函數(shù)的概念及其表示-高考數(shù)學重難點題型講義（新高考地區(qū)專用）原卷版

專題2.1函數(shù)的概念及其表示.重難點題型精講

”20否興

1.函數(shù)

函數(shù)

兩個集合A,B設A，B是兩個非空數(shù)集

如果按照某種確定的對應關(guān)系力使對于集合A中的任意一個數(shù)

對應關(guān)系/：Ai

x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)/(幻和它對應

名稱稱/：A-8為從集合A到集合B的一個函數(shù)

函數(shù)記法函數(shù)y=/(x),x^A

2.函數(shù)的相等

同?函數(shù)：只有當兩個函數(shù)的定義域和對應去至都分別相同時，這兩個函數(shù)才相等，即是同一個函數(shù).

3.函數(shù)的表示法

函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法和圖象法.

(1)解析法：就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關(guān)系；

(2)列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關(guān)系；

(3)圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關(guān)系.

4.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)P(guān)系不同而分別月幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分

段函數(shù).

5.抽象函數(shù)與復合函數(shù)

(1)抽象函數(shù)的概念：沒有給出具體解析式的函數(shù),稱為抽象函數(shù).

(2)復合函數(shù)的概念：若函數(shù)：尸也)的定義域為A,函數(shù)4g(x)的定義域為。，值域為C,則當CGA時,

稱函數(shù)y=i/(g(x))為/⑺與g(x)在。上的復合函數(shù)，其中/叫做中間變量，片g(x)叫做內(nèi)層函數(shù)，)可(/)叫做外層

函數(shù).

短儲千一五三

【題型1函數(shù)的概念】

【方法點撥】

⑴函數(shù)的定義要求第一個數(shù)集A中的任何一個元素在第二個數(shù)集B中有且只有一個元素與之對應，即可以

“多對一”，不能“一對多”，而B中有可能存在與A中元素不對應的元素.

（2）構(gòu)成函數(shù)的三要素中，定義域和對應關(guān)系相同，則值域一定相同.

【例I】（2022春?三明期末）已知集合4={M-2VxW“,8={y|0VyW4},則下列對應關(guān)系中是從集合人

到集合3的函數(shù)是（）

A./：A—*y=x+lB./：C./：L,y=/D./：L.y=|M

【變式1-1]（2022春?興慶區(qū)校級期末）設集合M={x|0WxW2},N={），|0W）W2},那么下列四個圖形中,

能表示集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有（）

A.①②??B.①②③C.②③D.②

【變式1-2](2021春?九龍坡區(qū)期末）設A={.r|0WxW2},4={y|lWyW2},圖中表示4到8的函數(shù)的是

【變式1-3]（2021秋?錫山區(qū)校級期中）下列各式中，表示），是x的函數(shù)的有（）

?y=x-(x-3)；

②y=Vx-2+V1-x；

x-1,X<0

③y=

/+1,x>O'

-C，X為有理數(shù)

9,x為無理數(shù)

A.4個B.3個C.2個D.1個

【題型2函數(shù)的定義域問題】

【方法點撥】

①根據(jù)解析式有意義的條件，列出關(guān)于自變量的不等式(組)，即可求解，把不等式(組)的解集表示成

集合或區(qū)間的形式.

②已知函數(shù)的定義域求參數(shù)，結(jié)合解析式有意義的條件，列出關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，即可得解.

【例2】(2022春?興慶區(qū)校級期末)函數(shù)y=+2的定義域為()

A.{x|x>?1且xWO}B.{x\x^-1}C.(小2?1且xWO}D.{x\x>

-1)

【變式2-1](2022春?玉林期末)已知函數(shù)f(x)的定義域為(3,5),則函數(shù)f(2x+l)的定義域為()

A.(I,2)B.(7,11)C.(4,16)D.(3,5)

【變式2-2](2022春?渭濱區(qū)期末)若函數(shù)/(%)=>/。%2+以+1的定義域為R,則〃的范圍是()

A.[0,4]B.10,4)C.(0,4JD.(0,4)

【變式2-3](2022春?讓胡路區(qū)校級期末)已知函數(shù)/(公的定義域為(-2,2),則函數(shù)g。)=f(2%)+

Jl-lgx的定義域為()

A.|.v|0<x<4}B.(x|-4<x<10}C.{x\-l<x<l|D.{A|0<X<1}

【題型3函數(shù)的值域問題】

【方法點撥】

①已知函數(shù)解析式求值域，觀察所給解析式，先得出函數(shù)的定義域，在由函數(shù)解析式求解；

②已知函數(shù)值域求參數(shù)問題時，將給出的值域轉(zhuǎn)化為方程的解或不等式的解集問題，然后來確定參數(shù)的值

或取值范圍.

【例3】(2022春?興慶區(qū)校級期末)函數(shù)f(%)=%+7^=1的值域是()

7

A.[2,+8)B.6，+00)C.[0,+8)D.(2,+?>)

【變式3-1】(2022春?定南縣校級月考)函數(shù)y=的值域為()

A.(一8,一第B.(一8,一呈)C.(竽，+8)D.[呈，+00)

【變式3?2】(2021秋?鞍山期末〕若函數(shù)/(x)=]4*-；-2'+久的值域為[0,+8),則實數(shù)。的取值范圍

是()

A.g}B.+co)C.(-8,芻D.[O,+°°)

【變式3?3】(2022春?金華期末)高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的

關(guān)興，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設在R,用卬表示不超過x的最大整數(shù)，則丁=卬稱為高斯函數(shù),

也稱取整函數(shù)，例如：[-1.3]=?2,[3.4]=3,已知/(幻=7二7,則函數(shù)尸外幻]的值域為()

3+1J

A.{0}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1}

【題型4求函數(shù)的解析式(待定系數(shù)法)】

【方法點撥】

待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)等)，可用待定系數(shù)法.

【例4】(2021秋?蚌山區(qū)校級期中)己知/(%)是二次函數(shù)，且/(-I)=4,/(0)=1,/(3)=4.

(1)求/(x)的解析式.

(2)若疾[-1,5],求函數(shù)/(%)的值域.

【變式4-1](2022春?桃源縣月考)若指數(shù)函數(shù)/(x)的圖像過點A(2,9).

(1)求函數(shù)/6)的解析式：

(2)當入0?2,3]時，求函數(shù)/(公的值域.

【變式4-2](2020秋?松山區(qū)校級期末)已知函數(shù)/'(X)=置產(chǎn)，/(I)=1,/(2)=5.

(I)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)求函數(shù)/(x)在[-1,一上上的值域.

【變式4?3】(2021秋?武平縣校級月考)已知二次函數(shù)/(x)滿足/(x+1)-fCx)=2丫且/(0)=1.

(I)求/(x)的解析式；

(II)在區(qū)間[-1,1]上求y=/(x)的值域.

【題型5求函數(shù)的解析式(換元法)】

【方法點撥】

換元法：主要用于解決已知復合函數(shù)f(g(x))的解析式，求解函數(shù)八用的解析式的問題，先令g(x)=t解出X

及用含t的代數(shù)式表示X,然后帶入“X)中即可求得/⑺，從而求得/(X),要注意新元的取值范圍.

【例5】(2020秋?南康區(qū)校級月考)已知函數(shù)/(#滿足/(與)=%.

(1)求/(X)的解析式；

(2)求函數(shù)y=f(*)-右有的值域.

【變式5-1](2021秋?太和縣校級月考)(1)已知函數(shù))，=/(%)滿足fG)=2fC-)+x,求/(%)的解

x

析式；

(2)求函數(shù)y=3x+，l-3%的值域.

【變式5-2](2020秋?遵義期中)已知函數(shù)f(x)滿足/(2x+2)=3+log2(x+1).

(1)求/(x)的解析式:

(2)若/(x)的定義域為[1,8],求函數(shù)8(A)=/(x)-3/-(2v)的值域.

【變式5-3]（2021秋?翠屏區(qū)校級期中）已知函數(shù)/'（4+2）=3x+2+2,函數(shù)g（x）=1-2x+衣率2

人

（1）求函數(shù)/（X）的解析式，并寫出其定義域.

（2）求函數(shù)g（x）的值域.

【題型6分段函數(shù)的求值問題】

【方法點撥】

①求函數(shù)值：當出現(xiàn)了4（幻）的形式時，應從內(nèi)到外依次求值.

②求自變量或求參：先假設所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應自變量的值或含參的代

數(shù)式，切記要代入檢驗.

【例6】（2021秋?香坊區(qū)校級期中）已知函數(shù)f（x）=｛二、；；；；；，則/■[/&）]的值為（）

【變式6-1](2021秋?瀘州期末)函數(shù)/?(x)=fs6'O’