高一預(yù)習(xí)人教A版高中數(shù)學(xué)必修一《三角恒等變換》知識點(diǎn)總結(jié)及練習(xí)（含解析）

第23講三角恒等變換

【人教A版2019】

第1頁共23頁

對于任意角a,￡有cos(a/)=cosacos￡+sinasiM

兩角差的余弦

-公式巧記為：兩角差的余弦值等于兩角的同名三角函數(shù)值乘積的和

公式

同角6的余弦、正弦

C<M(a?6)=<****aco?6finasin。

同用a的余弦、正弦

兩角和的余弦

「公式兩角和與差的余弦公式可以記憶為'?余余正正，符號相反”

同角。的余弦、正弦

sin(a±。卜:sinacos。土

同號同號

將同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和收縮為一個(gè)三角函

數(shù)，這種恒等變換稱為收縮變換，上述公式也稱為端助角公式

I輔助角公式?

二倍角的正弦、余弦、正切公式

「二倍角公式

二倍角公式1二倍角公式的

⑴倍角公式的逆用；⑵配方變形；⑶因式分解變形；(4)升房公式

變形應(yīng)用

■一“一

模塊一\兩角和與差的三角函數(shù)公式

知識梳理

1.兩角差的余弦公式

對于任意角a,/i有cos(a/):cosacos/?+sinasin/?.

此公式給出了任意角a,。的正弦、氽弦與其差角的余弦之間的關(guān)系，稱為此角的氽弦公式,簡記

作

Ga-fl)?

公式巧記為：兩角差的余弦值等于兩角的同名三角函數(shù)值乘積的和.

2.兩角和的余弦公式

(1)公式的結(jié)構(gòu)特征

第2頁共23頁

同角。的余弦、正弦

cos(a+6)=cosacosft-sinasin。

同角a的余弦、正弦

(2)兩角和與差的余弦公式的記憶技巧

兩角和與差的余弦公式可以記憶為“余余正正，符號相反”.

①“余余正正”表示展開后的兩項(xiàng)分別為兩角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；

②"符號相反”表示展開后兩項(xiàng)之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相反，即兩角和時(shí)用

兩角差時(shí)用

3.兩角和與差的正弦公式

⑴兩角和與差的正弦公式的結(jié)構(gòu)特征

同角6的余弦、正弦

sin(a±0)=sinacosp±cosasin

同角a的正弦；余弦

(2)兩角和與差的正弦公式的記憶技巧

兩角和與差的正弦公式可以記憶為“正余余正，符號相同

①“正余余正''表示展開后的兩項(xiàng)分別為兩角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；

②“符號相同”表示展開后兩項(xiàng)之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相同，即兩角和時(shí)用

兩角差時(shí)用

4.兩角和與差的正切公式

兩角和與差的正切公式的結(jié)構(gòu)特征

-tanatan01+tanatan

符號變化規(guī)律可簡記為“分子同，分母反”.

5.兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用及變形

運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，不但要熟悉公式的正用，還要熟悉公式的逆用及變形應(yīng)用，如

tana+tan//=tan(a+//).(1-tanatan//)和二倍角的余弦公式的多種變形等.公式的逆用和變形應(yīng)用更能拓

展思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.

6.輔助角公式

通過應(yīng)用公式asina+〃cosa=y/a2+b2sin(a+e)［或asina+力cosa=y/a2b2cos(a一夕)將形如

asina+〃cosa(4/?都不為零)的三角函數(shù)式收縮為一個(gè)三角函數(shù)+伊)[或

-°)].這種恒等變形實(shí)質(zhì)上是將同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和收縮為一個(gè)

三角函數(shù)，這種恒等變換稱為收縮變換,上述公式也稱為輔助角公式.

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題型歸納

【題型1兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用】

【例1】(24-25高一上.河南鄭州?期末)已知a/口若sin(a+3=g,cos/?=V，則cos(a+/?)=()

.16B逮C些

A?一君D.

.6565

【解題思路】根據(jù)誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系及兩角和余弦公式求解即可.

【解答過程】由誘導(dǎo)公式得sin(a+g)=cosa=j?因?yàn)閍/口“,/，cosa=g,cos/?=V，

所以sino=Vl-cos%=1,sin^=7l-cos2/?=,

所以cos(a+尸尸coswcos6一sinasin或=；乂三一,又*=一￡

)13、136、

故選:A.

【變式1.1](2025?全國?模擬預(yù)測)已知sin(什(—弓0先則sin(>9=()

A3-&n3+V6.V6D.R

A?二-B.丁C.y

【解題思路】通過什滬火：及兩角和的正弦公式即可求解.

366

【解答過程】由-等把訶得-仁什、會

又sin(例■3=乎,則cos(8+

故sin(>()=$泊(知￡+：)=sin(嗚co

S-+COS(鋁)限

6

右V3,V6I3+后

=-x-+—x-=------

32326,

故選：B.

【變式1.2](24-25高一上?吉林長春?期末)已知tana=-2,則tan(a+胃=()

A.\B.3C.VD.

[解題思路】利用兩角和的正切公式代入計(jì)算即可.

【解答過程】由兩角和得正切公式得lan(a+"=1等=J^7=V-

471-tana-tan-113

故選:C.

【變式1.3](24-25高三上?遼寧大連?期中)已知cos(a+6)W，tanala叨=2,則cos(a-￡)=()

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A-4B-4c.tD.?

【解題思路】根據(jù)兩角和的余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cosacos夕、sinasi邛，再由兩角差的余弦

公式計(jì)算可得.

（解答過程】因?yàn)閏os（a+汽）=cosacos6-sinasin6=：,

旭3/0-2,解得「3的7

:cosacos后—!

4

3

所以cos（a-/Q=cosacos用+sinasin〃=—]

4

故選:A.

【題型2利用和（差）角公式化簡、求值】

【例2】（24-25高一上?吉機(jī)長春?期末）已知cos（a+3=*cos（^-=則cos（a+/?）=

（）

A竺B匹C些D竺

?65*65*65,65

【解題思路】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及題中角度范圍，求出sin（a+f和sin。-力的值，再利用整體思

想，將cos（a+/0轉(zhuǎn)化為8s[（。+3+（夕-3]，用余弦的和角公式展開求值即可?

【解答過程】口的人（-分）,□（吟）口（0號）,（A-j）D（-T，0）,

又□cos（a+y=g>0,cos.-f彳>0,

（叫）（嗚），G，。），

□sin（a+三）>0,sin（6-<0,

□sin1+9=J1-cos2(?+^)=^sin伊9="J

1-COS2(*)=常

則8s(a+份=cos[(行三)+(夕、)]

=ccs(a+9cos(/?-J-sin("+9sin(6*卜汩興卜習(xí)癮,

故選:C.

【變式2.1]（24-25高一下?江蘇連云港?期中）已知sina+cos￡=|,cosa+si叨=一，則sin（a+6）=1）

.13

A-正BTc-TD.弋

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【解題思路】對給定式子平方，再進(jìn)行相加得到sinacos0+cosasi印=-9最后利用兩角和的正弦公式求解即

1o

可.

［解答過程】若sina+cos/?=?，則（sina+cos02=sin2a+2sinacos/7+co$2/?=g

若cosa+sin4=一；，則(cosa+sin夕)2=cos2Q+2cosasin6+sin/=$

將兩式子相加可得2sin?cos/9+2cosasin/?-j-2—-,

化簡得sinacos/?+cosasin或=-3,

18

由兩角和的正弦公式得sin（a+6）=sinacos或+cosasi叨=-三，故C正確.

IX

故選：C.

【變式2.2］（24-25高一下?江蘇?階段練習(xí)）已知a/Usina=言,tan（H一：）=；，則tan（2a+0的值為（）

A.1B.-3C.D.-1

【解題思路】由sina=￥，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出tana,倍角公式得lan2a,由tan仇-；）=；,利用兩角

差的正切公式求出tan/?,再由兩角和正切公式求出tan（2a+0.

【解答過程】?□sina=手，則cos（x=V1-sin2a=y,

有tan（z==2,tan2a=2嗎=-:,

cosaItan。3

匕「仇一》=；^=苦=；,得tan/?=3,

V4/l+tan/?tan-1+taiV?2y

tanf2tt+/?）=ian2；”an/：=式=1

'11-tan2?tan/?1一（，）*33

故選：A.

【變式2.3］（2025.江蘇徐州.模擬預(yù)測）已知角a/滿足cosS=g,cosacos（a+夕）=：,則cos（2a+五）=（）

A.|B.；C.!D.：

3468

【解題思路】根據(jù)0=&+/y-a,2a+"=&+""a,即可由和差角公式求解.

［解答過程】cos成=cos［（a+』）一a］=cosacos（a+日）+sinasin（a+汽）=；+sinasin（a+0）=；,故sinasin（a+夕尸"，

因此cos(2a+6)=cos[(a+少)+a]=cos?cos(a+6)-sinasin(a+6)=7-77=7,

4126

故選：C.

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【題型3兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用及變形】

[.|【例3](24-25高一上?全國?課后作業(yè))；cos75-^sin75=()

A.B.；C.TD.當(dāng)

2222

【解題思路】根據(jù)兩角和的余弦公式的逆運(yùn)算，即可求解.

【解答過程】:cos75-Bsin75=cos60cos75-sin60Dsin75=cos(60+75)=cosl35=-cos45=一胃.

故選：C.

【變式3.1](24?25高一上?全國?課后作業(yè))cos77cos32+cosl3Dsin32D=()

A-iB.一；C,當(dāng)D.一當(dāng)

【解題思路】根據(jù)兩角差的余弦公式，即可化簡求值.

【解答過程】cos77cos32+cos13sin32=cos77cos32+sin77sin32=cos(77-32)=cos45!=y.

故選：C.

【變式3.2](24-25高一上?吉林長春?期末)sinl1()cos40-cosTOsin40=()

A-7B-Tc-D-

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式及差角的正弦公式計(jì)算得解.

【解答過程】sinl10cos40-cos70sin40=sin70cos40-cos70sin40=sin30=；.

故選：A.

【變式3.3](24-25高一上?全國?課后作業(yè))sin92°cos32°-sinl4SOcos92o=()

A.1B.VC.YD.~

2222

【解題思路】根據(jù)誘導(dǎo)公式可得sinl48o=sin32。，結(jié)合兩角差的正弦公式可得結(jié)果.

[解答過程]原式=sin920cos32。-sin(180°-32°)cos92°

=sin920cos320-sin320cos92°.

=sin(92°-32o)=sin60°=^.

故選:C.

【題型4輔助角公式的應(yīng)用】

LJ【例4】(24-25高一上?全國?課后作業(yè))已知sina-\/5cosa=|,貝Usin(20一J=()

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A--IB-JD-4

【解題思路】由輔助角公式求得cos(a+J的值，再由二倍角公式求得cos(2a+J的值，由誘導(dǎo)公式求得

sin的值.

【解答過程】|+lsin?-V3cos?=|,得cos（a+9=-1,

則8s（2a+g）=2COS2（a+：）一1=一：

故sin（2a-=-sin-（2a+g）］=-cos（2a+f=：.

故選:C.

【變式4.1](24-25高一上?全國?課后作業(yè))V3cosx-sinv=()

A.2cos（k-：）B.2cos（盧：）C.2cos（X-5D.2cos（x+§

【解題思路】利用輔助角公式化簡即可.

[解答過程】V3cos.r-sinx=2俘cosx-；sinx）=2（costcos：-siavsin=2cos

2（巴）

故選：B.

【變式4.2](2025?湖北?二模)球數(shù)/M=3cosx-4sinx,比〃攵)取得最大值時(shí)，sinx=()

B--?C.7D-

【解題思路】由輔助角公式、誘導(dǎo)公式直接運(yùn)算即可求解.

【解答過程】/trj=3cosx-4sinr=5gcosx-\sin^=5cos&+〃,

其中cos@=1,sin^=-,

而/G7=3cosx-4sinx=5cos6+心上5,

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x+0=2E&Z),此時(shí)sinx=sin(-3)=-sins=-；.

故選：B.

【變式4.3](24-25高一上?河北保定?階段練習(xí))已知“1。兀)，且sina-V5cosQ=2,則tana=(

A.-V3B.-yC.yD.V3

【解題思路】利用輔助角公式化簡，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求出。即可得解.

【解答過程】由sina-V5cosa=2,得:sina-當(dāng)cosa=l,BPsin(a-j)=l,

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由。口(0,冗)，得a-三口(一；,。，則即0=3

3335Zo

所以tana=tan?=-tan7=-g

663

故選:B.

1.二倍角公式

二倍角的正弦、余弦、正切公式

函數(shù)公式P=a簡記符號

正弦sin2a=2sinacosaS2tt

余弦cns?/z=cos2rz-sin2nf=2co*;2rz-1=1-7sin-nrC（a切）Ca?

c2tanaT(+/r>T2a

tan2a=--------—a

1—tan~Q

2.二倍角公式的變形應(yīng)用

（1）倍角公式的逆用

_.._.sin2asin2?

①Sz"：zsinacosa=sinza,since=------,cosa=-r—：—.

2cosa2sina

②C2a:cos2a-sin%=2cos2a-1=1-2sin2a=cos2a.

2tana

③九:—tan2a.

1—tan2a

(2)配方變形

1±sin2a=sin2a+cos2a士sin2a=(sina±cosa)2.

(3)因式分解變形

cos2a=cos2a—sin2a=(cos?—sin?)(cos?+sin?).

(4)升塞公式

1+cos2a=2cos2a；1—cos2a=2sin2a.

題型歸納

【題型5利用二倍角公式化簡】

」【例5】（24-25高一下?山西大同?期末）若tana=2,則.廣2〃，的值為（)

Lsinzcd-cos-a

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CI

A.-TD.-

【解題思路】利用二倍角公式及正余弦齊次式法求值即得.

cos2?cos2alsin，l-tan2?1-223

【解答過程】由tana=2,得

sin2?+cos2?2sin?cos?+cos2a2tana+l2x2+1

故選：B.

化簡J—!竺十"—sinl60。的結(jié)果是（）

【變式5.1］（24-25高三上?重慶渝中?階段練習(xí)）

A.cos100B.sin10°

C.2sinl0°+cosl00D.2cosl()°-sinl00

【解題思路】

利用正余弦的二倍角公式化簡即可.

【解答過程】

原式化簡為

J^y^+Vl-sin200=J""”"+Vl-2sinlOOcosl()。=cos10°+cos10°-sin10°=2cos10°-sin100.

故選:D.

【變式5.2】（2。25?全國,模擬預(yù)測）需黑-鬻

)

A.tan20B.tan70C.-tan10D.-tan40

【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式和倍角公式，準(zhǔn)確化簡、運(yùn)算，即可求解.

?tsinlO

【解答過程】由l+tani902cos70IMan102sin20os】02sin20

l-tan370sin401-tan10sin40^sinlO2sin20cos20

cosiO

(cos10+$inl0l+sin20

——=tan20.

cos210-sin210cos20cos20cos20

故選：A.

【變式5.3］（24-25高?一下?江蘇鹽城?期中）已知砌6；,丁化簡V2-2sin2a-，l+cos2a的結(jié)果是（）

A.V2sin?B.—\/2sin?C.V2cos?D.一役cosa

【解題思路】由倍角公式結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算化簡即可.

【解答過程】口。口,Ccosa>sina,cosa>0.

V2-2sin2tt-Vl+cos26c=V2vsin2?-2sin?cosrt+cos2a-V1+2cos2?-1

J(sina-cosa)2-y/2cosa=y/2(cosa-sina)—y/2cosa=—y/2sina

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故選：B.

【題型6利用二倍角公式求值】

（高一上?福建廈門?階段練習(xí)）已知（，則（（

LJ【例6】24-25cosa+J=*sin2a-g=)

34

D.

55

【解題思路】由二倍角余弦公式得cos（2a+R的值，再利用誘導(dǎo)公式求sin（2a—?=sinK+（2a^）]的值.

【解答過程】根據(jù)題意，cos（2a+g）=cos2（a+y=2cos2（a+5T=2xtT=-g,

故選:D.

【變式6.1]（24-25高一上?云南曲靖?期末）若sin（a+：）=；,則sin（2a+/）=（）

A.；B.7C.：D.7

9393

【解題思路】由誘導(dǎo)公式及余弦二倍角公式即可求解；

【解答過程】由sin（2a+^）=sin（2?+j+=cos（2a+j）=1-2sin2（"+J=1-：=孑

故選：A.

【變式6.2]（24-25高一上?浙江杭州?期末）已知&sin〃-2cosQ。，則tan2/7=（）

A.-2V2B.2V2C.yD.￥

【解題思路】根據(jù)條件可得tan%VL利用正切的倍角公式可得結(jié)果.

【解答過程】???夜sinO—2cosQO,:?tanQ注=VL

COS。

.._2tan<92>/2-/x

..tann2/1/>-——7-=-------7=-2V2.

Ian-6I-（72）2

故選：A.

【變式6.3]（24-25高一上?山東洵澤?階段練習(xí)）已知角a的始邊與x釉的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)M?3,4）,

則cos2a的值為（）

【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出sina,再由二倍角公式的余弦公式計(jì)算可得.

【解答過程】因?yàn)榻恰５氖歼吪cx軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)M63,44

2

所以sina=?4=:所以cos2a=l-2sin2a=1-2x(g)=-三

，(-3)2+42

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故選：A.

【題型7三角恒等式的證明】

【例7】35高一下.甘前天水.期中）求證一心2r高

由右往左證明，運(yùn)用正切的半角公式tan外上嗎即可得證.

【解題思路】

1-tanz-

22tan-j-l()1'丁比

【解答過程】―=5-=tan；一-辦證畢.

tanOian-2tan-

【變式7.1]（24-25高一下?江蘇徐州?期中）求證下列恒等式:

（1）—---—■—=tan2cz；

1-tanaHtana

（2）sin50（l+V3tanlO）=1

【解題思路】（1）先通分，利用正切的二倍角公式化簡即可;

⑵先將正切化弦，通分得到原式=澗5。七e二優(yōu),再用輔助角公式，最后利用二倍角公式，即可證

明.

II(btan^-Cl-tana)2tana，-

【解答過程】-------------=----------------=------=tan2a

1-tanal+tana(1+tan。)(Iran。)1-tan^a

(2)左邊=sin5O(1+V3tanl())=sin5O(1+'：：：；：)

.uc.-cosio+V5siniozlc.刀$皿10

=sin5O□----------=2sin5OE*----------

coslOcos10

cos(60-10)_2$in5Oco$50_sin100

=2sin50=1=右邊,

coslOcos10cos10

原式得證.

【變式7.2]（24-25高一上?廣東湛江?期末）證明下列等式:

(l)sin^(l+cos28)=sin2，cos。

(2)cosa(cosa-cos^)+sin?(sin?-sin^)=2sin22.

【解題思路】（I）（2）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡等式左邊等于右邊即可得證.

【解答過程】(1)左邊=5皿。(1+8$2。)=$吊0(1+2(?052卅1)=25皿佻052片5仙2a05%右邊，得證;

(2)左邊=(?050((：056(-(?006)+5吊〃(§皿0-5m/7)

=cos2a-cosacos^+sin2ot-sinasin/^

=1-(cosacos/?+sinasin^)

=l-cos(a-/?)

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=2sd?

2

=右邊，得證.

【變式7.3](24-25高一下?遼寧?期中)已知sinasin毋0,且sin(a-/?)=2sinasin//,證明:

(1)~-7——=2：

twptana

(2)cos(a+^)=V2cosQ+。一汽).

【解題思路】(I)由兩角差的正弦公式化簡得出sinacos戒-cosasiM=2sinasin”,等式兩邊同時(shí)除以sinasi叫

化簡可得出結(jié)論成立;

(2)由已知條件得出sin(a-￡)=cos(a-/7)-cos(a+/?),即為cos(a+6)=cos(a-￡)-sin(a-Q),再結(jié)合兩角和的余弦

公式可證得結(jié)論成立.

【解答過程】(1)因?yàn)閟in(a-夕)=2sinasin或，所以sinacos/?-cosasi邛=2sinasii必

兩邊同時(shí)除以sinasin/f,~~~~=2?即-——=2.

sinpsinatanptana

(2)因?yàn)閟in(a-/?)=2sinasin//,所以sin(cr力)=cos(a-少)-cos(a+/0，

所以cos(a+/0=cos(a-6)-sin(a-Q),

所以cos(a+夕)=V5[ycos(?-/?)-ysin(?-/?),

所以cos(a+/0=V5cos(：+。-夕).

【題型8利用三角恒等變換判斷三角形的形狀】

【例8】(24-25高一?全國?課后作業(yè))在△ABC中，^sia4sin?=cos2f,則△A8。是()

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【解題思路】根據(jù)已知，誘導(dǎo)公式與和、差角的余弦公式化簡得到cosa-8)=1,從而得到4=8,進(jìn)而即可得

出結(jié)論.

【解答過程】在△/WC中，由4+8+CF,得。=兀一〃+即，

則cos27=?=:+:cos[兀一(4+8)]=；cos(J+8)=cosJcos8+；siivlsinB,

所以sinJsinB=!-：cos>lcos8+!sirUsin4,即85/8$8+$10/15仙4=1,則cos(/l-5)=l,

又0〈力〈兀,0<B<n,則所以力一8=0,即4=8,

所以AABC為等腰三角形，但無法判斷C是不是直角.

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故選：A.

【變式8.1](24-25高二上?河南安陽?期末)若38。中，sin(4+8)sin(N-8)=sin2c,則此三角形的形狀是()

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)和與差的正弦公式，即可判斷三角形的形狀.

【解答過程】口口力臺。中，sin(4+8)=sinC,

□已知等式變形得sinCsinOf-AAsidC,

L0<C<n,sinC>0?

即sin(力-8)=sinC=sin(4+3),

整理得sin/lcos4-cos/lsin8=sinJcosB+cos/isin4,艮fJ2cos/lsin4=0,

匚cos/f=0或sin8=0(不合題意，舍去).

C0<J<n,□/!=；,

2

則此三角形形狀為直角三角形.

故選：A.

【變式8.2](24-25高一下?重慶沙坪壩?期中)在口力8C中，si心加了叱,則口相。的形狀為()

COS/f^COSff

A.等邊三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.鈍角三角形

【解題思路】利用三角公式得到cosC=0,求出C=90。，即可判斷.

【解答過程】在匚46c中，囚為仙口地售除

COS.4?cosn

所以sinCcos/l+sinCcos8=sinJ+sin8,

UPsinCcosJ+sinCcos5=sin(5+C)4-sin(^+C),

展開，整理化簡得：cosC(sin/l+sin8)=0.

因?yàn)?8為三角形內(nèi)角，所以sinJ+sin8#),所以cosC=0.

因?yàn)椤槿切蝺?nèi)角，所以C=90。，

所以匚48C為直角三角形.

故選:B.

【變式8.3](24-25高一下?江西吉安?期末)在△ABC中，若sin4sin8=；(l+cosC),則△48。是()

A.等邊三角形B.等腰直角三角形

C.等腰三角形D.直角三角形

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【解題思路】根據(jù)兩角和與差的余弦公式可得siMsin8=4[cosa+8)-cos(/F)],再結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡計(jì)算

得出結(jié)果.

[解答過程】因?yàn)閏os(4+8)=cos/lcos8-sinJsinB

cos(J-5)=cosJcos5t-sinJsin5

所以sin/lsin8=-![cos(彳+8)—cos(/l-8)],

因?yàn)閟iMsin8=：(1+cosC)

則一:[cos(J+5)-cos(/f-5)]=；(1+cosC)

又/+8=jt-C,

所以cosC=-cos(/l+B),

所以一|[cos(J+5)-cos(J-i?)]=；[I-cos(4+8)]

所以cos(4-8)=l.

又48為△ABC的內(nèi)角，所以48=0.

所以4=4,故△ABC為等腰三角形.

故選：C.

課后作業(yè)(19題)

一、單選題

I.(24-25高一上?陜西西安?期末)sin4O°(tanlO°-V3)=()

A.-2B.-IC.—>/3D.一；

【解題思路】利用輔助角公式以及二倍角公式即可求解.

(解答過程】sin400(tanI()。—6)=sin40。(吟焉吧)=sin400口喘:))=sin400然得

=-2-s-in-50-0-s-in-40-0=--2-c-o-s4-0-°-si-n4-0-0--s-i-n8-0-°=-,1,

coS10°coslO0cos100

故選:B.

2.(24-25高一上?河南洛陽?期末)sin40°cos200+cos400cos70°=()

A.1B.fC.當(dāng)D.1

【解題思路】先應(yīng)用誘導(dǎo)公式，再逆用兩角和的正弦公式即可求，直.

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[解答過程】sin400cos2004-cos400cos700=sin400cos200+cos400sin2D0=sin(400+200)=^.

故選:C.

3.（24-25高一上?黑龍江佳木斯?期末）若cosa+sina=-g,則sin2a=（）

A-4B.（C.4D.9

【解題思路】將已知等式平方后可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.

【解答過程】（cosa+sina）2=sin2a+2sinacosa+cos2a=l+sin2a=%sin2a=-j

故選：C.

4.（2025?全國?模擬預(yù)測）sin（2a+丑）=m，cosacos（a+少）=丁則tana+lan（a+￡）=（）

A-IB.|C.：D.g

【解題思路】由知（2a+〃）的正弦值求得余弦值，利用余弦與正切的和角公式，可得答案.

【解答過程】由sin(2a+/?)=g,貝iJcos(2a+￡)=土J1一4『(21+用=土

由cos(2a+/O=cos(a+a+S)=cosacos[a+0)-sinasin(a+4)

=；-sinasin(a+/Q,貝iJsinasin(a+/?)=；-cos(2a+//),

當(dāng)cos(2a+/?)=-?時(shí)，sinasin(a+￡)=:+?>l,不合題意;

當(dāng)cos(2a+/?)=乎時(shí)，sin?sin(?+^)=1-

則tanaUm(a+//)=黑部=2singnS0=l-U

sin(2a+^)26

tan(2a+/?)=

cos(2a+/?)丁'

tana+tan(?+/?)=tan(2a+/?)[1-tan?tan(a+^)]=*

故選：D.

5.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）以tanB表不近sin（a+：）的結(jié)果為（

A1^1B&T

人i+ta吟口?1+ta吃1

2（l+ta吟）2（l+ta「）

J-iWT1

【解題思路】將近sin（a+?轉(zhuǎn)化為sina+cosa,根據(jù)萬能公式sin所蕓和cos所禽計(jì)算.

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［解答過程］近sin(a+9=sina+cosa=：丁?=2卜?

\4/l+tan11+tanx-l+tan--1+tanz-

故選:D.

6.（24-25高一上?山東泰安?階段練習(xí)）已知a為鈍角，JLsin則cos1-?等于（）

A2V2+V3口2V2-V3c2>/2+V3n-2V2-V3

A.―--B.---C.-------D.--——

6666

【解題思路】先利用平方關(guān)系求出cos（a+1）,再根據(jù)；-4+以-1利用和角的余弦公式計(jì)兜求解,

【解答過程】□洛心則a+專口福，/，

匚cos(a+g?苧,

cos(a-)=cos［1+卷—1；cos(?+^)+ysin(a+顆

速x1+且xl=2!

32236

故選：D.

7.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）若cos（a-/0=gcos2a=^，并且a,少均為銳角，且a<A，則a+0的值為（）

A.；B.；C.vD.

6446

【解題思路】根據(jù)同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系計(jì)算可得sinQM=-竽，sin2a=嚓，再由兩角差的余弦公

式計(jì)算可得結(jié)果.

【解答過程】FtlOvav夕可得

又8s(a-￡)=所以sin(a/)=-J1-cos2(a-五)

因?yàn)閏os2a=詈,0<2a<n,所以sin2a=/1-cos22a=

所以cos(a+/0=cos|2a-(a-/0］=cos2acos(a-/0+sin2asin(a-/0

=?x9*x”烏

1051052

又因?yàn)樾行铡Ｘ＃詀+/勺手

故選：C.

8.(24-25高一上?山東濟(jì)南?期末)已知函數(shù)/2=cos%x-v5sinQjxcos(yx+!?>0)在區(qū)間［0,兀］有且僅有2個(gè)零

點(diǎn)，則①的取值范圍是（）

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7部）

【解題思路】應(yīng)用三角恒等變換化簡函數(shù)式，結(jié)合余弦型函數(shù)的周期性及已知區(qū)間和零點(diǎn)個(gè)數(shù)有

3正2①兀+；＜5兀，即可求參數(shù)范圍.

【解答過程】Ma9=cos2Gx-v5sinwxcoswx+:=上丁竺一號sin2cox+；

6?r..

■gcos23?sin2c（zxi1-cos（2（x>*I11,

又g/0,兀],貝ij2①x+g□[；,2①兀+j],

函數(shù)彌，在［0㈤上恰有2個(gè)零點(diǎn)，即cos(28+3+1=0在爪/0旬上有2個(gè)解,

所以3幾W2Q）兀+產(chǎn)5冗，解得;

故選:A.

二、多選題

9.（24-25高一下?江蘇揚(yáng)州?期中）下列選項(xiàng)正確的是（）

A.sinlOOcos40n-cosl00]sin40]=-B.，；m22Han3S=y/3

2l-tan22tan38

C.sin22.5cos22.5=gD.cos215-sin215=1

【解題思路】分別由兩角差的正弦公式，兩角和的正切公式和倍用公式即可依次判斷.

【解答過程】對于A,sinlOOcos40-cos100sin40=sin（100-40）=sin60=y,故A正確;

對于B,tan22+tan-^=tan（22+38）=tan60=V5,故B正確；

1-tan22tan38'）

對于C,sin22.5cos22.5-^□2sin22.5cos22.5=1sin45=Jxy=^?故C錯誤;

對于D,cos215-sin215:=cos（2xJ5）=cos30:=^,故D錯誤.

故選：AB.

10.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）下列各式化簡結(jié)果為-6的有（）

A.cos730cosl3°+sin73°sinl30B.3cos2750-sin2750-l

tanl3°-tanl070

D.4sin60°cos75°cos15°

l-ianl30tanl070

【解題思路】由兩角差的余弦公式可判斷A,由余弦的二倍角公式可判斷B,由兩角和的正切公式可判斷C,

由誘導(dǎo)公式及正弦二倍角公式可判斷D.

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【解答過程】對A,cos730cosl3o+sin730sinl3o=cos(73o—13o)=；,A錯誤；

對B,3cos2750-sin2750-l=(cos2750-sin275°)+(2cos2750-l)=2cosl50°=-V3,B正確；

對C,瑪?shù)枚诵　?。+107。)=-技C正確；

對D,4sin60°cos75°cos15°=4sin