小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)《用集合圖解決問(wèn)題（第一課時(shí)）》教學(xué)設(shè)計(jì)

小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)《用集合圖解決問(wèn)題（第一課時(shí)）》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教材分析【基礎(chǔ)】本節(jié)課是冀教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)第八單元“探索樂(lè)園”的起始課，也是學(xué)生第一次系統(tǒng)接觸集合思想的重要課時(shí)。教材編排遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從簡(jiǎn)單的包含關(guān)系入手，逐步過(guò)渡到并列關(guān)系，最終聚焦于重疊關(guān)系這一核心難點(diǎn)13。本節(jié)課的內(nèi)容不僅是簡(jiǎn)單應(yīng)用題的解答，更是對(duì)學(xué)生邏輯思維能力和抽象概括能力的初步培養(yǎng)，為后續(xù)學(xué)習(xí)公因數(shù)與公倍數(shù)、容斥原理等更深層的數(shù)學(xué)知識(shí)奠定堅(jiān)實(shí)的模型基礎(chǔ)。本節(jié)課的設(shè)計(jì)意圖在于引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型，再運(yùn)用模型解釋和應(yīng)用的過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。二、學(xué)情分析【重要】五年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)具備了一定的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)儲(chǔ)備。他們已經(jīng)掌握了簡(jiǎn)單的整數(shù)加減法，能夠理解“部分”與“整體”的關(guān)系，并且在以往的統(tǒng)計(jì)圖表學(xué)習(xí)中對(duì)圖形的直觀性有了初步感受3。然而，學(xué)生對(duì)“重疊”現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)往往是模糊的、下意識(shí)的，難以用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行描述和量化計(jì)算。他們的思維正處于從具體形象思維向抽象邏輯思維過(guò)渡的階段，因此，借助直觀的集合圖（韋恩圖）將抽象的重復(fù)關(guān)系形象化、可視化，是突破學(xué)生思維障礙的關(guān)鍵。學(xué)生可能遇到的困難在于：一是難以理解為何重疊部分不能重復(fù)計(jì)數(shù)；二是難以識(shí)別和解讀集合圖中每一部分所代表的實(shí)際意義14。三、教學(xué)目標(biāo)1.【基礎(chǔ)】結(jié)合具體的生活情境，經(jīng)歷探究用集合圖表示事物間關(guān)系的過(guò)程，理解集合圖中各部分（包含、并列、重疊）的含義，能正確解讀并繪制簡(jiǎn)單的集合圖。2.【核心】掌握用集合圖分析數(shù)量關(guān)系的方法，能借助集合圖解決簡(jiǎn)單的重疊問(wèn)題，歸納出解決此類問(wèn)題的基本策略（兩部分之和減去重疊部分），深刻體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在解決問(wèn)題中的價(jià)值。3.【拓展】在觀察、操作、交流、反思的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，感受集合思想在日常生活中的廣泛應(yīng)用，提升邏輯思維能力和合作探究意識(shí)，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的能力。四、教學(xué)重難點(diǎn)1.【重點(diǎn)】理解集合圖中各部分的意義，能運(yùn)用集合圖分析并解決有重復(fù)部分的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題。2.【難點(diǎn)】理解重疊部分的意義，并能根據(jù)集合圖準(zhǔn)確列出算式，明白為何要從和中減去重疊部分。五、教學(xué)準(zhǔn)備多媒體課件（包含腦筋急轉(zhuǎn)彎、例題、練習(xí)題、韋恩圖介紹）、彩色粉筆、磁性學(xué)具卡片（學(xué)生姓名或動(dòng)物圖片）、預(yù)學(xué)單、小組合作學(xué)習(xí)任務(wù)單。六、教學(xué)過(guò)程（一）激趣導(dǎo)入，初識(shí)“重疊”上課伊始，教師以輕松愉快的口吻與學(xué)生進(jìn)行交流：同學(xué)們，上課之前我們先來(lái)熱熱身，猜一個(gè)腦筋急轉(zhuǎn)彎。課件出示題目：兩個(gè)爸爸和兩個(gè)兒子一同去看電影，他們只買了3張票，卻順利地進(jìn)入了電影院。這是為什么？學(xué)生紛紛猜測(cè)，教師鼓勵(lì)學(xué)生大膽表達(dá)自己的想法。在學(xué)生議論紛紛之際，引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)其中的奧秘：原來(lái)這三個(gè)人是爺爺、爸爸和兒子。爸爸既是爺爺?shù)膬鹤樱质莾鹤拥陌职郑粋€(gè)人具有雙重身份，在這里被重復(fù)算了一次，所以實(shí)際只有3個(gè)人26。教師順勢(shì)揭示課題：生活中像這樣具有“重復(fù)”或“重疊”現(xiàn)象的問(wèn)題還有很多。今天，我們就一起走進(jìn)“探索樂(lè)園”，學(xué)習(xí)用一種神奇的圖形——集合圖，來(lái)巧妙地解決這些問(wèn)題。（板書課題：用集合圖解決問(wèn)題）（二）喚醒經(jīng)驗(yàn)，構(gòu)建“包含”與“并列”1.包含關(guān)系的復(fù)習(xí)鞏固教師創(chuàng)設(shè)貼近班級(jí)的情境：為了更好地學(xué)習(xí)，我們先來(lái)看看咱們班自己的情況。板書：五年級(jí)（1）班共有學(xué)生50名（假設(shè)人數(shù)，可根據(jù)實(shí)際情況調(diào)整），其中男生有26名。教師提問(wèn)：誰(shuí)能說(shuō)一說(shuō)男生人數(shù)和全班人數(shù)之間是什么關(guān)系？預(yù)設(shè)學(xué)生回答：男生是全班的一部分，全班包含了男生34。教師追問(wèn)：你能用一種圖清晰地表示這種“包含”關(guān)系嗎？學(xué)生嘗試在預(yù)學(xué)單上畫圖，教師巡視，選取用不同圖形（如橢圓、長(zhǎng)方形）表示的作品通過(guò)展臺(tái)展示。教師在黑板上示范規(guī)范的集合圖畫法：先畫一個(gè)較大的橢圓（或長(zhǎng)方形），并在其下方標(biāo)注“全班50人”，然后在內(nèi)部畫一個(gè)較小的橢圓，標(biāo)注“男生26人”。教師指出，這個(gè)圖就表示“包含關(guān)系”，外面大的橢圓表示全集，里面小的橢圓表示真子集。沒(méi)有畫的部分，如外面大橢圓里面除了小橢圓之外的部分，就表示女生1。2.并列關(guān)系的初步感知教師繼續(xù)提問(wèn)：如果我說(shuō)“參加數(shù)學(xué)小組的18人”和“參加合唱小組的12人”，這兩個(gè)小組的人數(shù)與全班人數(shù)又是什么關(guān)系？預(yù)設(shè)學(xué)生回答：他們都是全班的一部分。教師引導(dǎo)：那這兩個(gè)小組之間又是什么關(guān)系呢？（出示條件：且每人只參加了一個(gè)小組，也就是沒(méi)有重疊。）教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到，這種互不交叉、互不包含的關(guān)系，我們稱之為“并列關(guān)系”4。教師引導(dǎo)學(xué)生如何在同一個(gè)大集合（全班）中表示這兩個(gè)并列的小集合。指名學(xué)生在黑板上教師的板演基礎(chǔ)上，畫出表示數(shù)學(xué)小組和合唱小組的兩個(gè)不相交的小橢圓。教師點(diǎn)評(píng)并強(qiáng)調(diào)：在沒(méi)有重疊的情況下，要求既沒(méi)有參加數(shù)學(xué)也沒(méi)有參加合唱的人數(shù)，可以直接用總數(shù)減去兩個(gè)小組的人數(shù)之和。（三）聚焦核心，突破“重疊”難點(diǎn)【難點(diǎn)】【高頻考點(diǎn)】1.制造認(rèn)知沖突教師話鋒一轉(zhuǎn)：但是，生活中的情況往往更復(fù)雜。讓我們看看五（1）班在運(yùn)動(dòng)會(huì)上面臨的新問(wèn)題。課件出示例題（3）：在學(xué)校春季運(yùn)動(dòng)會(huì)上，五（1）班學(xué)生參加了兩項(xiàng)比賽。有18名學(xué)生參加了田徑比賽，10名學(xué)生參加了籃球比賽，其中8名學(xué)生既參加了田徑比賽又參加了籃球比賽。五（1）班共有多少名學(xué)生參加比賽？教師請(qǐng)學(xué)生讀題，并找出關(guān)鍵信息。提問(wèn)：這句話“其中8名學(xué)生既參加了田徑比賽又參加了籃球比賽”是什么意思？預(yù)設(shè)學(xué)生回答：這8個(gè)人兩項(xiàng)都參加了，他們被重復(fù)計(jì)算了。教師追問(wèn)：如果按照之前的經(jīng)驗(yàn)，直接用18+10=28（名），對(duì)嗎？為什么？學(xué)生立刻發(fā)現(xiàn)不對(duì)，因?yàn)榘?個(gè)人重復(fù)算了一次，實(shí)際人數(shù)應(yīng)該少于28人。認(rèn)知沖突被成功激發(fā)，學(xué)生迫切地想要找到一種方法來(lái)清晰地表示這種關(guān)系。2.合作探究，構(gòu)建模型【重要】教師提出核心任務(wù)：這個(gè)問(wèn)題中的數(shù)據(jù)關(guān)系比剛才的包含、并列都復(fù)雜，既有并列的部分，又有重疊的部分。請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位，利用老師發(fā)的任務(wù)單和學(xué)具卡片（可用○代表學(xué)生），試著畫一畫、擺一擺，用你喜歡的圖形來(lái)表示“參加田徑的18人”、“參加籃球的10人”和“既參加田徑又參加籃球的8人”這三者之間的關(guān)系。要求讓大家一眼就看出誰(shuí)參加了什么，一共有多少人參賽。學(xué)生分組展開(kāi)激烈的討論和動(dòng)手操作。教師巡視指導(dǎo)，收集學(xué)生中具有代表性的作品（如簡(jiǎn)單的兩個(gè)圈分開(kāi)畫、兩個(gè)圈部分重疊畫、文字羅列等）。組織全班匯報(bào)交流。先展示兩個(gè)圈沒(méi)有重疊或重疊位置不正確的作品，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題；最終聚焦到最符合題意的作品：用兩個(gè)交叉的橢圓（或圓）來(lái)表示。教師利用多媒體或教具，動(dòng)態(tài)演示兩個(gè)集合圈交叉的過(guò)程，并引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)韋恩圖（Venndiagram），簡(jiǎn)介英國(guó)數(shù)學(xué)家韋恩27。【基礎(chǔ)】教師引導(dǎo)全班共同解讀這個(gè)集合圖：①左邊橢圓表示什么？（參加田徑比賽的學(xué)生，18人）②右邊橢圓表示什么？（參加籃球比賽的學(xué)生，10人）③中間交叉（重疊）的部分表示什么？（【核心】既參加田徑又參加籃球的學(xué)生，8人）④那左邊橢圓中“月牙”形的部分（指只有左邊無(wú)重疊的部分）表示什么？（只參加田徑，沒(méi)有參加籃球的學(xué)生）⑤右邊橢圓中“月牙”形的部分表示什么？（只參加籃球，沒(méi)有參加田徑的學(xué)生）教師強(qiáng)調(diào)：這個(gè)小小的重疊部分，是整個(gè)圖的關(guān)鍵，它揭示了重復(fù)計(jì)數(shù)的本質(zhì)。3.數(shù)形結(jié)合，列式解決教師引導(dǎo)學(xué)生回歸問(wèn)題：現(xiàn)在，看著這個(gè)清晰明了的集合圖，你能計(jì)算出五（1）班一共有多少名學(xué)生參加比賽嗎？請(qǐng)嘗試列出綜合算式，并在小組內(nèi)交流你的想法。學(xué)生匯報(bào)，教師板書不同的算法，并引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出每個(gè)算式的道理，將算式與圖中的各部分一一對(duì)應(yīng)起來(lái)。方法一：18+108=20（名）（重點(diǎn)講解）這8個(gè)人既在田徑圈里，又在籃球圈里，如果我們直接把18和10加起來(lái)，這8個(gè)人就被加了兩次，多算了一次，所以要減去一次。這是解決重疊問(wèn)題的基本公式。方法二：8+（188）+（108）=20（名）即重疊部分+只參加田徑的+只參加籃球的。教師總結(jié)：無(wú)論哪種方法，我們都遵循了一個(gè)原則——【重要】重復(fù)的部分只能計(jì)算一次。這就好比我們數(shù)人數(shù)，不能因?yàn)橐粋€(gè)人參加了兩個(gè)項(xiàng)目就把他數(shù)兩遍。（四）變式練習(xí)，內(nèi)化思想1.基本練習(xí)（鞏固理解）課件出示：五（1）班有40名學(xué)生，有18名學(xué)生參加數(shù)學(xué)小組，12名學(xué)生參加合唱小組，其中有3名學(xué)生這兩個(gè)小組都參加了。五（1）班既沒(méi)有參加數(shù)學(xué)小組，也沒(méi)有參加合唱小組的學(xué)生有多少名？【熱點(diǎn)】引導(dǎo)學(xué)生先討論：這個(gè)問(wèn)題和我們剛才解決的問(wèn)題有什么不同？（多了“全班40人”這個(gè)大集合，最后求的是大集合之外的部分）。讓學(xué)生嘗試畫圖，并在圖中標(biāo)出“參加數(shù)學(xué)”、“參加合唱”、“兩者都參加”、“兩者都不參加”四個(gè)部分。指導(dǎo)學(xué)生列式，重點(diǎn)理解為什么要在40里面減去（18+123），這里括號(hào)里算出的就是至少參加一個(gè)小組的人數(shù)。2.變式練習(xí)（逆向思維）課件出示：五（1）班開(kāi)展大掃除，掃地的有8人，擦玻璃的有12人，收拾課桌的有10人。（每人最多做了兩項(xiàng)勞動(dòng)）其中有3人既擦了玻璃又收拾了課桌，有另外2人既掃了地又擦了玻璃。五（1）班參加大掃除的共有多少人？1此題涉及三個(gè)集合且有兩組重疊，但互不交叉（每人最多做兩項(xiàng)，說(shuō)明不存在三者都做的人）。引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分層畫圖或逐一添加的方法，逐步計(jì)算出總?cè)藬?shù)。可以先算擦玻璃和收拾課桌的（12+103=19人），再將掃地的8人加入，注意減去新產(chǎn)生的重疊（19+82=25人）。訓(xùn)練學(xué)生思維的條理性。（五）拓展延伸，文化滲透1.尋找生活中的集合教師引導(dǎo)學(xué)生列舉生活中可以用集合圖表示的現(xiàn)象。例如：班級(jí)里喜歡吃蘋果和喜歡吃香蕉的人；超市兩天進(jìn)的水果品種；既是5的倍數(shù)又是3的倍數(shù)的數(shù)等等15。讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在身邊。2.數(shù)學(xué)文化小鏈接【基礎(chǔ)】教師利用課件簡(jiǎn)要介紹：這個(gè)幫助我們解決大問(wèn)題的圖，叫做韋恩圖（Venndiagram），也叫做文氏圖。它是由英國(guó)邏輯學(xué)家約翰·韋恩在1881年發(fā)明的。他用這種簡(jiǎn)潔的圖形來(lái)表示事物之間的邏輯關(guān)系，后來(lái)被廣泛地應(yīng)用在數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域2。鼓勵(lì)學(xué)生課后查閱相關(guān)資料，了解韋恩圖的更多應(yīng)用。（六）全課總結(jié)，反思提升教師提問(wèn)：通過(guò)今天這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)、方法、情感三個(gè)維度進(jìn)行回顧。預(yù)設(shè)學(xué)生回答：我學(xué)會(huì)了用集合圖（韋恩圖）來(lái)表示有重復(fù)關(guān)系的數(shù)量。我知道了求兩部分總數(shù)時(shí)，如果有重疊，一定要減去重疊部分。我覺(jué)得畫圖的方法很好，能把復(fù)雜的問(wèn)題變簡(jiǎn)單。我感受到數(shù)學(xué)和我們的生活聯(lián)系很緊密。教師總結(jié)：今天我們不僅學(xué)會(huì)了一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是掌握了一種數(shù)學(xué)思想——集合思想，以及一種解決問(wèn)題的有效策略——畫圖。希望大家在今后的學(xué)習(xí)中，也能像今天一樣，遇到復(fù)雜問(wèn)題時(shí)不慌張，嘗試著畫一畫、圈一圈，用圖形的力量幫助我們找到答案。七、板書設(shè)計(jì)用集合圖解決問(wèn)題包含關(guān)系：并列關(guān)系：重疊關(guān)系（韋恩圖）：大橢圓套小橢圓大長(zhǎng)方形內(nèi)兩個(gè)獨(dú)立小橢圓兩個(gè)相交的圓參加田徑（18人）參加籃球（10人）{既參加田徑又參加籃球（8人）}只田徑：188=10（人）只籃球：108=2（人）核心公式：兩部分之和重疊部分=實(shí)際總量18+108=20（名）答：五（1）班共有20名學(xué)生參加比賽。八、教學(xué)反思【重要】本節(jié)