2025年云南省中考數(shù)學試題（解析版）

2025年云南省初中學業(yè)水平考試

數(shù)學

(全卷三個大題，共27小題，共8頁；滿分100分，考試用時120分鐘)

注意事項：

1.考生必須在答題卡上解題作答.答案應書寫在答題卡的相應位置上，在試卷、草稿紙上

作答無效.

2.考試結束后，請將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共15小題，每小題2分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.中國是最早使用正負數(shù)表示具芍相反意義的量的國家.若收入10元記作+10元，則支出5元可記作

()

A.-5元B.5元C.-10元D.10元

【答案】A

【解析】

【分析1本題考查正負數(shù)表示相反意義的量，收入與支出為相反意義的量，收入用正數(shù)表示，則支出用負數(shù)

表示，數(shù)值為實際金額.

根據(jù)正負數(shù)表示相反意義的量即可求解.

【詳解】解：若收入10元記作+10元，則支出5元可記作一5元，

故選：A.

2.地球繞太陽公轉(zhuǎn)的速度約是110(XX)km/h,11000()用科學記數(shù)法可以表示為()

A.l.lxlO?B.HxlO3C.l.lxlO5D.HxlO7

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了科學記數(shù)法，科學記數(shù)法的表現(xiàn)形式為ax10”的形式，其中1＜同＜10,〃為

整數(shù)，確定〃的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，

當原數(shù)絕對值大于等于10時，〃是正數(shù)，當原數(shù)絕對值小于I時〃是負數(shù)；由此進行求解即可得到答案.

【詳解】解：110000用科學記數(shù)法可以表示為1.1x105,

故選：C.

3.如圖，已知直線。與直線〃都相交.若々〃"N1-50。，則N2=（）

A.53°B.52°C.51°D.50°

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了利用平行線的性質(zhì)求角度，掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關鍵.

根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”即可求解.

【詳解】解：Nl=50。，

□Z2=Z1=5O°，

故選：D.

4.下列計算正確的是（）

A.x+2x=3x2B.x2-x3=x5C.x6-r-x2=xD.=xy2

【答案】B

【解析】

【詳解】本題考查整式的運算.熟練掌握合并同類項，同底數(shù)幕的乘除法，積的乘方等基本法則，是解題的

關鍵.

運用合并同類項，同底數(shù)累的乘除法，積的乘方逐?驗證各選項的正確性，即得.

【分析】A、合并同類項時，系數(shù)相加，字母部分不變.x+2x=（l+2）x=3x,而非3f,故A錯誤.

B、同底數(shù)基相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.12.了3=/+3=*5,故B正確.

C、同底數(shù)基相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.x6-x2=x6-2=x4,而非“，故C錯誤.

D、積的乘方等于各因式乘方的積.（jQ，『=x2y2,故D錯誤.

故選:B.

k

5.若點（1,2）在反比例函數(shù)y二一（k為常數(shù)，且女工0）的圖象上，則無=（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】本題考杳了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

將已知點的坐標代入反比例函數(shù)解析式，直接計算即可求出左的值.

【詳解】解?：口點（1,2）在反比例函數(shù)），=：（女為常數(shù)，且ZHO）的圖象上，

，將x=l,），=2代入），=￡得：2=-

x1

解得:k=2,

故選：B.

6.下列圖形是某幾何體的三視圖（主視圖也稱正視圖，左視圖也稱側(cè)視圖），則這個幾何體是（）

主視圖左視圖

俯視圖

A.正方體B,長方體C.圓錐D.圓柱

【答案】D

【解析】

【分析】本題考宜由三視圖判斷兒何體，解題關鍵是掌握常見兒何體三視圖特征；

由三視圖條件分析判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)主視圖和左視圖為長方形判斷出是柱體，根據(jù)俯視圖是圓形可判斷出這個幾何體應該是

圓柱.

故選：D.

7.一個六邊形的內(nèi)角和等于（）

A.360°B.540°C.720°D.900°

【答案】C

【解析】

【分析】本題考杳了多邊形的內(nèi)角和公式，掌握〃邊形內(nèi)角和為（〃-2）x180。是解題的關鍵.

根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式直接計算即可.

【詳解】解：由題意得：（6—2）x1800=4x1800=720。,

故選：C.

AH1[)F

8.如圖，在△A8C中，己知。,￡分別是ARAC邊上的點，且DE〃BC.若一二一，則一=()

AB2BC

A

1

-

C-D-

45

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵：

An?

由DE〃3C證AADEs/\A3C,利用相似三角形對應邊成比例，結合一=-,得出結論.

AB2

【詳解】解：:。石〃BC,

：?/ADE=NB,ZAED=ZC.

???2NDESXABC,

DEAD

:.一=一，

BCAB

..ADI

'~AB=2

.DE1

?'?=一

BC2

故選：A.

9.函數(shù))，=」的自變量"的取值范圍為()

x-1

A.XH4B.X=3C.xw2D.xwl

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查函數(shù)自變量的取值范圍，解題關鍵是依據(jù)“分母不為0”列不等式求解.

根據(jù)分母不等于。得到尸1工0,求解即可.

【詳解】解：???函數(shù)y二」的分母為X」.

x-I

J"彳分母=0時，分式無意義,

x~\w0.

解得xwl,

故自變量1的取值范圍是XH1，

故選：D.

10.中華文明，源遠流長；中華漢字，寓意深廣，下列四個選項中，是軸對稱圖形的為（）

愛我中華

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查r軸對稱圖形的識別，解題的關鍵在于熟練掌握：在平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，

直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對稱圖形.

根據(jù)軸對稱圖形的定義即可求解.

【詳解】解：根據(jù)軸對稱圖形的定義可得只有“中”字是軸對稱圖形，符合題意，

故選：c.

”.某校舉辦了關于垃圾分類的知識競賽.九年級10名學生參加本次競賽的成績（單位：分）分別為

90,80,90,70,9（）,100,80,9（）,90,80.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（）

A.70B.80C.90D.100

【答案】C

【解析】

【分析】本題考杳眾數(shù)的概念（數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是眾數(shù)），熟練掌握相關概念是解題的關鍵.

根據(jù)眾數(shù)的概念即可求解.

【詳解】解：將題目中的成績按出現(xiàn)次數(shù)統(tǒng)計：70分出現(xiàn)1次；80分出現(xiàn)3次；90分出現(xiàn)5次：100分出

現(xiàn)I次，

???其中90分出現(xiàn)的次數(shù)最多（5次），

???這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是90,

故選：C.

12.按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：a,3。，5。，7a,9a,…,第〃個代數(shù)式是（）

A.B.（24+1）。C.+D.2025。

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了與單項式有關的規(guī)律探索，觀察可知，每一個代數(shù)式都是只含有字母”的單項式,

其中系數(shù)是從1開始的連續(xù)的奇數(shù)，據(jù)此規(guī)律求解即可.

【詳解】解：第1個代數(shù)式為“，

第2個代數(shù)式為九,

第3個代數(shù)式5。，

第4個代數(shù)式為7〃，

第5個代數(shù)式為9a,

以此類推，可知，第〃個代數(shù)式是(2〃一1”，

故選：A.

13.若一個圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為90。，母線長為40cm,則該圓錐的底面圓的半徑為()

A.9cmB.10cmC.11cmD.12cm

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了圓錐的計算，解題的關鍵是了解圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖扇形的弧長.

907rx40

設圓錐底面圓半徑為人根據(jù)圓隹側(cè)面展開圖的扇形弧長等于底面圓的周長得到^一，即可求

解半徑.

【詳解】解：設圓錐底面圓半徑為，，

……c9(6x4°

由題意得：2乃廠=--------,

18()

解得r=10,

因此，該圓錐的底面圓半徑為10cm,

故選：B.

14.某書店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元.設該書店每月盈利的平均增長率為3根據(jù)題

意，下列方程正確的是()

A6000(1+x)2=6200B.6000(1-x)2=6200

C.6000(1+2x)=6200D.6000.x2=6200

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查一元二次方程的實際應用，涉及平均增長率問題，正確理解題意是解題的關鍵.

根據(jù)題意，3月到5月共經(jīng)過兩個月，每個月的增長率為x,則5月份的盈利為3月份的盈利乘以(l+x/,

即可建立方程.

【詳解】解：設該書店每月盈利的平均增長率為犯

由題意得：6000(1+x)2=6200,

故選:A.

15.如圖，在中，ZC=90°.若A3=13,3C=5,則sinA=()

?5

Bc.—D.

-H1313

[]D

【解析】

【分析】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，掌握正弦等于銳角的對邊與斜邊的比值是解題的關鍵.

直接由正弦的定義即可求解.

【詳解】解：EZC=90°,AB=13,BC=5,

Be5

???在中，sinA=一,

AB13

故選：D.

二、填空題：本題共4小題，每小題2分，共8分.

16.已知00的半徑為5cm,若點尸在0。上，則點P到圓心0的距高為cm.

【答案】5

【解析】

【分析】本題考查了點和圓的位置關系，根據(jù)點到圓心的距離和圓的半徑之間的數(shù)量關系，跳可判斷點和

圓的位置關系，解題的關鍵是理解設點到圓心的距離為d,圓的半徑為，若點在圓外，則d〉)?時，當

點在圓上時，則4=〃時：當點在圓內(nèi)時，則

【詳解】解：???點夕在。。上，

???點?到圓心。的距離為5cm,

故答案為：5.

17.分解因式：x2+x=.

【答案】xa+l)

【解析】

【分析】利用提公因式法即可分解.

【詳解】X24-X=X(X+l)?

故答案為：Xx+1).

【點睛】本題考查了用提公因式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方

法進行因式分解.

18.如圖，四功形星菱形，對角線AC.8D相交千點0.若AC=6,RD=5,則菱形AAC。的

面積是______

【答案】15

【解析】

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，根據(jù)菱形面積等于對角線積的一半進行計算即可，掌握菱形的性質(zhì)是解

題的關鍵.

【詳解】解：:四邊形ABC。是菱形，AC=6,BD=5,

???菱形A3CD的面積是」4CX8O=LX6X5=15,

22

故答案為：15.

19.某中學為了解全校1000名學生對新聞，娛樂，體育，動畫，戲曲五類電視節(jié)目的喜愛情況，學校就

“我最喜愛的電視節(jié)目”作了一次簡單隨機抽樣調(diào)查.如圖是根據(jù)調(diào)查結果繪制的扇形統(tǒng)計圖.根據(jù)圖中

的信息，該校1000名學生中，最喜愛娛樂節(jié)目的學生大約有名.

【答案】200

【解析】

【分析】本題考查了扇形統(tǒng)計圖，利用總?cè)藬?shù)乘以最喜愛娛樂節(jié)目學生所占比即可求解，熟練掌握扇形

統(tǒng)計圖的特征是解題的關鍵.

【詳解】解：該校1000名學生中，最喜愛娛樂節(jié)目的學生大約有1000x20%=200（名），

故答案為：200.

二、解答題：本題共8小題，共62分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

20.計算：（兀一2）°—（b）2+卜6|+（（'-2cos60°.

【答案】8

【解析】

【分析】本題考查了含特殊角的三角函數(shù)值的混合運算，涉及負整數(shù)和零指數(shù)累，二次根式的乘法運算等知

識點，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

分別計算零指數(shù)冢、負整數(shù)指數(shù)寢，二次根式的乘法，計算絕對值，特殊角的三角函數(shù)值，再進行加減計算

即可.

【詳解】解：（兀一）（『+|-

2°-66|+0-2cos60°

=l-3+6+5-2xl

2

=1-3+6+5-1

=8.

21.如圖，A3與CO相交于點O,AC=BD,/C=/D.求證：AAOCABOD.

c

【解析】

【分析】木題主要考查了全等三角形的判定，直接利用AAS證明AAOC/即可.

【詳解】證明；在△AOC和△BOD中，

zC=ZD

,NAOC=NBOD,

AC=BD

???△A0C%80Q（AAS）.

22.某化工廠采用機器人A,機器人3搬運化工原料，機謂人A比機器人3每小時少搬運20千克，機淵人

A搬運8（）0千克所用時間與機器人3搬運1000千克所用時間相等.求機器人A,機器人8每小時分別搬運

多少千克化工原料.

【答案】機器人力每小時搬運80千克化工原料，機器人8每小時搬運100千克化工原料

【解析】

【分析】本題主要考查了分式方程的實際應用，設機器人4每小時搬運x千克化工原料，則機器人8每小

時搬運（工+20）千克化工原料，根據(jù)機器人A搬運800千克所用時間與機器人B搬運1000千克所用時間相

等建立方程求解即可.

【詳解】解；設機器人力每小時搬運x千克化工原料，則機器人8每小時搬運（X+20）千克化工原料，

800_1000

由題意得,

xx+2()

解得x=gO,

經(jīng)檢驗，工=8（）是原方程的解，且符合題意，

???K+20=100,

答：機器人力每小時搬運80千克化工原料，機器人4每小時搬運100千克化工原料.

23.九年級某班學生計劃到甲，乙兩個敬老院開展獻愛心活動，老師把該班學生分成A8兩個小組，通過

游戲方式確定去哪個敬老院.游戲規(guī)則如下：在一個不透明的箱子中放了分別標有數(shù)字1,2的兩張卡片

(除數(shù)字外，都相同)，班長先從這個箱子里任意摸出一張卡片，卡片上的數(shù)字記為X.在另一個不透明的

箱子中放了分別標有數(shù)字1,2,3的三張卡片(除數(shù)字外，都相同)，班長再從該箱子里任意摸出一張卡

片，卡片上的數(shù)字記為)二若x=y,則A組學生到甲敬老院，8組學生到乙敬老院；若xwy,則A組學

生到乙敬老院，8組學生到甲敬老院.

(|)用列表法或畫樹狀圖法中的一種方法，求",y)所有可能出現(xiàn)的結果總數(shù)：

(2)求A組學生到甲敬老院，8組學生到乙敬老院開展獻愛心活動的概率/).

【答案】(1)6

⑵-

3

【解析】

【分析】本題考查了用列表法或畫樹狀圖法求概率，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵.

(1)畫樹狀圖，得到共有6種等可能的結果；

(2)根據(jù)樹狀圖得到工二)'的結果有2種，利用概率公式計算即可.

【小問1詳解】

解：根據(jù)題意畫樹狀圖如下，

開始

2

小小

123123

...共有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)共6種等可能的結果:

【小問2詳解】

解：由樹狀圖得，x=)’的結果有2種，

21

AA組學生到甲敬老院，B組學生到乙敬老院開展獻愛心活動的概率P=~=~.

63

24.如圖，在△A8C中，ZABC=90°,。是AC的中點.延長30至點。，使00=08.連接

AD,CD,記AB=a,BC=b,的周長為/1，/J5OC的周長為L，四邊形A6CD的周長為g.

(1)求證：四邊形45C。是矩形;

(2)若4-4=2,4=28,求AC的長.

【答案】(1)見解析(2)1()

【解析】

【分析】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵.

(1)先證明對角線互相平分，繼而得到四邊形A8CD是平行四邊形，再由NABC=90。即可證明為矩形；

b-a-2

(2)由矩形的性質(zhì)得到/,一4=〃一。=2,。+匕=14,得到二元一次方程組《,一，求出再由

■[a+b=\4

勾股定理即可求解.

【小問1詳解】

證明：口。是4c的中點，

:.0A-0C>

?：OD=OB,

匚四邊形ABC。是平行四邊形，

□ZABC=90°,

□四邊形48co是矩形；

【小問2詳解】

解：□/?-4=BO+OC+8C—(80+A3+AO),AO=OC?

□/、―/]=BC—AB=b—a=2,

匚四邊形48co是矩形，

[jAB=CD=a,AD=BC=bf

〃+〃+/?+/?=28,

</+/?=14?

.\b-a=2

\a+b=\4'

I

a=6

解得：t。，

/7=o

□Z4BC=90°,

□AC=&『+b2=10,

□AC的長為10.

25.請你根據(jù)下列素材?，完成有關任務.

背景某校計劃購買籃球和排球，供更多學生參加體育鍛煉，增強身體素質(zhì).

素材

購買2個籃球與購買3個排球需要的費用相等；

素材

購買2個籃球和5個排球共需800元；

素材該校計劃購買籃球和排球共60個，籃球和排球均需購買，且購買排球的個數(shù)不

超過購買籃球個數(shù)的2倍.

請完成下列任務：

任務

每個籃球，每個排球的價格分別是多少元？

任務

給出最節(jié)省費用的購買方案.

【答案】任務一：每個籃球150元，每個排球100元；任務二：購買籃球20個，排球40個，最節(jié)省費用.

【解析】

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式組的應用，一次函數(shù)的應用，掌握知識點的

應用是解題的關鍵.

2x=3v

任務-：設每個籃球x元，每個排球）'元，根據(jù)題意得］。八八，然后解方程組即可；

I2x+5j=800

任務二：設購買籃球。個，則購買排球（60-。）個，費用為卬元，根據(jù)題意得J〃<60，求出。的取

值范圍,由卬=150。+100（60-。）=5（）。+6000,可得卬隨。的增大而增大，則當〃=20時.卬有最小

值，從而求解.

【詳解】解：任務一：設每個籃球X元，每個排球了元，

2x=3y

根據(jù)題意得：

2x+5y=800'

x=150

解得：

y=\00

答：每個籃球150元，每個排球100元;

任務二：設購買籃球。個，則購買排球(60一。)個，總的費用為卬元,

60-w<2a

根據(jù)題意得：

a<60

:.20工〃<60且。為整數(shù),

w=150。+100(60-tz)=50a+6000,

???50>0

???卬隨〃的增大而增大,

，當〃=20時，卬有最小值，為7000元，此時60=40,

答：購買籃球20個，排球40個，最節(jié)省費用.

2A

26.已知。是常數(shù)，函數(shù))，=(工+4乂工一/+。-3)+1,記丁=土十

4a~+\

(1)若工=-4,。=1,求y的值;

(2)若x=3a+2,y=l,比較了與3的大小.

【答案】(1)>'的值為1；

(2)當。=-2時，T<3；當/一44+1=0時，T>3.

【解析】

【分析】本題考查了分式求值，等式的性質(zhì)，函數(shù)求值，掌握知識點的應用是解題的關鍵.

(1)把x=-4,a=l代入函數(shù))，=(1+4)(工一。2+〃-3)+1即可求解；

(2)將x=3a+2,y=l代入函數(shù)整理得-3(a+2)(/-4〃+l)=。，然后分①當。+2=0時，即

a=-2和當/一4〃+1=0時兩種情況求解即可.

【小問1詳解】

解：把x=4a=l代入函數(shù)》=(1+4乂工一〃2+〃-3)+1得,

2

y=(-4+4)(-4-l+l-3)+l=l,

的值為1；

【小問2詳解】

解：將x=3a+2,y=l代入函數(shù)得,

(34+2+4)(3〃+2-/+〃-3)+1=1,

整理得：一3(4+2)1/_44+1)=0,

①當4+2=0時，即。二一2,

(-2)、4

:?T=<3>

4(少+14

②當〃2一4。+1=0時，。工0,

則有/=4a—1,a2+\=4a

14

..〃+-=4,

a

..J=------+—

44a

11

=a------1—

4a

=4-1

4

15c

=—>3,

4

綜上可知：當々=一2時，7<3；當/4ali=0時，T>3.

27.如圖，。。是五邊形/WCOE的外接圓，是。。的直徑.連接AC,BE,CE,

ZAEC=ZACF.

CF

(1)若CE=CB,且NCBE=60。,求NBCE1的度數(shù);

(2)求證：直線。尸是00的切線；

(3)探究，發(fā)現(xiàn)與證明：已知AC平分/84E,是否存在常數(shù)使等式

AC?=aBC?CE+bAB?AE成立?若存在，請直接寫出-一個。