浙教版初升高一數學暑假預習專練：集合間的運算（原卷版+解析）

集合間的運算

一、并集

一般地，由所有屬于集合A或屬于集合3的元素所組成的集合，稱為集合A與8的并集，記作：AUB

讀作:“4并8”,即：AUB={x\xeA,或xwB}

Venn圖表示如下:

1.“xcA,或xc/T包含三種情況：但x任8”；民但x圮A”；“XEA,且XEB”.

2.兩個集合求并集，結果還是一個集合，是由集合A與8的所有元素組成的集合(重復元素只出現一次).

一、并集

一般地，由屬于集合4且屬于集合8的元素所組成的集合，叫做集合人與8的交集；記作：AC8,讀

作：“A交5”,即ACI叼小”,且％€團；

交集的Venn圖表示如下:

1.并不是任何兩個集合都有公共元素，當集合A與8沒有公共元素時，不能說A與8沒有交集，而是

2.概念中的“所有”兩字的含義是，不僅“408中的任意元素都是4與B的公共元素”，同時“A與8的公共

元素都屬于ACI8”.

3.兩個集合求交集，結果還是一個集合，是由集合4與8的所有公共元素組成的集合.

三、集合間運算的常見結論

AcBqA,AcBqB,AnA=A,An0=0,AcB=BcA

A三ADB,BCAUB,AUA=A,AU0=A,AOB二BDA

(^A)uA=U,(UA)CA=0

若則AqB,反之也成立

若AUB=B,則A=B,反之也成立

若X￡(AC18),則XEA且XEB

若X￡(4U4),則X￡A,或

例I:并集

設A、B分別是一元二次方程2占/次+*0與6『+(2-〃忒+5+%0的解集，且ACIB={；},求人UB.

【解答】AU8={),-4}

乙O

【解析】VAPB={

：是方程2x2+p.v+t/=0的解，

/I\2111

則有：2(引+5p+q=o(1),同理有：6(2)4(2-〃>2+5+行0(2)

聯立方程(1)(2)得到：<'p=7.,

7=-4

，方程(1)為212+7*4=0,

???方程的解為：x\=X2=-4?X=/

-—4

T

由方程⑵6『-5]+1=0,解得：xj=4,X4=4?

乙O

***B=(,2f.9則AUB—{3，Y)，

例2：交集

設集合A={x|x=3A,AwZ},B={y|y=3A+l,ZeZ},C={z\z=3k-^2,keZ}

。={卬?卬=6A+I,A：EZ},求ApiB,Ancone,8n。.

【解答】.,.月門區=40。=8/1。=0,80。=。

【解析】先將集合A、B、C、D轉化為文字語言敘述，以便弄清楚它們的構成，再求其交集口1可.

集合力=匕"=3”,於eZ)表示3的倍數所組成的集合；

集合B=&|c=3K：+l#￡Z)表示除以3余I的整數所組成的集合;

集合。=仁也=3卜+2/￡Z)表示除以3余2的整數所組成的集合;

集合。={x\x=6k+1,k&Z}表示除以6余1的整數所組成的集合;

.\AQB=AQC=BC\C=0,BC}D=D.

例3：并集、交集綜合

已知U=R,集合A二{xIIWx<4},8={xIaWxWa+Z}.

(1)若a=3,求A(3B,8n@A)；

(2)若BqA,求〃的范圍.

【答案】(1)AU8={xI1WXW5),BC(九⑷=SI4<①15〉；(2)14W2

【解?析】(1)若a=3,，8={xI3?}.

BA^B={xI1?5},

(C/r4)=(/V1或/>4},

aBCl(Ct/4)={z|4VzW5}.

(2)團4={xIl〈xW4},B={xI〃WxWa+2}.

。21

0'即

aW2

解得lWa<2.

鞏固練習

一、選擇題

1.某學校高三教師周一、周二、周三開車上班的人數分別是8,10,14,若這三天中至少有一天開車上班

的職工人數是20,則這三天都開車上班的職工人數至多是（

A.8B.7C.6D.5

2.設全集U=Z,A={-1,0,2,4,7,8},B={-2,-1,I,3,4,8},則韋恩圖中陰影部分表示的

{-2,1,3,4}C.{-2,1,3}D.{0,2,7}

3.對于任何集合S,用⑸表示集合S中的元素個數，用〃（5）表示集合S的子集個數.若集合人，B滿足

條件：|川=2017,且〃（A）+〃（B）=n（AU8）,則依A8|等于（）

A.2017B.2016C.2015D.2014

4.已知集合A={(x,y)\y=2x-3},B={(x,>>)\y=m},若AnB=0,則實數〃?的取值范圍是(

A.〃？V3B.C.〃忘-3D.m<-3

二、填空題

5.已知集合4={〃，b,2},B=[2,〃，2aj,且則a=.

6.已知集合A={)，|)>/+]或),<〃},8={y|2WyW4},若APBW0,則實數。的取值范圍是

7.已知集合4={1,3,近},B={1,〃?},AUB=A,則/〃=.

8.設集合4={7,1,3},8=伍+2,層+4},AG8={3},則實數。=.

9.設A={x|xWl或工33},4={.r|aWxWa+l},A「1H=4,則。的取值范圍是.

三、解答題

10.設全集為R,A={.v|3<x<7},5={A|4<X<10},

(1)求CR(AUB)及(CRA)A8；

(2)C=*|a-4WXWa+4},且AAC=A,求〃的取值范圍.

11.已知集合A={x|2?aWxW2+〃},B=1或x24}.

(1)當4=3時，求AA8.

(2)若408=0,求實數。的取值范圍.

12.已知集合4={%卜＜?I,或匕＞2},B={x|2〃?1WXW〃+3}.

(1)若p=-y求AC&

2

(2)若An8=S求實數〃的取值范圍.

13.設集合M={M(x+a)(x-1)WO}(。＞0),"={乂41-4x-3V0}.

(1)若MUN={X|-2WXV3},求實數〃的值；

2

(2)若(CRM)UN=R.求實數。的取值范圍.

14.設全集U=R,集合A={x|-1W%V3},B={x|2x-4Wx-2).

(1)求AA(CuB)；

(2)若函數/(x)=lg(2x+a)的定義域為集合C,滿足AGC,求實數。的取值范圍.

15.已知集合人4巾2-4x720},集合B={x|2〃WxWa+2}.

(1)若a=-1,求AGB,AUB；

(2)若An8=8,求實數。的取值范圍.

16.已知集合4=32^?51?1220},B={)b'=3'+1(x>0)}?

(1)求集合AD3,(CRA)U3；

(2)若集合C={x|/n?2?2/n}且(CRA)nC=C,求機的取值范圍.

17.設全集U=R,集合A=*|lWxV4},B={x\x2+5ax+6a2^0]

(1)若。=?1,求BCA,BOQvA；

(2)若AU8=A,求實數。的取值范圍.

集合間的運算

一、并集

一般地，由所有屬于集合A或屬于集合8的元素所組成的集合，稱為集合A與8的并集，記作：AUB

讀作:“A并5”,即：AUB={x\xeAt或xwB}

Venn圖表示如下：

1.“XWA,或XWB”包含三種情況：“_￥￡4但/任3”；“不￡民但^^4”；“工￡4,且￥€8”.

2.兩個集合求并集，結果還是一個集合，是由集合A與4的所有元素組成的集合（重復元素只出現一次）.

二、并集

一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集；記作：AfW,讀

作：“A交8”，即/15={木”,fixGB}；

交集的Venn圖表示如下:

1.并不是任何兩個集合都有公共元素，當集合4與B沒有公共元素時，不能說人與8沒有交集，而是

4n笈=0.

2.概念中的“所有”兩字的含義是，不僅"CB中的任意元素都是A與B的公共元素”，同時“4與8的公共

元素都屬于ACS”.

3.兩個集合求交集，結果還是一個集合，是由集合A與3的所有公共元素組成的集合.

三、集合間運算的常見結論

AnBoA?AcBqB,AnA=A,An0=0,AnB=BnA

A^ADB,BCAUB,AUA=A,AU0=A,AuB=BuA

(瘩A)uA=U,(UA)CA=0

若ADB=A，則AqB,反之也成立

若AU8=B，則AqB,反之也成立

若x￡(4n8),則x"且XEB

若X￡(4U8),貝或

例I:并集

設A、B分別是一元二次方程2A2+/ZT+行0與6『+(2-〃)*+5+〃=0的解集,HAC\B={g},求八U8.

【解答】AU8={〈，-77,-4)

【解析】???ACIB={<},

工1是方程2/+〃工+夕=0的解，

/1\2111

則有：2(引+qp+q=O⑴，同理有：6(5)2+(2-p>2+5+行0(2)

聯立方程(1)(2)得到：<,

{q=-4

，方程(1)為28744=0,

，方程的解為：。產八=4二.4={1,-4卜

由方程⑵6f-5x+l=0,解得：X3=i,XA=J,

乙o

；?B={4,4},則4U8={4>-4}.

NDZo

例2：交集

設集合A={x\x=3kyk^Z},B={y\y=3k+Vk^Z},C={z|z=3%+2,Z￡Z}

。={wiw=6&+i?￡z},求An仄Anc^ncBn。.

【解答】.,.4ri7?=/ir)c=，cc=0,0cio=。

【解析】先將集合A、B、C、D轉化為文字語言敘述，以便弄清楚它們的構成，再求其交集即可.

集合/=QI)=3k,k￡Z)表示3的倍數所組成的集合；

集合?7=(2|c=3k+14：eZ)表示除以3余1的整數所組成的集合;

集合C=SI①=3卜+2/￡Z}表示除以3余2的整數所組成的集合;

集合。={N|c=6a+l,kwZ)表示除以6余I的整數所組成的集合;

：.ACyB=AOC=BC}C=0,BnD=D.

例3：并集、交集綜合

已知U=R,集合A={xllWxW4),8={戈IaWxWa+Z}.

(1)若a=3,求AI3B,8n@A);

(2)若BqA,求〃的范圍.

【答案】(1)AU8={x|1W*W5},8QQ4)=34V4W5);(2)1W〃W2

【解析】(1)若。=3,；?5={xI3WxW5}.

a40B={xI14W5},

(CrX)=(《VI或￡>4),

HBD(CtM)=?4V④，5}.

(2)團8曰，A={xI1?},8={xIaWx&a+2).

alla^l

即

a+2W4a42

解得lWaW2.

鞏固練習

一、選擇題

1.某學校高三教師周一、周二、周三開車上班的人數分別是8,10,14,若這三天中至少有一天開車上班

的職工人數是20,則這三天都開車上班的職工人數至多是（）

A.8B.7C.6D.5

【解答】C

【解析】設周三，周二，周一開車上班的職工組成的集合分別為A,B,C,集合4,B,C中元素個數分別

為〃(A),〃(B),n(C)>

則〃(A)=14,n(8)=10,n:C)=8,n(AU8UC)=20.

因為〃(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(ACB)-n(AAC)-n(BAC)+n(AABnO,且〃

(XPB)2〃(AABnO,n(AAC)2〃(AOBDC),n(BP。)2〃(APBCC),

141()820

所以14+10+8?20+〃(AGBAC)23〃(AABPC),即〃(ACBAC)++-=6<

2.設全集U=Z,A={-1,0,2,4,7,8},B={-2,-1,1,3,4,8),則韋恩圖中陰影部分表示的

【解答】C

【解析】圖中陰影部分表示的集合中的元素是在集合8中，但不在集合A中.

又4={?1，0,2,4,7,8},B={-2,-1,1,3,4,8},

則右圖中陰影部分表示的集合是：{?2,1,3}.

3.對于任何集合S,用均表示集合S中的元素個數，用〃(S)表示集合S的子集個數.若集合A,8滿足

條件：|川=2017,且〃(A)+〃(B)=n(AU5),則依0網等于()

A.2017B.2016C.2015D.2014

【解答】B

【解析】設網=x,|AU8|=)，，

川+|B|-14nBi=|AUB|,|4|=2017,

/.2017+x-|AnB|=y,

???|AC8|=2017+x?)，,

??"(A)+n(13)=n(AUB),

A220,7+2x=2y,(*)

1?2017+z

:.2"22,2刈7.2'=2,2,可得2y22OI9+x,當且僅當上=2017,y=2()18時取等號，此時可得：|八

n8|=2017+x-)，=2016.

^1=2016.

4.已知集合人={(x,y)\y=2x-3},B={(x,>')\y=m},若AAB=0,則實數〃?的取值范圍是(

A.m<3B.C.mW-3D./n<-3

【解答】C

【解析】A={(x,y)|y=0.2w-I),

B={(x>y)|,v=/n},

若AC8=0,則〃忘-3.

二、填空題

5.已知集合4={〃，b,2},8=[2,b2,2a},且則“=.

【解答】0或4

4

【解析】由人知4=0又根據集合元素的互異性，

a=2a(a=b2(Ia=

b=b2或Vb=2a,解得《:或《，

{b刈v=1p=i

故4=()或y.

4

6.已知集合4={比，>序+1或yV”},B={y|2WyW4},若APB#0,則實數a的取值范圍是

【解答】g或”>2

【解析】集合八={力>『+1或.y〈a},8={>12WyW4},

若AC8=0,<：，可得aS-避或，5&Q42,

4—1

則AA8W0,則實數a的取值范目是：，9>。>-，？或〃>2.

故答案為：依-心或〃>2.

7.已知集合4={1,3,近},B={1,〃?},AUB=A,則〃?=.

【解答】0或3

【解析】VAUB=A,

，陽=3或m=?,

解得：〃?=0或3.

故答案為：0或3.

8.設集合A={-1,1,3},8=伍+2,rr+4},AO4={3},則實數a=.

【解答】1

【解析】因為AAB={3},

根據交集的運算推理得：3是集合4和集合8的公共元素，

而集合A中有3,所以得到4+2=3或f+4=3(無解，舍去)，

解得。=1.

9.設A={x|xWl或工23},4={.r|aWxWa+l},AQB=B,則〃的取值范圍是.

【解答】aWO或心3

【解析】?.?人=3、&1或.Q3),?={.*忌、<〃+1},且人02=從

則有4+1W1或〃23,

解得：oWO或。23,

三、解答題

10.設全集為R,A={x\3<x<l]fB={x|4<x<10),

(1)求CK(AUZ?)及(CKA)C8；

(2)C={x|a-4〈xWa+4),且AAC=A,求〃的取值范圍.

【解答】(1)CR(AUB)={x|xW3或x210},(CRA)CB={M7Wx<10}；(2)

【解析】(1)???全集為R,4={鄧VxV7},5={x|4<x<10},

：.AUB={x\3<x<{0},CRA={X|XW3或x27},

/.CR(AUB)={4XW3或X210),

(CRA)Cib={M7WxV10}.

(2)?.?A=33VxV7},C={x|a-4WxWa+4},且AGC=A,

A/cc,

a—4《3

解得3WaW7.

a+427

的取值范圍是3<“W7.

11.已知集合從二32-4^^<2+口},B={x|xWl或x24}.

(1)當a=3時，求AC8.

(2)若AG3=0,求實數。的取值范圍.

【解答】(1)An/?={-IWXWI或4WxW5)；(2)a<\

【解析】(1)當4=3時，A={-IWxW5},B={xWl或x24}

?MnB={-IWxWl或4WxW5}；

(2)VAnB=0,A={x|2?aWW2+a}，3=[*W1或x24},

,當2?a>2+m即aVO時,A=0,此時2n8=0：

2—a>1

{2，一+a<4

解得aVl,

???()《1；

綜上，實數”的取值范圍是aVL

12.已知集合4={X|AV?1,或入>2},8={川2p-1WXW〃+3}.

(1)若〃=」?，求AC/3：

2

(2)若AG8=8,求實數〃的取值范圍.

73

【解答】⑴ACB={M2VXW5)；(2)P>5

/乙i

1,7

【解析】(1)當〃=5?時，4={MOWX<3},

乙乙

7

?XC4={x|2VxW5}；

(2)當4nB=8時,BQA；

令2〃-1>/?+3,解得〃>4,止匕時8=0,滿足題意；

當pW4時，應滿足2P?1>2或0+3<?1,

解得!</W4

綜上，實數〃的取值范圍〃＞得.

13.設集合M=3(x+a)(x-1)WO}(67>O),N={x|4l-4x-3VO}.

(1)若MUN=3-2WxV,},求實數〃的值；

乙

(2)若(CRM)UN=R.求實數〃的取值范圍.

【解答】⑴。=2：⑵OVaWJ

【解析】全集為R，集合M={N(x+a)(x-1)WO}={x|-aVxV1}(a>0),

i3

集合N={x|4.r-4x-3<O}={x|-5<x<5}.

3

(1)若MUN={X|-2WXV5},則-〃=-2,

解得4=2；

(2)CRM=(X|A<-。或后1},

若NU(CRM)=R,則

解得J,

則實數a的取值范圍是OVaW1.

14.設全集U=R,集合A={x|-1W%V3},B={x|2x-4Wx-2).

(1)求AG(CuB)；

(2)若函數/(x)=lg(2x+a)的定義域為集合C,滿足AGC,求實數。的取值范圍.

【解答】(1)AH(CuB)=M2<x<3}；(2)a>2

【解析】(1)B={x\x^2}.

：.QuB={x\x>2]

AXA(CLIB)={A12<X<3}；

(2)函數/(%)=lg(2x+a)的定義域為集合C={x&>-告},

VZ￡C,

15.已知集合人士木2-?—2。},集合B={M2aWxWq+2}.

(1)若a=-1,求APB,AUB；

(2)若求實數。的取值范圍.

【解答】(1)AD8={M-2WxW-1},AUB={.4^1或x25}；(2)。>2或aW-3

【解析】(1)。=-I時，集合人-1或x25},

集合B=32aWx，+2}={x\-2SxW1},

?XnB="|-2WxW-1},

AUB={#W1或xN5}.

(2)^AnB=B,C,BQA,

當8=0時，2a>a+2,解得。>2；

當8X0時，［IV

［a+2《-1l2伉25

解得aW-3.

綜上，a>2或aW-3.

16.已知集合4={川2「-5「］220},8={力=集+1(x>0)}.

(1)求集合ACS,