專項突破（三）第1節 空間幾何體-2026年高考數學二輪復習

專題突破

專題三立體幾何

第1講空間幾何體

—探究真題明確方向

1.（2024?新課標【卷，T5）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均為百，則圓錐的體

積為（）

A.2V371B.3V371C.6d57tD.98兀

2.（2025?天津，T4）若加為直線，a,6為兩個平面，則下列結論中正確的是（）

A.若掰〃a,,則〃?//n

B.若〃?_La,則a_L/?

C.若"1〃Q,m邛,則a_L/?

D.若加ua,a邛,則〃?_1_4

3.（多選）（2025?全國I卷，T9）在正三棱柱/8C-/BG中，。為8C的中點，貝U（）

A.JDU1CB.8iG_L平面441。

C.AD//ABD.CCi//平面AA\D

4.（2023?新課標1卷，T14）在正四棱臺48C0-48Q9中，48=2,小8尸1,AA、=&,則該棱臺的體積

為.

5.（2025?全國H卷，T14）一個底面半徑為4cm,高為9cm的封閉圓柱形容器（容器壁厚度忽略不計）內有兩

個半徑相等的鐵球，則鐵球半徑的最大值為cm.

命題熱度：

本講是歷年高考命題必考的內容，屬于中低檔題目，三種題型都有所考查，分值約為1M15分.

考查方向：

一是求幾何體的表面積與體積，常與側面展開圖相結合；二是球的組合體，常與球相“內切”或“外接”

進行考查；三是考查空間點線面關系的判斷，以空間幾何體的結構特征為背景，考查關于線面位置關系命

題的真假判斷.

1.答案B

解析設圓柱的底面半徑為廣,

則圓錐的母線長為JN+3

而它們的側面積相等，

所以2nrXV3=7trX+浮,

即2V3=A/3+評,故尸3,

故圓卷的體積為*X9X汽=3百兀

2.答案C

解析若“?〃*〃ua,則用與〃平行或異面，故A錯誤;

若加_La,6，則a〃夕，故B錯誤；

若夕，則。_1_夕，故C正確；

若"iua,。_1_夕，則〃，與￡平行或相交或〃?u夕，故D錯誤.

3.答案BD

解析方法一如圖，設。?為8C1的中點，

由題意得44」平面川?C,因為WDu平面49C,則4O_L/1小，假設又44￡小。=小，4小，

4Cu平面44C,則A0_L平面為4C,因為4Cu平面44C,則4)_L4C,矛盾，故A錯誤；

由題意知4O_L8C,44i_L8C,

又/4CUZ>444i,XOu平面

則8C_L平面/4。，又BC〃6Ci,所以81G_L平面44i。，故B正確；

由題意得力O〃4Oi,假設力￡>〃4%，則4Oi〃4S,與〃辦n4Oi=4矛盾，則力。〃力山i不成立，故C

錯誤；

由題意得CG〃44,又CGC平面44。，力力仁平面/小。，故CG〃平面44。，故D正確.

方法二對于A,在正三棱柱中，14_L平面/8C,

又力Z)u平面48C,則44]_1_47),則而5?而=0,

因為△/8C是正三角形，D為BC的中點、,則4OJ_8C,則沆?而=0.

又布?千lADiDC,

所以砧?而=(而+而+尻)?而=而而+而2+反.而=而2wo,

則不成立，故A錯誤；

對于B,因為在正三校柱45cMl中，44i_L平面片8C,

BCu平面月8C,則44_LBC,

因為△ABC是正三角形，D為BC的中點、,則力。J_BC,

又44口49=4，44],4)u平面440,

所以BC_L平面44。，頭BC//BG,所以囪G_L平面44。，故B正確；

對于C,因為在正三棱柱力8c中，力山|〃力從

假設,4。〃力山1,則4。〃力8,這與4X148=4矛盾，

所以,4。〃小歷不成立，故C錯誤；

對于D,因為在正三棱柱力8C4SG中，CG〃/14,

又力出u平面力小。，CGC平面力4。，所以CG〃平面力小。，故D正確.

方法三如圖，建立空間直角坐標系，設48=2,該正三棱柱的高為〃，

則。(0,0,0),4百，0,0),小(k，0,/?),C(0,-1,0),G(o,-1,,囪(0,1,力),

對于A,i4D=(-V3,0,0),i4iC=(-V3,-1?-A),

貝?碇=(-V5)x(-V5)+o+o=3wo,

則4Z)J_4c不成立，故A錯誤；

對于B,D,而7=(0,-2,0),CG=(O,0,h),標=(0,0,田,

設平百441。的法向量為〃=(x,yrz),

^.(AAn=hz=0,X…

則(一?x-仔x=z=O,令A尸1,則〃=(0,1,0),

(AD-n=-V3x=0,

所以昭7=(0,-2,0)=-2〃，CC7-/i=0,

則與G_L平面力4。，又CGC平面44。，所以CG〃平面力小。，故B,D正確;

對于c,而=(-V5,o,o),小瓦=(?K,i,0),

則琛W/顯然力。〃481不成立，故C錯誤.

4.答案當

解析如圖，過小作小〃_1_力。，垂足為時，

易知小M為四棱臺"CQ-力出COi的高，

因為,48=2,A\B\=\,AA\=y/2,

則小。|=|小G=|x岳山|蘭，

4乙乙

AO-^AC-^Xy/2AB=y/2t

故4144c-4G）4,

貝U4M=JAA2AM2=斤笠，

所以所求體積為X（4+1+V4VT）X

?J

5.答案|

解析設鐵球的半徑為，?cm.

分三種情況討論.

情況一：豎直排列（一個在上，一個在下），則4/W9,

???W；

4

情況二：水平排列（并排放置），則為*W8,

1W2；

情況三：斜向排列，截面圖如圖所示，0<r<4,

由圖可知（8?24+（9-2尸）2=4產,

即4A68H-145=0,即（2r-5）（2r-29）=0,

解得V或尸與舍去）.

綜上所述，鐵球半徑的最大值為^cm.

考點一表面積與體積

例1（1）（2025?濟寧模擬）已知圓錐的體積為竽，其側面展開圖是一個圓心角為g的扇形，則該圓錐的

底面半徑為（)

AiB.1C.V2D.2

答案B

解析設母線長為/,底面半徑為r,圓錐的高為〃,

貝42jrr=y/=>Z=3r,

又h=>Jl2—r2=V9r2—r2=2V2r,

所以%專戶X2或，譽吼>/=1nr=1.

（2）（2025?呂梁模擬）軸截面是等邊三角形的圓錐稱為等邊圓錐.若某等邊圓錐的母線長為4,過圓錐高的

中點作平行于底面的平面，該平面將圓錐分割成一個小圓錐和一個圓臺，則該圓臺的體積為.

解析在等邊圓錐尸。中，過尸。的中點"作與底面平行的截面，如圖所示，

P

由題意可知P4=4A=4,力。苧A2,

則PO=7PA2-A02=2近,

所以國臺上底面半徑為r=^AO=\,

下底而半徑為R=/O=2,

圓臺的高為力=力0=8，

因此，該圓臺的體積為借（戶+聯田?）?〃苫乂（1+4+2）乂百之學.

［規律方法］空間幾何體的表面積與體積的求法

（1）公式法：對于規則的幾何體直接利用公式進行求解.

（2）割補法：把不規則的幾何體分割成規則的幾何體，或把不規則的幾何體補成規則的幾何體，不熟悉的幾

何體補成熟悉的幾何體.

（3）等體積法：選擇合適的底面來求體積.

跟蹤演練1（1）（多選）（2025?臺州模擬）如圖，是由兩個平行平面截半徑為2cm且足夠高的圓柱體所得

的幾何體，截面與圓柱體的軸成45。，上、下截面間的距離為或cm.某高中數學興趣小組對該幾何體進

行了探究，得出下列四個結論，其中正確的是（參考公式：橢圓面積S=m力）（）

A.截口曲線的離心率為:

B.該幾何體的體積為8兀cm-

C.該幾何體的側面積為8兀cm2

D.該幾何體的上截面面積為4V2ncm2

答案BCD

解析對于選項A,因為截面與圓柱體的軸成45。，且圓柱體底面半徑為2cm,

故截面橢圓長軸長為2〃-,：-4交,

sin45°

短軸長為2b=4,故c=Va2-b2=2,

故金條等，故選項A錯誤；

Q2V22

對于選項B,因為上、下截面間的距離為或cm,所以力8-s：；50-2(cm),

將該幾何體沿4點平行于圓柱底面切割補到以沿點8平行于圓柱底面的位置，

則正好是底面半徑為2cm,高為2cm的圓柱，則P=7rX22X2=87r(cm3),故選項B正確；

對于選項C,同樣以選項B的方法割補，側面積即為底面半徑為2cm,高為2cm的圓柱的側面，S,

=2兀X2X2=87t(cm2),故選項C正確；

對于選項D,利用橢圓的面積公式S="〃)=4企花(cm?),故選項D正確.

(2)(2025?咸陽模擬)在直三棱柱46C-m81G中，ABA.AC,4B=AC=AA『l,則三棱錐C-48G的體積

為.

答案；

O

解析七棱錐C-48c1=。直三棱柱力叱/小心-卜三梭鏈4-說"三校錐8-4制(?1=5的。乂/1/11-再用乂力小-

"△48?X函1X1X1=1.

DJD4O

考點二空間點、線、面的位置關系

例2(1)(多選)(2025?岳陽模擬)已知直線機，〃，/?平面小若平面a~L平面尸,旦。門或=/，則下列命

題正確的是()

A.若切〃a,貝lj〃?"L夕

B.若mua,貝ijm

C.若且加則〃?_1_夕

D.若則直線〃?必垂直于平面口內的無數條直線

答案CD

解析對于A,若〃?〃%則，〃與成可能平行或相交或〃7U.,故A錯誤；

對于B,若mua,〃u0,當小，〃中至少有一條直線與/垂直時，才有〃?_!_〃，否則〃?與〃可能平行或異面

或相交但不垂直，故B錯誤；

對于C,”?ua,且機由面面垂直的性質定理知m_1_夕，故C正確；

對于D,當直線au夕，且〃_!_/,此時。_1_機，故滿足條件的直線。有無數條，故D正確.

(2)(多選)如圖,在正方體48co辦囪萬A中,E為84與4囪的交點，則下列判斷正確的是()

A.直線EC\與直線AD是異面直線

B.31G〃平面48。

C.直線BAx與直線CiD所成的角是與

D.在直線小G上存在點“，使Er_L平面4C。

答案BD

解析對于A,由圖可知直線EG與直線都在平面8Moe中，故A錯誤；

對于B,由圖可知直線3G〃BC,

又BCu平面48C,8C以平面46C,所以81G〃平面48C,故B正確；

對于C,由正方體性質知

所以直線34與直線G。所成的角為直線8出與直線所成的角，

因為四邊形彳防14為正方形，所以歷1」辦兒即直線網與直線GO所成的角是會故C錯誤;

對于D,連接4G,BCBG,取4G的中點O,連接EO,則EO〃BG,

因為COJ_平面8CG81,BGu平面8CG囪，所以8G_LCZ),

又8G_L8C,CDCBCC,CD,BCu平面4CQ,所以8G_L平面力CO,

所以EO_L平面小CQ,即/在。點處時，可使￡7LL平面小CQ,故D正確.

［規律方法J(1)證明線線平行的常用方法

①三角形的中位線定理；②平行公理；③線面平行的性質定理；④面面平行的性質定理.

(2)證明線線垂直的常用方法

①等腰三角形三線合一；②勾股定理的逆定理；③利用線面垂直的性質定理.

跟蹤演練2(1)(2025?黃岡模擬)已知加，〃為異面直線，〃?_!_平面a,〃_!_平面夕.若直線/滿足/_!_〃?，/_!_

〃，lCa,l<Zp,貝ij()

A.a〃夕，I//a

B.a與在相交，且交線平行于/

C.aJL"Ua

D.a與n相交，且交線垂直于/

答案B

解析若a〃夕，則由〃?_!_平面a,〃_!_平面夕，可得〃?〃〃，這與加，〃是異面直線矛盾，故a與夕相交，A錯

誤；

設aCl產=a,過直線〃上一點，作/）〃〃?，

設b與〃確定的平面為7,

因為/_L〃?，所以/_Lb,又/_!_〃，6與〃相交，b,〃Uy,所以/_Ly，

因為m_La,所以b_La,又qua,所以力，

因為〃_LQ,auB，所以aJ_〃，又6與〃相交，b,/?cy,所以〃_L7,

又因為/<Za,仁人所以/與。不重合，所以/〃a,B正確，D錯誤；

因為i〃a,Wa,aua,所以/〃Q,C錯誤.

（2）在四面體/8CO中，AD=BC,E,尸分別為48,的中點，若異面直線力。與8c所成的角為60。,

則異面直線EF與8c所成的角為.

答案60。或30。

解析如圖，設G為8。的中點，連接GE,GF,

A

因為E,尸分別為48,。。的中點，

所以EG〃4D,GF〃BC,且EG/D,GF』C,

L2

而力D=BC,貝”EG=GE,

則N￡GF（或其補角）為直線力。與8c所成的角，即NEG產=60。或120°,

而/印G（或其補角）為直線止與8c所成的角，

當NEGQ60。時，ZEFG=60°f

當N￡GF=120°時，ZEFG=30°.

故異面直線跖與8c所成的角為60。或30。.

考點三球的切、接問題

例3（1）（2025?嘉興模擬）若某正四面體的內切球的表面積為4兀，則該正四面體的外接球的體積為（）

A.9兀B.27TLC.36nD.64?t

答案C

解析正四面體的內切球與其外接球球心重合，

如圖，正四面體力88的內切球與外接球球心O在其高力。|上,

則0。|是正四面體力8CO內切球半徑，。力是正四面體/5C。外接球半徑，

由正四面體45C。的內切球的表面積為4兀，得001=1,令力8=4〃>0）,

BO\=^aO\=JAB2—B0\=^-a,BO=AO=^-a-\,

在RtZ\500i中，（苧K—1）-（?a）=1,

解得口=2VS,A0=3,

所以該正四面體的外接球的體積喈。/口=36兀

（2）（多選）如圖，在正三棱柱z/BC.小囪G中，/8=6,力小=4,則下列說法正確的是（）

A.直線AB與直線BC所成的角為5

B.三棱錐力-44。的體積為12V3

C.點G到平面A】BC的距離為限

D.四棱錐小-88CG的外接球的表面積為64K

答案ABD

解析由題設8iG〃8C,則直線48與直線所成的角即為N/8C（或其補角），又△ZBC為等邊三角形,

故NMC吟故A正確；

由V三校錐4-AiBC小三棱錐-8只義4乂卜62乂5片12遍，故B正確；

由4B=4C=2a5,BC=6,則在△48C中，8c上的高為聞，

所以5&4歸。=1乂6義"5=3〃5,設點4到平面小8C的距離為d,則與義3"5=12百，

所以“耳空，根據對稱性易知點G到平面48c的距離為空空，故C錯誤；

4343

由題設，易知四棱錐Ax-BxBCCx的外接球即為該三棱柱的外接球，

而△MC的外接圓半徑尸|義苧X6=2遮，且44=4,

所以外接球的半徑R7r2+22=4,故其表面積為4冗火2=64冗，故D正確.

［規律方法］解決與球相關的切、凄問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉化為平面幾何問題求解,

其解題思維流程如下：

(1)定球心：如果是內切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等

且為球的半徑；

(2)作截面：選準最佳角度作出截面(要使這個裁面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現這些元

素的關系)，達到空間問題平面化的目的：

(3)求半徑下結論：根據作出截面中的幾何元素，建立關于球的半徑的方程，并求解.

跟蹤演練3(1)在△/8。中，AB=2,C=45°,平面/4C且4=2,則三棱錐P-48C外接球的表

面積為()

A.2冗B.4V3n

答案C

解析如圖，設△46。外接圓的半徑為廠，

已知,48=2,045。,

根據正弦定理可得

2

解得r=Vl

因為P力J_平面力3C,所以三棱錐P-ABC外接球的球心到平面14。的距離d《P4=1,

所以外接球半徑R=J(或尸+12=行.

所以三棱錐尸外接球的表面積S=4兀X(8)三12兀.

(2)(2025?包頭模擬)已知圓臺。。的上、下底面半徑分別為為，尸2(門〈「2),廠2力=3.半徑為/1的球O與該

圓臺的上、下底面及母線均相切，圓臺S5的側面積為25兀，則球O的表面積為()

A.4九B.97r

C.167TD.367t

答案C

解析如圖，

設圓臺上、下底面圓心分別為。，02,

則圓臺內切球的球心0一定在01。2的中點處，

設球。與母線相切于點M,所以

所以OM=OO］=OO2=rf

所以與△4QW全等，

所以AM=r\,同理BM=n,

圓臺的母線長l=r\+f-2,

而九（為+七）/=25北,因此（小+尸2）2=25,

所以,48=門+廠2=5,過力作4G_LQ8,垂足為G,則。。尹⑺+小尸■（廠2寸）=16,所以43=16,所以球。的表

面積為4nr=16H.

專題強化練

［分值：83分］

一、單項選擇題（每小題5分，共40分）

1.已知〃是兩條不同的直線，a,尸是兩個不同的平面，則加〃。的一個充分條件是（）

n//a

B.m〃/,a//p

C.mA-ih〃J_a,m（Za

Dj〃n〃=4,nila、m<Za

答案C

解析對于A,由〃7〃〃，可得/〃ua或〃?〃a,故A錯誤；

對于B,由/〃〃從a〃夕可得〃?ua或朋〃a,故B錯誤；

對于C,由m_L〃，〃_La,機<Za可得〃?〃a,故C正確；

對于D,由加0〃=%，〃〃a,〃血a可得用，a相交或〃?〃a,故D錯誤.

2.已知一個正四棱臺的上、下底面邊長分別為1,2,體積為3,則該正四棱臺的高為（）

A.lB.C.|D.1

答案D

解析設該正四棱臺的高為從

又其上、下底面邊長分別為1,2,體積為3,

則V=^h（12+22+Vl2x22）=y=3,

所以力=*

3.（2025?泰州模擬）某正四楂錐的底面邊長為2,側棱與底面的夾角為60。，則該正四棱錐的體積為（）

A4通n8V2c5V15n4V6

A.——3B.——3v.-3-L）.——9

答案A

解析在正四棱錐P-ABCO中,

令A5BD=O,連接PO,貝ijPO_L平面/18CO,

貝1JNP40=60。，由4。=1力。=&，得P0=巡，

所以該正四棱錐的體積為￡X22X巡考.

4.（2025?江蘇七市二調）已知圓錐的釉截面為正三角形，外接球的半徑為1,則圓錐的體積為（）

A微C.yD.?

答案A

解析設圓錐的底面半徑為廣，由于圓錐軸截面為等邊三角形，則外接球半徑即為軸截面等邊三角形的外

接圓半徑，

由正弦定理可得2,，

貝U吟,

易知該圓錐的高為7z=V3r=1,

故該圓錐的體積為

號/吟x[x智.

5.在直三棱柱/8C-481G中，ZABC=90°,4A尸AB,則直線4C與所成的角為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

答案D

解析連接4G交4c于點O.取&G的中點為。,連接。。，CD,可得0。〃/8.

所以直線小。與力辦所成的角為直線4。與0。所成的角/COD（或其補角）,

設44=46=1,則力8尸夜，所以0。學.

設BC=a,則<1盡+1,

所以,41C=J1+1+。2=J十2+2,

所以0c9C上/，

所以g+OC2』"：2_。2：4_002,

244

所以NCO0=9O。.

6.（2025?安陽模擬）在直三棱柱/BC-45G中，4B=AC=2,AB±AC,若該棱柱外接球的表面積為12幾，則

側面BBCiC繞直線BBi旋轉一周所得到的旋轉體的體積為（）

A.12TIB.16兀C.20兀D.24兀

答案B

解析在直三棱柱48C-481c中，

AB=AC=2yAB1AC,

則兩個底面三角形的外接圓圓心分別為田G,8c的中點。，02,

如圖所示，BC=B\C\=2a,

設直三棱柱的外接球的半徑為心圓心為0,

由4忒2=12兀，可得R=V5,

由對稱性知，。為中，點，及0B=R,

由（殍）＞（勻2=（甯2+2=3,解得8=2,

因為側面88GC繞直線BB,旋轉一周后得到的幾何體是底面半徑為2魚，高為2的圓柱，

其體積為片兀（2&）:X2=16兀

7.（2025?保定模擬）已知三棱錐力-8CO中，。。_1平面48。，AB=AD=2?BD=6,CD=2,則三棱錐力-8C。

的外接球表面積為（）

A.12nB.24兀C.40兀D.52兀

答案D

解析在△48。中，AB=AD=2?BD=6,

BD

所以cosN4BD-：口力一；,所以sinZJ5￡）=1,

設△川9。的外接圓半徑為尸，

則匕屋2r=-2百,

sxn￡ABD

又CZ）_L平面48，且8=2,設三棱錐力-8C。的外接球半徑為七

則R2=產1=13,

所以三棱錐A-BCD的外接球表面積為4兀心=4兀X13=52兀

8.（2025?寧波模擬）一個長方體墨水瓶的長、寬、高分別為10cm,8cm,15cm,內部裝有400毫升墨水.將

墨水瓶傾斜，使其一條長邊（10cm）置于水平地面，高邊（15cm）所在直線與水平地面成45度角，則此時墨

水與怨水瓶接觸部分的面積為（）

A.180cm2B.220cm2C.260cm2D.300cm2

答案C

解析如圖，若截面為等腰直角三角形，腰長為4,

則夕2三黑40,

可得。=4A/§>8,不符合題意；

如圖，若截面為直角梯形，上底邊長為仇

則;X（2H8）X8=^40,

可得b=l,符合題意，

所以此時墨水與墨水瓶接觸部分的面積

5=2X40+1XI0+9X10+8X10=260（cm2）.

二、多項選擇題（每小題6分，共18分）

9.（2025?南京模擬）設a,/?,y表示三個不同的平面，〃7表示直線，則下列選項中，使得a〃夕的是（）

A..m//a,m//p

C.y//afy//pD.y±a>yLp

答案BC

解析對于A,若〃?〃a,加〃/，則a,《可能相交，A錯誤；對于B,若〃?_La,〃?_!_//,則a////,B1E■確；

對于C,若7〃％/〃尸，貝Ua〃從C正確；對于D,若y_La,yl"則a,6可能相交，D錯誤.

10.（2023?新課標U卷）已知圓錐的頂點為P,底面圓心為O,48為底面直徑，N/P8=120。，尸4=2,點C在

底面圓周上，且二面角為45。，貝立）

A.該圓錐的體積為兀

B.該圓錐的側面積為4百兀

C.JC=2A/2

D.ZXPXC的面積為百

答案AC

解析依題意，ZJTO=120o,P/l=2,

所以OP=1,OA=OB=V3.

A項，圓錐的體積為:XTrXl/Syxkg故A正確；

B項，圓錐的側面積為兀XHX2=28兀，故B錯誤：

C項，取力。的中點。，連接O。，PD,如圖所示，

則力C_LO。，ACLPD,所以NQ。。是二面角尸-ZC-0的平面角，

則NPOO=45。，所以OP=OQ=1,

故JD=CD=V3^I=V2,

則/C=2加,故C正確；

D項，PD=d12+12=垃,

所以S》4=1X2迎xa=2,故D錯誤.

11.（2025?重慶模擬）如圖，已知正四棱柱48。-4囪。。1的底面邊長為2,側棱長為4,點Eb分別為

BBi,的中點，則（）

A./C」CF

B.平面E4G〃平面QIC

C.三棱錐C-EG尸的體積為:

D.四面體E/C/的外接球的表面積為12K

答案BD

解析如圖，以O為坐標原點，DA,DC,西所在方向分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標系,

zi)-k、

B

則0(0,0,0),4(2,0,0),EQ,2,2),C(0,2,0),Ci(0,2,4),小(2,0,4),F(0,0,2),

對于A,宿=(-2,2,4),CF=(0,-2,2),

宿?樂=_4+8=4W0,故A錯誤；

對于B,設平面上小Ci的法向量為m=(x,v,z),

屆=(-2,0,2),引=(0,-2,2),

m-EC[=0,(—2x+2z=0,

所以\—2y+2z=0,

m-EAi=0

令尸1,則旭=(1,1,1),

元?=(2,0,-2),m=(-2,2,0),

設平面E4c的法向量為〃=(xi,y\yzi),

所以卜3=d=戶］—2向=0，

\wAC=0l-2%i+2為=0,

令》=1,則〃=(1,1,1),

所以〃=m,所以平面E4G〃平面E4C,故B正確；

111O

對于C，V三棱錐jC/可三棱正町為XS.gXOC《X^XdXZXZ。，故C錯誤；

對于D,三棱錐力-ECF的外接球球心為0(1,1,1),

由OC=OA=OE=OF=?

得四面體口3的外接球的表面積為4TCX(V3)2=1271,故D正確.

三、填空題(每小題5分，共15分)

12.由斜二測畫法得到的一個水平放置的三角形的直觀圖是等腰三角形，底角為30。，腰長為2,如圖，那

么它在原平面圖形中，頂點8到x軸的距離是.

答案2V2

解析過點8作8c〃_/軸，交K軸于點C,如圖，

在△0BC'中，/小。。=30。,

N8'C'O'=135。，OB=2,

由正弦定理

B'C_O'B'

sin30°sinlSS0,

2x」

于是得4'C'T=夜，由斜二測畫法規則知，

V2

T

在原平面圖形中，頂點8到x軸的距離是2a.

13.如圖所示的幾何體是底面積為S,側高為"，/”，力3(兒＜/?2＜九)的直三棱杜斜劈，則其體積為.

宙’

A)

hx

A

答案3s（加+力2+〃3）

解析如圖,斜劈片/三校任4BC-/TMM+P三極粕B'WMO三極槍B'-A'C'.Mi

而/三校就ZT-.4'C'M=/三檢銀N-A'C'M=『三校"CA'NXf^iJ^-h1),

J牧柱ABC-ArNM=Sh）,/三愴箱所-月NA.S（02-1?1）,

所以％=S/h《S優2-加）宜1（加-小尸￡（田+加+九）.

OOO

14.（2024?全國甲卷）已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為打，下底面半徑均為，?，圓臺母線長分別為2&2力）,

3（2〃.），則圓臺甲與乙的體積之比為

答案v

4

解析由題可得兩個圓臺的高分別為

h干=42（廠2-丁1）］2-（丁2一丁1）2=75（廠2-門），

h乙=J［3（r2-丁1）］2-（丁2-丁1）2=2、②"I）,

%*s」：+s下呼百）五甲

所以^--------/=—

%*上+S卜+代"）八乙

_八甲一國&2-白）

h,2x^2（r-ri）4'

J