浙教版初升高一數學暑假預習練習題：十字相乘法（原卷版+解析）

十字相乘法

利用十字交叉線來分解系數，將二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法，主要分為以下兩類：

1.二次項系數是1的二次三項式的十字相乘法

對首項是1的二次三項式的十字相乘法主要就是要能夠運用公式/+(Q+D)C+C力=S+Q)?(/+/))

進行因式分解.

對十二次三項式/+砒+C,若存在47=°「則/+厄+c=(①+p)3+g),即把常數項分解

[p+q=b

成兩個數的積，且其和剛好等于一次項系數.

技巧1：在對—+6/+c分解因式時，先從常數項c的正負入手：若c>0,則〃、q同號，若cVO,

則p、q異號，然后根據一次項系數的正負進一步確定p、q的符號；

技巧2：若/+阮+。中的灰。為整數時，要先將c分解成兩個整數的積，然后再考慮這兩個整數和

能否等于一次項系數(再分解時，要考慮分解的多種可能，直至湊對為止).

2.二次項系數不為1的十字相乘

在二次三項式以f2+H+c(a于0)中，如果二次項系數。可以分解成兩個因數的枳，常數項。也可以分

解成兩個因數的積，即該，將由、a?、q、Q按照以下進行排列：

[C=C1C2

Qiq

X

a2c2

。2cl

按照斜線交叉相乘，再相加，得到。1。2+。26，若它正好等于二次三項式。①2+就+“。于0)一次項系

數b,即aiCz+gq=b,那么二次三項式就可以分解成兩個因式Qii+q與02]+。2之積，即

?2+64+c=(a1E+Ci)(a-,x+c9).

PS：若二次項系數是負數，可以先提個負號，分解括號里面的二次三項式，最后結果不要忘記添上負號.

例I：二次項系數為1的二次三項式

分解因式：

(1)/-32+2(2)/+4￡_12

(3)xy—l+x—y(4)(x2+x)2—8(T2+Z)+12

【解答】見解析

［解析］(1)——3c+2=(%—1)(/—2)；

(2)/+4/—12=(2—2)(n+6)；

(3)zy-1+z一夕=眼+(x—y)—1=(/—l)(u+l)；

(4)(/+冷2_8(/2+/)+12=(/+①一2)(①2+c—6)=(z+2)(T—1)Q+3)Q—2)

例2：二次項系數不為1的二次三項式

分解因式：

(1)57+6￡—8(2)14/-67聞+18夕2

【解答】見解析

［解析］(1)5/2+6z—8=(x-F2)(5x—4)；

(2)14x2—67xy+18?;2=(2x—9?/)(7x—2y).

例3：待定系數法求字母的值

若/—獷+祖/+5y—6能分解或兩個一次因式的積，則根的值為()

A.1B.-1C.±1D.2

【解答】C

［解析］——J?+mx+一6=(t+g)(1一y)+mx+5沙一6,-6可分解成(-2)X3或(-3)X2,

分以下兩種情況考慮：

①①+〃-2②/+g-3

X，X,

x—y3x-y2

由①可得用=1，由②可得〃2=-1，故選C.

例4：解決幾何類問題

已知長方形的長、寬分別為小.周長為16,且滿足z—g——+2陰一力+2=0,求此長方形的面積.

【解答】15或15.75

［解析］'：x—y—X2+2xy—獷+2=0,

［X2—2xy+/)—{x—y)—2=0,

?>-y)2~(x-y)-2=0,

—2)(ar-i/4-1)=0,

.'.x—y—2=0或c—g+1=0.

又<2+夕=16+2=8,

.[x—y—2=()x—y-\-l=O

'Ic+g=8N+U=8

J1=5fJc=3.5

解得〈、或<dl，

[U=3[4=4.5

???長方形的面積為15或15.75.

例5：十字相乘法綜合

求證：若擊一y是7的倍數，其中X、)，都是整數，則8*+10也-3/是49的倍數.

【解答】見解析

【解析】證明：..FN—y是7的倍數，設4r—y=7m(/〃為整數)，則y=4%—7m,

8x2+10xy—3y2

=(2x+3t/)(4x—y)

=(2x+12a;—21M)(4c—4a:4-7m)

=7m(14a;—21m)

=49m(2x—3m)

切是整數，??.m,⑵-3m)也是整數，.??8/+10窈-3r是49的倍數.

鞏固練習

一.選擇題

1.把多項式/+x-2分解因式，下列結果正確的是()

A.(x+2)(x-1)B.(x-2)(x+1)

C.(x-I)2D.(2r-1)(x+2)

2.下列因式分解正確的是()

A.4〃/-4〃?+1=4mCm-1)

D.a3b2-a2b+a2=a2Cab2-〃)

C.J?-lx-10=(x-2)(x-5)

D.10x2y-5孫2=Sxy(2x->,)

3.下列多項式不能分解的是()

A.(ab+cd)2+(be-ad)2B.7-)?-6X+9

C.A2-2xy-3)?+4x+8y-5D.X2+ZV+4

4.把多項式(x-y)2-2(x-.v)?8分解因式，正確的結果是()

A.(.r-y+4)(x->4-2)B.Cx-y-4)(x-y-2)

C.(x-y-4)(x-y+2)D.(x-)H-4)(X-y-2)

二.填空題

5.若對于一切實數x,等式x2-px+q=(x+1)(x-2)均成立，則p2.4q的值是.

6.分解因式：x2?3沖-4)2=.

7.若15=(1+3)(A*+n)j則〃l〃的值為.

8.若j^+tnx+n分解因式的結果是(x+2)(x-I),貝！1，〃+〃的值為.

9.閱讀下列文字與例題：將一個型如x2+px+q的二次三項式因式分解時，如果能滿足q=mn且〃=/〃+〃，

則可以把/+px+q因式分解成(x+m)(x+〃).

例如(1)7+3x+2=(x+1)(x+2)

(2)x2-3x-10=(x-5)(x+2).

要使二次三項式：+/內-6能在整數范圍內分解因式，則m可取的整數為.

10.多項式Lr2-9xy-10),可分解因式得(nvc+2y)(3.r-5y),則A=?m=.

三.解答題

11.分解因式：A12X-189,分析：由于常數項數值較大，則將7+12》-189變為完全平方公式，再運用

平方差公式進行分解，這樣簡單易行.

,AlZv-189=.?+2*6,\+62-36-189

=(x+6)2-225

=(干+6)2-152

=(x+6+15)(x+6-15)

=(x+21)(x-9)

請按照上面的方法分解因式：』-60x+884.

12.李偉課余時間非常喜歡研究數學，在一次課外閱讀中遇到一個解一元二次不等式的問題：?-〃-3>0.

經過思考，他給出了下列解法：

左邊因式分解可得：(x+l)(x-3)>0,

(3+1>0(z+lVO

[了-3>0或[C-3V0'

解得x>3或xV-1.

聰明的你，請根據上述思想求一元二次不等式的解集：(X-1)G-2)(x-3)>0.

13.在對某二次三項式進行因式分解時，甲同學因看錯了一次項系數而將其分解為2(x-1)(x-9),乙同

學因看錯常數項而將其分解為2(x-2)(x-4),請你寫出這個二次三項式，并將其進行正確的因式分解.

14.我們知道，多項式J+6/9可以寫成(。+3)2的形式，這就是將多項式〃2+6"9因式分解，當一個多

項式(如M+64+8)不能寫成兩數和(成差)的平方形式時，我們可以嘗試用下面的辦法來分解因式.

a2+6a+8=a2+6a+9-1

=(〃+3)2-1

=[33)+1][(a+3)-1]

=(a+4)(a+2)

請仿照上面的做法，將下列各式分解因式：

(1)x2-6.v-27

(2)x2-2xy-3/.

15.找出能使二次三項式/+辦?6可以因式分解(在整數范圍內)的整數值小并且將其進行因式分解.

16.先閱讀下列解題過程，然后完成后面的題目.

分解因式：￥+4

X,+4=/+4X2+4-41=(r+2)2-4X2

=(?+2v+2)(/-2x+2)

以上解法中，在丁+4的中間加上一項，使得三項組成一個完全平方式，為了使這個式子的值保持與產+4的

值保持不變，必須減去同樣的一項.按照這個思路，試把多項式產+//+),4分解因式.

十字相乘法

利用十字交叉線來分解系數，將二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法，主要分為以下兩類：

1.二次項系數是1的二次三項式的十字相乘法

對首項是1的二次三項式的十字相乘法主要就是要能夠運用公式/+3+Q+Q)-(x+b)

進行因式分解.

對于二次三項式/+H+c,若存在IP?。，則/+H+c=3+p)Q+g),即把常數項分解

成兩個數的積，且其和剛好等于?次項系數.

技巧1：在對/+H?+c分解因式時，先從常數項c的正負入手：若c>0,則p、q同號，若cVO,

則P、1異號，然后根據一次項系數的正負進一步確定〃、q的符號；

技巧2：若/+厲;+c中的氏c為整數時，要先將c分解成兩個整數的積，然后再考慮這兩個整數和

能否等于一次項系數(再分解時，要考慮分解的多種可能，直至湊對為止).

2.二次項系數不為1的十字相乘

在二次三項式成2+H+C(QW0)中，如果二次項系數〃可以分解成兩個因數的積，常數項。也可以分

解成兩個因數的積，即4°=8的，將%、。2、0、&按照以下進行排列：

IC=C1S

的Q

X

QQ+。2cl

按照斜線交叉相乘，再相加，得到Q1Q+Q2&，若它正好等于二次三項式。/+法+“。/0)一次項系

數b,即01。2+。2。1=6,那么二次三項式就可以分解成兩個因式。速+。1與021+。2之積，即

2

ax+6c+c=(a1￡+C))(OQx+c2).

PS：若二次項系數是負數，可以先提個負號，分解括號里面的二次三項式，最后結果不要忘記添上負號.

例1：二次項系數為1的二次三項式

分解因式：

(1)/_3N+2(2)/+4/-12

(3)xyx—y(4)(/+/)2_8(/+力+12

【解答】見解析

［解析］＜1)1—3z+2=Q—1)Q—2)；

(2)/+4%—12=(%—2)(n+6)；

(3)xy—l+x—y=xy-^{x—y)—1=(x—1)(7/+1)；

(4)(x2+x)2—8(小十i)+12=(①之十①一2)(①2+￡-6)=Q+2)(①一1)(t+3)Q—2)

例2：二次項系數不為1的二次三項式

分解因式：

(1)5i+6/—8(2)14——67巾+18g2

【解答】見解析

［解析］(1)5/+62一8=Q+2)(5z—4)；

(2)14/2—67%+18y2=(2N—9y)(7①—2y).

例3：待定系數法求字母的值

若——力+〃松+5y-6能分解成兩個一次因式的積，則機的值為()

A.1B.-1C.±1D.2

【解答】C

(解析］/—g2_|_mx+5y—6=(I+y)(x—y)+rnx+5y—6,-6可分解成(-2)X3或(-3)X2,

分以下兩種情況考慮：

①c+g-2②i+g-3

X,X,

x—y3x-y2

由①可得川=1,由②可得m=-l,故選C.

例4：解決幾何類問題

已知長方形的長、寬分別為X、戶周長為16,且滿足E—J—/+2磔/-/+2=0,求此長方形的面積.

【解答】15或15.75

［解析］,：x—y—T22xy-y2+2=0,

［x2-2xy-\-y2)-(x-y)-2=0,

-y)'2-(x-y)-2=0,

二.心一〃-2)Gr-j+l)=0,

—g—2=0或c—g+l=O.

又<i+y=16+2=8,

f/一沙一2=0f(i—沙+1=0

Q或<.Q

c+g=8e+u=8

解得｛工或仁工’

Iy—△In

，長方形的面積為15或15.75.

例5：十字相乘法綜合

求證：若4i—g是7的倍數，其中％、)，都是整數，貝。8/+102/-3才是49的倍數.

【解答】見解析

【解析】證明：’.Fn—9是7的倍數，設4N—“=7772(m為整數)，則y=4/—7m,

8①2+10xy—3?/2

=(2c+3g)(41—y)

=(2x+12/一21m)(4①—4rr4-7m)

=7m(l4x—2177?)

=49m(2；r—3m)

,.?小〃7是整數，,771(2%—3772)也是整數，，822+10儂-3"2是49的倍數.

鞏固練習

一.選擇題

I.把多項式/+X-2分解因式，下列結果正確的是()

A.(x+2)(x-1)B.(x-2)(x+l)

C.(x-1)2D.(2x-I)(x+2)

【解答】A

【解析】』+x-2=(x-1)(A-+2),故選：4.

2.下列因式分解正確的是()

A.4"?-4〃?+1=4/〃(〃？-1)

B.A3/72-M8+〃2=〃2-b)

C.A2-7X-10=(x-2)(x-5)

D.10/y-5X),2_5(y(2x-y)

【解答】D

【解析】A、4m2-4m+l=(2m-1)2,故本選項錯誤;

B、a3b2-crb+c^a1(ab2-b+\),故本選項錯誤；

C、(x-2)(x-5)=？-7x+10,故本選項錯誤；

D、lOf,-5盯2=肛(io.r-5_v)=5xy(2x-y),故本選項正確；

故選：D.

3.下列多項式不能分解的是()

A.(ab+cd)2+(be-ad)2B.x2-y2-6x+9

C.x1-2xy-3)2+4x+8廠5D.x2+2,v+4

【解答】D

【解析】A.Cab+cd)2+Cbc-ad)2=(〃2+c2)"2+成)，故本選項能分解；

B.x2-y2-6A+9=(x-3+y)Cx-3-y),故本選項能分解；

C.x2-2xy-3>^+4^+8y-5=(x+.v-I)(x-3y+5),故本選項能分解：

D./+2計4不能分解，故本選項符合題意；

故選：

4.把多項式(%->,)2-2(X-y)-8分解因式，正確的結果是()

A.(x-y+4)(x-y+2)B.(x-y-4)(x-y-2)

C.(x-y-4)(x-y+2)D.(x-y+4)(x-y-2)

【解答】C

［解析J(x->,)2-2(x-y)-8,

=(x-y-4)(x-y+2).

故選：C.

二.填空題

5.若對于一切實數x,等式/-〃i+g=G+1)(x-2)均成立，則4。的值是

【解答】9

【解析】由題意得：-p—I-2>q=lX(-2),

工〃=1,q=-2,

Ap2-4^=1-4X(-2)=1+8=9.

6.分解因式：x2-3孫-4y2=.

【解答】(x-4y)(x+y)

【解析】『-3xy-4y2=(x-4y)(x+y),

7.若?+"ir-15=(x+3)(x+〃)，則〃的值為.

【解答】3

【解析】?/(x+3)(x+〃)=7+or+3x+3〃=/+(〃+3)x+3〃，

.jm.=〃+3

??-15=3n'

解得：m=-2,n=-5,

則〃？-〃=-2+5=3.

8.若/+孫+〃分解因式的結果是(x+2)(x-I),則m+〃的值為.

【解答】-1

【解析】Vx^+wx+n分解因式的結果是(x+2)(x-1),

j?+mx+n=x^+x-2,

ni=\*〃=-2,

ni+fi=1-2=-1.

9.閱讀下列文字與例題：將一個型如/+〃戶4的二次三項式因式分解時，如果能滿足q=/〃〃且〃=，〃+〃,

則可以把x^+px+q因式分解成(x+m)(x+〃).

例如(1)，+3x+2=(X+1)(X+2)

(2)x2-3x-10=(x-5)(A+2).

要使二次三項式x2+切x?6能在整數范圍內分解因式，則機可取的整數為.

【解答】-5,-1,1,5

【解析】V-6=-1X6=-2X3=1X(-6)=2X(-3),

，陽=-1+6=5或陽=-2+3=1或m=\+(-6)=-5或m=2+(-3)=-I.

10.多項式依2--lOy2可分解因式得(加計2y)(3x-5y),則4=,m=.

【解答】9,3

【解析】Vilx--9xy-10y2=(九壯2y)(3x-5j),

:?舊-9xy-IOy2=3/?ir2-5nixy+6xy-10)^,

.J3m=k

?,-5m+6:-9，

解律卜=[

m=3

三.解答題

11.分解因式：?+12A-189,分析：由于常數項數值較大，則將7+12x-189變為完全平方公式，再運用

平方差公式進行分解?，這樣簡單易行.

?+12A-189=?+2*6X+62-36-189

=(x+6)2-225

=(x+6)2-I52

=(x+6+15)(x+6-15)

=(x+21)(x-9)

請按照上面的方法分解因式：x2-60A+884.

【解答】(x-26)(x-34)

【解析】』-60x+884=/-2X30X+900-900+884=(x-30)2-16=(%-30+4)(x-30-4)=(x-26)

(A-34).

12.李偉課余時間非常喜歡研究數學，在一次課外閱讀中遇到一個解一元二次不等式的問題：/-2x-3>0.

經過思考，他給出了下列解法：

左邊因式分解可得：(x+l)(x-3)>0,

(方+1>0(x+1<0

\"3>0或、z-3Vo'

解得x>3或xV-1.

聰明的你，請根據上述思想求一元二次不等式的解集：(x-1)(x-2)>0.

【解答】x>3或1cxe2

【解析】由題意知x-1、x-2、％-3中負數的個數為偶數個，

①一1>0

x-2>(),解得：x>3；

(x—3>0

{x-l>0

②<x-2<0,解得：1VXV2；

[2-3V0

AA>3或l<x<2.

13.在對某二次三項式進行因式分解時，甲同學因看錯了一次項系數而將其分解為2(x-1)(x-9),乙同

學因看錯常數項而將其分解為25-2)(x-4),請你寫出這個二次三項式，并將其進行正確的因式分解.

【解答】2?-I2x+I8=2(x-3)