圓錐曲線的方程 全章綜合測(cè)試卷（提高篇）-人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)（解析版）

第三章圓錐曲線的方程全章綜合測(cè)試卷（提高篇）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）（23-24高二下?河南新鄉(xiāng)?期末）已知F為拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，月.點(diǎn)M到

直線％=-p的距離為3p,則國(guó)川=（）

A.3PB.2pC.gpD.

【解題思路】利用拋物線的定義即可求解.

【解答過(guò)程】因?yàn)辄c(diǎn)M到直線x=-p的距離為3p,

所以點(diǎn)M到拋物線C準(zhǔn)線x=/的距離為3P=

由拋物線的定義得，|MF|=|p.

故選：D.

2.（5分）（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）對(duì)于方程％2+y2sEa=1（0E[-，給表示的曲線C,下列說(shuō)

法正確的是（）

A.曲線。只能表示圓、橢圓或雙曲線B.若a為負(fù)角，則曲線C為雙曲線

C.若。為正角，則曲線C為橢圓D.若C為橢圓，則其焦點(diǎn)在“軸上

【解題思路】對(duì)A,根據(jù)a-0的取值，即可判斷選項(xiàng).；對(duì)B若a為負(fù)角，即一;Wa<0,雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程

的形式，即可判斷；對(duì)C,當(dāng)a時(shí)，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，即可判斷；對(duì)D,變形后結(jié)合橢圓的標(biāo)

準(zhǔn)方程的形式，即可判斷選項(xiàng).

【解答過(guò)程】對(duì)A,當(dāng)a=0,即sina=0時(shí)，曲線C的方程為它=l,x=±1,

此時(shí)曲線C為兩條平行的直線，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,若a為負(fù)角，即一貝!jsina<0,

此時(shí)曲線。為雙曲線，故B正確；

對(duì)C,若a為正角，即0<aw],當(dāng)a=]時(shí)，sina=1,

則曲線C的方程為"+y2=[,是圓，故c錯(cuò)誤；

對(duì)D,若C為橢圓，則0vsina<l,」一>1，又/+必$而。=1可變形為/+斗=1，

sina）-i-

sina

則C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

3.（5分）（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）已知IP為橢圓《+V=1（Q>力>0）上一點(diǎn)，分別是橢圓

的左、右焦點(diǎn).若使△P0尸2為直角三角形的點(diǎn)P有旦只有4個(gè)，則橢圓離心率的取值范圍是（）

A.（0,4）B.仔1）C.（1,V2）D,（0,1）

【解題思路】分析題意得到c<"進(jìn)而構(gòu)建齊次不等式，求解離心率范圍即可.

【解答過(guò)程】當(dāng)P&_L無(wú)軸時(shí)，有兩個(gè)點(diǎn)P滿足為直角三角形；

當(dāng)P%1%軸時(shí)，有兩個(gè)點(diǎn)P滿足△PF/2為直角三角形.

?.?使△PFiF2為直角三角形的點(diǎn)P有且只有4個(gè)，

???以原點(diǎn)為圓心，c為半徑的圓與橢圓無(wú)交點(diǎn)，,cVb,

c2<b2=a2-c2,:.e2<又e>0,解得。VeV孚

故選:A.

4.（5分）（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi（-g,0）,F2（^,0）,M是此雙

曲線上的一點(diǎn)，且滿足麗?麗=0,|麗|?|麗|=2,則該雙曲線的方程是（）

A.^-y2=lB.x2-^=lC.^-^=1D.左一^=1

9J93773

【解題思路】由麗?麗=0,可得1M尸2進(jìn)一步求出（IM&I-|MF2|）2=|MR|2-21Mpi|?附七|+

2

|MF2|=40-2x2=36,由此得到Q=3,則該雙曲線的方程可求.

【解答過(guò)程】

?.?麗?歡=0,

???麗J.麗即M居LMF2,

22

A|WF1|+|MF2|=40.

22

則（|M^]-\MF2\）=IMF#-2\MFr\?\MF2\+|MF2|=40-2x2=36.

\MF.\-\MF?\=6=2a.即Q=3.

vc=V10,二b2=c2—a2=1.

則該雙曲線的方程是：^-y2=l.

故選:A.

5.（5分）（23-24高二上.河南.階段練習(xí)）單葉雙曲面是最受設(shè)計(jì)師青睞的結(jié)構(gòu)之一，它可以用直的鋼梁

建造，既能減少風(fēng)的阻力，又能用最少的材料來(lái)維持結(jié)構(gòu)的完整.如圖1,俗稱小蠻腰的廣州塔位于中國(guó)廣

州市，它的外形就是單葉雙曲面，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.某市計(jì)劃建造類似

于廣州塔的地標(biāo)建筑，此地標(biāo)建筑的平面圖形是雙曲線，如圖2,最細(xì)處的直徑為100m,樓底的直徑為

50V22m，樓頂直徑為50乃m,最細(xì)處距樓底300m,則該地標(biāo)建筑的高為()

圖1圖2

A.350mB.375mC.400mD.450m

【解題思路】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的方程是怖一《=13>()/：>0),

由已知可得a，將點(diǎn)C坐標(biāo)代入解得匕的值，從而得到雙曲線的方程，最后利用雙曲線的方程

解得B的坐標(biāo)即可求得地標(biāo)建筑的高.

【解答過(guò)程】解：以地標(biāo)建筑的最細(xì)處所在直線為不軸，雙曲線的虛軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖

所示.

由題意可得:4(50,0),C(25V22,-300),

設(shè)8(25倔y())(y0>0),雙曲線的方程是奈?—翥=1(Q>0,b>0),

(a=50

Mj(25V22)2_(-300)2_a=50

(502-=1=100V2'

所以雙曲線的方程是：蕓一蕊=1,

將點(diǎn)8(25e，%)代入得窯一懸=1，

解得尢=100,

所以該地標(biāo)建筑的高為：3004-100=400(m).

故選：c.

6.（5分）（2024高三?全國(guó).專題練習(xí)）已知雙曲線。:"一3=1,&,尸2為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若直線1過(guò)

點(diǎn)廣2,且與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.雙曲線C的離心率為V5

B.若2的斜率為2,則MN的中點(diǎn)為（8,12）

C.若乙F】MF2=g,則aMF/z的面積為3百

D.使為等腰三角形的直線1有3條

【解題思路】直接計(jì)算離心率可判斷A,直接得到直線方程并聯(lián)立曲線方程，利用韋達(dá)定理可求出MN的中

點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷B；根據(jù)雙曲線定義、余弦定理可得IMF/x\MF2\=12,再計(jì)算的面枳可判斷C；

分|MFJ=INF/、=|MN|、|N&|=|MN|討論，可得M、N的坐標(biāo)唯一可判斷D.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,由雙曲線方程得Q=l,b=遙，故c=2,則離心率e=2,故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,由方程知Fi（—2,0）,6（2,0）,則直線，的方程為y=2（》一2）,

聯(lián)立雙曲線方程化簡(jiǎn)得/一16%+19=0,設(shè)程2，、2），

則4+%2=16,故歿合=8,而yi+丫2=2無(wú)1-4+2&一4=2(%+x2)-8=24,則歸及=12,

故MN的中點(diǎn)為（8,12）,故B正確,

對(duì)干C,若4RMF2=；,由題設(shè)有|M&|-IMF?]=2,

?5

[MF][2+|MF2|2一|F/2|2gyl=(IM&HM叩l)2+2|MF/x|MF2l-16

由余弦定理可得COSZ.F1MF2='2-2|MF1|x|MF2l

2\MFA\X\MF2\

可得|MF]|xIMF2I=12,所以△MF/2的面積為^MFJxIMFzIxsing=[x12x4=375,故C正確;

對(duì)于D,當(dāng)直線MNlx軸時(shí)，可得|MF1|=|NF1|,△MNF1為等腰三角形；

根據(jù)雙曲線定義得|M"-IMF2I=2t\NF1\-\NF2\=2,

兩式相加得IMF】I+INF1I=4+IMF2I+|叫|=4+\MN\f

不妨設(shè)M(%i，yi),N(k2，y2)(*i>Oyi>0,x2>0,y2<0)，

若|MFJ=|MN|,則|N&|=4,

所以｛816,解得）:一送，可得N（|，-W），此時(shí)AMS為等腰三角形;

若|NFJ=|MN|,則IMF1|=4,

_3

所以｛316,解得":盤(pán)，可得M信苧｝此時(shí)△MNF］為等腰三角形，

（以——

綜上使△MN&為等腰三角形的直線I有3條，故D正確.

7.（5分）（2024.陜西榆林.模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線E：y2=2p%（p>o）的焦點(diǎn)為尸,過(guò)點(diǎn)M（p,0）的直

線乙，％與￡分別相交于力（X1，%），笈（“2，丫2）和C，。兩點(diǎn)，直線AO經(jīng)過(guò)點(diǎn)R當(dāng)直線44垂直于x軸時(shí)，

\AF\=3.下列結(jié)論正確的是（）

A.p=4

氏外為=-6

C.若八/),8C的斜率分別為Ai，k2,則h=2心

D.若△FAB的面積為2VL則AFCD的面積為4企

【解題思路】根據(jù)拋物線定義表示|AF|，由條件列方程求p可得拋物線方程,判斷A,設(shè)AB的方程為％=ty+2,

利用設(shè)而不求法求必治，判斷B,設(shè)。(%3，丫3)，8(%444)，利用設(shè)而不求法求,3%，根據(jù)直線AD經(jīng)過(guò)點(diǎn)F,

確定力,的關(guān)系，利用力表示心,心，判斷C,求出C,D坐標(biāo)即可判斷D.

【解答過(guò)程】當(dāng)直線AB垂直于工軸時(shí)，直線AB的方程為％=p,所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為p,所以|力川=p+泉

X|.4F|=3,所以p=2,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若直線A8的斜率為0,則直線AB與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，與已知矛盾，

故可設(shè)直線AB的方程為％=ty+2,聯(lián)立J?2化簡(jiǎn)可得步一牝丫一8=0,

方程y2-4ty-8=0的判別式A=16產(chǎn)+32>0,

由已知％,y?為方程=4￡y-8=0的兩根，

一藍(lán))，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

所以%+,2=43yxy2=-8,B瑞,

設(shè)直線CD的方程為％=ny+2,C(x3,y3)?。(%4，%)，聯(lián)立］匕一空？；

lx—ny十z

化簡(jiǎn)可得y2-4ny-8=0,方程y2-4ny-8=0的判別式A=16n2+32>0,

所以為+'4=4n,y3y4=-8.C碟,H

若直線4。的斜率存在，則Xih1,M工1，yl*7i?

因?yàn)橹本€4Q經(jīng)過(guò)點(diǎn)R所以X含二含，所以%%優(yōu)一%)=4。1-%)，

因?yàn)?=丫4,所以為%=-4,所以七二普吉二一2乂弩,

不開(kāi)2必+以

必_4yl

所以自=2-79所以g二2七，選項(xiàng)C正確:

出―1比-4

4

當(dāng)直線A8垂直于大軸時(shí)，易知點(diǎn)A（2,2&）,從而SMA8=；X1X|45|=2四,

此時(shí)點(diǎn)。在過(guò)力（2,2&），尸（1,0）兩點(diǎn)的直線上，且在拋物線E：y2=4x±,

從而求出點(diǎn)從而C（8,4&）,從而SMCD=：x1x|4或一（一或）|=?，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：C.

8.（5分）（23-24高二下.上海虹口?期中）已知曲線C：￥-：力|=1,P（&,yo）為。上一點(diǎn)，

①々的取值范圍為［一2,2］；

②焉+評(píng)的取值范圍為［1,+8）：

③不存在點(diǎn)P（%o，yo），使得&-2y0=-l；

④島-2yo+何的取值范圍為（恒2或+V5］.

則上述命題正確的個(gè)數(shù)是（）

A.I個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【解題思路】對(duì)于①，分段化簡(jiǎn)方程，得到圖形，數(shù)形結(jié)合得到①錯(cuò)誤；對(duì)于②，數(shù)形結(jié)合，結(jié)合橢圓性

質(zhì)得到②正確；對(duì)于③，根據(jù)漸近線性質(zhì)及圖形可得③正確；對(duì)于④，利用|~-2yo+遍|的幾何意義，結(jié)

合三角換元得到-2yo+花悌取值范圍.

^--y2=1（%>o,y>0）

^+y2=l（x>0,y<0）,

1y2一：=1（%vo,y<0）

由曲線和圖形可知出￡R,故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，/^1短可看做曲線。上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，顯然無(wú)最大值，

當(dāng)點(diǎn)P（%o，yo）位于橢圓9+y2=i（x>0,y<0）上時(shí)，距離原點(diǎn)的距離取得最小值，

則非+羽=以+1—苧=1+苧故當(dāng)式。=0時(shí)二君+詔取得最小值.最小值為I.

則就+M的取值范圍為[1，+8）,②正確；

對(duì)于③，因?yàn)橹本€％-2y=-1與漸近線％-2y=0平行，故不存在點(diǎn)Pa。，%），使得與-2%=-1,③正

確；

對(duì)產(chǎn)④，島-2yo+正|表示點(diǎn)P（%o，yo）到直線無(wú)-2y+V5=0的距離的而倍，

又直線x—2y+通=0與漸近線％-2y=0平行，且距離為盤(pán)=1,

故履-2yo+V5|>V5,

由圖形可知，P（%o，yo）在^■+必=l（x>0,y<0）上時(shí)，到直線x-2y+通=0的距離取得最大值，

設(shè)%o=2cosO,y0=2sin0,則尸（無(wú)）,小）到直線%-2y+V5=0的距離為

12cos6-2sin8+6I_卜岳。s（8+、）+閭<2魚(yú)+行

x/4+l-"TT_V5，

當(dāng)且僅當(dāng)cos（8+力=1時(shí)等號(hào)成立，

故ko-2yo+通|的取值范圍為（遍,2a+V5],④止確.

故選：C.

二.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.（5分）（23-24高二上.江蘇西京.期末）已知曲線C:m/+71y2=1,下列說(shuō)法正確的是（）

A.若m=八>0,則C是圓，其半徑為理

n

B.若771>0,71=0.貝!!C是兩條直線

C.若時(shí)，則。是橢惻，其焦點(diǎn)在y軸上

D.若nmVO時(shí)，則C是雙曲線，其漸近線方程為y=

【解題思路】根據(jù)選項(xiàng)條件分別化簡(jiǎn)曲線。：771/+幾必=1為圓推曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后逐一分析，即可求

解.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,m=n>0,/+2=二，則c是圓，半徑為三，故A正確;

?力71

對(duì)于B,若機(jī)>0,n=0時(shí)，x=±^?則C是兩條直線，故B正確;

對(duì)于C,若時(shí)，苧+4=1'則4"0,則C為焦點(diǎn)在％軸的橢圓，故C錯(cuò)誤;

,漸近線方程為y=±Rx,

對(duì)于D,若nrnVO時(shí)，則C是雙曲線故D錯(cuò)誤:

故選:AB.

10.（5分）（2024.安徽?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：/一看=1的左、右焦點(diǎn)分別為&,尸2,直線八x=my-

1（加€/?）與。的左、右兩支分別交于M,N兩點(diǎn)（點(diǎn)N在第一象限），點(diǎn)Pg,yo）在直線LE,點(diǎn)Q在直線

NF2上，且Q&IIPF2,則（）

A.C的離心率為3B.當(dāng)租=百時(shí)，|MN|=『

C.NPF2M=NNF2PD.IQF2I為定值

【解題思路】根據(jù)離心率的公式即可求解A,聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求解B,根據(jù)二

倍角公式以及斜率關(guān)系即可求解C,根據(jù)角的關(guān)系即可求解線段長(zhǎng)度相等，判斷D.

【解答過(guò)程】由題意得，a=l,b=>/3,e=^=Jl+刊=2,故A錯(cuò)誤；

聯(lián)立::學(xué)1:,得—2V3y=0,解得y=0或y=手，則|MN|=A/T+3x|乎一o|=子，故B正

3一

確；

由直線I：%=my-l（meR）可知M（-1,0）,又a=l,b=y/3,c=2,P（p7o）?故P在線段MF2的中垂線上，

設(shè)PM,PF2的斜率分別為匕-k,M（-1,0）,故直線MP的方程為、=k（x+l），

(yk+1

=(x

聯(lián)^223O

x2y2-

13-1

一

設(shè)N（%力），則T+與=凈勺=能，故加（笠，提）?

當(dāng)NF21%軸時(shí)，|M/y=a+c=\NF2\=?=3,△M/^N是等腰直角三角形,且易知NP尸2M=LNF2P=45°：

6k

當(dāng)NF2不垂直于X軸時(shí)，直線N內(nèi)2的斜率為=含，故tan〃VEM=-含，

3^~2一一

因?yàn)閠an乙PF2M=k,所以tan24PF2M=曰=tanzJVFzM,所以24PF2M=ZJVF2M,乙PF?M=^NF?P,

故C正確；

因?yàn)镼FillP6，故乙F?F]Q=￡P(guān)F?M=LNF2P=LFzQFi，故|Q尸2I=I&F2I=4,故D正確.

故選:BCD.

II.(5分)(2023?黑龍江佳木斯?三模)過(guò)拋物線C：y2=2p不上的一點(diǎn)M(2,4)作兩條直線5/2,分別交

拋物線C于4,8兩點(diǎn)，尸為焦點(diǎn)()

A.拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2

B.過(guò)點(diǎn)M(2,4)與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有1條

C.若前+而+而=6,則|FM|+|F川+尸8|=9

D.若心M+kBM=0，則七8=-1

【解題思路】將M(2,4)代入拋物線方程，求出p,即可判斷A：分直線斜率是否為零討論即可判斷B；設(shè)

A(Ki,yi)B(%2,y2＞根據(jù)麗+凡4'+而=0,求出+%2?再根據(jù)焦半徑公式即可判斷C；設(shè)直線4的方

程為％-2=7；3—4)5=0),則12的方程為％-2=-爪＞一4),聯(lián)立方程，求出48兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)

斜率公式即可判斷D.

【解答過(guò)程】由題意可得16=4p,所以p=4,則拋物線C的方程為y2=8,準(zhǔn)線方程為x=-2,故A

正確；

當(dāng)過(guò)點(diǎn)M(2,4)的直線斜率等于零時(shí)，直線方程為y=4.

直線y=4與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為M(2,4),只有?個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)過(guò)點(diǎn)M(2,4)的直線斜率不等于零時(shí)，設(shè)直線方程為％-2=m(y-4),

聯(lián)立｛"4),消%得y?_8my+32m-16=0,

當(dāng)過(guò)點(diǎn)M(2,4)與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A=64m2-4(32m-16)=0,解得m=l,

綜上所述，過(guò)點(diǎn)M(2,4)與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有2條，故B錯(cuò)誤；

設(shè)/(無(wú)1/1),8(＞2/2)，/(2,0),

由麗+FX+FF=0,得(0,4)+(%-2,yJ+(%2-2而=(七+0-4,%+為+4)=0,

所以4-%2-4=0,即/+x2=4,

所以尸M|+|凡4|+四臼=4+x1+^+x2+^=4+x1+x2+p=12,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，由題意，直線，I，%的斜率存在且不為零，

設(shè)直線。的方程為％-2=n(y-4)(n*0),則，2的方程為％-2=-n(y-4),

XJ：2旬，消％得,2_8叮+32n-16=0,

則4yl=32n—16,所以％=8n-4,

則右=^=8n2-8n+2,所以力8小-8n+2,8〃-4),

8

同理可得3(87?+8n+2,-8n-4),

故選:AD.

12.（5分）（24-25高三上?河南?開(kāi)學(xué)考試）雙紐線是卡西尼卵形線的一類分支，在數(shù)學(xué)曲線領(lǐng)域占有至關(guān)

重要的地位，同時(shí)也具有特殊的有價(jià)值的藝術(shù)美.它既是形成其它一些常見(jiàn)的漂亮圖案的基石，也是許多藝

術(shù)家設(shè)計(jì)作品的主要幾何元素.雙紐線的圖形輪廓像阿拉伯?dāng)?shù)字中的“8"，如圖曲線C：（無(wú)2+y2）2=

9（/-y2）是雙紐線，下列說(shuō)法正確的是（）

A.曲線C的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

B.曲線C經(jīng)過(guò)7個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）

C.曲線。上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離都不超過(guò)3

D.若直線y=kx與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)々的取值范圍為（一8,-l]u[l,+8）

【解題思路】選項(xiàng)A,由曲線上任一點(diǎn)（%,y）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)（-適合曲線方程可判斷；選項(xiàng)B,利

用換元法轉(zhuǎn)化為二次方程，通過(guò)判別式得出y2范圍，再賦值求解整點(diǎn)的坐標(biāo)即可；選項(xiàng)C,利用已知方程

變形，根據(jù)有界性結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可判斷：選項(xiàng)D,聯(lián)立直線與曲線。研究方程根的情況即可.

【解答過(guò)程】A項(xiàng)，設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)PQ,y）,則坐標(biāo)滿足曲線方程，

即方程(7+y2)2=9(/-y2)成立，

可得K-%)2+(-y)2］2=9［(r)2-(-y)2］成立，

即點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P(r,-y)也適合曲線方程,

所以曲線C的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；

B項(xiàng),方程(%2+y2)2=9(/_y2)可化為p+(2y2-9)/+/(y2_|_9)=0,

令￡=/,貝I］方程t2+(2y2-9"+y2Q2+9)=0,

由判別式A=(2y2-9)2-4y2(y2+9)=-9(8y2-9)>0,可得好<1

8

若、是整數(shù)，則y=—l,0,l.

令3=0,x4-9x2=0,解得==0或3或-3,有三個(gè)整點(diǎn)(0,0),(3,0),(-3,0)；

令『2=1,%4—7x2+10=0,解得/=2或5,此時(shí)無(wú)整點(diǎn)；

所以曲線C共經(jīng)過(guò)3個(gè)整點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

C項(xiàng)，設(shè)曲線C上任一點(diǎn)P(%y),

當(dāng)P為原點(diǎn)時(shí)，到原點(diǎn)的距離為0,滿足題意；

當(dāng)P不為原點(diǎn)時(shí)，/+必工0,

則由(/+y2)2=9(/_y2)可得，ov/+丫2=<9,

x十y

所以點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離d=y/x2+y2<3,且d>0；

綜上，曲線。上任一點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)3,故C正確：

D項(xiàng)，直線y=依恒過(guò)原點(diǎn)(0,0),且曲線。經(jīng)過(guò)(0,0),

則直線與曲線至少一個(gè)公共點(diǎn)，

又：丫二依與曲線C?只有一個(gè)公共點(diǎn)，故除原點(diǎn)外無(wú)其他公共點(diǎn).

聯(lián)立伊2+y2)2=9(/_y2),

一［y=kx

消'得》4(1+k2)2-9/(1-k2)=0,

當(dāng)1一42=0時(shí)，方程%4=0僅一解％=0,滿足題意；

當(dāng)l-k2Ho時(shí)，當(dāng)％=0時(shí)，方程恒成立，即恒有一解，

當(dāng)XW0時(shí)，方程化簡(jiǎn)得/=等亮，即當(dāng)1一/<0時(shí)，方程無(wú)解，滿足題意；

綜上，1一1&0,解得上21或AW-1,故D正確.

故選：ACD.

三.填空題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

13.（5分）（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）已知點(diǎn)P（x,y）到定點(diǎn)尸（0,四的距離與它到定直線='a的

距離的比是常數(shù)If,點(diǎn)P的軌跡為曲線E,則曲線E的方程為1+灰=1.

33

【解題思路】利用兩點(diǎn)距離公式及點(diǎn)到直線距離，作商化簡(jiǎn)計(jì)算即可.

【解答過(guò)程】根據(jù)題意可得耳學(xué)察二H，化簡(jiǎn)得欠2+（=1,

卜-淚733

???曲線￡的方程為公+（=1.

故答案為：/+?=1.

14.（5分）（24-25高三上?江蘇南通?階段練習(xí)）已知雙曲線會(huì)1（。,匕＞0）,Fi，F(xiàn)2為雙曲線的左右

焦點(diǎn),過(guò)￡做斜率為正的直線交雙曲線左支于力（%,%）,8（%2①）（%V月）兩點(diǎn)，若I力FJ=2a,Z.ABF2=

90%則雙曲餞的離心率是J5-2口.

【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義分析可知△ABF?為等腰直角三角形，且|力引=伊后1=2&Q,|8&|二

2（\攵-l）a,結(jié)合勾股定理列式求解即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)長(zhǎng)4FJ=2a,則WF2I=|力0|+2a=4a,\AB\=\AFX\+|BFJ=\BF±\+2a=|FF2|,

且/4BF2=9O。，可知△7IBF2為等腰直角三角形，

則|A8|=\BF2\=2或a,IBFJ=\AB\-18al=2\[2a-2a=2（魚(yú)-l）a,

2

22

且出后|24-\DF2\=|"1"2|2，即4（72-1）a+8a2=4c2,

整理可得捺=5-2企，所以雙曲線的離心率e=：=/|=V5-2V2.

故答案為：V5-2V2.

15.（5分）（23-24高二下?云南紅河?期末）已知直線/：%—2y+2=0與拋物線C：/二切交于人，B

5><5

兩點(diǎn)，如圖，點(diǎn)P為拋物線。上的動(dòng)點(diǎn)，且位于直線A8的下方，則AABP面積的最大值為.

【解題思路】利用過(guò)點(diǎn)P的切線與直線，平行時(shí)，的面積最大求出點(diǎn)P,然后利用弦長(zhǎng)公式求|/引即可.

【解答過(guò)程】當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)尸的切線與直線［平行時(shí)，的面積最大，

設(shè)點(diǎn)P（%o，yo），由％2=4y得：y=：/，y'=；x，

T*4

所以切線的斜率：k解得：無(wú)0=1,

所以%=［就=%所以p（i,：），

點(diǎn)p到直線1的距離d=上尹與=孚，

Vl2+（-2）22

由「一；2‘：京一°，消去丫，得：X2-2X-4=0,

設(shè)4aiJi），8（外,%），則％1+必=2,xtx2=-4,

所以|4B|=Vl+k2?J（xi+9）2-4%I%2=Jl+0?d22Tx（-4）=5,

所以△/MB的面積的最大值為：:.①臼?d=：x5x彳=平.

2224

故答案為：斗.

4

16.（5分）（23?24高二下?江西南昌?階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F與圓爐+/一？%=

0的圓心重合，直線I與C交于A（%r必），8（不，乃）兩點(diǎn)，且滿足：亍？?麗=0（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)且力，8均

不與。重合），對(duì)于下列命題：

2

①%》2=16,yxy2=-16；②直線，恒過(guò)定點(diǎn)（2,0）；③A,8中點(diǎn)軌跡方程：y=2x-8；④AAOB面積

的最小值為16.

其中是直命題的有①@④.

【解題思路】求出圓的圓心為（1,0）,則尸（1,0）,所以可求出拋物線的方程y2=4,設(shè)直線718方程為

x=ty+n,代入拋物線方程化簡(jiǎn)利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合德?麗=0可求出幾，從而可求出叼為2,外力，

力B中點(diǎn)為M（x,y）,則可得、=空=23x=2t2+4,消去參數(shù)￡可得4B中點(diǎn)軌跡方程，利用弦長(zhǎng)公

式求出|4B|,再利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出0到直線”的距離，從而可表示出△NOB面積，進(jìn)而可求出

其最小值.

【解答過(guò)程】由題意圓/+丫2-2%=0的標(biāo)準(zhǔn)方程是(％-1)2+丫2=1,圓心為(1,0),半徑為1,

所以拋物線的焦點(diǎn)為F(l,0),1,p=2,拋物線方程為y2=4x,

直線48斜率不為0,設(shè)方程為％=ty+n,

由?,一”，Wy2-4ty—4n=0,△=16t24-16n>0,即"+九>0,

ix=ty+n

所以%+乃=43yry2=-4n,

OA-OB=xx+y/2=+%丫2=/2—4九=0,

x216

得n=4或?i=0(舍去，否則直線43過(guò)原點(diǎn))，

1

所以%丫2=-16,xYx2=學(xué)=16.

直線，方程為％=￡y+4,過(guò)定點(diǎn)(4,0),

設(shè)力8中點(diǎn)為M(x,y),則y=^^=23x=ty+4=2t2+4,

消去參數(shù)t得y2=2x-8,

M即=y/(x1-x2y+(y1-y2y

22

=7(i+t)(yi-y2)

=/(1+■)[(%+y2)2—4yly2】

=V(l+t2)(16t2+64)=47(1+t2)(t2+4)

原點(diǎn)。到直線48的距離為d=嘯?=舟，

所以SA0A8=\\AB\d=1x4y(H-t2)(t2+4)x=8\/t2+4,

所以￡=0時(shí),SAOAB=16為最小值.

正確答案有①③④.

故答案為：①③④.

O

'B

四.解答題(共6小題，滿分70分)

17.(10分)(23-24高二下.湖南邵陽(yáng).期末)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到直線無(wú)=-3的距離比它到定點(diǎn)(2,0)的距離

多I,記M的軌跡為r.

(1)求「的方程；

⑵若過(guò)點(diǎn)D(4,4)的直線/與「相交于4B兩點(diǎn)，W.OA1OB,求直線，的方程.

【解題思路】(I)由拋物線的定義理解動(dòng)點(diǎn)軌跡，即可寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)軌跡方程；

(2)設(shè)出直線方程Lx=t(y-4)+4,代入拋物線方程，消元后得出韋達(dá)定理，由題設(shè)等式解得t的值，檢

驗(yàn)即得.

【解答過(guò)程】(1)由動(dòng)點(diǎn)到直線％=-3的距離比它到定點(diǎn)(2,0)的距離多1,

知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到直線％=-2的距離等于它到定點(diǎn)(2,0)的距離，

故動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的軌跡是以(2,0)為焦點(diǎn)，x=一2為準(zhǔn)線的拋物線.

故「的方程為：y2=Ox.

如圖，由題意可設(shè)直線上x(chóng)=t(y-4)+4,

代入y2=8%,消去工得：y2—Qty+32t—32=0.

顯然有A〉。，設(shè)力(工1，%),8(亞,、2)，

則%+為=8匕％丫2=32t-32.

由0/±OB,知0/?OB=x^x2+y^yz=手?+yiy-z=y\yi+1)=。.

得月刈=。或力%=-64,

解得￡=±1.

當(dāng)￡=1時(shí)，直線］:x-y=O經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，顯然不合題意；

當(dāng)￡=一1時(shí)，直線Lx+y-8=0,符合題意：

綜上，所求直線/的方程為：x+>-8=0.

18.（12分）（23-24高二下?廣東茂名?開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線的《一卷=1（Q>0,匕>0）與的，-9二1有

相同的漸近線，點(diǎn)F（2,0）為G的右焦點(diǎn)，力，B為G的左右頂點(diǎn).

（1）求雙曲線G的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)/傾斜角為45。的直線/交雙曲線G于M,N兩點(diǎn)，求|MN|.

【解題思路】（1）根據(jù)共漸近線得到/=3a2,根據(jù)焦點(diǎn)得到a?+/=4,解得答案.

（2）聯(lián)立方程得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算得到答案.

【解答過(guò)程】⑴雙曲線G：會(huì)《=1（。>0/>0）與。2，一9=1有相同的漸近線，則〃=3。2,

2

F（2,0）為G的右焦點(diǎn)，則小+垓=4,解得Q2=Lb=3,

雙曲線方程為/一?二1；

2

\MN\=Vl+Ixd（X\+必）2—4%I%2=>/2xA/4+14=6.

19.（12分）（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖所示的圖徽外框由半圓和半橢圓組成，半圓的直徑為10,

橢圓的離心率為孚，且短軸與半圓的直徑重合，圖徽內(nèi)有一矩形區(qū)域4BCD用于繪畫(huà)圖案，矩形關(guān)于橢圓的

長(zhǎng)軸對(duì)稱，且頂點(diǎn)在圖徽外框上.

（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出半圓的方程和半橢圓的方程;

（2）根據(jù)美學(xué)知識(shí)，當(dāng)畏=0.6時(shí)達(dá)到最佳美觀的效果，求達(dá)到最佳美觀的效果時(shí)A8的長(zhǎng).

【解題思路】（1）建立平面直角坐標(biāo)系，依題意可得半圓的方程，求橢I員I的Q,b,c確定半橢圓方程.

（2）當(dāng)為8CD的四個(gè)頂點(diǎn)均在邊界上時(shí)，面積最大，設(shè)第一象限內(nèi)的點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m（0<zn<5）,|力叫=

3,25—總由黑=0.6得力區(qū)即可求得結(jié)果.

\AB\

【解答過(guò)程】（1）以半圓的直徑為X軸，圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，

由已知，圓的半徑為5,則半圓的方程為/+y2=25（yW0）.

橢圓的短半軸長(zhǎng)匕=5,；=當(dāng)，又b2=02-c2,

所以a?=100,b2=25,

（2）設(shè)第一象限內(nèi)的點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為m（0<mV5）,則|4B|=2m,\AD\=V25-m2+J100（l-^）=

3V25—m2.

由撐=。6得等/，

解得m=誓，此時(shí)歷用=誓.

故達(dá)到最佳美觀的效果時(shí)/W長(zhǎng)為誓.

20.（12分）（2024?貴州六盤(pán)水?三模）在平面直角坐標(biāo)系立江中，點(diǎn)A,8分別是x軸和），軸上的動(dòng)點(diǎn)，

且|.4引=百,動(dòng)點(diǎn)P滿足V5而=26（+而，記2的軌跡為C.

⑴求。的方程；

⑵設(shè)曲線C與工軸的交點(diǎn)為4,A2（A/在七的左邊），過(guò)點(diǎn)。（1，0）且不與x軸平行的直線/與C相交

于M,N兩點(diǎn)，記直線A/M,4N的斜率分別為為和〃2,求善的值.

女2

【解題思路】（1）由已知結(jié)合向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可求解;

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系及直線的斜率關(guān)系即可求解.

【解答過(guò)程】⑴解:設(shè)Pa,y）M（&,O）,B（O,yo）,

因?yàn)?V5,所以+X=6,

由后辦=2&+后得，V3(x,y)=2(%0)+(0,尢),

將沏=等，yo=代入以+M=3得,彳+y2=1,

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為?+y2=l；

（2）由（1）知&（一2,0）,4（2,0）以3，丫1）,做孫、2），

(X=my+1

22

聯(lián)立'X?工2J得,(4+m)y+2my-3=0,

[-+y=i

由韋達(dá)定理得，yi+%=一懸7，%?力=是，

于是放受=等，從而根乃力=+%），

因?yàn)樽?必，心=當(dāng)，Xi=+1/2=機(jī)丫2+1，

則自"必=2】+力），

21.（12分）（2024?陜西寶雞?三模）己知橢圓E:^+，=l（a>b>0）和圓C:/+y2=I,。經(jīng)過(guò)￡的右焦

點(diǎn)F,點(diǎn)48為E的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，原點(diǎn)。到直線48的距離為竿.

（1）求橢圓9的方程；

（2）設(shè)QA是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，過(guò)戶的直線［交￡于M,N兩點(diǎn)（其中M點(diǎn)在％軸上方），求△MA"與△DNF的

面積之比的取值范圍.

【解題思路】（1）由題意，利用點(diǎn)到直線的距離公式及a,b,c之間的關(guān)系求出a,b的值，進(jìn)而訂得橢圓E的

方程；

（2）對(duì)直線/的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線/的方程，將直線方程與橢圓

方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及三角形面積公式再進(jìn)行求解即可.

【解答過(guò)程】（1）設(shè)橢圓焦距為2c,

由題意可得c=l,有小一〃=1①，

又因?yàn)橹本€48方程為±+[=1,