即得Sn的最小值.(2)若a1>0,d<0,則數列的前面若干項為正數(或0),所以將這些項相加即得Sn的最大值.(3)特別地,若an>0,d>0,則S1是{Sn}的最小項;若an<0,d<0,則S1是{Sn}的最大項.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)等差數列{an}的前n項和Sn是關于n的二次函數.(

)(2)等差數列的前n項和Sn取得最大或最小值時的n不一定唯一.(

)(3)若等差數列{an}的公差d>0,則{an}的前n項和一定有最小值.(

)(4)設等差數列{an}的前n項和為Sn,且Sp=Sq(p,q∈N*),則Sn在n=(p+q)處取得最大值或最小值.(

)×√√×2.[人教B版教材習題]等差數列14,11,8,…前多少項的和最大?為什么?提示

因為前5項均是正數,從第6項開始為負數,所以前5項和最大.也可以用求二次函數的最值的方法解決.知識點2

等差數列前n項和的性質

過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)等差數列{an}的前n項和(2)若等差數列的項數為偶數,則偶數項的和等于奇數項的和.(

)(3)設兩個等差數列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,√××2.已知某等差數列共有10項,其奇數項之和為15,偶數項之和為30,則其公差為(

)

A.5 B.4 C.3 D.23.在等差數列{an}中,其前n項和為Sn,S2=4,S4=9,則S6=

.

解析

設等差數列的公差為d,由題意,得S偶-S奇=30-15=5d,解得d=3.C15解析

∵S2,S4-S2,S6-S4成等差數列,∴4+(S6-9)=2×5,解得S6=15.重難探究·能力素養全提升重難探究·能力素養全提升探究點一等差數列前n項和的性質及其應用【例1】

(1)等差數列{an}的前m項和為30,前2m項和為100,則數列{an}的前3m項的和S3m為

.

答案

210解析

(方法1)在等差數列中,∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數列,∴30,70,S3m-100成等差數列.∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.變式探究1一個等差數列的前10項和為100,前100項和為10,則前110項之和為

.

答案

-110解析

(方法1)設Sn=an2+bn.∵S10=100,S100=10,規律方法

利用等差數列前n項和的性質簡化計算(1)在解決等差數列問題時,先利用已知條件求出a1,d,再求所求,是基本解法(有時運算量大些).(2)如果利用等差數列前n項和的性質或利用等差數列通項公式的性質,可簡化運算,為最優解法.(3)設而不求,整體代換也是很好的解題方法.探究點二等差數列前n項和的最值問題【例2】

在等差數列{an}中,Sn為前n項和,且a1=25,S17=S9,請問數列{an}前多少項和最大?(方法3)∵S17=S9,∴a10+a11+…+a17=0.∴a10+a17=a11+a16=…=a13+a14=0.∵a1=25>0,∴當n≤13時,an>0;當n≥14時,an<0.∴S13最大.(方法4)由方法1,得d=-2.規律方法

一般地,在等差數列{an}中,若a1>0,d<0,則其前n項和Sn有最大值;若a1<0,d>0,則其前n項和Sn有最小值,具體求解方法如下:(2)利用等差數列的性質,找出數列{an}中正、負項的分界項.當a1>0,d<0時,前n項和Sn有最大值,可由an≥0且an+1≤0,求得n的值;當a1<0,d>0時,前n項和Sn有最小值,可由an≤0且an+1≥0,求得n的值.變式訓練已知Sn為等差數列{an}的前n項和,其中a4=-5,S4=-32.(1)求{an}的通項公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解得a1=-11,d=2.故an=-11+(n-1)×2=2n-13.探究點三

求數列{|an|}的前n項和問題

分析先求出通項an,再確定數列中項的正負,去掉絕對值號,利用Sn求解.變式探究在本例中,若將條件改為“等差數列{an}的通項公式為an=3n-23”,求數列{|an|}的前n項和Tn.規律方法

已知等差數列{an},求{|an|}的前n項和的步驟(1)確定通項公式an;(2)根據通項公式確定數列{an}中項的符號,即判斷數列{an}是先負后正,還是先正后負;(3)去掉數列{|an|}中各項的絕對值,轉化為{an}的前n項和求解,轉化過程中有時需添加一部分項,以直接利用數列{an}的前n項和公式;(4)將{|an|}的前n項和寫成分段函數的形式.本節要點歸納1.知識清單:(1)等差數列前n項和性質的應用.(2)等差數列前n項和的最值問題.(3)等差數列中的絕對值求和問題.2.方法歸納:公式法、構造法、函數法、整體代換法.3.常見誤區:(1)等差數列前n項和性質應用的前提是等差數列;(2)易混淆項數為奇數與奇數項等概念.重難探究·能力素養全提升成果驗收·課堂達標檢測1234561.已知Sn是等差數列{an}的前n項和,且

Sn=20,S2n=80,則S3n=(

)A.130 B.180

C.210

D.260B解析

因為Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍然構成等差數列,所以20,60,S3n-80成等差數列,所以2×60=20+S3n-80,解得S3n=180.1234562.已知數列{an}滿足an=26-2n,則使其前n項和Sn取最大值的n的值為(

)A.11或12 B.12C.13 D.12或13D解析

∵an=26-2n,∴an-an-1=-2(n≥2,n∈N*),∴數列{an}為等差數列.又a1=24,公差d=-2,∵n∈N*,∴當n=12或13時,Sn最大.1234561234564.已知數列{an}為等差數列,它的前n項和為Sn,若Sn=(n+1)2+λ,則實數λ的值是

.

答案

-1解析

Sn=(n+1)2+λ=n2+2n+1+λ,∵{an}為等差數列,∴1+λ=0,即λ=-1.123456答案

20201234566.已知Sn為等差數列{an}的前n項和,a7=1,S4=-32.(1)求數列{an}的通項公式;(2)求Sn的最小值.解

(1)設{an}的公差為d,∴an=-11+(n-1)×2=2n-13.(2)Sn=-11n+×2=n2-12n=(n-6)2-36.∴當n=6時,Sn取得最小值-36.

DA.7

B.6

C.5

D.4

D

AA.6

B.7

C.12

D.13

4.[廣東廣州天河區期末]