2026年高考數學一輪復習檢測卷02（學生版+解析）

2026年高考數學一輪復習檢測卷02（全國通用）

（考試時間：120分鐘；滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫

在答題卡上。

2.回答第1卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.（5分）（2025?陜西西安?模擬預測）己知集合4={%氏2一%工0},8=*總工1},則4nB=（）

A.（0,1]B.（0,1）C.[0,1]D.[1,0）

2.（5分）（2025?福建泉州?模擬預測）若（l+i）z=2,則在復平面內z對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（5分）（2025?廣西?模擬預測）為落實“雙碳”目標，某環保組織調研10個國家2024年度的人均碳排放

強度（單位：噸/人?年），得到數據如下：2,4,5,7,8,9,11,12,13,15.則該組數據的30%分位數

是（）

A.6B.7C.8D.9

4.（5分）（2025?北京海淀?二模）設。、匕、cER,Q兒工0,且a>匕>c,則（）

A.^+->2B.-+^<2

bcab

C.2a>b+cD.a+b>c

5.（5分）（2025?江西新余?模擬預測）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=b,且華=

sin26

2（l+V5sinC）.則？=（）

A.2V3B.3V2C.V3-1D.

6.（5分）（2025?廣東?模擬預測）已知雙曲線。喘一3=1（。>0,/?>0）的左，右焦點分別為a,%人是雙

曲線C上一點，8為線段4用的中點.若因尸2|=|4尸21=2出尸2|，則。的離心率為（）

A.V3+1B.2C.軍D.V2

7.（5分）（2025?遼寧鞍山?模擬預測）已知正項數列｛即｝為等比數列，且5a2是。4與3a3的等差中項，若g=2,

則該數列的前5項和為（）

A.10B.15C.30D.31

8.（5分）（2U25?河北石家莊?三模）已知/（X）是定義在R上的奇函數，當必、不€（。，+8）且與工小時，

都有過"口竿>。成立，**2025）=2025,則不等式/'（%）-4>0的解集為（）

A.（-co,-2025）U（2025,4-oo）B.（-2025,0）U（2025,+oo）

C.（-2025,2025）D.（一表，康）

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.（6分）（2025?廣東佛山?三模）生活經驗告訴我們，兒子的身高與父親的身高不僅線性相關，而且還是

正相關.有人調查了10名男大學生的身高y（單位：cm）及其父親身高x（單位：cm）的數據

（左,yi）（i=l，2,…J0），已知其中一組數據為（182,185）,且￡以々=1750,求得經驗回歸方程為夕=0.65%+

63,并繪制了如下殘差圖（殘差=觀測值-預測值），則

八殘差/cm

4--------------------------；------------j

2..............................?.....................i

0^122__,__,__,_?

_165,?,175180185190：父親身禽/cm

-2...................................?................\

??

-4-----------------------------------------；

A.這10名男大學生的身高的平均值為176.75

B.由殘差圖可判定兒子身高與父親身高的關系不符合上述回歸模型

C.數據（182,185）對應的殘差為3.7

D.去掉數據（182,185）后，重新求得的回歸直線的決定系數R2變小

10.（6分）（2025?江西新余?模擬預測）已知函數/（%）=%（鏟—1）一出11%（。€幻，則（）

A.若Q=1,則/（%）N1B./（幻可以有2個極值點

C.若QM0,則/（%）是增函數D.若/（%）=（a-1）%有兩個零點巧,％2，則a>e

11.（6分）（2025?河北邯鄲?一模）如圖明角花瓣”圖形可以看作由拋物線C:x2=2py（p>0）繞坐標原點

分別旋轉，n,?后所得三條曲線與。共同圍成的區域（陰影區域），48分別為。與另外兩條曲線在第一

象限、第二象限的交點，若|力研=8,陰影部分的面積為S,則（）

B.△408的面積為16

C.S的值比32小

D.直線y=x+b截第二象限“花瓣”的弦長可能為1.4

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）（2025?廣西?模擬預測）已知向量ZB滿足回=1,\b\=2,且12G-b\=2,貝以＞+b\=.

13.（5分）（2025?河北秦皇島?模擬預測）設QH0,若曲線f（x）=alna-1）在點（2,f（2））處的切線也是

曲線g（%）=eax~2的切線，則Q=.

14.（5分）（2025?安徽合肥?模擬預測）如圖，這是某零件的結構模型，中間大球為正四面體的內切球，

小球與大球、正四面體的三個面均相切.若A3=12,則該模型中一個小球的體積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

15.（13分）（2025?四川綿陽?模擬預測）已知函數/（%）=V5sin2%+2cos2%-1.

⑴求函數/（%）的單調遞增區間及在［0弓］上的值域；

（2）若。為銳角且/"（0）=V，求cos26的值.

3

16.(15分)(2025?四川廣安?模擬預測)已知橢圓。《+\=1(。：＞匕：＞0)上任意一點「到。的兩個焦點

6(-ZV2,0),“2(2心U)的距離之和為4

(1)求C的方程；

(2)已知直線/:y=3%+m與C相交于人，B兩點,若|48|=5,求m的值.

17.(15分)(2025?四川綿陽?模擬預測)如圖，平面S4CL平面4CB,△S4C是邊長為4次的等邊三角形,

△＜CB為直角三角形，^ACB=90°,BC=4,

(1)當M為A3的中點時，求三棱錐M-BCS的體積;

(2)求二面角A-SB-C的正弦值.

18.(17分)(2025?四川巴中?模擬預測)已知函數f(x)=a%+lnx+l.

(1)當aV0時，求函數/(%)的單調區間：

⑵i寸論函數f(外的零點的個數；

(3)對于任意的無＞0,/(x)＜xe2x恒成立，求a的取值范圍.

19.(17分)(24-25高三上?浙江杭州?期末)阿爾法狗(AlphaGo)是谷歌公司開發的人工智能程序，它第一

個戰勝了圍棋世界冠軍.它可以借助計算機，通過深度神經網絡模擬人腦的機制來學習、判斷、決策.工程師

分別用人類圍棋對弈的近100萬、500萬、1000萬種不同走法三個階段來訓練阿爾法狗(AlphaGo),三個階

段的阿爾法狗(AlphaGo)依次簡記為甲、乙、丙.

⑴測試階段，讓某圍棋手與甲、乙、丙三個阿爾法狗(AlphaGo)各比賽一局，各局比賽結果相互獨立.已知該

棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為j記該棋手連勝兩局的概率為p,試判斷該棋手在第二局與

誰比賽P最大，并寫出判斷過程.

(2)工程師讓甲和乙進行圍棋比賽，規定每局比賽勝者得1分，負者得0分，沒有平局，比賽進行到一方比

另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽.已知每局比賽中，甲獲勝的概率為心乙獲勝的概率為例且

每局比賽結果相互獨立.

(i)若比賽最多進行5局，求比賽結束時比賽局數X的分布列及期望E(X)的最大值；

(ii)若比賽不限制局數，記“甲贏得比賽”為事M,證明：P(M)=A而.

a2+/?2

2026年高考數學一輪復習檢測卷02（全國通用）

（考試時間：120分鐘;滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、注考證號填寫

在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第H卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.（5分）（2025?陜西西安?模擬預測）已知集合4={%氏2一%工0},8=*總工1},則4nB=（）

A.（0,1]B.（0,1）C.[0,1]D.[1,0）

【答案】A

【解題思路】解二次不等式和分式不等式，明確集合4氏再根據交集的概念進行計算.

【解答過程】由/一xwo,§Px（x-l）<0,解得OWxWl,所以力=[0,1].

由,1,移項得/1之0,即等價于仔（1：：『。，解得0<xWl,所以B=（0,l].

則4n8=（0,1].

故選:A.

2.（5分）（2025?福建泉州?模擬預測）若（l+i）z=2,則在發平面內z對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解題思路】利用復數的除法法則將復數2化簡，再利用復數的幾何意義進行判斷即可.

【解答過程】???（l+i）z=2,一二導濡念=一，

在復平面內Z對應的點為（1,-1）,位于第四象限.

故選：D.

3.（5分）（2025?廣西?模擬預測）為落實“雙碳”目標，某環保組織調研10個國家2024年度的人均碳排放

強度（單位：噸/人?年），得到數據如下:2,4,5,7,8,9,11,12,13,15.則該組數據的30%分位數

是（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【解題思路】將己知數據按從小到大的順序排列，求10X30%,結合百分位數定義求結論即可.

【解答過程】數據從小到大為：2,4,5,7,8,9,11,12,13,15,

又10x30%=10x0.3=3,

所以該組數據的30%分位數是千=6.

故選：A.

4.（5分）（2025?北京海淀?二模）設。、氏CER,abc0,且a>匕>c,則（）

A.^+->2B.-+^<2

bcab

C.2a>b+cD.a+b>c

【答案】C

【解題思路】利用特殊值法可判斷ABD選項，利用不等式的性質可判斷C選項.

【解答過程】對于A選項，不妨取a=2,b=1,c=貝吟+'=2-4=-2V2,A錯；

4bc

對于B選項，不妨設Q=-l,b=-2,c=-6,則2+：=2+3=5>2,B錯；

對于C選項，因為a>b>c,由不等式的基本性質可得2a>b+c,C對；

對于D選項，不妨設a=-1,b=-2,c=-2.5,則a+b=-3V—2.5=c,D錯.

故選:C.

5.（5分）（2025?江西新余?模擬預測）在△力BC中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=6,且鬻=

2（l+V3sinC）.M!lj=（）

A.2V3B.3&C.V3-1D.

2

【答案】D

【解題思路】由題干條件和正弦定理得c2=2〃（i+V5sinC）,再由a=b及余弦定理可得。2=2力2（1一

cosQ,聯立化簡得tanC=-號，結合角。的范圍求得C=4代入c?=2爐（1一cosC）求解即可.

【解答過程】由需=2（1+百sin。）及正弦定理可得圣=2（1+BsinC）,c2=2Z）2（1+V3sinC）,

由a=b及余弦定理可得c?=a24-b2-2abcosC=2b2（l—cosC）,

所以2爐（1+VlsinC）=2/（1-cosC）,所以VSsinC=-cosC,故tanC=-g,

又0VC<n,故C=尊所以c?=2爐（1—cosC）=川（2+遍），所以a=2+國，

所以胎學.

D2

故選：D.

6.（5分）（2025?廣東?模擬預測）已知雙曲線。:冬一《=1（。>0/>0）的左，右焦點分別為&尸2,人是雙

曲線C上一點，B為線段AFi的中點.若|吊尸2|=/尸2|=2出尸21，則C的離心率為（）

A.V3+1B.2C.—D.V2

2

【答案】C

【解題思路】根據題意設尸/2I=MEI=2\BF2\=2c,由幾何關系得N&l=2V3c,再根據雙曲線定義知

|/F]|=2c+2a,聯立即可求出離心率e=?.

【解答過程】由題意設IF/2I=\AF2\=2\BF2\=2c,

因為B為線段4a的中點，所以力81BF2,

又IBF2I=c，所以|8&|=V3c,則|40|=2V3c,

根據雙曲線定義知|AF]|=\AF2\+2a=2c+2a,所以2>/5c=2c+2a,

解得￡=",故雙曲線的離心率為今1.

a22

故選：C.

7.15分）（2025?遼寧鞍山?模擬預測）已知正項數列｛斯｝為等比數列，且5a2是。4與3a3的等差中項，若=2,

則該數列的前5項和為（）

A.10B.15C.30D.31

【答案】D

【解題思路】由5a2是叫與3a3的等差中項可得2x5a2=a4+3a3,再利用等比數列的通項公式代入求出的和

q,最后利用等比數列的前幾項和公式求解即可.

【解答過程】因為數列｛斯｝為正項等比數列，設公比為q(q>0),

乂5的是與3a3的等差中項，所以2x5。2=+3的=?a?+3。2。，^2q2+69=20,

解得q=2或q=-5(舍去)，

所以由。2=Qiq解得%=1，

所以該數列的前5項和S5=叫山==31,

l-q1-2

故選：D.

8.(5分)(2025?河北石家莊?三模)已知/(%)是定義在R上的奇函數,當％］、乃W(0,+8)且修時，

都有x2/(x'r"(：2)>0成立,7(2025)=2025,則不等式f(x)-x>0的解集為()

xlx2\xl~x2)

A.(-8,-2025)U(2025,4-oo)B.(-2025,0)U(2025,+00)

C.(-2025,2025)D.(-募，士)

【答案】B

【解題思路】對包吟吟>0進行變形，得出函數g(x)=△2的單調性，再利用函數的單調性和奇偶性解

不等式.

/(X!)r(x2)

【解答過程】由“叫f八：2)〉0可得VX2>0,設函數儀切=盤，XG(O,+00),

xx

X1X2(X1-X2)l~2X

則g(%)在(0,+8)上單調遞增,

又因為/(均為定義在R上的奇函數，9(一%)=止義二°(%)，所以g(x)為偶函數，g(x)在(一8,0)上單調遞減,

-X

而不等式f(x)-x>0=｛需：之羽，

又因為f(2025)=2025,所以g(2025)=g(-2025)=1,

所以不等式的解集為(一2025,0)U(2025,+8).

故選：B.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.(6分)(2025?廣東佛山?三模)生活經驗告訴我們，兒子的身高與父親的身高不僅線性相關，而且還是

正相關.有人調查了10名男大學生的身高y（單位：cm）及其父親身高無（單位：cm）的數據

（孫力）（i=l,2,???」（）），已知其中?組數據為（182,185）,且X理1々=1750,求得經驗回歸方程為夕=0.65%+

63,并繪制了如下殘差圖（殘差=觀測值-預測值），則

八殘差/cm

4

2

0?17。，

165'?,175180185190.父親身需/cm

-2

-4

A.這10名男大學生的身高的平均值為176.75

B.由殘差圖可判定兒子身高與父親身高的關系不符合上述回歸模型

C.數據（182,185）對應的殘差為3.7

D.去掉數據（182,185）后，重新求得的回歸直線的決定系數”變小

【答案】AC

【解題思路】由線性回歸分析的相關知識逐一判斷各個選項即可求解.

【解答過程】（無為滿足經驗回歸方程，代入土=175,計算可得了=176.75,故A正確；

從殘差圖中可以看到殘差比較均勻地分布在以均值為0,橫軸為對稱軸的水平帶狀區域內，滿足上述回歸模

型，故B錯誤；

代入、=182,得歹=181.3,因此殘差為185-181.3=3.7,故C正確：

由殘差圖可知（182,185）是一個極端數據，去掉后重新求得的回歸直線擬合程度會變好，決定系數產變大，

D錯誤.

故選：AC.

10.（6分）（2025?江西新余?模擬預測）已知函數/（4）=%（鏟一l）-alnx（aWl）,則（）

A.若Q=1,則B.八%）可以有2個極值點

C.若Qa0,則/'（%）是增函數D.若=（a-l）x有兩個零點無2，則Q>e

【答案】ACD

【解題思路】A由/'（幻=xex-ln（xex）,設t=xex,x>0=>t>0,設g（t）=t-Int并應用導數研究不等式

判斷；B對函數求導，構造/1（%）=^（>2+工）一%一心應用導數研究其零點判斷；C由函數單調遞增，有

/i（x）=/e*+%（鏟一1）一Q工o恒成立，結合其單調性判斷；D令”不鏟且不>0,問題化為竽二:有兩個

解3￡2,利用導數求左側的單調性和值域求參數范圍判斷.

【解答過程】由于Q=1,則/(%)=xex—(x+Inx)=xex—ln(^ex),

設亡=xe",x>0=t>0,設g(t)=t-ln3則=

所以t6(0,1)時，g'⑴VO,此時g(t)單調遞減;tw(l,+8)時，g\t)>0,此時g⑴單調遞增，

所以g(t)min=g⑴=1，即g(￡)zi，故A正確;

由于尸(無)=ex(x+1)—1—?='"+j)r-a,設九(T)=ex(x24-z)—x—a,

則A'(x)=ex(x2+3x+1)-1=ex(x2+3x)+(ex-l),x>0,

所以九G)>0,h(x)在(0,+8)上單調遞增，即h(x)=。不可能有2個解，

所以/(均不可能有2個極值點，故B錯誤；

若/(外是增函數，則/''(%)>0,即九(%)=x2ex+x(ex-1)-a>0恒成立，

由上知h(x)是增函數，又3>0,只需a40,故C正確；

f(x)=(a-1)%有兩個零點，BPxex-aln(xex)=0有兩個不同的解4力外，

令￡=;^*且無>0,則￡'=(x+l)e*>0,故1=xe*在(0,+8)上為增函數且￡>0,

故原方程有兩個解轉化為?alnt=O有兩個解5匕易知"0,即半4有兩個解J%

設力?)=則,則九，?)=等，當tE(O,e)時九'(￡)>0,tW(e,+8)時”(￡)V0,

VI

所以九⑴在￡G(0,e)上單調遞增，在te(e,+8)上單調遞減，則/i(￡)<h(e)=:,

由tOuu,hQ)-3,￡-?十3,九(()->0,所以0<：<，即a>e,故D正確.

故選：ACD.

11.(6分)(2025?河北邯鄲?一模)如圖“四角花瓣”圖形可以看作由拋物線。:32=29、0>0)繞坐標原點

分別旋轉》7T，T后所得三條曲線與C共同圍成的區域(陰影區域)，48分別為c與另外兩條曲線在第一

象限、第二象限的交點，若|力8|=8,陰影部分的面積為S,則()

A.p=1

B.△/OB的面積為16

C.S的值比32小

D.直線y=%+b截第二象限“花瓣”的弦長可能為14

【答案】BCD

【解題思路】根據對稱性，可求得各曲線的方程，進而求出交點4B,從而判斷選項A和B；對于陰影部分

的面積，利用適當放大，可對選項C進行判斷；最后通過求出弦長與b的函數關系進而求出弦長的取值范圍,

可判斷D.

【解答過程】設拋物線C繞原點順時針旋轉%IT,g后得到的三條曲線分別為G，Q,

拋物線C的焦點為(0,9,故G的焦點為0,0),C2的焦點為(0,-鄉，C3的焦點為(一表0).

22

故G：y2=2p%,C2,.x=-2py,C3:y=-2px,p>0.

對于A：A為曲線C與G交點，聯立方程二暮解得憂/即4(2p，2p).

8為曲線C與C3交點，聯立方程=,解得憑=/,即B(-2p,2p).

U=-2px(y=，P

乂因為|力8|=8=|2p-(-2p)|=4p,故p=2.故A錯誤.

對于B：由上述過程可得，4(4,4),B(—4,4),△4B。的面積為8x4x；=16.故B正確.

對FC：由「對稱性，陰影部分在四個象限的圖形全等，故只討論第一象限部分.

第一象限部分依然根據對稱性，可分為兩份，以下只討論曲線C與直線y=x困成的部分.

設函數/(幻二則((幻=:工故過4點的切線斜率為2.

因此過4點的切線方程為y=2%-4.該切線與％軸交于M,故M(2,0).

S'<SMOM=1X2X4=4.故S<8sMOB=32.故C正確?

對于D：第二象限的“花瓣”圖形rtl曲線C和曲線C3圍成，兩者關于、=-%對稱.

直線＞=%+8與曲線C相交，聯立方程化簡得/一4x-4b=0,且交點在第二象限,

所以x＜0,故X=2-2VF”，所以交點坐標(2-2WT萬,2-26”+6).

由于“花瓣”圖形僅限陰影部分區域，故一442—2行花工0,即1工廳施43.

由于C3與C關于直線y=一刀對稱，直線y=x+b亦關于直線y=一無對稱，

所以直線y=無+b與。3的交點坐標為(2VTTT-2-b,2yfTTb-2).

故弦長1=V2|4+b-4VTTF|

設11+b=m,貝ttZ=y/2\m2—4m+3|=y/2\(m—2)2-1|.

因此當m=l或3時，即b=0或8對，直線y=無+b與兩曲線交于一點，弦長為0；

當m=2時，即b=3時，弦長最長，此時/=夜＞14故弦長的取值可能為1.4.故D正確.

故選：BCD.

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)(2025?廣西?模擬預測)已知向量五，另滿足悶=1,|S|=2,且12d-瓦=2,則忻+b\=.

【答案】V7

【解題思路】由|2五-瓦=2兩邊平方，結合數量積的性質及條件可求心兀再由忻+山=J(2+1)2結合數

量積性質求結論.

【解答過程】因為|2/—陰=2,所以(23-3)2=4/-4益j+京=4,

又同二1,\b\=2,所以G?月=1,

所以+b\=J(d+b)2=a22d-b+b2=y/7.

故答案為：V7.

13.(5分)(2025?河北秦皇島?模擬預測)設QHO,若曲線fa)=aln(x—l)在點(2J(2))處的切線也是

曲線g(x)=egf的切線，貝IJQ=.

【答案】|

【解題思路】首先根據題意求出切線方程，然后對g(x)求導，根據斜率值和切點的函數值求出。的值.

【解答過程】因為尸(幻=三，所以廣(2)=QJ(2)=alnl=0.

所以曲線/(%)在點(2,/(2))的切線方程為：y=a(x-2).

因為"(%)=碇數-2,設曲線g(%)與該切線的切點為(%,認%0-2)).

ax2

所以g'(%o)=ae0~=Q,所以-2=0,&Pax0=2.

ax2

又。(%o)=e0~=a(x0—2)=2—2cz=e°,

所以a=4

故答案為：

14.(5分)(2025?安徽合肥?模擬預測)如圖，這是某零件的結構模型，中間大球為正四面體的內切球,

小球與大球、正四面體的三個面均相切.若AB=12,則該模型中一個小球的體積為.

【答案】V6n

【解題思路】根據題干信息畫出示意圖，根據正四面體的特征分別計算出大小球半徑即可求出小球的體積.

【解答過程】如圖所示，設。為大球的球心，大球的半徑為R,大正四面體的底面中心為E,棱長為力B=12,

連接。4。8,OC,OD,OE,8凡

則BE=；8尸=：x12=4V3,h=AE==,x12=476,

二七四面體=4VO-ABC^

月8c.h=4x^ShABC-R,

.*./?=-h=\/6,

4

設小球的半徑為r,小球也可看作?個小的正四面體的內切球,

且小正四面體的高九小=h-2R=2瓜,

?/=》小二"2灰=當，

,小球的體積為：gnr?="x(y)3=V6n,

故答案為：V6n.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

15.(13分)(2025?四川綿陽?模擬預測)已知函數/(%)=V5sin2%+2cos%-1.

(I)求函數/(外的單調遞增區間及在[0T上的值域；

(2)若9為銳角且/(8)=-|,求cos26的值.

【答案】(1)單調遞增區間為[-2+kTiW+kE(kEZ),值域為

36

⑵-智

710

【解題思路】(1)利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數，再利用正弦函數的性質求解.

(2)由(1)的信息，利用同角公式及差角余弦公式求解.

【解答過程】(1)依題意，函數/'(%)=V5sin2x+cos2x=2sin(2x+》

6

由一工+2/rn<2%+-<-+2kn,kGZ,解得—2+/cir<%<-+kn,kGZ,

26236

所以函數f(%)的單調遞增區間為[-g+ku,I+Mr](kWZ)；

由0&%轉，得注2x+浮，，f(x)min=2sing=-l,/(x)max=2sin]=2,

所以當％e[0,》/(x)的值域為

(2)由(1)知，/(x)=2sin(2x4--),由/(。)=一二得sin(26?+?=—之V0,

6565

由6€(0『)，得28+^6?,?),所以28+7C(ir,7),cos(26+：)=—[1—(—《2=—平,

Zoooooo□o

所以cos28=cos[(284-^)—^]=cos(2/9+^)cos^+sin(26+》sin\

2\[6近、，\、1672+1

=----X-+(--)X-=-------.

52v57210

16.(15分)(2025?四川廣安?模擬預測)已知橢圓C:2+《=l(Q>b>0)上任意一點P到C的兩個焦點

F](-2M0).(2?0)的距離之和為“5.

（1）求C的方程;

（2）已知直線上y=：X+TH與C相交于A,3兩點，若/8|=5,求TH的值.

?5

【答案】（】§+9=1

（2）±V2

【解題思路】（I）根據題意得到美于a,b,c的方程組，解出即可；

（2）先聯立直線方程和橢圓方程，得出根與系數的關系，再結合弦長公式代入計算求解參數.

C=2&,2_10

【解答過程】⑴由題意可得｛2a=475，解得｛）2；孑，

.a2=b2+c2

故C的方程為[十1=1.

124

d+竺=1

（2）聯立《124，得：/+2mx+37n2-12=0.

（y=/+m

△=4m2-4xg（3m2一12）>0,解得m?<y.

（x1+x2=

設4（%1，%）,B（%2,，2），則，9m2-36'

（和2=^—

[4B|=+g）+/）2-4/小

=^xI（-四）2一（9/_36）=，x、6_亞=5,

3y23\4

解得m=±或，即m的值為±&.

17.（15分）（2025?四川綿陽?模擬預測）如圖，平面S4C_L平面力。8,△S4C是邊長為的等邊三角形,

△/C8為直角三角形，^ACB=90°,BC=4,

B

A

（1）當M為A4的中點時，求三棱錐M-8CS的體積;

（2）求二面角4-SB-C的正弦值.

【答案】（1）875；

Q嚕

［解題思路］（1）連接SM,MC,作AC的中點N,連接SM根據面面垂直的性質定理得SN是三棱錐S-ABC

的高，再應用極錐的體積公式求三棱錐M-NC3的體積；

（2）連接根據己知構建合適的空間直角坐標系，標注出相關點坐標，求相關平面的法向量，再應用向

量法求夾角余弦值，進而得到其正弦值.

【解答過程】（1）如圖，連接SM,MC,作AC的中點M連接SM

△S4C是邊長為4國的等邊三角形，N是AC的中點，所以SN=6,SNLAC,

平面S4c1平面ACB,平面SACn平面ACB=AC,SNu平面S4C,

根據面面垂直的性質定理知SN1平面ABC,所以SN是三棱錐S-ABC的高，

由題意知：VM-RCS=2VS-ABC=3乂§、3乂4乂4x^3x6=8V3?

故三棱錐M-8CS的體積為80.

x

(2)連接MM在ZkACB中，ACIBC,MN//BC,所以MN1AC,

結合(1)易知SN,MN,AC兩兩垂直，建立空間直角坐標系N-xyz,如圖,

/.Z(2V3,0,0),3(-2百,4,0),5(0,0,6),。(一26,0,0),

：,SB=(-273,4,-6),SC=(-273,0,-6),^4=(273,0,-6),

設可=Oi，%,Zi）,布=（孫,丫2,22）分別是面ASA、面CSB的法向量,

元?花=-2V3%14-4yl-6Zi=0

則令Zi=1,則由=(V3,3,l),

-sX=2炳Xi-6Zi=0

n^-SB=-2A/3X+4y-6z=0

222令Z2-1，則布=(-V3,0,1)?

,nJ-5C=-2y/3x2—6Z2=0

所以西?荻=-2,|可|同=2,

???瓦與/所成的角的余弦值為cos3=急二一等，正弦佰為sin。=警,

故二面角力-SB-C的正弦值為名.

*J

18.(17分)(2025?四川巴中?模擬預測)已知函數f(%)=ox+ln%+l.

(1)當aV0時,求函數〈工)的單調區間;

(2)討論函數/Xx)的零點的個數;

(3)對于任意的%>0J(x)<疑2久恒成立，求a的取值范圍.

【答案】(1)單調遞增區間是(0,-；)，單調遞減區間是(一，+8)

(2)答案見解析

(3)(-％2)

【解題思路】(1)先求定義域，求導，令/'(%)>0,r(幻<0,求可得單調區間;

(2)參變分離，研究g(x)=-山，％>0的單調性，分類討論進而可求解;

(3)參變分離，構造函數，求其單調性，最終求出極值，最值，求得實數a的取值范圍.

【解答過程】(1)函數/?(%)的定義域為(0,+8),r(x)=a+^(x>0),

由題意，a<0,

令/'(%)=a+：>0,解得OcxV-：；令，(X)=Q+：V0,解得

所以，/Q)的單調遞增區間是(0,—0，單調遞減區間是(一］+8).

(2)f(x)定義域為(0,+8),由f(x)=ax+Inx+1分離參數，得。=一些也

令心)=_噌

函數/(%)的零點的個數即為g(x)與直線y=a的交點個數即為原函數零點個數.

求導得，g'(x)=舞令=0,解得x=1.

當0cxV1時，g，(x)V0,所以g(x)在(0,1)上單調遞減;

當x>1時，g'(x)>0,所以g(x)在(1,+co)上單調遞增.

所以，gCOmin=或1)=T

乂因為gQ)=0,所以，當0vxV;時，g(x)>0；當x>:時，g(x)<0,

又xT+8時，g(x)To.

當a<-1時，g(x)與直線y=a無交點，即函數/(%)無零點；

當a=—l.或。工0時，g(x)與直線y=G有一個交點，則函數f(x)有一個零點;

當-1<a<0時，g(x)與直線y=Q有兩個交點，則函數/(%)有兩個零點.

綜上所述：當。<一1時，函數/?&)無零點；

當。=-1或QNO時，函數/(x)有一個零點；

當-lVaVO時，函數/(均有兩個零點.

(3)設s(%)=\nx+2x,則s(x)在(0,+8)上為增函數,

而$(：)=：—lvO，s(l)=1>0,故s(x)在(0,+8)有唯一解沏.

而由題設可得任意的%>0,?<-Tny恒成立

X

令力(x)=ex—x—1?則d(欠)=ex—1,

當為<0時，(p'(x)<0,函數斗(%)=e"-x—1在(―8,0)上單調遞減，

當《>0時,*'(%)>0,函數￥(%)=鏟一％-1在(0,+8)上單調遞增,

所以/(%)之3(0),所以e"-％-1NO,所以e"N%+l,當且僅當％=0時取到等號，

所以當%>0時，有洸2*=e,nxe2x=e,nx+2x>(Inx4-2x)+1,

當且僅當］nx+2%=0,也就是當％=%時取等號.

所以土詈二工皿也產3=§=2,當且僅當％=%時取等號.

所以QV2,故Q的取值范圍是(一8,2).

19.(17分)(24-25高三上?浙江杭州?期末)阿爾法狗(AlphaGo)是谷歌公司開發的人工智能程序，它第一

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