湖南省2025-2026學(xué)年高一年級下冊期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

雅禮中學(xué)2026年上學(xué)期期中考試試卷

高一數(shù)學(xué)

時間：120分鐘分值：150分

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.已知集合A={123,5,7,11},B={x\3<x<\5},則ACW中元素的個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】采用列舉法列舉出AcB中元素的即可.

【詳解】由題意，AcB={5,7,ll},故中元素的個數(shù)為3.

故選：B

【點晴】本題主要考查集合的交集運算，考查學(xué)生對交集定義的理解,是?道容易題.

2.已知z=上一，則z的虛部為()

i

A.iB.-iC.1D.-1

【答案】D

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算求出復(fù)數(shù)z,再確定其虛部即可.

l+2ii(l+2i)

【詳解】由z==2-i,可知z的虛部為一1.

i-2

故選：D.

點戶滿足而=,而，則點P的坐標是(

3.己知A(—2,1),3(4,—5),)

2

A.(—3,3)B.(-8,7)C.(1,-2)D.(10,-11)

【答案】C

【解析】

【分析】求出向量衣的坐標，進而求出點P的坐標.

【詳解】點4一2,1),5(4,-5),則A?=(6,—6),于是而=g而=(3,-3),

所以點P的坐標為(1,一2).

故選:c

4.”幕函數(shù)/（月=（〃2-3〃+3）/-3”在（0,+8）上是減函數(shù),,是“〃=2，，的一個（）

A.必要不充分條件B.充要條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)基函數(shù)的單調(diào)性求解〃=1或〃=2,再根據(jù)必要不充分條件的定義即可得解.

【詳解】由幕函數(shù)的定義得〃2一3〃+3=1，解得〃=1或〃=2,此時〃2一3〃二一2，=—=g；

所以當事函數(shù)“力=（1-3〃+3）/-3〃在（o,y）上是減函數(shù)時，〃=1或〃=2,充分性不成立；

當〃=2時，〃力二r2=）在（0,+8）上是減函數(shù)，必要性成立；

X

所以幕函數(shù)〃x）=（k2—3〃+3）./f在（0,+8）上是減函數(shù)，，是“〃=2”的一個必要不充分條件.

故選:A

4

5.已知sin(a+/7)=],tan=3tanp,則sin(a-/?)=()

1212

A.B.一C.一D.

10553

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件可得出關(guān)于Sinacos尸、cosasin△的值，結(jié)合兩角差的正弦公式可求出sin（a-/Q

的值.

sin(a+〃)=sinacos尸+cosasinft=—sinacos夕=—

5，解得J；

【詳解】由題意可得《

sina_3sin0

cosasinZ7=—

cosacosP5

3i2

因此sin(a-^)=sinacos-cosasin0=----=—.

55

故選：B.

6.努力公式是一個用來描述努力與結(jié)果之間關(guān)系的數(shù)學(xué)公式，它通常表示為：1.01365=37.8,

0.99365=0.03.我們可以把（1+1%）對看作每天的進步率都是1%,而把（1-1%-65看作每天的落后率都

足1%,大約經(jīng)過()天后進步的是落后的200倍Ig-1—*0.0087,lg2?0.301

A.264B.266C.268D.270

【答案】A

【解析】

I()ir

【分析】設(shè)X天后進步的是落后的200倍，則。_=2()(),利用指對數(shù)運算求解即可.

0.99'

【詳解】設(shè)“天后進步的是落后的200倍，貝ijL絲=200,f—1=200,

0.99、(0.99J

(1f)iV1f)i

即愴(旃J=A-Ig—=lg2(X)=lg(2xl(X))=2+lg2,

2+lg22.301-

Y—_________、_______、264

所以有一]1.010.0087(天).

g().99

故選:A.

7.若平面。截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐與平面。平行的棱有()

A.()條B.1條

C.2條D.1條或2條

【答案】C

【解^5]

【分析】根據(jù)題意，作平行四邊形EFG”為三棱錐的截面，根據(jù)線面平行的判定定理，以及線面平行的

性質(zhì)，即可得出結(jié)果.

【詳解】如圖所示，四邊形瓦6月為平行四邊形，則EF〃GH.

???￡Fa平面BCO,G//i平面BCO,

:.EF〃平面BCD.

又?.?EFu平面ACO,平面3CDn平面AC。=8，??￡內(nèi)/口）?

乂EFu平面EFGH,CDt平面EFGH.

..CD〃平面EFGH,同理，AB〃平面EFGH,

所以與平面a(面EFGH)平行的棱有2條.

故選:C.

【點睛】本題主要考查線面平行的判定，熟記線面平行的判定定理，以及線面平行的性質(zhì)即可，屬于常考

題型.

—2x—x?xW0

8.已知函數(shù)/(人)=:?，一,若a<b<c〈d,且./(")=/())=/?)=/(4)，則

1g不，X>U

a+/?+c+2d的取值范圍是()

C.(20,+8)D.(2>/2-2,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】作出/(力圖象，由數(shù)形結(jié)合的方法可知一2vavT<〃<0<c<lvdvl(),由對稱性知

。+〃=-2,cd=l,將所求式化為-2+'+2d,利用對號函數(shù)單調(diào)性可求得所求范圍.

d

【詳解】由/(x)解析式可得/(上)圖象如下圖所示：

設(shè)/?(a)=/?=/(c)=〃d)=/,由圖象可知:()<k<2,

:.-2<a<—}<b<0<c<]<d<\0,

乂關(guān)于x=-1對稱，/.a+/?=—2；

由|lgd=|lg4得：-lgc=lgd,即cd=l,:.a+b+c+2d=-2+—+2d,

???），=2x+：在（1,10）上單調(diào)遞增，「?2d+：u201

D，一

10

:.d+b+c+2e/e(l,—

I10

故選:B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)與方程的相關(guān)知識，解題關(guān)鍵是能夠利用數(shù)形結(jié)合的方式確定

4,0,C,d所處的范圍及對稱關(guān)系，由此化簡所求式，得到一個關(guān)于某一變量的函數(shù)的形式，利用函數(shù)值域

的求解方法求得結(jié)果.

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

9.已知i是虛數(shù)單位，z是復(fù)數(shù)，則下列敘述正確的有（）

A.z-z=\z|2=|z|2

B.若馬2,則zf-z2>0

C.若mwR,則2=根+1+（〃22-2機一31不可能是純虛數(shù)

D.若|z|Wl,則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z的集合確定的圖形面積為2兀

【答案】ABC

【解析】

【分析】對于A,結(jié)合共軌復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解，對于B,結(jié)合復(fù)數(shù)的概念求解即

可，對于C,結(jié)合純虛數(shù)的定義，即可求解，對于D,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

【詳解】對于A,設(shè)z=a+歷，（?,Z?GR）,則z=〃一bi，

z-z=（6/+/?i）（6z-Z?i）=?2+/?2,|z|2=|z|2=^2+/?2，故A正確；

對于B,由于虛數(shù)不能比大小，又可得4，z?都是實數(shù)，可得馬-馬>0,故B正確,

對于C,當z=〃?+l+（>-2〃?一3）為純虛數(shù)時,

,m+1=（）

則，八c八，無解,

病一2M一3一0

故當〃zwR,則2=加+1+（加2-2加-3）i不可能是純虛數(shù)，故C正確,

對于D,|z|<l,則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z的集合確定的圖形為以（0，。）圓心，1為半徑的陰,

以及圓的內(nèi)部，其面積為兀二兀，故D錯誤.

故選：ABC.

10.記銳角VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,acos1B=2hcosAcosB+bsinAsinB則

（）.

/\

A.A=BB.8的取值范圍為

164J

C.￡的取值范圍為（五,百）D.5的取值范圍為（1,2）

【答案】BCD

【解析】

【分析】由條件利用正弦定理邊億角，可得sin（A-28）=0,判斷A；由三角形為銳角三角形結(jié)合A的結(jié)

論，可求得8的范圍，判斷B；利用正弦定理表示f=2cos8,結(jié)合B的范圍可判斷C;利用正弦定理表示

b

-=4cos2B-\,結(jié)合A的范圍可判斷D：

b

【詳解】由題意得sinAcos2B-2sinBcosAcossinAsin2B=0，

得sinA（cos?B-sin2B）-cosAsin2B=sin（A-2B）=0,

由于A,Bw（0,—），則A—28w（―九,一）,

22

則4=2〃，A錯誤.

0<A=2B<-

2

71

因為VA8C是銳角三角形，所以<0<B<-,

2

jr

0<。=兀一38<上

2

解得工<6〈工，B正確.

64

?「兀_兀asinAsm28_?//r/r\一十.

由于一<B<一,故—=-----=-------=2cosBGIv2,>/3I,C正確.

64bsinBsinB''

csinCsin(2B+B)2sinBcos2B+(2cos2B-l)sinB

-=------=----------------=------------------------------------------=4cos-B-1，

bsinBsinBsinB

故4cos2（1,2）,故D正確,

故選：BCD

11.在棱長為1的正方體ABC。—48c中，Q=/l/+〃碼，/le[0,l],[0,1],下列結(jié)論正

確的是（）

A.若2丸=〃=1時，直線與直線CD的夾角余弦值為如

6

B.若義+〃=1時，△3丹）周長的最小值為2+四

C.若〃=1時，三棱錐C-PBD的體積為定值

D.當％=g時，有且僅有一個點人使得BFJ.CP

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)平行求出直線與直線所成的角，解三角形得解判斷A,取特殊點判斷B,由點到面的距離為定

值判斷C,點尸位于Q或”時滿足BtPlCP即可判斷D.

一1______

【詳解】對于A,當24=〃=1時，AP=-AC+AA,,如圖，

所以點P為線段AG的中點，因為CD//AB,

所以直線BP與直線。。的夾角即為直線BP與直線AB的夾角4PBA,

BP=JBB/+8/2="2+停）2=苧’

值PB-+AB--AP2_1_V6

同理可得A尸二生，在等腰△243中c°s"-2PBAB一"而一7"，故A正確;

22xlx——

2

對于B,當2+4=1時，根據(jù)三點共線的充要條件可知，點。在線段A。上,

當點尸是線段AC的中點時.，可知△W7)周長為當+當+及＜2+夜，故B錯誤;

對干C,當〃=1時，點P在線段AG上，

因為AG//平面ABCD,所以點”到平面3CZ)的距離為定值.

VV

所以c-PHD=P-BCD=!-SWD-hf,_3CD為定值，故C正確；

對于D,因為4戶=尢支取AC,AG中點分別為Q,H,

所以0點在線段Q”上運動，當點尸位于。或”時，BFA.CP,故D錯誤.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知圓錐的母線長為10cm,惻面積為5()兀cnf，則此圓錐的體積為cm3.

125G

【答案】---------兀

【解析】

【分析】應(yīng)用圓錐側(cè)面積公式計算求出底面半徑，再根據(jù)圓錐體積公式計算求解.

【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為「圓隹的高為〃，圓錐的母線長為10cm,側(cè)面積為5。血0?,

則冗〃=10兀〃=50兀，則〃=5,所以〃=J/?一產(chǎn)=5百,

則此圓錐的體積為』7tx25x56="叵花cm3.

33

故答案為：竺巨兀.

3

/九、

13.己知函數(shù)/W=3cos6yx+-(刃>0)在區(qū)間。兀］上恰有3個最小值點，則實數(shù)切的取值范圍為

I4J

192、

【答案】

【解析】

【詳解】XG10,^1,則0X+—W—,(071-V—

4[_44

因為/(x)在區(qū)間［0,兀］上恰有3個最小值點，

所以結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可得，571<^+-<771,得2工3<22,

444

「1927、

則實數(shù)切的取值范圍為—.

|_44；

14.已知平面向量06,?，且同二L已知向量5與Z所成的角為60。，且忸一回之歸一目對任意實數(shù)

/恒成立，則舊+2同+忖一5|的最小值為.

【答案】2石

【解析】

【分析】由忸一詞之歸一目，兩邊平方化簡得|同=2,再用向量的三角不等式求B+2同+卜-司的最小值.

【詳解】由同=1,向量/；與。所成的角為60。，可得小。二；w，

由B-佗>5-，，則行2—25。+產(chǎn)廬一必電+々2,

化簡可得/-B/+5-120對任意實數(shù)，恒成立，

令/⑺=『_即+忸卜1,則/⑺NO恒成立，

由干函數(shù)圖象拋物線開口向上，所以需要滿足A=4|同+4<0,

即(忖一2『<(),所以同=2.

由阿量的三角不等式，有忸+2@+卜一42kd+29)一(萬—5)|=|2'+@,

又慳+萬卜“力+而歸+戶=x/4+4+4=26,

則區(qū)+2司+\a-b\的最小值為26.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)=f+2猶+3,XG［-4,6］.

(1)當。二一2時，求/(力的最值；

⑵若丁(“在區(qū)間［T,6］上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)”的取值范圍.

【答案】⑴小心=一1，小)皿、=35.

(2)(F-6］U［4,4<o)

【解析】

【分析】(1)利用二次函數(shù)的性質(zhì)求/(?)的最值即可.

(2)由區(qū)間單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)：只需保證已知區(qū)間在對稱軸的一側(cè)，即可求。的取值范圍.

【小問1詳解】

當〃=一2時，/(X)=X2-4X+3=(X-2)2-1,

???f⑴在［T2］上單凋遞減，在［2,6］上單調(diào)遞增，

???/(磯「/(2)二一1，/(^Lx=/(-4)=(-4/-4x(-4)+3=35.

【小問2詳解】

/(.r)=x2+2at+3=(x+a『+3一/，

???要使/(/)在［-4,6］上為單調(diào)函數(shù)，只需—或—。26,解得。之4或c"-6.

???實數(shù)a的取值范圍為(F,-6］U［4,48).

16.已知函數(shù)./■（X）=2sinAcosx+g-26sin?x.

（1）求/（x）在一名；上的值域；

_120

TT?

（2）將，（用的圖象向右平移；個單位長度，再把曲線上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模槐叮v坐標不變

33

），得到函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；

【答案】（1）/CV）G[1,2]

2kn5兀2kn1In

------1-----,-------1------kwZ

318318

【解析】

【分析】（1）先利用降察公式和輔助角公式化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合整體思想求解即可;

（2）先根據(jù)平移變換和周期變換的原則求出g（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

【小問1詳解】

f（x）=2sinxcosx+V3—2\/3sin2x=sin2x+V3cos2x=2sin（2x+：）,

,.r江乃]-c兀「兀2兀

因為工￡-77，二'則2工+彳￡—,

126」3[_o3

所以5訪（2%+；）€L，1],故

【小問2詳解】

將F。）的圖象向右平移;個單位長度，

=2sinlx——，

I3j

再把y=2sin（2x—函數(shù)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,

得到函數(shù)g(x)=2sin(3x-：)的圖象，

,兀兀3兀，-rr2An5冗“,2E1In，一

由24兀+—W3x---K2攵兀+—,keZ,可得----+—WxW—+—,ZeZ,

232318318

2k飛5兀2kit11jr

所以g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為++—，keZ.

3Io51o

17.已知VA8C的周長為L,面積為S,內(nèi)角A、B、C對邊分別是小b、c,且

2ccosC=acos13+Z?cosA.

(1)求角C；

(2)若邊長c=3,求人的最小值.

S

【答案】⑴C=m

3

⑵迪

3

【解析】

【分析】(1)正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式即可求解.

(2)由余弦定理可得(〃+〃--3〃〃=9,結(jié)合基本不等式求出。+〃<6,即可求解.

【小問1詳解】

2ccosC-(acosB+Z?cosA)=0,

由正弦定理得2sinCeosC-(sinAcosB+cosAsinB)=0

/.2sinCcosC—sinC=0.

在VABC中，CE(0,7T)「.sinCwO,cosC=—

2

IT

,/CG(0,7t),:.C=—

3

【小問2詳解】

由余弦定理可得：c2=a2+b2-2abcosC=(?+Z?)2-2^(1+cosC)=9,

即(a+b)2-3ab=9,

二向=g[(“+b)2-9]《誓?

/.(tz+/?)2<36,

:.a+b<6,當且僅當々=人=3時取等號

又〃+Z?>c=3:.3<a+h<6

La+b+c4(a+Z?+c)46(a+b+3)4G、4石

?_—_________—___________-______________—________>____

Slysine島〃(a+b)2-9a+b-3~3

2

???當。=〃=3時，自取到最小值為拽

S3

18.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面A3c。為梯形，其中AO〃/3C,且A￡>=23C,點E為棱

。。的中點.

(1)求證：CE//平面PAB:

(2)若“為CE■上的動點，則線段4。上是否存在點N,使得MN//平面DW?若存在，請確定點N

的位置，若不存在，請說明理由；

(3)若P4=PB=PC=AO=10,CO=12,請在圖中作出四棱錐。一A3CD過點及棱AD中點的

截面，并求出截面周長.

【答案】(1)證明見解析

(2)存在N為線段AO中點，證明見解析

⑶23+—

2

【解析】

【分析】(1)取線段Q4的中點廣，連接瓦;8/，通過證明瓦"/EB可得結(jié)論；

(2)當N為線段4。中點時，“N||平面叩，通過證明面ENCV/面RW可得結(jié)論；

(3)取線段PC的中點”，連接EH,HB,通過證明七H//NB,得到四邊形E77&V為截直，然后分別

求出各邊的長即可.

【小問1詳解】

取線段%的中點尸，連接所,用"

因為￡F分別為線段PD,PA的中點,

所以Ef7/A。，且石尸

2

又AD//8C,且川。=2/C,

所以EF//BC且EF=BC,

所以四邊形3CEF為平行四邊形.

所以EC//F3,又ECz平面P43,bBu平面A4B，

所以CE//平面以B；

【小問2詳解】

當N為線段入。中點時，MV//平面26,

證明：取線段4。中點N,連接EN,CN

因為分別為線段尸DAO的中點,

所以EN//PA,又ENU平面PAB，QAu平面PAB，

所以EN//平面八44；

因為A/V=AC,RAN//BC,

所以四邊形86八為平行四邊形,

所以NC//AB,又NCz平面“鉆，A8u平面Q4B，

所以NC//平面Q4B；

又ENp\NC=N,EN,NCu面ENC,

則面E7VC//面又MNu面ENC，

所以MN//面必從

所以當N為線段AO中點時，MN//平面PAB；

【小問3詳解】

取線段尸。的中點，，連接EH,HB,

因為DN=BC,且DN//BC,

所以四邊形NQC3為平行四邊形,

所以DC//NB,又分別為線段PRPC,

所以EH//DC,

所以EH//NB，則四邊形EHBN為四棱錐。一A3CD過點aE及棱AO中點的截面,

則BN=C￡>=12,EN=-PA=5,HE=-CD=6,

22

5

在△尸8C中，BC=HC=5,"D21，

cosZ.PCB=—=—

iO4

i75

所以BH?=BC?+HC2—2BCHCcosNHCB=25+25—2x5x5x—=—,

42

則B”管

所以截面周長為BN+EN+〃E+〃3=12+5+6+%^=23+%色.

22

19.對于定義在D上的函數(shù)/(幻，若存在實數(shù)加，使得/(x+皿)-/(，〃)為奇函數(shù)，則稱函數(shù)/(此為“位

差奇函數(shù)

(1)判斷了。)=2%+3和g(x)=d是否是“位差奇函數(shù)”,并說明理由.

⑵若/(x)=e'+eT,h(x)=f(x)-tcx,且人")為“位差奇函數(shù)”.

①證明：r>1：

②若，=2,對于VXER,?/(2x)4-77(2x)4-26/+6<0,求。的取值范圍.

【答案】(1)/(x)=2x+3為“位差奇函數(shù)”，g(x)=r不是“位差奇函數(shù)，，，理由見解析；

(5-

(2)①證明見解析；②F,一；

【解析】

【分析】(1)根據(jù)“位差奇函數(shù)”的定義分別判斷即可；

(2)①根據(jù)題意可得b(x)=/?(/+〃?)一6(〃?)為奇函數(shù)，則/。)+/(一工)，化簡整理求出，的表達式，再

結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論;

-2.V_2x_z-2.v_2X_6

②分離參數(shù)可得aW二~~二一化簡分離常數(shù)求出的最小值即可.

2x2x,2八x?2x二

c+e~+2e+e-+2