北師大版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)-三角函數(shù)的疊加及其應(yīng)用

2.3三角函數(shù)的疊加及其應(yīng)用

W”出川川川川出川川川“川川川川川川川Ml出川川川川I川川,圖囪囪圖,I課前I預(yù)習(xí)J/川川/"川“川川“川川川川川出川川出川川川川出，出川乩

［教材要點(diǎn)］

要點(diǎn)一C0+0,Ca-0,S?+/?,Sa-〃的逆用

cos?cos/7+sinasinp=

cosacos/?—sinasinfi=

sinwcos/?+cosasinp=

sinacos0-cosasin0=

要點(diǎn)二輔助公式

asina4-/?cosa=(a,b不同時(shí)為0),其中角(/)所在象限由a,b的符號(hào)

確定，角(P的值由sin0=和cos8=r_^_^的的確定,也就是由tan8='來確定.

丁丁va2+b2丁vaz+b2丁a

［教材答疑］

［教材P］49思考交流］

(1)j［x)=sinx+cosx=V2sin(x+：),最大值是企，最小值是一魚，周期是2TL

(2次r)="sinx+bcosx(a,/?不同時(shí)為0)=Va2+b2sin(x+p),其中tan(p=-,最大值

a

是匕2+b2,最小值是一1a?+b2,周期是27r.

［基礎(chǔ)自測(cè)］

1.判斷正誤(正確的畫“J”，錯(cuò)誤的畫“義”)

(l)V3sinx+cosx=2sin(x+］.()

(2)cosA-sinx=cos(x+：).()

(3)函數(shù)＞,=sin2r—cos2x的最小正周期為兀.()

(4)函數(shù)y=sinx—V5cosx的最大值為1.()

2.函數(shù)y=3sin%+4cosx的最大值為()

A.3B.4

C.5D.6

3.函數(shù)y=|sinx+V5cosx|的最小正周期為()

A.?B.E

42

C.nD.2冗

4.函數(shù)7U)=sin,x—弓)一cos(2x—］的單調(diào)遞增區(qū)間為.

題型一利用兩角和與差的正、余弦公式、輔助公式化簡(jiǎn)——自主完成

化簡(jiǎn)下列各式：

1.sin(x—^cos,+cos(x—￡)sin

2.3sin2x-V5cos2x.

3.2sin：+V5cos*

方&歸附

對(duì)化簡(jiǎn)的式子提系數(shù)，利用兩角和與差公式的逆用或輔助公式化為形Asin(GX+婢或A

cos(sx+s)的形式.

題型二兩角和與差的正、余弦公式與三角函數(shù)的綜合運(yùn)用——師生共研

例1已知函數(shù)ZU)=V5sin(2x+》+sin2x+。的最大值為1.

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若將段)的圖象向左平移計(jì)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,外上

的最大值和最小值.

跟蹤訓(xùn)練1［多選題］己知函數(shù)/(x)=cos2xcos(p—s\n2xsin<(p<的圖象的一

個(gè)對(duì)稱中心為《，0),則下列說法正確的是()

A.直線x=*r是函數(shù)7U)的圖象的一條對(duì)稱軸

B.函數(shù)在［。，"上單調(diào)遞減

C.函數(shù)段)的圖象向右平移三個(gè)單位可得到>=cos2x的圖象

6

D.函數(shù)於閨0,外上的最小值為一1

例2已知函數(shù)J(x)=:sincos2x+〃(/〃>0)

(1)求函數(shù)凡6的單調(diào)遞減區(qū)間；

⑵設(shè)xs［o,凡r)的最小值是I一V5,最大值是3,求實(shí)數(shù)〃?，〃的值.

跟蹤訓(xùn)練2已知定義在R上的函數(shù)於)=〃sincox-\~bcos?r(co>0).若小)的最小正周

期為五，且對(duì)一切％￡R,都有7U)勺(")=4,求函數(shù)/x)的表達(dá)式.

2.3三角函數(shù)的疊加及其應(yīng)用

新知初探?課前預(yù)習(xí)

［教材要點(diǎn)］

要點(diǎn)一

cos(a-p)cos(a+/)sin(ct+萬)sin9一4)

要點(diǎn)二

va24-b2sin(a+p)

［基礎(chǔ)自測(cè)］

1.⑴J(2)X(3)V(4)X

2.解析：由輔助公式得｝=3$m工+4以)54='\/^"不^81|1(3+0)=5$苗*+9),其中l(wèi)anR

=g,所以最大值為5.

答案：C

3.解析：y=|sinA+\/3cosx\=2|sin(x4-|,所以它的最小正周期為兀.故選C.

答案：C

4.解析：y(x)=V2sin(2x—^)=V2sin(2x-§

由2E—/2L居W2E+今代Z

得：&兀-R，k?Z.

2424

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：

上”2kn+詈］,(正Z).

答案：［kn-,kir+詈卜伏￡Z)

題型探究?課堂解透

題型一

1.解析：原式=sin(x—'+,)=sinx.

2.解析：原式=2]3(手5訪2*-；852*)=27^]|1(2*-3).

3.解析：原式=J22+sin(：+(p)=3sinQ+5)，其中tan8=2

題型二

例I解析：(l&)=V5sin卜x+；)+sin2x+。

=x/3cos2x+sin2x+a

=2sin伽+2)+”，

2+a=l,.*.<7=—1.

（2）將_/u）的圖象向左平移2個(gè)單位，得到函數(shù)以幻的圖象,

6

??.g(x)=/(x+g=2sin[2(x+]+曰_1

=2sin(2x+y)-I.

Vxe[o.J

.?z+n詈，.

.?.當(dāng)2x++式，sin(2x+引哼

g(x)取最大值\尺一1.

當(dāng)2x+g=q時(shí),sin(2x+y)=-l,

g(x)取最小值-3.

跟蹤訓(xùn)練1解析：：/(x)=cos2xcos9—sin2xsinp=cos(2x+°)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中

心為(?。)，

/.cos(2x3+(p)=0,則

???8=?+履，kRZ.

6

???（X吟

?—TT

,,中一%?

則yu）=cos（2x+J.

???/偌）=cos（2X雪+.=8SkT,

???直線工=5兀是函數(shù)人幻的圖象的一條對(duì)稱軸，故A正確;

當(dāng)回0,弓時(shí)，2H步曲.

???函數(shù)?r）在[0,弓上單調(diào)遞減，故B正確；

函數(shù)危）的圖象向右口移打單位，得到尸COS[2（X-9+^=COS⑵一,）的圖象，故

C項(xiàng)錯(cuò)誤：

當(dāng)回0,引時(shí),鵬嗤，胃

，函數(shù)/U）在[o,]上的最小值為cos7t=-1,故D正確.

故選A、B,D.

答案：ABD

例2解析：（1）J（x）=—sincos2x+〃

22

=//jQsin2x+亨cos2x）+〃

=msin（2x+§+〃.

???，心0,

:,由2E+衿2x+衿2E+5,k￡Z,

得履+EWXWE+N，kez,

1212

故函數(shù)_/U）的單調(diào)遞減區(qū)間為M+jkir+用，（fcez）.

（2）當(dāng)x￡[0,9時(shí)，〃+衿￡抖

則sin（2x+#[-g,1],

m+n=3,

由題意知73L解得機(jī)=2,〃=1.

m+n=1-V3

2

跟蹤訓(xùn)練2解析：利用輔助角公式，可得於）=V^msin?x+e）（其中tan^=-）.又

a

最小