2025-2026學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)烏蘭察布市集寧區(qū)第二中學(xué)高一下學(xué)期5月期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷-含解析

/數(shù)學(xué)考試時(shí)間：150分鐘；一、單選題：本題共8個(gè)小題，每小題題5分，共40分.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.2 B.4 C. D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.3.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.4.若圓錐的母線長(zhǎng)為，高為，則圓錐的體積為（）A. B. C. D.5.如圖，矩形是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中，則原圖形的面積為（）A. B. C. D.6.已知三條不同的直線，，和兩個(gè)不同的平面，，下列四個(gè)命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則7.在中，、、分別為內(nèi)角、、的對(duì)邊，若，，則（）A. B. C. D.8.在三棱錐中，三條棱，，兩兩相互垂直，，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每題6分，共18分.9.已知m，n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則10.如圖，在正三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.直線與面所成角為C.線段 D.直線面11.在中，角所對(duì)的邊分別為，，，O為的外接圓的圓心，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的外接圓的半徑為2C. D.面積的最大值為三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分.12.半徑為的球的表面積為_____13.已知向量，，且，則______.14.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，高為，則正四棱錐外接球的體積為___________________.四、解答題：本題共5小題，共77分.15.已知向量．（1）求：（2）求與的夾角大小．16.在中，已知．（1）求的值；（2）若，且，求的面積．17.如圖，在直三棱柱中，，，，，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)．（1）證明：直線平面；（2）求異面直線與所成的角的大小．18.已知的角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，向量（1）若求A；（2）若求的面積.19.如圖，四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，、分別是、邊上的點(diǎn)，且（）.（1）證明：、、、四點(diǎn)共面；（2）設(shè)四面體的各棱長(zhǎng)均為6.（ⅰ）當(dāng)時(shí)，求四邊形的周長(zhǎng)；（ⅱ）求四面體外接球與內(nèi)切球的半徑.

數(shù)學(xué)考試時(shí)間：150分鐘；一、單選題：本題共8個(gè)小題，每小題題5分，共40分.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.2 B.4 C. D.答案：C解析：思路：根據(jù)模長(zhǎng)公式運(yùn)算即可得解.解答過(guò)程：因?yàn)?所以.?2.已知集合，，則（）A. B. C. D.答案：A解析：解答過(guò)程：由，得，則.3.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.答案：C解析：解答過(guò)程：已知向量，，，，解得．4.若圓錐的母線長(zhǎng)為，高為，則圓錐的體積為（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先由圓錐的母線和高的長(zhǎng)求出底面半徑，再由體積公式計(jì)算即得.解答過(guò)程：由題意，圓錐的母線，高，則底面半徑，故其體積.故選：B.5.如圖，矩形是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中，則原圖形的面積為（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：方法一、根據(jù)直觀圖還原到原圖形即可求面積，方法二、根據(jù)直接求解.解答過(guò)程：方法一、設(shè)矩形與相交于點(diǎn)，則原圖形如下，，則，所以.方法二、由，所以.故選：C.6.已知三條不同的直線，，和兩個(gè)不同的平面，，下列四個(gè)命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則答案：B解析：解答過(guò)程：對(duì)于A，若，，則兩直線可以平行，可以垂直，可以異面，因此A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則，因此B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，若，可以滿足，但不成立，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，也可能滿足，所以D錯(cuò)誤.7.在中，、、分別為內(nèi)角、、的對(duì)邊，若，，則（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由正弦定理及已知條件可得，令，則，，結(jié)合余弦定理可求得的值.解答過(guò)程：因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼茫忠驗(yàn)椋裕睿瑒t，，所以由余弦定理得，故選：D.8.在三棱錐中，三條棱，，兩兩相互垂直，，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用等積法可求點(diǎn)面距.解答過(guò)程：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)椋遥瑑蓛上嗷ゴ怪保剩实拿娣e為，因?yàn)槠矫妫势矫妫剩剩?故選：B.二、多選題：本題共3小題，每題6分，共18分.9.已知m，n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則答案：BCD解析：思路：利用空間中線面和面面的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.解答過(guò)程：對(duì)于A，線與平面平行，直線并不與平面內(nèi)的每一條直線平行，A錯(cuò)誤：對(duì)于B，若直線與平面垂直，則直線與平面內(nèi)的每一條直線都垂直，B正確；對(duì)于C，由線面平行性質(zhì)定理可知，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，結(jié)合正方形模型及線面垂直定義可知D選項(xiàng)正確.故選：BCD.10.如圖，在正三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.直線與面所成角為C.線段 D.直線面答案：ABD解析：思路：對(duì)于A，利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可得證；對(duì)于B，利用線面角的定義即可得解；對(duì)于C，正中求解即可；對(duì)于D，利用線面平行的判定理證得即可.解答過(guò)程：對(duì)于A，因?yàn)樵谡庵校妫妫裕驗(yàn)榈酌媸钦切危瑸槔獾闹悬c(diǎn)，所以，又面，所以面，因?yàn)槊妫裕蔄正確；對(duì)于B，因?yàn)樵谡庵校妫詾橹本€與面所成角，因?yàn)槊妫裕郑裕瑒t，故B正確；對(duì)于C，在正中，，則，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，記的中點(diǎn)為，連接，如圖，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，又易知四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)椋裕运倪呅问瞧叫兴倪呅危瑒t，又面，面，所以直線面，故D正確.故選：ABD.11.在中，角所對(duì)的邊分別為，，，O為的外接圓的圓心，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的外接圓的半徑為2C. D.面積的最大值為答案：AD解析：思路：根據(jù)正弦定理、三角形內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式和特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算判斷A,B,利用向量的數(shù)量積公式、余弦定理、基本不等式和三角形面積公式計(jì)算判斷C,D.解答過(guò)程：在中，因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼茫郑裕裕瑢?duì)于A，因?yàn)椋瑒t，所以，因?yàn)椋裕蔄正確；對(duì)于B,由正弦定理得外接圓半徑，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,如圖1，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,由余弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，故D正確，故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分.12.半徑為的球的表面積為_____答案：解析：解答過(guò)程：因?yàn)榍虻陌霃綖椋郧虻谋砻娣e為.13.已知向量，，且，則______.答案：解析：解答過(guò)程：由.所以.14.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，高為，則正四棱錐外接球的體積為___________________.答案：解析：思路：由，得正四棱錐的外接球球心為，半徑為，可求外接球的體積.解答過(guò)程：正四棱錐中，設(shè)，連接，則平面，設(shè)正四棱錐的外接球球心為，則在直線上，因?yàn)檎睦忮F的高為，所以，底面正方形的邊長(zhǎng)為6，則有，所以即為，正四棱錐的外接球半徑為，外接球的體積為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.15.已知向量．（1）求：（2）求與的夾角大小．答案：（1）（2）解析：（1），.（2）設(shè)兩向量夾角為，，，，因此，結(jié)合的范圍得.16.在中，已知．（1）求的值；（2）若，且，求的面積．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用余弦定理可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；（2）分析可得，利用三角形的面積公式求解即可.（1）由余弦定理可得，又因?yàn)椋?（2）因?yàn)椋瑒t，故的面積為.17.如圖，在直三棱柱中，，，，，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)．（1）證明：直線平面；（2）求異面直線與所成的角的大小．答案：（1）證明見解析（2）.解析：思路：（1）連接，利用三角形中位線性質(zhì)可得，再利用線面平行的判定定理即可證明；（2）由和可知或其補(bǔ)角即為所求，再利用余弦定理求解即可．（1）連接，由已知條件，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，故有，又平面，平面，所以直線平面；（2）由（1）可知，，故或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角．因?yàn)椋裕鶕?jù)直三棱柱性質(zhì)可知，，所以，，在中，由余弦定理得，又，故，即異面直線與所成的角的大小為．18.已知的角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，向量（1）若求A；（2）若求的面積.答案：（1）（2）解析：思路：（1）通過(guò)向量平行轉(zhuǎn)化為邊角關(guān)系，再用正弦定理和三角恒等變換求解即可.（2）通過(guò)向量垂直得到邊的關(guān)系，結(jié)合余弦定理和面積公式求解即可.（1）因?yàn)樗寓?又由正弦定理，即，代入①式，可得，整理得，又，所以，解得.（2）因?yàn)椋裕矗郑?因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻茫矗獾没颍ㄉ崛ィ?故.19.如圖，四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，、分別是、邊上的點(diǎn)，且（）.（1）證明：、、、四點(diǎn)共面；（2）設(shè)四面體的各棱長(zhǎng)均為6.（ⅰ）當(dāng)時(shí)，求四邊形的周長(zhǎng)；（ⅱ）求四面體外接球與內(nèi)切球的半徑.答案：（1）證明過(guò)程見解析（2）（ⅰ）周長(zhǎng)為；（ⅱ）外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為解析：思路：（1）得到，得到四點(diǎn)共面；（2）（ⅰ）由余弦定理等知識(shí)求出各邊長(zhǎng)，相加求周長(zhǎng)；（ⅱ）作出輔助線，根據(jù)外接球半徑相等得到方程，求出外接球半徑，并根據(jù)三角形相似得到內(nèi)切球半徑（1）、分別是、的中點(diǎn)，故為的中位線，故，、分別是、邊上的