人教八年級數學下冊復習-第十八章 平行四邊形（單元重點綜合測試）

第十八章平行四邊形（單元重點綜合測試）

考試范圍：全章的內容；考試時間：120分鐘；總分：120分

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.下列命題正確的是（）

A.對角線相等的四邊形是矩形

B.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

C.順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是正方形

D.菱形的面積為兩條對角線長度乘積的一半

2.如圖，菱形A8CD中，區尸分別是A3、AC的中點，若所'=3,則菱形A8CQ的周長為（）

A.24B.18C.12D.9

3.如圖，在四邊形A8C。中，BD=CD,ZC=70°,AE上RD于點E,則N8AE的度數為（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

4.如圖，中，過點6作比;J.AC,取48邊中點連結OE.若DE=5,AE=8f則做

長為（）

5.如圖，在四邊形ABC。中，對角線AC,8。相交于點。.下列說法?不?一?定正確的是（）

A.若AJBD,則YA8CD是菱形B.若AB=BC,則YA8C。是正方形

C.若AC=〃L>,貝IJYANCD是矩形D.若ZANC=90。，貝ljYA〃C￡>是矩形

6.如圖，A"兩地被池塘隔開，小明先在AB外選一點C,然后測出AC4C的中點M,N.若MN

的長為18米，則A4間的距離是（）

A.9米B.18米C.27米D.36米

7.如圖，在菱形A8CO中，對角線AC、BO相交于點0,AC=3,DB=4,則點A到8c的距

離為（）

8.剪紙不僅是我國傳統藝術，還隱藏了不少數學知識.數學活動課上，小強將一張正方形紙

片沿對角線對折再對折，然后沿著圖中的虛線剪下，如圖所示，則剪下的三角形展開后得到

的平面圖形是（）

D.正方形

9.如圖，在矩形A8CO中，對角線AC,8。交于點0,過點。作即/AC交40于點E,友.BC

于點F.已知A5=4,AAOE的面積為5,則DE?的長為（）

A.2B.75C.瓜D.3

10.我們常常在建筑中看到四邊形的元素.如圖,墻面卜砌出的菱形窗戶的邊長為1米（邊

框寬度忽略不計），其中較小的內角為60。，則該菱形窗戶的采光面積為（）平方米

A.4B.且C.1D.且

24

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

11.如圖，RSABC中，Z4CT=90°,。是A8的中點，CO=5,則A3=

12.如圖，□45CO的對角線AC,3。相交于點O.請你添加一個適當的條件，使其

成為菱形.

13.如圖，矩形A8CO的對角線相交于點O.若AB=2,4400=120。，則8C的長為

14.如圖所示，點。是￡7A8C￡）的對稱中心，AD>AB,E,尸是A8邊的三等分點；G,H是

4c邊的三等分點.若5,邑分別表示以加和濫。”的面積則岳與邑之間的關系是,

15.“方勝”是中國古代婦女的一種發飾，其圖案由兩個全等正方形相疊組成，寓意是同心吉

祥，如圖，將邊長為女m的正方形A8CQ沿對角線8。方向平移1cm得到正方形A&C77,形成

一個“方勝”圖案，則點。，夕之間的距離為.

16.如圖，在邊長為12的菱形486中，4=60。，連接AC,P為圖中任意線段上一點，若A8=2AP,

則3P的長為.

三、（本大題共4小題，每小題6分，共24分）

17.如圖，四邊形A8CD中，AB//CD,/為AA上一點，DF與AC交于點E,AE=CE.

⑴求證：四邊形人尸。是平行四邊形；

⑵若8。=8,ZBAC=ar,ZZX?B=I35°,求AC的長.

18.如圖，四邊形48C。是矩形，對角線4C,4。相交于點。，班:〃AC交。C的延長線于點

E.

⑴求證：CD=CE.

⑵若NE=60。，求/OOC的度數.

19.如圖，在“16C中，。、石分別是A3、AC的中點，BE=2DE,延長。石到點R使得歷=盛,

連接b.

⑴求證：四邊形4C正是菱形；

⑵若CE=4,46=120。，求菱形8CFE的面積.

20.圖①、圖②、圖③均是4x4的正方形網格，每個小E方形的邊長均為1,小正方形的頂點

稱為格點，點A、B均在格點上，只用無刻度的直尺在給定的網格中按要求畫圖，所畫圖形的

頂點均在格點上，不要求寫畫法（所畫圖形不全等）.

⑴在圖①中，以線段A8為邊畫平行四邊形A8C7）.

⑵在圖②中，以線段AB為邊畫菱形所.

⑶在圖③中，以線段AB為邊畫正方形AAG”.

四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）

21.如圖，在平行四邊形A3CD中，對角線AC,相交于點。，4>//3D,點七是CD的中

點，過點E作E尸〃BD,交BC于點F.

⑴求證：四邊形。日書是矩形；

⑵若4>=4,DC=6,求四邊形0樣8的面積.

22.如圖，在中，。是8。的中點，￡是4。的中點，過點A作A"〃8C,"與C￡的延

長線相交于點F，連接M.

⑴求證；四邊形人打刀是平行四邊形；

⑵填空：將下列命題填完整，并使命題成立(圖中不再添加其它的點和線)

①當初8C滿足條件N8AC=90。時，四邊形AMD是______形；

②當初8。滿足條件時，四邊形4B。是正方形.

23.【感知】

(1)如圖1,在中，。，七分別是邊ABAC的中點.則力E和8。的位置關系為,數

量關系為.

【應用】

（2）如圖2,在四邊形A3CZ）中，瓦廠分別是邊48,4Q的中點，若30=10,8=8,

￡尸=3,乙4”￡=50。，求N4X7的度數.

【拓展】

（3）如圖3,在四邊形A8CD中，AC與8。相交于點旦WN分別為AD4C的中點，MN分別

交AC,BD于點、F,G,EF=EG.求證：BD=AC.

五、（本大題共2小題，每小題12分，共24分）

24.如圖，矩形人8CD中，48=6,40=8,點P在邊BC上，且不與點8、C重合，直線心與。C

的延長線交于點心

圖1I幻2

⑴如圖1,當點P是8C的中點時，求證：AA次出△瓦7>；

⑵將△回沿戰線AP折疊得到△AP9，點￡落在矩形A8CD的內部，延長交AD于點尸.

①如圖1,證明目=">,并求出在（1）條件下質的值；

②如圖2,仍咬AE于點，，點G是AE的中點，當/雨=2/4￡8時，試探究A8與祐的數量

關系，并說明理由.

25.四邊形A8C。為正方形，點E為對角線AC上一點，連接OE.過點E作斯_LOE,交射線

⑴如圖1,若點尸在邊上，求證：DE=EF；

⑵以OE,所為鄰邊作矩形QEFG,連接CG.

①如圖2,若AB=4,CE=3五,求CG的長度;

②當線段與正方形ABC。一邊的夾角是35。時，直接寫出NEFC的度數.

第十八章平行四邊形（單元重點綜合測試）

答案全解全析

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.下列命題正確的是（）

A.對角線相等的四邊形是矩形

B.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

C.順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是正方形

D.菱形的面積為兩條對角線長度乘積的一半

【答案】D

【分析】此題主要考查特殊平行四邊形的判定以及菱形的性質，解題的關鍵是熟知特殊平行

四邊形的判定方法；

利用菱形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的性質定理及正方形的判定定理分別判斷后即

用確定止確的選項.

【詳解】A、等腰梯形的對隹線相等，但它不是矩形，故該選項不符合題意；

B、對角線互相平分、垂直且相等的四邊形是正方形，故該選項不符合題意；

C、順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是矩形，故該選項不符合題意；

D、菱形的面積為兩條對角線長度乘積的一半，符合題意；

故選：D

2.如圖，菱形A8C力中，E、尸分別是A8、4c的中點，若EF=3,則菱形A8C。的周長為（）

【答案】A

【分析】本題考查了菱形的性質，三角形中位線定理，由三角形的中位線定理可得5c=2斯=6,

然后根據菱形的性質即可求解.

【詳解】解：???△戶分別是4RAC的中點,

:.BC=2EF=6,

???西邊形ABCQ是菱形，

AB=BC=CD=AD=6t

二菱形的周長=4x6=24，

故選：A.

3.如圖，在四邊形ABC。中，BD=CD,ZC=70°,AE1BD于點E,則一班E的度數為（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】D

【分析】此題考查了平行四邊形的性質，等邊對等角求角度，直角三角形兩銳角互余的性質；

根據等邊對等角求出NC=/D8C=70。，得到NCD8=40。，根據平行四邊形的對邊平行得到

ZABE二NCDB=40。,再根據直角三角形兩銳角互余求出NBAE度數.

【詳解】解：???/?=”，

:.NC=ZDBC=70。，

ZCDB=180°-140°=40°,

,:CD〃AB,

：.ZABE=NCDB=4（）。,

：.AE工BD,

：.ZAEB=900,

???ZfiA￡=90°-40°=50°.

故選：D.

4.如圖，AABC中，過點B作BE1AC,取A8邊中點。，連結OE.若DE=5,AE=8,則BE

長為（）

【答案】C

【分析【本題考查的是勾股定理及直角三角形的性質.先根據題意得出的長，再由勾股定

理求出班:的長即可.

【詳解】解；?."■LAC,

.?z鉆石是直角三角形，

???點。為AB邊的中點，DE=5,

..AB=2DE=10,

?.?AE=8,

BE=y/AB2-AE2=VlO2-82=6?

故選：C.

5.如圖，在四邊形/WC。中，對角線AC,8。相交于點。.下列說法不二軍正確的是（）

A.若AC/RD,則YABCD是菱形R.若AB=RC,則YAB。）是正方形

C.若AC=8D,則YA8CZ）是矩形D.若ZABC=90。，則YABCZ）是矩形

【答案】B

【分析】本題考查了正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定，據此逐項分析即可作答，解

題的關鍵是明確它們各自的判定方法.

【詳解】解：A、當AC/以）時，四邊形A8CD是菱形，該說法正確，不合題意；

B、當=時，四邊形"8不一定是正方形，該說法不一定正確，符合題意；

C、當AC=Q時，四邊形ASCQ是矩形，該說法正確，不合題意；

D、當ZABC=90。時，四邊形A8CO是矩形，該說法正確，不合題意；

故選：B.

6.如圖，A8兩地被池塘隔開，小明先在A8外選一點C,然后測出AC時的中點M,N.若MN

的長為18米，則48間的距離是（）

A

A.9米B.18米C.27米D.36米

【答案】D

【分析】本題主要考查二角形中位線的運用，理解并掌握中位線的性質是解題的關鍵，根據

點、M,N是AB6c?的中點，可得MN=QA4,由此即可求解.

【詳解】解：根據題意，是△/WC的中位線，

：.MN=-AB

2t

/W=2M/V=2xl8=36（米），

故選：D.

7.如圖，在菱形A8CO中，對角線AC、BO相交于點0,AC=3,DB=4,則點A到8C的距

離為（）

【答案】C

【分析】本題考查菱形的性質，菱形的面積公式，勾股定理的應用，根據面積等式求線段的

長度等知識與方法，根據勾股定理求出菱形的邊長是解題的關鍵.先由菱形的性質求得

OA=OC=^AC=^f0B=0D=；BD=2,NBOC=90。,再根據勾股定理求得8C=1,設點A至lj8c

的距離是力，由4。4=卜。8。=、％3,得|力=6,即可得到問題的答案.

【詳解】解：，?四邊形A8CO是菱形，4C=3,/M=4,

/.C）A=OC=-AC=-,OB=OD=-BD=240C=90。，

222t

BC=>]OB2+OC2=-,

2

設點A到BC的距離是/?,

?/HCJi=^AC-RI）="ABCD，

5,/

二.—h=6,

2

.,_12

故選：c.

8.剪紙不僅是我國傳統藝術，還隱藏了不少數學知識.數學活動課上，小強將一張正方形紙

片沿對角線對折再對折,然后沿著圖中的虛線剪下,如圖所示，則剪下的二角形展開后得到

的平面圖形是（）

D.正方形

【答案】B

【分析】本題考查了矩形、菱形、正方形的判定方法、剪紙問題；熟練掌握矩形、菱形、正

方形的判定方法是解決問題的關鍵.由矩形、菱形、正方形的判定方法即可得出結論.

【詳解】解：由剪法可知，所得四邊形的四條邊相等，對角線不一定相等，

??,四邊相等的四邊形是菱形，

???展開后得到的平面圖形是菱形；

故選：B.

9.如圖，在矩形ABC。中，對角線4c加＞交于點。，過點。作即/人。交A/）于點凡交.BC

于點F.已知AH=4,AAOE的面積為5,則。石的長為（）

A.2B.>/5C.瓜D.3

【答案】D

【分析】本題考查了矩形的性質、線段垂直平分線的性質、勾股定理以及三角形的面積問題.連

接CE,由題意可得0E為對角線AC的垂直平分線，可得=^=^=5,由三角形

的面積則可求得的長，然后由勾股定理求得答案.

【詳解】解：連接比，如圖所示：

由題意可得，。石為對角線4c的垂直平分線,

=CE，S&B°E=5,

\WACE=2SAA?=10.

\-AE'ICD10,

2

???A8=4=C￡>,

.\AE=5,

..C￡=5,

在RtACDE中，由勾股定理得DE=>]CE2-CD1=-42=3，

故選：D.

10.我們常常在建筑中看到四邊形的元素.如圖，墻面上砌出的菱形窗戶的邊長為1米（邊

框寬度忽略不計），其中較小的內角為6（）。，則該菱形窗戶的采光面積為（）平方米

A.4B,巫C.1D.立

24

【答案】B

【分析】本題主要考查菱形的性質，以及菱形面積的計算方法，熟練掌握菱形的性質是解題

的關鍵.畫出圖形，根據勾股定理求出對角線的值即可求出面積.

【詳解】解：???菱形A8C。，

肛AB=AD=DC=BCS.AO=-AC,BO=-BD,

22

vZ4BC=60°,

.△ABC是等邊三角形，

：.AC=AB=\,

/.AO=-,

2

在Rt/\AOB中BO=JAB?-AO2=立,

2

BO=G

???一亥菱形窗戶的采光面積為=

222

故選B.

4B

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

11.如圖，RSA8C中，ZAC3=90°,。是48的中點，CD=5,則A8=

【答案】10

【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握該性質即可解題.

【詳解】解：???在心△4★中，ZACT=90°,。是A8的中點，

???線段。是斜邊相上的中線；

XvCD=5,

:.AB=2CD=\O.

故答案為：10.

12.如圖，口48。。的對角線AC,8。相交于點。.請你添加一個適當的條件,使其

成為菱形.

【答案】AB=BC,AC.LBD（答案不唯一）.

【詳解】根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，可添加條件ACL8D；根據鄰邊相等的

平行四邊形是菱形，可添加條件AB=8C.

AC1BD（答案不唯一）

要判斷一個平行四邊形是菱形，可從鄰邊相等或對角線互相垂直著手.

13.如圖，矩形A3C。的對角線相交于點O.若A8=2,4400=120。，則3c的長為.

【答案】2石

【分析】由矩形的性質可得為等邊三角形，則可求得4C的長，再由勾股定理即可求得

5c的長.

【點撥】此題考查了矩形的性質：矩形的對角線互相平分且相等.解答此題的關鍵在于數形

結合思想的應用.

14.如圖所示，點。是立488的對稱中心，AD>AB,E,尸是48邊的三等分點；G,H是

BC邊的三等分點.若加，邑分別表示的F和的。〃的面積則￡與邑之間的關系是.

【答案】加二邑

【分析】本題考查了平行四邊形的性質，根據三等分點可得S|=gsv?,s￡si再結合

點。是的對稱中心可得山8。=SVBCO=%YABCD，即可求解.

【詳解】解：連接AC、OB,則AC必過點。，如圖所示：

VE,尸是48邊的三等分點，

??S|="S\；ABO'

VG,“是BC邊的三等分點，

=

,,^2-S^BCO>

?..點。是UABCD的對稱中心,

?,\ABO=S'BCO=W“ABCD

S]=S2

故答案為：S'=S]

15.“方勝”是中國古代婦女的一種發飾，其圖案由兩個全等正方形相疊組成，寓意是同心吉

祥，如圖，將邊長為女m的正方形ABCD沿對角線8。方向平移1cm得到正方形A5C77,形成

一個“方勝”圖案，則點力，〃之間的距離為

【答案】(3夜-1即

【分析】本題考查的是平移的性質、正方形的性質、勾股定理，根據平移的性質求出88是解

題的關鍵.根據正方形的性質、勾股定理求出8,根據平移的性質求出8斤，計算即可.

【詳解】解：???四邊形A3CQ為邊長為3cm的正方形，

RD=J32+32=372(cm),

由平移的性質可知，38=km,

/.H'D=(34i0cm,

故答案為：(3x/2-l)cm.

16.如圖，在邊長為12的菱形/4CQ中，N3=60。，連接AC,P為圖中任意線段上一點，若A8=2AP,

則BP的長為.

【答案】6或6萬或65

【分析】由題意外14。=6,如圖，分片、鳥、8三種情況求解：當A4=6時，區4=6；AE=6=；8C,

則/8"=90。，由勾股定理得，/巧=府=逋，計算求解即可；當桂=6時，如圖，作匹_LAD

于E,由勾股定理得而，計算求解即可.

【詳解】解：VAB=2APf

???”=6,如圖，分月、生A三種情況求解：

當AR=6（bj,6《=6；

,??菱形ABCD中，Zfi=60°,

???△ABC是等邊三角形，

，:A6=6=^AC,

/他4=9（）。,

22

由勾股定理得，BP2=yjAB-AP2=6x/3；

當然=6時，如圖，作跖_1_八￡＞于E,

:.N8AE=NA8C=60。，

???ZABE=30°,

AAE=^AB=6tER=12,

由勾股定理得的=6打，

%=（噌+族2=時；

綜上所述，4P的長為6或66或65；

故答案為：6或或65.

【點睛】本題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，含30。的直角三角形，勾股定理

等知識.熟練掌握菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，含30。的直角三角形是解題的關鍵.

三、（本大題共4小題，每小題6分，共24分）

17.如圖，四邊形A8CZ）中，AB//CD,F為A3上一點,DF與AC交于點、E,AE=CE.

⑴求證：四邊形是平行四邊形;

⑵若ec=8,?C=603/DCB=135。,求AC的長.

【答案】(1)見詳解

(2)4。的長為半

【分析】(1)證得4JCZ),再由平行四邊形的判定即可得出結論；

(2)過點。作以，±力8于點M,證△BCM是等腰直角三角形，得CM=^8c=4加,再由含30。

2

角的直角三角形的性質得AC=2AM,然后由勾股定理得CM=JAC?-AM?;&M=4丘，求

出AM=勺色，即可得出結論.

3

【詳解】(1)證明：VAB/7CD,

:ZEAF=NECD,

在△AM和△CEO中，

/EAF=/ECD

?AE=CE,

/AEF=Z.CED

：.LAEF^CED(ASA),

AF=CD,

又?.?AB〃a),

???四邊形AFCO是平行四邊形；

(2)解：如圖，過點。作Q#JL仍于點則NCM4=/CM8=90°,

?：AB//CD,

ZB+ZDCB=180°,

Z?=180°-l35o=45°,

???△BCM是等腰直角三角形，

：.CM=—5C=—x8=4V2,

22

丁ZaAC=60°,

ZACM=9()0-ZB4C=30°,

AC=2AM,

CM=>JAC2-AM2=yj(2AM)2-AM2=y/3AM=4點，

?Au4顯

..AM—------,

3

.\AC=2AM=—

3

即AC的長為華.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定

與性質、勾股定理、平行線的性質以及含30。角的直角三角形的性質等知識，熟練掌握平行四

邊形的判定和全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.

18.如圖，四邊形A8CD是矩形，對角線4C,80相交于點O,AC交QC的延長線于點

E.

（1）求證：CD=CE.

⑵若NE=60。，求NOOC的度數.

【答案】（1）證明見解析

（2）/00。=60。

【分析】（1）證明四邊形4c匹為平行四邊形，則=進而可證C0=CE.

（2）由四邊形4cM為平行四邊形，四邊形A8CO是矩形，可得8E=AC=B。，BE"AC,證

明是等邊三角形，則/D5E=60。，根據NDOC=ND8石，計算求解即可.

【詳解】（1）證明：???四邊形48co為矩形，

:?AB=CD,AB//CE.

*：AC//BE,

???四邊形AC即為平行四邊形，

:.AB=CE,

：.CD=CE.

（2）解：,??四邊形AC￡3為平行四邊形，四邊形48co是矩形,

；?BE=AC=BD,BE//AC,

VZE=60°,

???△BDE是等邊三角形，NOBE=60。，

:.NDOC=N￡>8￡=60。，

???ZDOC=60°.

【點睛】本題考查了矩形的性質，平行四邊形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，平

行線的性質.熟練掌握矩形的性質，平行四邊形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，

平行線的性質是解題的關鍵.

19.如圖,在AABC中，Z）、石分別是相、AC的中點，BE=2OE,延長DE到點F,使得EF=BE,

連接b.

⑴求證：四邊形8CFE是菱形；

⑵若CE=4,ZBCF=120°,求菱形8c莊的面積.

【答案】（1）見解析

Q）86

【分析】（1）由中位線可知OE〃8c且2Q￡=BC,由EF=BC,EF//BCf證明四邊形8c正是

平行四邊形，由BE=EF,證明四邊形8c正是菱形；

（2）由NBC”=120。，可得NE8C=60。，則△E8C是等邊三角形，BE=BC=CE=4,過點E作

EG工BC于點、G,則8G=g8E=2,由勾股定理得，EGNBE'BG'=2百，根據S姿形南莊=8Cx￡G,

計算求解即可.

【詳解】（1）證明：???。、E分別是A3、AC的中點，

:.DE〃BC且2DE=BC,

又?：BE=2DE,EF=BE,

:.EF=BC,EF//BC.

???四邊形8c正是平行四邊形，

XVBE=EF,

???四邊形伙7詁是菱形；

(2)解；???四邊形6a'E是菱形,

:.BE//CF,BE=BC,

'：ZBCF=120°,

:.NEBC=60°,

???△E8C是等邊三角形，

:.BE=BC=CE=4,

如圖，過點石作KGJL3c于點G,

由勾股定理得，EG=\IBE2-BG?=26，

S多冽心卜開前rqIt=8CxEG=4x26=8后.

???菱形BCFE的面積為8G.

【點睛】本題考查了中位線的性質，菱形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，含30。的

直角三角形，勾股定理等知識.熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵.

20.圖①、圖②、圖③均是4x4的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1,小正方形的頂點

稱為格點，點A、B均在格點上，只用無刻度的直尺在給定的網格中按要求畫圖，所畫圖形的

頂點均在格點上，不要求寫畫法（所畫圖形不全等）.

圖①圖②圖③

⑴在圖①中，以線段43為邊畫平行四邊形/WCO.

⑵在圖②中，以線段人8為邊畫菱形八Bb.

⑶在圖③中，以線段為邊畫正方形A8G”.

【答案】（1）作圖見詳解

⑵作圖見詳解

⑶作圖見詳解

【分析】木題主要考查作圖：平行四邊形、菱形、正方形，根據平行四邊形的判定和性質,

菱形的判定和性質，正方形的判定和性質即可求解，掌握幾何圖形的性質是解題的關鍵.

(1)根據平行四邊形的判定和性質即可求解;

(2)根據菱形的判定和性質即可求解;

(3)根據正方形的判定和性質即可求解.

：如圖所示,

???四邊形A4CQ即為所求圖形;

(2)解：如圖所示,

???四邊形ABEF即為所求圖形;

(3)解:如圖所示，

???四邊形A8G”即為所求圖形.

四、(本大題共3小題，每小題8分，共24分)

21.如圖，在平行四邊形A8CO中，對角線AC,8。相交于點。，八。140,點E是C。的中

點，過點E作防〃笈力，交BC于點、F.

⑴求證：四邊形OEF8是矩形；

⑵若AO=4,DC=6,求四邊形OEF8的面積.

【答案】(1)見解析

⑵2石

【分析】(1)證E。是△BCO的中位線，得OE〃BC,則四邊形OEM是平行四邊形，再證

/CBD=9(f，即可得出結論；

(2)由平行四邊形的性質和中位線定理可得。公2,AB=DC=6.利用勾股定理

^I^BD=\lAB2-AD2=762-4:=2>/5，從而得至U8。=：8/)=石，最后利用矩形面積公式計算即

可.

【詳解】(1)證明：???四邊形A8C。是平行四邊形，

ABO=DO=-BDAD//BC

2ff

又丁點E是。。的中點，

???EO是△BCD的中位線，

:.OE=-BC=-AD,OE//BC.

22

?:EF〃BD,OE//BC,

，四邊形。￡/方是平行四邊形.

■:ADJ.BD,即ZA8D=90。，AD〃BC,

：./CBD=NABD=W,

???四邊形OEF8是矩形.

(2)VOE=-BC=-AD,4)=4,

22

OE=-BC=-AD=2,

22

???四邊形ABC。是平行四邊形，DC=6,

：.AB=DC=6.

在■△ABO中，A8=6,AD=4fZAD8=90。

BD=ylA^-ADr=>/62-42=275，

?，?BO=-HD=4^

2

???四邊形0EF3的面積是：0EBD=2x舊=2后.

【點睛】本題考查了矩形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、三角形中位線定理、勾

股定理等知識，熟練掌握矩形的判定與性質是解題的關鍵.

22.如圖，在“WC中，D是BC的中點，E是人。的中點，過點A作"'"AC,"與CE的延

長線相交于點F,連接3A

⑴求證：四邊形AEM是平行四邊形；

⑵填空：將下列命題填完整，并使命題成立（圖中不再添加其它的點和線）

①當AABC滿足條件N8AC=90。時，四邊形AFBD是_____形；

②當“BC滿足條件時，四邊形力以。是正方形.

【答案】（1）見解析

⑵①菱；②N8AC=90。，AB=AC

【分析】（1）由A尸〃8C,得到兩對內錯角相等，再由E為中點，得至ljAE=OE,利用AAS得

到△/!在與△?）￡全等，利用全等三角形對應邊相等得到A/=CO,再由8D=CD,等量代換得

到A/=瓦），利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形即可得證；

（2）①由4AC=90。，AO為中線，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到AO=E）由鄰邊

相等的平行四邊為菱形，即可得證；

②添加條件為4AC=90。，AB=ACf由4MC=90。，根據①得到四邊形"4。為菱形，再由

AB=AC,利用等腰三角形的三線合一得到AO/8C,根據有一個角是直角的菱形為正方形即

可得證.

【詳解】（1）證明：YE1為AO的中點，。為8。中點，

AE=DE,BD=CD,

*：AF〃BC,

：.ZAFE=ZDCEfNFAE=NCDE,

在zMFE和△OCE中，

NAFE=/DCE

?ZFAE=ZCDEf

AE=DE

：.△"咯DCE(AAS),

AF=CD,

：.AF=BD,

?:AF//BD

???四邊形A/W)為平行四邊形；

(2)解：①當滿足條件4AC=90。時，四邊形4尸BO是菱形，理由為：

???E為A。的中點，D為BC中點,

：.AE=DE,BD=CD,

,:AF〃BC,

:?ZAFE=NDCE,NFAE=NCDE,

在八4所和△DCE中，

NAFE=ZDCE

>NFAE=/CDE,

AE=DE

：.△AFE^AZX?￡：(AAS),

AF=CD,

：.AF=BD,

■:AF//BD

???四邊形/沏)為平行四邊形；

VZZ?AC=90°,。是8C的中點，

AD=-BC=BD

2

?.泗邊形AFB。為平行四邊形，AD=BD；

???四邊形4用力為菱形；

②當“8C滿足條件4AC=90。，A8=4C時，四邊形AF3O是正方形，理由為:

由①知當"BC滿足條件NBAC=90。時，四邊形AFBD是菱形，

VAB=ACt。為8C中點，

???AO為8C邊卜的中線.

/.AD1BC,即ZA￡>B=90。，

???四邊形AFB。是菱形，ZADB=90。

???四邊形AFBO為正方形；

【點睛】此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識有：平行四邊形的判定，矩形的判定，正方形

的判定，全等三角形的判定與性質，以及等腰三角形與直角三角形的性質，熟練掌握判定與

性質是解本題的關鍵.

23.【感知】

(1)如圖1,在中，分別是邊AB,4C的中點.則/拓和的位置關系為,數

量關系為.

【應用】

(2)如圖2,在四邊形A8CD中，￡"分別是邊A氏A。的中點，若4C=10,CO=8,

EF=3,ZAFE=50。,求N4X?的度數.

【拓展】

(3)如圖3,在四邊形八BCD中，AC與4。相交于點E,M,N分別為AR8C的中點，MN分別

交AC,BD于點、F,G,EF=EG.求證：BD=AC.

【答案】(1)DE〃BC,DE=；BC；(2)140。；(3)證明見解析

【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，等腰三角形的判定和性質，

(1)根據三角形中位線定理即可得到結論；

(2)連接8。，根據三角形中位線定理得到瓦)=2Q=6,根據勾股定理的逆定理得

到N8DC=90°,計算即可；

(3)取。。的中點“，連接M”、M/,則M"、M/分別是△AC"AC。的中位線，由中位線的

性質定理可得且=；4GM7||8。且N"=；5。，根據等腰三角形的性質即可得結

論；

掌握三角形的中位線的性質是解題的關鍵.

【詳解】(1)丁點。，E分別是邊ABAC的中點.

是“WC的中位線，

DE\\BC;DE=^13C；

故答案為：DE\\BC;DE=^BC.

(2)如圖1,連接80.

???￡，尸分別是邊反，4)的中點,

.\EF||BD,BD=2EF=6,

ZADB=ZAFE=50°.

BC=1(),CD=8,

I3D2+CD2=100,BC2=1(X),

BD、CD2=BC2,

ZBDC=90°,

...ZADC=ZADB+ZBDC=140°.

圖1

(3)證明：如圖2,取DC的中點H,連接MH.NH.

??.M,"分別是的中點，

：.MH//ACQ,MH=-ACF

同理可得且N"=gB。.

?:EF=EG,

:"EFG=NEGF,

-.Mil||AC,N〃

:"EFG=NHMN、ZEGF=ZHNM,

乙HMN=NHNM,

；.MH=NH,

：.AC=BD.

五、（本大題共2小題，每小題12分，共24分）

24.如圖，矩形A8CZ）中，4?=6,AO=8,點P在邊上，且不與點8、。重合，直線AP與。C

的延長線交于點E.

圖1圖2

⑴如圖1,當點。是8C的中點時，求證：^ABP^^ECP；

⑵將“依沿戰線”折疊得到“P9,點方落在矩形A8CQ的內部，延長P9交A。于點尸.

①如圖I,證明以=用，并求出在（1）條件下質的值；

②如圖2,BB發AE于點H,點G是AE的中點,當44g=244所時，試探究相與龍的數量

關系，并說明理由.

【答案】（1）詳見解析

（2）&AF=^；②AB=2HG,詳見解析

【分析1（1）根據矩形的性質可得5AP=ZE,ZB=/BCE，根據點尸是8c的中點，得出8P=C/\

即可求證；

（2）①根據矩形的性質可得N4P8=NE4P,由折疊得=則NEW=ZAPF,即可

求證口=Q,FA=xf則G=x,府=1,在RtZXABT中，得出4尸=4/+&T,列出方

程求解即可；②如圖，由折疊可知/1=Z6,A6=A及瓦T1AE,過點B作SM//DE,交AE于點

M,根據等角對等邊的得出%W=￡M=A/父=43.由點G為AE中點，點”是AM中點，得出

AG=；AE,A"=gAM.則“G二AG-A"=g（AE—AM