高二數學開學摸底考試卷01（考試范圍：人教A版必修第一冊+必修第二冊）解析版

2024.2025學年高二數學開學摸底考試卷01

（考試時間：120分鐘；滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填

寫在答題卡上；

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效；

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效；

4.測試范圍：必修第一冊+必修第二冊全冊；

5.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.（5分）（23-24高二下?湖南長沙?開學考試）已知集合力={1,2,3,4},AUB={1,2,3,4,5},A（\B={1,2},

則6=（）

A.{1,2,3}B.{1,2,4}

C.{1,2,5}D.{2,3,5}

【解題思路】由于得1,2WB,同時力U8={1,2,345},且50A,得出5￡5,即可求解8.

【解答過程】由已知：集合4={1,2,3,4},4UB={1,2,3,4,5},且An8={l,2},

且可得：1,2,5WB,且3,4￡8,

所以8={1,2,5}.

故選：C.

2.（5分）（23-24高二下?遼寧萬溪?開學考試）若復數z滿足/=i,則復數z的虛部為（）

3+2Z

3333

A.一：B.一mC.：D.去

【解題思路】

利用復數的四則運算，求出復數2,得復數的虛部.

【解答過程】

由忌"貝物=3i+2iz,即2=^=^^^=.+）其虛部為*

故選：c.

3.（5分）（23-24高二下.安徽六安?開學考試）設Q>0,b>0,則“噂26”是“癡二6”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】

根據基本不等式以及必要不充分條件的定義求解.

【解答過程】Va>o,b>0,當且僅當Q=b時等號成立，

若、領>6時，手>>[ab>6,則>6=>乎>6,

即，，?>6”是“房>6”的必要不充分條件，

而等之6無法推出房26,

所以，誓>6”是“房>6”的必要不充分條件.

故選：B.

4.（5分）（23-24高二下.四川雅安.開學考試）某學校開展關于“飲食民俗”的選修課程，課程內容分為日

常食俗，節日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6個模塊，甲、乙兩名學生準備從中各選

擇2個模塊學習，則甲、乙選修的模塊中至少有1個模塊相同的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

3355

【解題思路】記6個模塊分別為A8,C,D,E,尸，求出總的基本事件數，然后求出甲、乙選擇都不同的基本事

件數，利用間接法求概率.

【解答過程】記6個模塊分別為4B,C,D,E,A

則甲從中選擇2個共有4B,AC,/W,AEMF,BC,8D,8E,BF,CD,CE,CF,DE,。居E尸共15種不同的選擇，

而甲每種的選擇中乙與甲都不同有6種，

所以甲、乙各選2個共有15x15種不同選擇，而甲、乙選擇都不同有15x6種不同選擇，

所以甲、乙選修的模塊中至少有1個相同的概率尸=1一奧二三

故選:C.

5.（5分）（23-24高二下?湖南長沙?開學考試）設函數/（￥）=2042%一9+方則下列敘述正確的是（）

A.f（x）的最小正周期為27r

B./(%)的圖象關于直線無=點對稱

c./1(%)在E，n]上的最小值為-V5+]

D./(%)的圖象關于點對稱

【解題思路】根據正弦型函數的周期性、對稱性、值域逐項判斷即可得結論.

【解答過程】對于AJQ)的最小正周期為:=71，故人錯誤；

對于B,vsin(2x-^-^=-^±l,所以直線％不是/'(%)的圖象的對稱軸，故B錯誤；

對于C,當時,2%-ge停浮????sin(2x—€一'2sin9%-?W卜+.

.?./(幻在片T上的最小值為一“放c錯誤；

對于D,=2sin(2xg—f+★”/(%)的圖象關于點傳,習對稱，故D正確.

故選：D.

6.(5分)(23-24高一下?天津?開學考試)已知△力BC三個內角4,B,C的對邊分別為a,b,c,則下列說

法正確的有()

①若△是銳角三角形，貝Usin/>cosF

②若acos/1=bcosB,則448。是等腰三角形

③若bcosC+ccosB=b,則4是等腰三角形

④若A/IBC是等邊三角形，則七二一^二三

cos/lcosBcosC

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解題思路】利用誘導公式及正弦函數的性質可判斷①，由正弦定理化邊為角結合正弦的二倍角公式可判

斷②，由正弦定埋化邊為角，逆用兩角和的正弦公式可判斷③，利用等邊三角形性質可判斷④.

Bn

A+>-

2

nnn

4則oA

o<<-<--<<-

【解答過程】對于①，因為aABC是銳角三角形，所以222

n

o<oc<-

2

又V=sinx?在(0,；)上單調遞增，所以sin/>sinQ-B),即sirU>cosB,故①正確;

對于②，因為acosA=bcosB,由正弦定理可得sim4cos力=sinBcosB,

即sin2A=sin28,又A,BW(0m),則2428e(0,2n),

所以24=28或24+28=m所以力=B或A4-B=-,

所以△力是等腰三角形或直角三角形，故②錯誤；

對于③，因為bcosC+ccosB=b,由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinB,

即sin(8+C)=sin8,所以sin(ir-4)=sinB,即sinA=sinB,

因為4BW(0,TT),所以4=B或A+B=TT(舍去)，所以△4BC是等腰三角形，故③正確;

對于④，由△4BC是等邊三角形，所以力=8=C=g,a=b=c,

所以急=忌=短故④正確.

故選：C.

7.(5分)(23-24高一下.浙江溫州.開學考試)已知函數/l(X)是定義在R上的奇函數，若Va/6[0,+8),

且a工b,都有如若改<0成立，則不等式tf(￡2)一的+1)f(t+2)<0的解集為()

A.(-oo,-l)U(2,+oo)B.(-1,0)U(2,+oo)

C.(-1,2)D.(-oo,-l)u(0,+co)

【解題思路】

利用構造函數法，根據函數的單調性、奇偶性來對不等式進行求解，從而確定正確答案.

【解答過程】設g(x)=x/a),由于函數/(%)是定義在/?上的奇函數，

所以g(-幻=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以g(x)是偶函數，

由于Va,bW[0,+8),且axb,都有"(?二；/("<0成立,

所以g(x)在[0,+8)上單調遞減，則g(x)在(-8,0)上單調遞增，

由￡/(嚴)一《+1)/(￡+2)<0可知￡工0,

①當￡>0時，有尸/?(￡2)一(￡+2)/?+2)<0,尸八尸)vQ+2)/(￡+2),

即gQ2)Vg(t+2),而￡2>0,t+2>0，

所以/>t+2,t2-t-2=(t-2)(t+1)>0,解得t>2.

②當C<0時，有12f(產)一?+2)/?+2)>o,t2f(t2)>(t+ZVCt+Z),

即g(￡2)>g(t+2),所以

\VU

即「或代北尸

不等式組f+2<-t2的解集為空集，

不等式組的解集為(一1,0).

綜上所述，t的取值范圍是（一1,0）U（2,+8）.

故選:B.

8.（5分）（23-24高一下?天津南開?開學考試）如圖所示，正方體的棱長為1,線段8也上

有兩個動點E,凡且EF=%則下列結論中正確的有（）

1BE；

②三棱錐A-8E"的體積為定值；

③A4E尸的面積與△BE尸的面積相等；

④二面角/-EF-4的正切值為夜.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解題思路】要判斷4C1BE,轉化為判斷4cl平面BB1D3,即可判斷①，根據題意公式，判斷底面積和

高是否為定值，判斷②，直接判斷點4和8到直線的距離，即可判斷③，首先構造二面角的平面角，再利

用幾何關系，即可.求解正切值.

【解答過程】①如圖，連結力C,BD,交于點。，因為4718。，8反，平面A8C。,

ACu平面48CZ）,所以BBilAC,BDCBBLB,且8。,8區u平面班。］。,

所以4cl平面BEu平面所以力C1BE,故①正確；

GB\

②由以上證明可知，點A到平面BBWW的距離為力0=去的面積為*人叫=；,所以三棱錐A—

BEF的體積為；x；x$=S故②正確;

34224

③如圖，&GCiBiDi=M,連結.4名,4。1，AB1=ADlf則AM_L/。：則點A到EF的距離是HM=

j囹+12嗎

④二面角4-EF-&,即為二面角力一當。1一4,

由41Mla。1，力MlBiDi，則N4MAi是二面角力一%。1-4的平面角，

tan乙4MAi==V2,故④正確.

故選：C.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

9.（5分）（23-24高二下?湖南長沙?開學考試）在某市高三年級舉行的一次模擬考試中，某學科共有20000

人參加考試.為了了解本次考試學生成績情況，從中抽取了部分學生的成績（成績均為正整數，滿分為100

分）作為樣本進行統計，樣本容量為“按照[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]的分

組作出頻率分布直方圖如圖所示，其中，成績落在區間[50,60）內的人數為16.則（）

A.圖中x=0.016

B.樣本容量九=1000

C.估計該市全體學生成績的平均分為71.6分

D.該市要對成績前25%的學生授予“優秀學生”稱號，則授予“優秀學生”稱號的學生考試成績大約至少為

77.25分

【解題思路】根據頻率之和等于1，即可判斷A；根據頻率，頻數和樣本容量之間的關系即可判斷B；根據

頻率分布直方圖平均數的求解方法即可判斷C；根據題意算出25%分位數，再根據頻率分布直方圖的性質,

即可判斷D.

【解答過程】對于A,因為（x+（L030+0.040+0.010+0.004）x10=1,解得第=0.016,故A正確；

對于B,因為成績落在區間[50,60）內的人數為16,

所以樣本容量兀=16+（0.016x10）=100,故B不正確；

對于C,學生成績平均分為0.016x10x55+0.030x10x65+0.040x10x75+0.010x10x85+

0.004x10x95=70.6,故C不正確；

對于D,設授予“優秀學生”稱號的學生考試成績大約至少為y,

由于[90,100）的頻率為0.004x10=0.04,[80,90）的頻率為0.010x10=0.10,[70,80）的頻率為0.040X

10=0.40,

則C.04+0.10=0.14<0.25,0.04+0.10+0.40=0.54>0.25,所以y6[70,80）,

則10x（0.004+0.010）+（80-y）x0.040=0.25,解得y=77,25,

所以大約成績至少為77.25的學生能得到此稱號，故D正確.

故選：AD.

10.（5分）（23-24高一下?黑龍江大慶?開學考試）已知關于x的不等式Q%2+b%+c>0的解集為{x|x<-2

或x>3},則下列說法正確的是（）

A.a>0B.關于x的不等式bx+c>0的解集是{x|xV-6}

C.a+b+c>0D.關于x的不等式c/一bx+av0的解集為卜卜v或

【解題思路】根據一元二次不等式的解集可確定a>0,可判斷A；用一元二次方程根與系數的關系，用a表

示匕，c,代入不等式，從而判斷BCD.

【解答過程】由關于x的不等式以2+必+（；>0的解集為卜|工<一2或%>3},

知一2和3是方程a/+以+c=0的兩個實根，且Q>0,故A正確；

根據根與系數的關系知：-2=-2+3=1>0,￡=-2x3=-6V0,

aa

所以b=—a,c——6a,a>0,

選項B：不等式+c>0化簡為4+6V0,解得：x<—6,

即不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6},故B正確：

選項C：由于a>0,故a+b+c=a—a-6a=-6aV0,故C不正確；

選項D：不等式ex?-bx+aV0化簡為：6x2—x—1>0,

解得：工6卜卜〈一]或%>m，故D正確;

故選：ABD.

11.(5分)(23-24高二上?黑龍江大慶?開學考試)設函數/(x)的定義域為R,/(%+1)為奇函數，f(x+2)為

偶函數，當％e[1,2]時,/(X)=ax2+b.若/(0)+/(3)=6,則下列關于/(%)的說法正確的有()

A./(%)的一個周期為4B.%=6是函數的一條對稱軸

C.xe[1,2]時，fW=2x2-2D./(甯=1

【解題思路】由/Q+1)為奇函數，/。+2)為偶函數，可求得了(無)的周期為4,即可判斷函數/(幻的對稱

性，由f(x+l)為奇函數，可得/(1)=0,結合/(0)+/(3)=6,可求得a,b的值，從而得到工€[1,2]時，

f(x)的解析式，再利用周期性從而求出/(等)的值.

【解答過程】對于A,7f(x+1)為奇函數，f(1)=0,且/(%+1)=-/(-x+1),函數“外美于點(1,0),

?.?/?(>+2)偶函數，「./'(尤+2)=,晨一工十2),函數/'(X)關于直線工=2對稱，

.?./[(X+1)+1]=-/[-(X+1)+1]=-/(-x),

即/(%+2)=一/(一嗎，二f(r+2)=f(x+2)=-/(-X),

令t=-x,則/(￡+2)=-/?),,??f(t+4)=-f(t+2)=f(t),

f(x+4)=/(%)>故/(x)的一個周期為4,故A正確；

對于B,則直線x=6是函數/(%)的一個對稱軸，故B正確；

對于C、D,,??當％W[1,2]時，/(x)=ax24-b,

:./(0)=/(-1+1)=—/(2)=—4a-b,/⑶=/(I4-2)=/(-1+2)=/(I)=a+b=a+b,

又/(0)+f(3)=6,.3a=6,解得a=-2,

/(I)=a+b=0,?-b=-a=2,

二當xw[1,2]時，f(x)=-2x2+2,故C不正確；

...f管)=屋)=-/(j)=-[-2x(|)2+2]號故D正確.

故選：ABD.

12.(5分)(23-24高三下?山東?開學考試)在四棱錐S-力BCO中，.4BCD是矩形，力。1SD/SDC=120。,§。=

CD=2BC=2,P為棱SB上一點,則下列結論正確的是()

A.點C到平面必。的距離為V5

B.若SP=PB,則過點4。,P的平面。截此四楂錐所得截面的面積為弓

C.四棱錐外接球的表面枳為1711

D.直線4P與平面SCD所成角的正切值的最大值為日

【解題思路】對于A,首先證明AD1面SDC,由此即可進一步通過解三角形驗算；對于B,準確畫出截面,

得截面四邊形4PQD是以AD為下底、PQ為上底，DQ為高的直角喇形，由此即可驗算；對于C,得出r=2,

其中SCD外接圓半徑，結合R=卜+(學可得外接球半徑，進而即可驗算；對于D,由曲，面SDC,

即可判斷.

【解答過程】如圖，

對于A,因為力。15。,4。1。。，又5￡)口。。=/),5。,。。匚面5。。，

所以4D1面SDC,

所以點4到平面SOC的距離為4D=BC=1,

又因為2S0C=120。,SO=CO=2,

所以點C到平面S40的距離為當X2=6,故A正確；

對于B,因為SP=P8,所以點P為棱SB的中點，

取SC中點為Q,連接PQ,DQ,可得平面力PQ。即平面a截此四棱桂所得截面,

且由于Q是SC的中點，點P為棱S8的中點，

所以在△SBC中，PQ是ASBC的中位線，則PQ=T8C=%PQi/BC,

又因為四邊形4BCD是矩形，則BC〃AD,所以PQ/4D,

因為40面SOC,

AD(XffiSDC,QCu面SOC,

所以四邊形4PQ0是以為下底、PQ為上底，DQ為高的直角梯形，

因為S0=C0=2,在等腰三角形SCO中，QD1BC,且Q0平分N/WC,

則Q0=CD-cos^DC=2x1=1,

則平面a截此四楂錐所得截面的面積為；x(1+0x1=^,故B錯誤；

對于C,又因為乙SOC=120°,SD=CZ）=2,所以SC=2cos30°+2cos30°=2百，

所以2r=等=%即r=2,其中r為△SCD外接圓半徑，

Sinz-SDCv3

2

因為力。1面SDC,

所以四棱錐S-”8外接球的半徑為A=卜+（3y=卜+（丁=當，

所以四棱錐S-48CD外接球的表面積為17m故C正確；

對于D,因為面SDC,所以當點P與點S重合時，直線”與平面SCD所成角的正切值的最大值白=金

V33

故D正確.

故選:ACD.

第n卷（非選擇題）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）（23-24高一下?四川成都?開學考試）若（2-i）-z=3i,則z的共枕復數為一1一少.

Ob

【解題思路】化簡復數Z,可得2的共桅復數.

【解答過程】依題意，2=/=^h=-|+力

所以Z的共規復數為一：一自.

故答案為:-1-^i.

14.（5分）（23-24高二下?河南信陌開學考試）已知sin一§+V3costz=貝Usin（2a+3）的值為一：.

【解題思路】

由兩角和差的正弦公式及輔助角、二倍角公式進行化簡求值即可.

【解答過程】因為sin（a-f+6cosa=/化簡得sin（a+9=：

所以sin（2a+'）=sin12（a+—3=—cos2（a+=-[1—2sir?2（a+g）]=-1—2Q）=—

故答案為：

15.（5分）（23?24高二下.河北.開學考試）已知函數f（x）=W，若S=f（O）+f（募）+f（W）+…

+/（短）+/⑵，則S=品.

【解題思路】由解析式推出/（%）+f（2-x）=l,再倒序相加即可.

【解答過程】因為/（x）=忌，所以“2—幻二忌二島

所以/（%）+f（2-x）=1,

由S=/（0）+/島）+f（急）+???+f（翳）+，（2），

則S=f⑵+f（翳）+/（翳）+…+f島）+f（°），

所以25=4049x1,貝1"=等

故答案為：竽

16.（5分）（23-24高三下.上海?開學考試）海邊近似平直的海岸線上有兩處碼頭4、氏且48=3.23km.

現有一觀光艇由B出發，同時在A處有一小艇出發向觀光艇補充物資，經測量其速度為觀光艇的2.13倍，在

M處成功攔截觀光艇，完成補給.若兩船都做勻速直線運動，觀光艇行駛向海洋的方向任意的情況下，小艇

總可以設定合適的出發角度，使得行駛距離最小，則攔截點M距離海岸線的最遠距離為1.95m.（結果保

根據給定條件，利用余弦定理求出cos4再借助函數模型求出最大值即得.

【解答過程】

設8M=x,則AM=2.13BM=2.13%,從而1.13%V3.23V3.13%,即經VxV三,

313113

22（）2

設=則cosJ=3.23+X-2.13X32335369x

2X3.23x200%64600

2

因此xsin。=Vx（l-cos^）=J/-繪-黑守=J12509661614117884187104329

————%4+-—X72———-

4173160000646000040000

上一、八胃加后A7MM-日、@27463357382092000074633573820921865839345523.八

有一次函數、復合函數性質，將仁一161624828。。】2。。。。一16】624828。。12-4。4。62。7。。。3代入一一^一

1250966161A,17884187104329

--------X4+-------X29-------

4173160000646000043000

計算得%sin。?1.95m,

所以攔截點M距離海岸線的最遠距離為1.95m.

故答案為：1.95m.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

17.（10分）（23-24高一下?河北衡水?開學考試）已知集合4=（x\2a-l<x<a+1],B={xI-1<x<2].

（1）若a=-1,求AUB；

（2）若“xe8”是“％e4'成立的必要條件，求實數a的取值范圍.

【解題思路】（1）根據集合的并集運算直接得結果；

（2）根據必要條件可得集合ABF勺關系，對集合A分類討論即可得結論.

【解答過程】（I）因為當。二-1時，A=（xl-3<x<0）,B={xl-l<x<2）,

所以4U8={x|-3<xW2}.

（2）因為七G是“xG4”成立的必要條件,所以4cB,

當力=0時，2Q-1NQ+1,a>2,滿足力q8：

當力H0時，aV2,

a<2

因為4cB,所以一1工2Q—1，解得0<a<1；

,2>a+1

綜上，實數。的取值范圍為0W。&1或。之2.

18.（12分）（23-24高一下?廣東湛江?開學考試）在△力8C中，內角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,

QacosB+bcosA_V3（a2+b2-c2）

c2absinC"

⑴求c；

（2）若b=3,c=求△力8c的面積.

【解題思路】（1）由余弦定理得到吧竺±*=叵*，再由正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡得到

csine

tanC=V3,即可求解；

（2）由（1）及b=3,c=A,利用余弦定理，列出方程求得a的值，結合三角形的面積公式，即可求解.

【解答過程】⑴解：由余弦定理得安=cosC,

acosB+AcosN_b(a2+b2s2)acosB+bcosA百COSC

c7nhKinC'c.yinC

百

又由正弦定理得sir>4cosB+sinBcos4sin(4+B)_cosC

sinCsinCsinC

即當=怨￡,可得百，又因為Cw（0m）,可得C=J.

sinCsinC3

（2）解：由（1）知C=~由余弦定理知cosC==

32ab2

將6=3,c=VT5,代入化簡得/一3a-4=0,解出a=4或a=-1（舍去），

所以△ABC的面枳S=-ab-sinC=-x4x3x—=36.

19.（12分）（23-24高一上.山東青島.期末）已知函數/（%）=sin（3X+0）（3>0,<；）的最小正周期

為2,f。）的一個零點是"

（1）求/'（%）的解析式；

（2）當之￡[0,771]0>0）0寸，f（%）的最小值為一/求m的取值范圍.

【解題思路】

（1）根據題設中周期求得3,再由零點條件可求3,即得函數解析式；

（2）由工的范圍求出整體角心一：的范圍卜5m一部結合正弦函數的圖象，依題意須使irm—三詈，解

之即得m的取值范圍.

【解答過程】(1)由題知7=e=2,所以3=iT.

又因為/(J=sing+0)=0,所以、+0=/nr,kWZ,即：(p=—+kn,ZcGZ

又一3V0V；，則0=一3，

所以f(%)=sin(TTX-J

因為/(%)=sin(nx—J,xG[0,m],令t=TCX-江卜加

因為y=sint在卜,nm一,（6>0）上的最小值為一手如圖,

可知須使—解得mW；,

663

所以m的取值范圍是（0彳].

20.（12分）（2024高三?全國?專題練習）某工廠對生產的一批零件的尺寸進行測量，共計測量2000（）個,

測量所得數據如下頻率分布直方圖所示：

（1）求圖中a的值以及尺寸在［70,80）內的零件數量;

（2）求這批零件尺寸的平均數和中位數（同一組數據用該組區間的中間值代替，結果精確到0.1）；

（3）現采用分層抽樣的方法，從尺寸在［40,50）和［70,80）內的零件中隨機抽取6個，再從這6個零件中任取2

個，求至少有1個零件的尺寸在［40,50）內的概率.

【解題思路】（1）由頻率分布直方圖的性質，列出方程求得a=0.020,進而求得尺寸在［70,80）內的零件

數量;

（2）根據頻率分布直方圖的平均數和中位數的計算公式，即可求解;

（3）根據題意，得到尺寸在［40,50）內的有2個，記為48,尺寸在［70,80）內的有4個，利用列舉法求得基

本事件的總數和所求事件所包含的基本事件的個數，結合古典擷型的概率計算公式，即可求解.

【解答過程】

解：由頻率分布直方圖的性質，可得:

(0.005+0.010+0.015+0.030+a+0.015+0.005)x10=1,解得a=0.020,

所以尺寸在［70,80）內的零件數量為20000x0.020=4000.

（2）解：由題意得，這批產品尺寸的平均數為:

%=35X0.05+45x0.1+55X0.15+65X0.3+75x0.2+85x0.15+95x0.05=66.5,

由頻率分布直方圖，可得前三個小矩形的面積和為(0.005+0.010+0.015)X10=0.3,

前四個小矩形的面積之和為(0.005+0.010+0.015+0.0.030)x10=0.6,

所以數據的中位數為60+乎10x66.7.

（3）解:由題意得,尺寸在［40,50）內的有2個,記為4B,尺寸在［70,80）內的有4個,

記為C,D,E,F,任選2個,

所有的情況為B),(4C),Q4,D),(4E),(A,F),(3,C),(8,D),(8,￡),(8,F),

(C,D),(C,E),(C,尸),(D,E),(D,尸),(瓦F),共15種,

其中滿足條件的為(4B),(4C),其D),(A,E),(4,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),共9種，

根據古典擷型的概率計算公式，可得所求概率p=v='

21.(12分)(23-24高二下?浙江杭州?期末)如圖，在三棱柱48C-4名的中，所有棱長均為2/4/4C=60°,

A^B=V6.

B

（1）證明：平面4遇CG1平面A8C.

⑵求平面84祖與平面的夾角的正弦值.

【解題思路】（1）取4c中點M,證明41M_LBM,再利用線面垂直、面面垂直的判定推理作答.

（2）利用（1）中信息作出平面8&當與平面48c所成二面角的平面角，再借助直角三角形求解作答.

【解答過程】（1）三棱柱48。一481G的所有棱長均為2,取/1C中點M,連接力iM,BM,則8M_L4C,

由AA^AC=60%得A/I/C為等邊三角形，則

顯然4M=BM=A/5,而4B=乃，則4M2+BM2=&B2,有18M,

又HCn8M=M,AC,BMu平面ABC,于是J