廣東省和美聯盟2025-2026學年高二上學期12月聯考數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省和美聯盟2025-2026學年高二上學期12月聯考數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.樣本數據1,1,2,3,3,4,5,5的第70百分位數為（）A.5 B.4 C. D.3【答案】B【解析】樣本數據由小到大排列為，，，，，，，，共8個數字，因為，所以第70百分位數為第6個數字，即.故選：B.2.一個盒子中裝有支圓珠筆，其中支一等品，支二等品．若從中任取支，則這兩支都是一等品的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】將支一等品用表示，支二等品用表示，從中任取支的情況有，，，，，，，，，共種情況，這兩支都是一等品的情況有，，，，，共種情況，所以這兩支都是一等品概率為.故選：A.3.如圖是一個古典概型的樣本空間和事件A、B，其中，，，，那么（）A. B.事件A與B互斥C. D.事件A與B相互獨立【答案】D【解析】由圖知，，故A錯誤；事件A與有共同基本事件，故不是互斥事件，B錯誤，∵，∴；故C錯誤；因為，又，，，所以A與B相互獨立，故D正確.故選：D.4.直線，則“”是“”的（）條件A.必要不充分 B.充分不必要 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】C【解析】若，則，可得或，時，，即兩直線平行，符合；時，，即兩直線重合，不符.所以，即是的充要條件.故選：C.5.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為空間向量，，所以，，所以向量在向量上的投影向量是，故選：A.6.已知圓：關于直線對稱，圓：，則圓與圓的位置關系是（）A.內含 B.相交 C.外切 D.外離【答案】B【解析】因為圓，即關于直線，說明該直線過圓心，則有，解得，所以圓的圓心坐標為，半徑為1，圓的圓心坐標為，半徑為4，而.所以兩圓的位置關系是相交.故選：B.7.過橢圓：的中心作直線l交橢圓于M，T兩點，是橢圓的左焦點，則周長的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由橢圓：，得，即，.如圖，作出符合題意的圖形，因為橢圓和直線l都是中心對稱圖形，所以，.所以的周長為.設，則，，又因為，所以，當且僅當時等號成立.所以，當且僅當時等號成立.故選：B.8.已知橢圓與雙曲線有相同的左、右焦點，，若點是與在第一象限內的交點，且，設與的離心率分別為，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意可得，，兩式相減得，所以，即，所以，令，則，，且函數在上單調遞增，則，所以的取值范圍是.故答案為：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.關于空間向量，以下說法正確的有（）A.空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面B.若，則與的夾角是銳角C.已知向量，，是不共面的向量，則向量，，共面D.若對空間中任意一點，有，則，，，四點共面【答案】AD【解析】對于A，空間中任意兩個向量是共面的，三個向量中有兩個向量共線，則這三個向量一定共面，故A正確；對于B，若，則與的夾角是銳角或者，故B錯誤；對于C，假設是共面的向量，則存在實數使，即，故向量是共面向量，與題設矛盾，故假設不成立，即向量不共面，故C錯誤；對于D，因，則由空間向量共面的推論可知，四點共面，故D正確.故選：AD.10.已知曲線：的兩個焦點分別為，，點在上，且，的斜率分別為，，則下列說法正確的是（）A.若是橢圓，則 B.若是雙曲線，則C.若，則 D.若，則的離心率為【答案】BD【解析】對于A，若是橢圓，則，其焦點可能在軸上，則，故A錯誤；對于B，若是雙曲線，則的焦點在軸上，因為，所以，故B正確；對于C，當時，曲線是橢圓，易得，，，因此焦點，，設點在橢圓上，滿足，整理得，的斜率，的斜率，，將代入上式，得，并不恒等于，故C錯誤；對于D：若，則是雙曲線.因為，，，所以離心率為，故D正確．故選：BD．11.如圖，棱長為2的正方體中，P是線段上的動點包含端點，給出下列四個結論，其中正確的是（）A.三棱錐中，點P到平面的距離為定值B.過點P且平行于平面的平面被正方體截得的多邊形的面積為C.直線與平面所成角的正弦值的范圍為D.當點P為中點時，三棱錐的外接球表面積為【答案】AC【解析】以A為坐標原點，分別以直線AB，AD，為x，y，z軸建系如圖：可得，，，，，，得到，，設，則，，則，設面的一個法向量為，則，，令，得，，，對于A：P到平面的距離為，故A正確；對于B：連接，，四邊形為平行四邊形，，又面，面，面，同理可證面，又，面面，過點P且平行于面的平面被正方體截得的多邊形為，它是邊長為的等邊三角形，故面積為，故B錯誤；對于C：設直線與面所成角為，則，，，，直線與面所成角的正弦值的范圍為，故C正確；對于D：當點P為中點時，設三棱錐的外接球球心，，，解得，外接球半徑R滿足：，三棱錐的外接球表面積為，故D錯誤．故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，且，則________．【答案】【解析】由，可得，即，解得.故答案為：.13.若曲線與直線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是________．【答案】【解析】兩邊平方得，表示位于軸上方的單位圓，包含，直線過定點，同一坐標系內畫出圖形如下：當過點時，，解得，當與相切時，圓心到的距離為，解得，由對稱性可知，當曲線與直線有兩個不同的交點時，實數取值范圍是.故答案為：14.已知點，，動點滿足且，則點的軌跡方程為__________.【答案】【解析】根據題意，可知，由，，則，，在中，，即，，，即，，所以為定值且大于，可得的軌跡為橢圓，且長軸長，焦距，焦點在軸上，中心在原點的橢圓，即，，所以，所以的軌跡方程為：.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.為進一步增強學生的疫情防控意識，友實學校組織學生進行了新冠肺炎疫情防控科普知識線上問答，共有100人參加了這次問答，將他們的成績（滿分100分）分成六組：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求圖中a的值；（2）試估計這100人的問答成績的中位數和平均數（結果保留整數）；（3）用分層抽樣的方法從問答成績在[70，100]內的學生中抽取24人參加疫情防控知識宣講，那么在[70，80），[80，90），[90，100]內應各抽取多少人？解：（1）.（2）因為，所以，所以中位數為.平均數為.（3）因為，所以在[70，80），[80，90），[90，100]內應各抽?。?，，.16.已知圓M過點（1）求圓M的方程；（2）過點的直線與圓M相交于D?E兩點，且，求直線的方程.解：（1）設圓，則，解得，滿足，所以圓的方程為，即.（2）由（1）知，，半徑，設圓心到直線的距離為，則，即，解得，當直線的斜率不存在時，為，符合題意；當直線的斜率存在時，設，故，解得，此時直線的方程為，綜上，直線的方程為或.17.為提高中學生的網絡安全意識和信息技術能力，某中學組織了一次信息技術創新比賽，參賽選手兩人為一組，需要在規定時間內獨自對兩份不同的加密文件進行解密，每份文件只有一次解密機會．已知甲每次解開密碼的概率為，乙每次解開密碼的概率為，每次是否解開密碼也互不影響．已知：甲成功解密一份文件的概率為，乙成功解密兩份文件的概率為．（1）求的值；（2）求甲、乙兩次解密過程中一共解開密碼至多兩次的概率．解：（1）設“甲成功解密份文件”，“乙成功解密份文件”（）由題知，解得.（2）由（1）知：，設“甲乙兩人兩次一共解開密碼至多2次”，則，其中兩兩互斥，與，與，與分別相互獨立，可得，，所以，則所以甲、乙兩次解密過程中一共解開密碼至多兩次的概率為．18.如圖1所示，在等腰梯形，，垂足為E，，將沿折起到的位置，如圖2所示.點為棱上一個動點，平面平面．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角正弦值；（3）在棱（不包括端點）上是否存在點，使平面與平面的夾角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．（1）證明：，，又平面，平面，平面.（2）解：由，平面平面，平面平面，，平面，平面，又平面，.因此，兩兩互相垂直，以為坐標原點，為軸，建立空間直角坐標系.在等腰梯形中，，因此易證得，故，則.設平面的法向量為，則，即，取，則，則.設直線與平面所成角為，則.（3）解：，設，則.設平面的法向量為，則有，即，取，則，即.由題（2）可知，平面的法向量為.設平面與平面的夾角為，則，整理得，解得或（舍去）.因此，棱上存在點G，使平面與平面的夾角的余弦值為，此時.19.已知和為橢圓上兩點.（1）求的離心率；（2）若過點的直線交于另一點，且的面積為12，求直線的方程；（3）設過點的動直線與橢圓有兩個交點、，試判斷在軸上是否存在點使得向量所成角恒成立，若存在，求出點縱坐標的取值范圍；若不存在，說明理由.解：（1）由題意，解得，所以.