廣西玉林市九校2025-2026學年高一下學期期中質量監測數學試卷

廣西玉林市九校2025-2026學年高一下學期期中質量監測數學試卷

一、單選題

1.復數2-3i的虛部為（）

A.3B.3iC.D.-3i

2.若直線/在平面。內，則符號表示正確的是（)

A.IuaB.I//aC.leaD./Ia=A

3.下列關于平面向量的說法正確的是（）

A.若26是共線的單位向量，則萬B.若d二5,則同=網

C.若://方,則出啰=同忖D.若。//尻5〃乙則

4.已知某平面圖形048c的直觀圖是如圖所示的梯形O7VaC,且4力=2,O'C'=3,O'A'=2,則原圖形

C.12D.10

mua,則“/JLm”是“/JLa”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知向量|同=2,75=3,則向量〃在上的投影向量為（

1-1r

A.-bB.-bD.h

32

［卷+憊）死町則三角形44。的形狀一定是（）

7.已知三角形A8C滿足

A.正三角形B.等腰三角形C.直.角三角形D.鈍角三角形

_2_

8.已知VABC的內角A,B,C所對的邊分別為。〃=2?，〃=6,c=4,^AD=-AC,AE=AAB

（0W/IW1）,若8。與CE相交于點尸，則當|而|取最小值時,)

ABCD

-7-I-I-I

二、多選題

9.已知i為虛數單位，復數4="2i,^=2-1,則()

A.4的共扼復數為_1+2iB.|z1|=|z2|

C.4+z為實數D.馬『2的虛部為-5

10.已知向量￡=(2,-3),〃=(〃?一1,〃?)，則()

3

A.若“/〃1?,則=B.若則》=-2

C.若口卜W，則〃?=一2或3D.若m=1,則Z+.與5的夾角為135。

11.在VA8C中，內角A,B,C所對的邊分別為〃，b,c,b=&,/?sin(A+B)=ccosy,則()

A.3=]B.V/43C外接圓的面積為幾

c.VABC面積的最大值為出D.V/WC周長的最大值為2G

4

三、填空題

12.已知向量久=(2,1),則向=.

13.圓錐的底面半徑擴大到原來的2倍，?高縮小為原來的則其體積是原來的一倍.

14.已知菱形A3CO的邊長為1,NAOC=?,將zMOC沿AC翻折，當三棱錐。-ABC表面積最大時，其

內切球表面積為.

四、解答題

15.平面內給定兩個向量4=(—1與)?/7=(Zl).

⑴求4。-2/；,3d+4方的坐標；

⑵若麗=21-/；,阮=5+癡且A、B、C三點共線，求機的值.

16.如圖，三棱柱AB。-內接于一個圓柱，且底面是正三角形，圓柱的體積是16兀，底面直徑與母線

長相等.

(1)求圓柱的底面半徑；

(2)求三棱柱的體積.

17.某校學生利用解三角形有關知識進行數學實踐活動.A處有一棟大樓，某學生選8,C兩處作為測量點,

測得3c的距離為50m,NA8c=45。，ZBC4=105°,在C處測得大樓樓頂。的仰角々為75。

□□

□□

□□

□□

□□

□n

□D

□D

□D

□D

□D

□D

□D

C

(1)求AC兩點間的距離：

(2)求大樓的高度.

18.在VA8C中，內角ARC的對邊分別為瓦。，且2r-a-2bcosA,h-3.

⑴求8的大小；

(2)若"百，求VABC的面積；

(3)求上的最大值.

a+c

19.三角形的布洛卡點是法國數學家、數學教育學家克洛爾于1816年首次發現，但他的發現并未被當時的

人們所注意.1875年，布洛卡點被一個數學愛好者布洛卡重新發現，并用他的名字命名.當VA8c內一點

P滿足條件NPAA=NPBC=NPC4=6m則稱點P為VA&?的布洛卡點，角6為布洛卡角.如圖，在VA&?

中，角人B,C所對邊長分別為mb,c,點2為VABC的布洛卡點，其布洛卡角為6.

A

(1)求證：a-PB+b-PC+c-PA=—AABC.；

sin6^

⑵若A=26,是否存在常數使得/+c2=^ccos20,若存在，求4的值；若不存在，請說明理

由.

(3)若0=30。，試判斷VA3C的形狀.

參考答案

1.c

【詳解】復數2-3i的虛部為的.

故選：C.

2.A

【詳解】對于A：直線在平面內是兩個集合間的包含關系，符號表示為/ua,A正確；

對于B：/||a表示直線與平面平行，不符合題意，B錯誤；

對于C：w是元素與集合的“屬于"符號，僅用來表示點在直線/平面內，不能表示直線與平面的位置關系，C

錯誤；

對于D：/ca=A表示直線與平面相交于點A,不符合題意，D錯誤.

3.B

【詳解】選項A：共線單位向量可同向也可反向，反向時。=從二入A錯誤；

選項B：相等向量的定義是方向相同、模長相等，因此若刁=萬，必有同=|可，B正確；

選項C：力力時，兩向量夾角為。。或180。，夾角為180。時無方=-|同同，C錯誤；

選項D：若B是零向量，零向量與任意向量平行，此時日與"可以不平行，D錯誤.

4.D

【詳解】梯形OW&C中，A'8'=2,O'U=3,O'A'=2,而ZA'OU=4S,

則梯形arzrc的高力=owsin45=&,

因此梯形。4'夕。的面積S,=^(A'Bf+O'Cf)h=呼，

而在斜二測畫法中，直觀圖面積是原圖形面積的立，

4

所以原圖形OA5C的面積為2&$=10.

故選：D

5.B

【詳解】

如圖，正方體ABC。-中，B1C=I,BCy=m,平面為平面a,

其中BC_L8G，BGu平面ABG，顯然8。與平面ABC1不垂直，故不是“/_La”的充分條件;

若/_La,且加ua,根據線面垂直的性質定理,可知/JLm成立,所以“/JL〃z''是"/JLa”的必要條件.

所以，“/_Lm”是“/1a”的必要不充分條件.

6.C

abb3b3r

【詳解】向量不在5上的投影向量為.

7.B

畫品

【詳解】由幾何意義知麗+而對應向量在的角平分線上,

由?戲=0,即N8的角平分線與邊AC垂宜,

所以三角形A8C的形狀一定是等腰三角形.

故選：B

8.C

【詳解】因為a=2幣,b=6,c=4,

由余弦定理得：cos4=m'=36+16—28」,所以4=59。.

2bc2*6x42

_2___

因為而=§/，所以4)=4,

又因為c=A8=4,所以△人3力為正三角形.

則當尸為線段8。的中點時，AFA.BD,即|府'I取最小值，

此時4戶=，4公+，4力=，A#+，*246二1八月+，4已：

2222323

又因為E,F,。三點共線，所以弁=，荏+(17)而=，尢麗+(1T)而,

23

由平面向量基本定理，得，解得.

l-r=-2=-

34

9.BD

【詳解】因為馬=l-2i的共腕復數為2=1+2"所以A錯誤；

因為|十"+（_2）2㈤-次+㈠,一氐所以R正確:

因為Z1+Z2=l-2i+2-i=3—3i,所以C錯誤；

所以虛部為-5,所以D正確.

10.BCD

【詳解】A：若Z//九則2〃?=1）,解得，〃=］,故A錯誤；

B：若￡_1_坂，則2（〃［一1）-3〃?=0,解得機=一2,故B正確；

C：|?|=\/13,令W=J（"L1）2+//=>/15,解得〃2=-2或〃2=3,故C正確;

D：若"?=1,=(0,1),a+〃=(2,-2),

則"+詞=端=瑞巖魯=4

因為（Z+癡”［0。,180。］,所以（Z+反今=135。，故D正確.

11.BC

【詳解】因為bsin（A+B）=ccos。，由正弦定理得sin8sinC=$inCcos',

22

因為8,Ce（0,兀），所以sin^二;，則々=已，即8=］，故A錯誤；

b

由正弦定理得外接圓的半徑為而萬一二萬一，即R=l,

y

所以外接圓的面積為兀2=兀，故B正確；

由余弦定理得b?="+/一2accos3,^3=a2+c2-ac>ac,則ac?3,

當且僅當a=c時，等號成立，所以三角形的面積為：S，A8c=g"sinBwgx3x^=苧，故C正確:

21

由3=〃2+/-ac=(a+c)-3ac>(<a+c)-3---得(a+c)-K12,

則a+cW2>/5,當且僅當a=c時，等號成立,

所以三角形的周長為/=.+力+°436，故D錯誤,

故選：BC

12.眄

【詳解】因為及=（2J）,

則同="+/=技

故答案為：石.

13.2

【詳解】設圓錐的底面半徑以及高分別為，J?,則變化之后的半徑和高分別為2二；人,

則原來的體積為匕=，變化后的體積為匕=:兀（2r）2："='|"',

故％=2匕,

故答案為：2

14.（14-8孫

【詳解】

因為菱形的四條邊相等，對角線互相垂直

三棱錐O-A3C中，面AOC與面A8C的面積是確定的，所以要使三棱錐表面積最大，則需要面08c與面

最大即可，而且SSCB=S.B；

S,mc=；smNDCBDCBC，當=］時，S△加。取得最大值.

過點。向平面A8C作垂線，設AC的中點為E垂足為

DD

因為。8=&，EB=ED=4,所以由余弦定理知cosNBEO=-;,

所以sin/QFO'=迪，易得DD，=也.

33

所以匕…=、旦旦%=叵

D屈3433612

=f

因為S?BD='建葉2S.ARC=S/0c=當

設內切球的半徑為「，則根據等體積法，有:

L"X2+

32)34

吟華二浮解之得y焉,

所以其內切球的表面積為〃兀五丫兀

s=42=414+2⑸=(14-8@

故答案為：(14-8石卜

15.(1)45-2^=(-8,-2),3。+4萬=(5,4)

(2)團=彳

【詳解】(1)因為。=(一1,0),5=(2,1),

所以布一%二4(-1,0)-2(2,1)=(-4,0)-(4,2)=(—8,-2),

3a+4b=3(-l,0)+4(2,1)=(-3,0)+(8,4)=(5,4).

(2)由題意可得，而=2Z?-5=2(-l,0)-(2,l)=(-4,T),

BC=3+mb=(-l,0)+m(2,l)=(2w-l,m),

又A、8、C三點共線，則可得刀〃元,

即毋時⑵“雙一口二。，解得〃1=

16.(1)2；

⑵120

【詳解】（1）設圓柱的底面圓直徑為2r,則該圓柱的高為2r,其體積V=兀/-2-=16兀，解得廠=2,

所以圓柱的底面半徑為2.

（2）由（1）知，正VA8C外接圓半徑為2,則邊長48=2X2XCOS30O=2G，

所以三楂柱ABC—AB￡的體積V=立x(26)2x4=126.

4

17.⑴AC=50忘m

(2)|H)0x/2+50>/6)in

【詳解】（1）因為/剛。=180。一105。-45。=30°,

BCAC

在V48C中，由正弦定理得

sinZBAC~sin/ABC'

50AC

即，所以AC=50及m,

sin30°sin450

即AC兩點的距離為50夜m；

(2)在△OCA中，因為ND4c=90。，—=tana,

AC

所以A。=ACtan750=50>/2tan75o，

c。"

又tan75°=lan(450+30°)=⑦的+tan30==2+43,

'7l-tan^5°tan30°

1------------

3

所以40=50及(2+6)=000匹+50回m,

即大樓的高度為（100及+50x/6）m.

18.(l)y

⑵述

2

嗚

【詳解】(1)由正弦定理得：2sinC-sinA=2sinBcosA,又sinC=sin(乃一(A+B))=sin(A+B),

/.2sin(A+B)-sinA=2sinAcosB+2cosAsinB-sinA=2sinBcosA,

即2sinAcos8=sinA,又Ae(O,%),「.sinAwO,cos=?

又Bw(Q/r),..B=y.

(2)由余弦定理得：b1=a2+c2-2accosB=3+c2-V3c=9,解得：c=2>/J,

=-acsin^=ixV3x2>/3sin-=—.

\ABC

2232

(3)由余弦定理得：b1=a~+C1-2accosB=(^a+c)"-3ac=9,

.?.(a+c)2—9=3acK：(a+cf(蘭且僅當〃二c時取等號)，.?.a+c?6,

又“+c>3,3<?+c<6：

(tz+c)2-9

ac_3_a+c3,

a+ca+c3a+c

令Z=aice(3,6],〃，)=；—；,則〃，)在(3,6]上單調遞增，

即.?.」￡的最大值為"

2a+c2

19.(1)證明見解析?；

(2)存在,2=4；

(3)正三角形.

【詳解】(1)依題意，S^ARr=S^Rr+S^PAC+S=^a-PBsind+^b-PCsinO+^c-PAs\n0,

所以a/B+力?C+C-QA=2SAA8C

sin。

(2)存在實數2=4使等式成立.理由如下：

由(I)得c,AP+〃BP+力。2=叢啜，在APABOPBCSPAC中,由余弦定理得：

sin〃

BP，=c2+AP2-2cApcosO,CP2=a2+BP2-2a-BPcos0,