高考數學 集合與常用邏輯用語、不等式 充分條件與必要條件 （附解析）

充分條件與必要條件

激活思維

1.(教材經典題改編)“一元二次方程加+阪+c=0有實數根”是“廬一

4ac20(aW0)”的(C)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

2.(教材經典題改編)“xWA”是的(B)

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

3.已知。>(),/?>(),weR,則的一個必要不充分條件是(C)

A.B.

C.anv^bnrD.機？

2

4.若“1—mVx+〃7V2〃2”是“T<一1”的必要不充分條件，則實數〃7

X—1

的取值范圍為(1,+8).

2x+1

【解析】因為1-/w<x+/??<2/n<=>\—2m<x<in,且r<—1<=>r<

x-1x—1

0<=>—1<X<1,所以由題意可得(一1,1){x\\-2m<x<m},所以1-2機W—l,

加21,且等號不同時成立，解得小>1,即實數陽的取值范圍是(1,+8).

5.已知p,q都是r的必要條件，s是r的充分條件，9是s的充分條件，那

么『是q的—充要—條件,p是q的—必要—條件.

【解析】因為q=s=r=>q,所以，?是q的充要條件.又g=s=r=>p,所以〃

是夕的必要條件.

聚焦知識

充分條件、必要條件、充要條件的判斷方法

1.定義法：分別判斷“p今夕”及“夕臺p”的真假.

2.集合法：利用集合間的包含關系進行判斷.其中p：A={x\p(x)}fq：B=

充分、必要條件定義法集合法

p是q的充分條件p=qAQB

p是q的必要條件q0P5cA

p是q的充分不必要條件pOq且q^pAB

〃是夕的必要不充分條件p今q且q0PBA

〃是9的充要條件p0qA=B

〃是q的既不充分又不必要條件p書q且q至pAC8且80A

3.傳遞法：若問題中出現若干個條件和結論，應根據條件畫出相應的推式

圖，根據圖中推式的傳遞性進行判斷.

題型突破思維拓展

舉題說法

目標U充要條件的判斷

例1（1）（2025?青島一模）設U為全集，A,8是集合，則“存在集合。使

得AGC,87[uC”是“API8=0"的（C）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【解析】由8UQ/C,得3rle=0,而AUC,則AG5=0,故“存在集合

。使得4GC,BGCuC”是“AG8=。”的充分條件.由AG5=。，存在一個集合

C=A,使得ACC,B?uC,如圖.所以“存在集合。使得ACC,B^CuC”是

“4AB=。”的充要條件.

（2）（多選）已知集合人=*￡1<|/一以+/—3=0},B={x\x<0],則“A「8=

。”是真命題的一個充分不必要條件是（BCD）

A.。<一2或心小

B.a<-2

C.小

D.々V-2或Q2

【解析】因為A={x￡R*—"+〃2—3=()},B={MxV()},所以若“ACIB

=。”是真命題，當A=。時，則/=〃2-4(a2-3)V(),解得々V—2或〃>2,當

AW。時，則由題意可得方程x2一?+〃2—3=()有兩個非負實數根，所以

'/=〃一4(4—3)20,

〈注0,解得黃&W2.綜上，。的取值范圍是{*<一2或

、4—320,

小},即4GB=。是真命題的充要條件為。<一2或小，結合選項知B,

C,D正確.

?總結提燎A

判斷充耍條件的三種方法

(1)定義法：直接判斷“若P，則夕”以及“若q,則〃”的真假.

(2)集合法：利用集合的包含關系判斷.小集合推出大集合，小集合是大集

合的充分不必要條件，大集合是小集合的必要不充分條件；若兩個集合范圍一樣，

就是充要條件的關系.

(3)傳遞法：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由pi0〃20…0p〃，可得

pi=p”；充要條件也有傳遞性.

題組麻繆

1.(2025?蘇錫常鎮一模)是的(D)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【解析】由：>(>()可得OVaV/?,由2">2，>可得〃>仇所以由!>/>0

推不出2。>2〃，即充分性不成立；由2。>2〃也推不若%>0,即必要性不成立.所

以“!>宗。”是“2〃>2叱的既不充分又不必要條件.

2.(2025?開封二模)設/b￡R,則。〈〃的一個充分不必要條件是(D)

22

A.-a>TbB.a-\-b>2ab

C.?>1D.\n(b~a)>0

【解析】對于A,當。=1,b=-1時，滿足/但是不符合故

十〉"不是4Vb的一個充分條件，故A錯誤；對于B,cr-\-lr>2ab,即（〃一。戶〉

0,即。W/?,所以/+/>2出?是〃</?的必要不充分條件，故B錯誤；對于C,

e^>l=e°,即故9廠">1是的充要條件，故C錯誤；對于D,ln（Z?

—a）>0,即b-a>1">〃+1,故\n（b—a）>0是a<b的一個充分不必要條件,

故D正確.

3.（多選）已知〃是一的充分不必要條件，q是一的充分條件，s是一的必要

條件，夕是s的必要條件，則下列命題正確的是（AB）

A.r是夕的充要條件

B.〃是q的充分不必要條件

C,?是g的必要不充分條件

D.,?是s的充分不必要條件

【解析】根據條件弄清楚p,%一，s之間的關系，然后逐一判斷即可.由

已知得〃=r,Tp、qnr,，=s,s=q,所以r=>q且4=/，故A正確，C不正確；

p=q,q+p,故B正確；r=>s且s=r,故D不正確.

4.（多選）下列命題正確的是（ABD）

A.是廿<1”的充分不必要條件

B.\n<0”是“二次方程『十（〃[-3）無+m=0有一正根、一負根”的充要

條件

C."xWl且）WI”是“x+），W2”的充要條件

D.設“，則“4#0”是“"W0”的必要不充分條件

【解析】對于A,由可得OV：V1,所以5Vl成立,所以“”>1”

是“%1”的充分條件；由*1可得。<0或。>1,所以不是廿<1"

的必要條件.綜上，是吟<1”的充分不必要條件，故A正確.對于

B,“二次方程f+（/〃-3）x+m=（）有一正根、一負根”等價于ifxiX2=fn<0ff,

故B正確.對于C,由“xWl且）忘1”可得、+）W2"，但忘2”時,

如工=-3,y=4,此時且)W1”不成立，故C錯誤.對于D,因為。W0

推不出MWO,但帥H0能推出。工0,所以“不0”是“abWO”的必要不充分

條件，故D正確.

目標舊結合充要條件確定參數

Y---1

例2(1)(2025?天津一模)若“三<0”是“上一。|<2"的充分不必要條

件，則實數。的取值范圍是(B)

A.(1,3]B.[1,3]

C.(-1,3]D,[-1,3]

X-1

【解析】因為一V0,則(x—1)a—3)<0=lVxV3.因為|x—。|<2,則

X3

-2Vx-〃V2=〃-2VxV〃+2,即1VXV3是〃一2<xV〃+2的充分不必要條

。一2&1,

件，所以=1

。+223

(2)(2025?秦皇島一模)己知2>(),集合4="*一51一6<()},8="G一2)(工

-2A)<0),若是工￡8的必要不充分條件，則實數2的取值范圍為(B)

A.(0,3)B.(0,31

C.(0,2)D.(0⑵

【解析】A={中2—5x—6<。}={x|—l<x<6},B=

{x|(x-2)(x-2A)<0}={.也<rV22},因為工是的必要不充分條件,

—1W2,

所以8是A的真子集，可得…一，等號不同時成立，結合2>0,解得0V

、2z,W6,

AW3,所以2的取值范圍為(0,3].

，總結提燎A

(l)p:是q:x￡N的充分不必要條件OMN;p:xCM患q:xCN的

必要不充分條件ONM.

(2)在解求參數的取值范圍的題目時，一定要注意區間端點值的檢驗.在利

用集合關系列不等式時，不等式是否能取到等號直接決定著端點值的取舍，在這

里容易增解或漏解.

變式2(2026?青島期初)設〃：x2mq：/+31-10>(),且〃是q成立的

充分不必要條件，則實數。的取值范圍是(B)

A.(0,2)B.(2,4-oo)

C.⑵4-oo)D.(2,5]

【解析】由f+3x-10>0,得工〈-5或x>2,設3=(—8,-5)U(2,

+°°).設滿足p：的集合為A,則A=[〃，+°°).由〃是4成立的充分不必

要條件，知A是B的真子集，所以。>2.

目ME充要條件的證明

例3設%)，￡R.

(1)求證：k+2y|=|工|+21yl成立的充要條件是盯2()；

【解答】先證充分性：因為x)，2(),討論：當x=(),y#0時，k+2y|=2|y|,

kl+21yl=2|y|,所以k+2y|=W+2|y|；當y=0,xWO時，\x+2y\=\x\9W+2|y|

=M,所以k+2y|=|x|+2|y|;當y=0,人=0時，卜+2y|=3+21yl=0.所以當孫

=0時，有k+2y|=|x|+2|)，|成立.當xy>(),即N>0,)，>()或XV(),yVO時，

若x>0,)>0,貝小+2)，|=x+2y=|x|+2|y|；若MVO,y<0,則|x+2y|=-x—

2y,k|+2|y|=—x—2y,所以k+2yl=|x|+2|y|.充分性成立.再證必要性：因為

2

\x+2y\=\x\+2\y\f兩邊平方有x+4y2+49=『+4)，2+4|對引，所以|町|=xy,所

以沖20,必要性成立.綜上，k+2)，|=|x|+2M成立的充要條件是孫20.

(2)直接寫出k+2)，|=k-2y|成立的充要條件(不要求證明).

[解答】因為|x+2y|=|x—2y|oa+2y)2=(x—2曠)2<=>8孫=0=盯=0,所以

k+2y|=k-2yI成立的充要條件是盯=0.

，總結提煉A

充要條件證明的兩個思路

(1)直接法：證明〃是“的充要條件，首先要明確〃是條件，g是結論；其

次推證〃0q是證明充分性，推證g0〃是證明必要性.

(2)集合思想:記p:A=[x\p(x)}tq:B={x|1(x)},若A=B,則〃與夕互為

充要條件.

變式3求證：方程〃謂一2x+3=0(mW0)有兩個同號且不相等的實根的充

要條件是OV〃zV?

【解答】先證充分性：若OVmVQ,則/=4-12”>0,故方程有兩個不

23

相等的實根.設這兩個實根為則二故方程2

XI,X2,Xl+l2=??4,>0,X1X2=—ill->0,"a

—2x+3=0(,〃W0)有兩個同號且不相等的實根.再證必要性：若方程加「一2x+

/=4—12/7i>0,

3=0(〃?#0)有兩個同號且不相等的實根，貝J3解得OVmvg,故

X\X7=—>0,J

必要性成立.

隨堂內化

1.(2025?九江二模)“機>2”是“|m|>log23”的(A)

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

2.設有甲、乙、丙三個條件，如果甲是乙的必要條件，丙是乙的充分條件，

但不是乙的必要條件，那么丙是甲的(A)

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分乂不必要條件

3.(多選)下列四個條件中，可以作為“若mO0R,則〃+〃>()”的一個充

分不必要條件的是(CD)

A.ab>0B.或b>0

C.a+b>2D.。>0且匕>0

【解析】對于A,疝>0,則可能〃V0且。<0,此時所以充分

性不成立；對于B,例如a=—3,b=2,滿足〃>0或〃>0,此時a+〃V0,所

以充分性不成立；對于C,由可得反之不成立，所以。+Z?

>2是〃+%>()的充分不必要條件；對于D,若。>0且8>0,則〃+人>0,反

之，若〃+方>0,不一定得到〃>0且6>0,所以〃>0且〃>0是a+b>0的充

分不必要條件.

4.已知p：x2—（2/H+3）x+/n2+3/n>0,q：x2一工一6W（）.若p是q成立的

必要不充分條件，則實數，〃的取值范圍為（一8,—5）U（3,+8）.

【解析】由題知p：（工一/〃）（上一團—3）>0,則xV〃2或x>/〃+3.q：x2—x

-6W0,即一2WxW3.又〃是q成立的必要不充分條件，所以團>3或m+3V

-2,則〃z>3或〃zV—5,即機的取值范圍為（-8,-5）U（3,+8）.

配套精練

一、單項選擇題

1.（2025?沈陽、大連一模）“工>2”是一2i>0”的（A）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

2.（2025?汕頭一模）"log3Q>log3〃”是的（A）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

3.（2（）25?南昌一模）設〃：（）V〃VI：q：關于x的方程，§sinx+cosx=a有

實數解，則〃是彳的（A）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

4.使得不等式"|戈+1|-x—1>0”成立的一個必要不充分條件是（C）

A.x+2V0B.<0

x+1

C.x<0D.A2-4>0

【解析】由|x+l|—X—1>0,可得|x+l|>x+l,所以x+ivo,解得xV

-1,即印+1|-無一1>0成立的充要條件為xV-l.對于A,由x+2V0,得xV

—2,是“|x+1|—x—1>0”成立的充分不必要條件；對于B,由Wj"VO,得x

<-1,是“仇+1|一]―1>0”成立的充要條件；對于C,XVO是“僅+1|一尤一1

>0”成立的必要不充分條件；對于D,由『一4>0,得XV—2或x>2,是“|x

+1|一]―1>0”成立的既不充分又不必要條件.

5.若“1VXV2”是/一〃）2<1”的充分不必要條件，則實數a的取值范

圍是（C）

A.[1,2）B.（1,2]

C.[1,2]D.（1⑵

【解析】由（x—a）2Vl得。一IVxVa+l.因為1VXV2是不等式（x—々A

a~1W1,

VI成立的充分不必要條件，所以等號不能同時取得，解得

[a+122,

二、多項選擇題

6.如果A是。的充分不必要條件，8是C的充要條件，4是。的必要不充

分條件，則下列說法正確的是（AB）

A.A是8的必要不充分條件

B.8是。的充分不必要條件

C.C是。充要條件

D.8是。的既不充分乂小必要條件

7.“集合A=｛（x,），）片+2尸〈小XWN,y￡N｝只有3個真子集”的一個

充分不必要條件可以是（ABD）

37

--

A.24

37

--

C.1W〃V324

【解析】由題知集合A中只有2個元素，因為x￡N,y￡N,則有：當x

=0,y=0時，f+Z）NnO；當工=1,）,=（）時，/+2），=1；當工=0,y=\時，

f+2y2=2.則。的取值范圍為（1,2],故其一個充分不必要條件可以為ABD.

8.己知〃：|2x—1|<3,q：l^—ax—a2^,若〃是g的必要不充分條件,

則實數。的取值范圍可以是（AC）

A.（-1,0）B.（-2,0]

c.(-1,1)D.(-1,2]

【解析】對于p：|2x-l|<3,解得一1VXV2,設A={x|-1VXV2}.對于

q：Zv2—ox—Mwo,即(2x+4)(x—a)W0,當時，解得一設B=

x—^x^a；當。<0時，解得aWxW—/設2:因為p是

，>—1

^的必要不充分條件，所以BA.當。20時，2'解得0WaV2.當。<0

a<2,

時，ac解得一1V〃VO.綜上，-1V〃V2.故只要實數。的取值集合是集合

{〃|-1V〃V2}的子集即可.

三、填空題

9.若“一IVxVl”是“。一公(工一3一〃)<0”的充分不必要條件，則實數〃

的取值范圍是」一2,-11.

【解析】因為。一a)(x—3—a)V0,所以〃VxV3+a.因為“一1V工<1"

—1,

是“(x—〃)a—3—〃)vo”的充分不必要條件，所以L等號不能同時取

得，解得一2W〃W-1,所以實數。的取值范圍是[-2,-1].

1().已知集合A=x(Jr2—x—6W1I，B=[x]log3(x+〃)21},若x￡A是工

08的必要不充分條件，則實數a的取值范圍是(-8,0L.

【解析】集合4=3|@)d一1-6W1'={.4?一大-620}={.中23或xW

-2),集合B={Hk)g3a+a)\l}={4r+a23}={Mi23—a}.若是工￡8

的必要不充分條件，則84,所以3—。23,解得aWO.

x-11

11.甲同學寫出三個不等式，p：——<0,q：f—ax+3a<0,r：2X>^,然

后將。的值告訴了乙、丙、丁三名同學，要求他們與用一句話來描述，以下是甲、

乙、丙、丁四名同學的描述.

乙：。為整數：

丙：〃是q成立的充分不必要條件；

T：r是夕成立的必要不充分條件；

甲：三名同學說得都對.

則a的值為——1一.

x-1

【解析】P：V0等價于X(X—1)<0,解得OVxVl.因為〃是4成立

11

的充分不必要條件，所以??「八=〃W-5.六由2'>6,解得x>—3,又

[1—。+3〃<02X

r是q成立的必要不充分條件，所以9的解集是「的解集的真子集，在aW—J的

前提下，結合二次函數的性質得到函數的對稱軸二次函數和y軸的

交點為(O,3〃)，3〃VO,二次函數的圖象大致如圖所示，只需要在工=一3處的函

331

數值大于0即可，即9+3〃十3。>0,解得。>一力綜上，一;〈。《一”又因為

。是整數，所以。=一1.

四、解答題

12.已知p：(x+1)(2—x)》O,q：關于x的不等式『+2〃a一加+6>0恒成

立.

(1)當x￡R時q成立，求實數機的取值范圍；

【解答】因為4屆+4團―24V0,所以團2+〃?—6V0,所以一3VmV2,即

實數機的取值范圍為(一3,2).

(2)若〃是“的充分不必要條件，求實數〃，的取值范圍.

【解答】由題知p：—1WXW2,設A={衛-1WxW2},B={x\yr+2nix—tn

+6>0},因為〃是q的充分不必要條件，所以AB.由(1)知，當一3〈機V2時，

B=R,滿足題意.當機=-3時，8={_4?—6犬+9>0}={斗EW3},滿足題意.當

m=2時，8={x|f+4x+4>O}={m：#—2},滿足題意.當機〈一3或機>2時，

(一機V—1,

設/U)=.F+2〃iY—m+6,則的對稱軸為x=-由Az?得J或

1/(-1)>0

-m>2,m>1,m<—2,710

所以<或〈13加+1。>。，解得If或一行<加〈-2,所

卜2)>0，一3m+7>()一

以一號VmV—3或2<〃iV,.綜上可知，〃z的取值范圍為(一孚

35

13.己知集合4=」耶+,2m,集合B={戈|0<xW2},D=

1

(1)若。="|2〃4<1+〃},且CQ(AG8),求實數〃的取值范圍.

【解答】對于x3+g5等價于升,3另或5丁+審3一本5解得或xW