2025-2026學年高一數學下學期第三次月考卷02（江蘇專用）【測試范圍：蘇教版必修第二冊第9~14章】（全解全析）

高一數學下學期第三次月考卷02（江蘇專用）

全解全析

（考試時間：120分鐘，分值：150分）

注意事項：

1.答卷前.考牛務必將自己的姓名、準考訐號填寫在答題卡卜C

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：蘇教版必修第二冊第9章?第14章。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知，為虛數單位，滿足z（l-i）=（l+i）2,則復數z所在的象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】利用復數計算公式化簡得到答案.

［詳解］z（I-/）=（l+/）2==—=-1+/

1-z1-z

復數Z所在的象限為第二象限.

故選8

【點睛】本題考查了復數的計算，屬于簡單題型.

2.若加，〃為空間中不同的兩條直線,出民7為空間不同的平面,若ac6=加,m〃〃，貝是

的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據線面位置關系的判定定理和性質定理，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解?.

【詳解】因為〃工/，，〃//〃，所以陽,人又因為aCl/二用，則所以充分性成立：

1/17

因為。_1_九。八）=加，機〃〃，則〃與平面7不一定垂直，所以必要性不成立,

J.7”是“a，7”的充分不必要條件.

故選:C.

3.若sin(§+a則cos--2a)

5J

7227

A.B.C.D.

9339

【答案】A

【解析】根據誘導公式和二倍角公式即可得出結論.

故選：A

4.已知2018-2024年中國冰雪運動核心市場規模（單位：億元）依次為:454.3,487.5,445.2,594.9,

713.9,833.1,1083.0.對于這7個數據，則（）

A.該組數據的極差是628.7B.該組數據的中位數是594.9

C.該組數據的40%分位數是445.2D.該組數據的平均數小于63（）

【答案】B

【詳解】A,由該組數據最大數與最小數分別為1083.0與445.2,故該組數據的極差是1083-445.2=637.8,

故A錯誤；

B,將該組數據從小到大排序：445.2,454.3,487.5,594.9,713.9,833.1,1083.0,故該組數據的中位數是

594.9,故B正確;

C,由40%x7=2.8,故該組數據的40%分位數是487.5,故C錯誤；

D,該組數據的平均數為---------------------------------------------?658.8>630,故D錯誤.

5.已知。為原點，若點4、8的坐標分別為5,0）、（0,4/）,ajR,,當點P在線段上，且而=/荔，

（0W&1）,則夕麗的最大值是（）

A.aB.2a*C.a2D.3a

【答案】C

【解析】設P（》J），根據向量的線性運算的坐標表示可求出產①-叱〃），利用向量的數量積公式及函數的單

調性即可求解.

2/17

【詳解】設P",y)

???4、8的坐標分別為(〃,0)、(0,。),

則方=(-〃,〃)

???AP=tAB=(-ta,⑺(區怎1),

x-a=-ta

,即P(aat,at)

y=ta

OAOP=(a,O)(a-at,at)=a2(\-t%a2

即所求的最大值為片

故選：C

6.用斜二測畫法作出△/BC的水平放置的直觀圖△H6'C’如圖所示，其中/C'=@，48'=1,則△48C繞

2

4C所在直線旋轉一周后所形成的幾何體的表面積為（）

B.9n

3

10

C.3兀D.——71

3

【答案】C

【分析】先確定△力5C的形狀與數據，由旋轉的性質，得到旋轉的幾何體為圓錐，由圓錐的表面積公式求

解即可.

【詳解】由題意，可得△48C的圖形如圖所示,

△力8。為更用三角形，其中/8=48'=1,4c=6，則8。=>/昌82+力。2=2,

△,44。繞月C所在直線旋轉?周后所形成的幾何體為I員I錐,

該圓錐的底面半徑為1,母線長為2,

3/17

所以圓錐的表面積S=7txlx2+7txl2=3it.

故選：C.

7.如圖所示，C,D,〃三點在地面上的同一直線上，DC=a,從兩點測得/點的仰角分別為夕,

a(a>p)1則4點離地面的高為().

asinasinBasinasinp

A.---------￡B.

sin(a-0cos(a-/7)

acosacos[i?sinacos//

D.

sin(ct-fl)cos(a-/?)

【答案】A

【分析】根據正弦定理，結合銳角三角函數的定義進行求解即可.

ADCDasinp

【詳解】在A4C。中，根據正弦足理得,所以力。=

sinPsin(cr-/7)sin—/)

osinasinp

在直角必〃/)中,AB=ADsina=

sin(a-/?)

故選:A

8.正四面體48C。棱長為2,點。為其外接球球心，點反下,G滿足

DE=xDA,DF=yDB,Z)G=|DC,x,^G((),1),且點O在平面￡PG上，則三棱錐。-EFG體積最小值為

()

A8&口1672r,_64_64企

A?-------o?---------C?D?---------

925225225

【答案】D

511、

【分析】根據正四面體性質以及空間向量基本定理可得5=嚏+；2后，再由錐體體枳公式計算可得結

果.

【詳解】設△NBC中心為如下圖:

4/17

D

由正四面體性質可知Mb=：JFT=半,=孚)=半，

利用勾股定理可得“爐+加。2=。。2,即A/B2+(MO-OQ)2=OQ2,解得OQ=亭

因此可得方萬萬;

4

所以麗=；麗］(次+：荏+；充卜;停+方+硝=/瓦+止方+￡質；

113511216

—+T=1,可得彳二一十一之尸，即沙,生，

4x4y81xyJ孫25

4

當且僅當x=y=不時，等號成立.

—?4—-—-4—?—?2-----

此時滿足DE=《DA,DE=-DB.DG=-DC,

易知5rBe=；S〃BC'DM=x與x^~=三五，

因此VD-EFG-VG-DEF=JVC-DEF=VC-ABD=VD-ABC之彳質'

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.計算下列各式的值，其結果為1的有()

1V3

A.4cos150cos75°B.

sin10°cos10°

C.(l+tanl8°)(l+tan270)D.4sin180cos360

【答案】AD

【分析】利用二倍角公式、輔助角公式、和角的正切公式逐項計算判斷.

【詳解】對卜A,4cos15°cos75°=4cos15°sin15°=2sin30°=1,A是;

J___VJ=cosl()o-6sinl0。=2sin20。=4

對于B，sin100cos100sin10°cos10°1，B不是；

—sinoznuo

2

對于C,(1+tanl80)(1+tan27°)=l+tanl8°+tan270+tan18°tan270

5/17

=1+tan(l8。+27°)(l-tanl8°tan270)+tan18°tan27°=2,C不是：

對于D,4sin18°cos360=4cos360cos72°=4.=I,D是.

2sin3602sin72°

故選:AD

7

10.已知△48C三條邊是連續的正整數，且最小角的余弦值為《，則()

O

A.△川弘?是銳角三角形

B.ZU4C的面積為主叵

4

C.△/14C外接圓半徑為無巨

15

7

D.若C是最大角，則cos2c=-弓

O

【答案】BCD

【分析】設出三角形的邊長，根據題意列出方程求出邊長，再根據余弦定理以及正弦定理求解即可.

【詳解】設△48c三邊為連續正整數：小〃+1,〃+2(z?eN-),最小角對最小邊〃，記最小角為力，

則cos4=：,由余弦定理cos4='"=7?化簡分子得1+6〃+5=(〃+1)(〃+5),

82(〃+1)(〃+2)8

化簡得小之二(如，=2.因此三邊長為2,3,4.

2(〃+2)8

選項A.最大角對最大邊4,記最大角為C,由余弦定理cosC=>一,-4.=一,<0,C為鈍角，

2x2x34

故是鈍角三角形，錯誤.

選項B.cosJ,則sinA=71-cos2A=翅5,

88

三角形面積S=13-4?sin力=,xl2x姮=當叵，正確.

2284

選項C.由正弦定理，外接圓半徑八嬴’3八j則血。=乎’

c=4,

*48而

正確.

2x--

4

選項D.由二倍角公式cos2c=2cos，C-1=2x(-；)一]=一(，正確.

II.如圖，在棱長為1的正方體/8CQ-44GA中，已知M,M尸分別是棱C2，44,8C的中點，點

。滿足運=義西，2c[()[],下列說法正確的是()

6/17

A.〃平面"44

B.若。，M,N、P四點共面，則見=!

4

C.若％=:，點/在側面內，且吊尸//平面/P。，則點尸的軌跡長度為巫

36

D.若4=孑，則以4為頂點，以過M、N、。三點作該正方體的截面為底面的棱錐的表面積為

9+3日

4

【答案】ACD

【分析】對于A,由面面平行的性質“J'得；對于B,延展平面MNP可得平面MNP過CG的口點，可得2：

對于C,先找到戶的軌跡，再由幾何關系算出仁度；對于D,若4=^,確定正六邊形相關邊長，進而求其

表面積.

【詳解】

圖⑴

對于A,在正方體中平面平面BCG4，P0u平面8CC￡,故P。//平面4。。/,故正確;

對于B,延展平面A/NP,結合平面的基本性質及正方體的結構特征得截面如圖(2),易知平面過CG

的中點，所以4=孑，錯誤：

對于C,如圖(1),若4=g，取的三等分點G(靠近用)，4G的中點〃，則“G//P。，

7/17

HG（z平面力產。，P0U平面4尸。，故〃G〃平面力PQ.同理4〃〃平面力產。，

又HGr4〃=〃且都在平面4GH,所以平面4GH〃平面力產。，

當點尸在線段GH上時，4尸u平面4G，，則滿足4尸〃平面.4尸。，所以G”即為廠的軌跡，

22

由&G=§,B[H=Q,得GH=yjB]G+BXH=+；，正確；

對于D,如圖（2）,NB、4，NQ二五,則正六邊形MMa。的面積為6x?（爭=乎，心的面枳

為k旦，項3所以棱錐的表面積為邁土2,故正確.

22V4884

故選：ACD

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若滿足條件4=60。，〃=x,8=2的△月4c有兩個，則x的取值范圍是.

【答案】（6,2）

【分析】利用正弦定理可得X=速-,再確定sinB的范圍即可作答.

sinB

【詳解】在△力4c中，由正弦定理工=＜得：sin8=因幽=3，

sinAsmBxx

因。有兩解，即給定x值，由sin8求出的角4有兩個，它們互補，

當64a時，0。＜8，=60°,角8唯一確定,△N3C只有一解,

則。＜人即有-600=/lv8vl2（r,而當8=90,時，△/8c是直角三角形，只有?解，

△力8C有兩解，則必有且＜sin4＜l,即且＜丑＜1，有力＜工＜2，

22x

所以x的取值范圍是（6,2）.

故答案為：（百,2）

13.已知向量力二（2,0）,6=（sina,當）,若向量N在向量不上的投影向量？=（；,0）,則|萬+可=

【答案】幣

【分析】由向量5在向量。上的投影向量乙=（；,0）求得sina,根據向量的坐標運算得1+5,即可求得

咽.

8/17

_2sina_.

【洋解】由向量b在向量，上的投影向量為訐x(z2，())=(sina,0)=,

同41//

所以sina=一所以。+囚=(2,0)+

2腎H消

所以歸+闿

故答案為：幣

14.如圖為一正方體的平面展開圖，在這個正方體中，異面直線QG與的夾角是

【答案】60

【分析】將正方體紙盒展開圖還原成正方體，利用異面直線所成角的定義可得結果.

【詳解】將正方體紙盒展開圖還原成正方體，如下圖所示：

因為DN//BM且DN=BM,所以，四邊形BDNM為平行四邊形,

所以，MN//BD,

所以，異面直線。G、"N所成角為NGQ8或其補角，

易知△8QG為等邊三角形，故ZGDB=60.

因此，異面直線。。與“"的夾角60。.

故答案為：60"

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

9/17

15.(13分)

已知復數4=（4+i）2（aeR）,z2=4-3i,其中i是復數單位.

⑴若a二i,求實數。的值；

Z2

/\2zx3Z、2025

（2）若」是純虛數，。是正實數，求三+幺+至+…區的值.

z?Z[[z2）{z2）\z2）

【答案】（1）〃=2；

（2）i

【分析】（1）利用復數的乘法法則及復數相等的條件列式求解即可.

（2）利用除法運算化簡五，根據純虛數的概念知。=2,則五）然后根據i的周期性求和即可.

Z?Z?

【詳解】（1）因為Z1=（a+i）2,z2=4-3i,3=i，

Z2

所以丐=上2,即（a+i>=/-l+2ai=3+4i,

所以二J解得實數。的值為2.

2a=4

（2）由題意得五=竽孚=心2噌）（4+3i）(4a2-6a-4)-(3a2+8"3)i

z24-312525

2

因為,z.是純虛數，所以\4，a，-6。a-4，=0八，解得。=2或。=-I：，

Z][3。-+8。-3工02

乂因為“是正實數，所以。=2,所以五=i,

Z2

/\2zx3(x2O25

所以五+—I+—+???[—=i+i2+i3+---+i2025

Z2VZ2)\Z2)\Z1)

=(i+i2+i3+/)+G+j6+j7+jg)+…+02021+j2022+j2023+j2024)十^025

=(i-i-i+l)+(i-l-i+l)+---+(i-l-i+l)+i=i

16.(15分)

如圖，在△J8C中，角4,B,C的對邊分別為c,AJ4C的面積為S,且4s=/+d—從.

10/17

A

(1)求角8的大小；

7T

(2)若4=5，。為平面48。上△J6C外一點，DB=2,DC=\,求四邊形力8DC面積的最大值.

【答案】(1)3=￡

4

⑵。+0

4

【分析】(1)由三角形面積公式及余弦定理計算可得：

(2)在△80中，由余弦定理得到改?2-5—4cosO.從而得到S5.=?-ccs/),再由S的c=4n。從而

得到S/8”，再利用輔助角公式及正弦函數的性質計算可得；

【詳解】(1)解：在△48C中，由4s=/+c2-//,

有4x,x4csin8=/+c2-b2,

2

則sinB="-1'----=cosB.

lac

即tan8=1,BG(0,兀),

所以5號

(2)解：在△4C￡＞中，BD=2,DC=\,

BC'=I2+22-2x1x2xcosD=5-4cos￡)?

又A吟,則△ABC為等腰直角三角形,

2

S&ABC=LXSCX-XBC=-BC=--COSD,

2244

又LBDC=1x8Z)x￡)Csin。=sinO,

2

=--cosZ)+sinZ)=—+\/2sinfZ)--

SABDC

44I4J

當正節時，四邊形”皿C的面積最大值,最大值為10.

17.(15分)

11/17

已知函數/(x)=sinU+s}in(8+2卜且/(”圖象的一個對稱中心到與其相鄰的對稱軸的距

離為夕

4

(1)求。的值及/(x)的單調遞增區間；

(2)將/(x)圖象上的所有點的橫坐標向右平移三個單位長度(縱坐標不變)，再向上平移。個單位長度，再

44

將縱坐標伸長為原來的2倍，得到函數g")的圖象，若函數/9)=2g2(x)-3g(x)+2/〃-l在仁，外上存在

0

零點，求〃?的取值范圍.

jrjr

【答案】(1)3=1;單調遞增區間為：一彳+機工+尿(左eZ)；

36

⑵自1五17'

【分析】(1)先利用誘導公式、正弦的和角公式、二倍角公式及輔助角公式化簡函數式，再根據三角函數

的圖象與性質計算即可；

(2)根據三角函數圖象的變換求出g(x)解析式，利用整體思想分離參數結合二次函數的性質計算即可.

.(Tt|.T7C1.

【詳解】(1)由/(力=sin—+ci)xsincox+--1=coscoxsincox+-coscox-1

26)2

=—sin2tyx+-cos12cox-\=——sin2<yx+—cos2<yx+——1

42444

1.C吟3

=-sin2;wx+——,

2I6j4

因為/(力圖象的一個對稱中心到與其相鄰的對稱軸的距離為5,

所以其最小正周期為7=4吟=合

則〃x)=gsin、兀、3

2x+———，

6j4

令一%+2kliW2x十%￡尤T2kn,kcZ,

262

解之得xwW+hrJ+E(A-eZl；

36

(2)由題意可知將/(x)圖象上的所有點的橫坐標向右平移￡個單位長度(縱坐標不變),

4

_,_3...士一1._6兀)兀331.f_兀、

再向上平移二個單位長度可得N=：；sin2x--+——=-sin2x--,

42I4J6」442I3J

再將縱坐標伸長為原來的2倍，得到函數g(x)=sin(2x-g}

12/17

埒，所以g(x)r[OJ],

令/=g(x),則條件可化為l-2w=2『在fw[0』時有解,

易知―在叼上單調遞減，在川上單調遞喻

易知y=2〃—3/e

1

917

則1一2nie一，解之得，〃￡2-L

OI6

18.(17分)

某市為提高市民對文明城市創建的認識，舉辦了“創建文明城市”知識競賽從所有答卷中隨機抽取100份作為

樣本,將樣本的成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數)分成六段：[40,50),[50,60),...,[90,100]

得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中〃的值：

(2)求樣本成績的第75百分位數和平均數

(3)已知落在[50,60)的平均成績是56,方差是7,落在[60,70)的平均成績為65,方差是4,求兩組成績的總

平均數亍和總方差一

【答案】(1)。=0.030

(2)第75百分位數為84,平均數為74

(3)7=62?1=23

【分析】(1)根據頻率之和為I即可求解，

(2)根據百分位數和平均數的計算公式即可求解，

(3)借助分層抽樣的平均數與方差計算公式計算即可得.

【詳解】(1)由每組小矩形的面積之和為1得，0。5+0.1+0.2+1必+0.25+0.1=1,

所以a=0.030.

(2)成績落在[40,80)內的頻率為0.05+0.1+0.2十0.3=0.65,

13/17

落在［40,90)內的頻率為0.05+0.1+0.2+0.3+0.25=0.9,

顯然第75百分位數洲￡分0,90),由0.65+(加-80)x0.025=0.75,

解得加=84,所以第75百分位數為84.

平均數約為

(0.005x45+0.010x55+0.020x65+0.030x75+0.025x85+0.010x95)xl0=74；

(3)由圖可知，成績在［50,60)的市民人數為】()0乂().1=10,

成績在［60,70)的市民人數為100x0.2=20,

10x56+65x20

故］==62,

10+20

=-10f(56-62f+7'|+20f(65-62『+41=23

10+20LVfJ10+20LVf」

所以兩組市民成績的總平均數是62,總方差是23.

19.(17分)

類比二維平面內的余弦定理，三維空間中有三面角余弦定理：如圖1,由射線力I,PB,PC構成的三面角

P-ABC,記乙仍C=a,4BPC=B,N4PB=y,二面角4一PC—8的大小為0,則

8$/=85185/7+$訪。5由/7(：05。.如圖2,四棱錐4-48CQ中，底面/4CQ為菱形，Z.BAD=—,

(1)在圖2中,用三面角余弦定理求cosN41N8的值;

(2)在圖2中，線段CQ上是否存在一點E,使得cos/44E=蜉，若存在，求然值；若不存在，說明理

由；

(3)在圖2中，直線44與平面48CQ內任意一條直線的夾角為“，證明：

【答案】(1)乎

14/17

（2）存在，系；,理由見解析

（3）證明見解析

【分析】（1）證明平面力/CJ■平面48CO,故二面角4-4。-3的大小為楙，△4/C為等邊三角形，

乙0。=5,代入公式，求出cos4/8的值；

（2）在（1）基礎上，得到cusN￡>lC=X旦，由同角二角函數關系和正弦定理得到川E=J7EC,再利用

14

余弦定理得到方程，求出EC