人教版高中數學必修2考點訓練 專項強化10：概率題型精講與精練（原卷版）

專題強化10：概率題型精講與精練

【題型歸納】

＞題型一：隨機事件

＞題型三：事件的關系和運算

＞題型三：互斥事件、對立事件、獨立事件理解

＞題型四：互斥事件、對立事件關系辨析

＞題型五：互斥事件、對立事件和獨立事件概率問題

＞題型六：古典概型計算

＞題型七：整式值隨機數

＞題型八：幾何概型

＞題型九：概率綜合問題

【題型歸納】

題型一：隨機事件

1.（21-22高一下?陜西渭南?期末）下列事件中，是隨機事件的是（）

①經過有交通信號燈的路口，剛好是紅燈；

②投擲2顆質地均勻的股子，點數之和為14：

③拋擲一枚質地均勻的硬幣，字朝上

@13個人中至少有2個人的生日在同一個月.

A.①③B.③④C.①④D.②③

2.（21-22高一下?陜西渭南?期末）下列事件中，是隨機事件的是（）

A.在只裝有5個紅球的袋子中摸出1個球，是紅球

B.在標準大氣壓下，水在-C結冰

C.打開電視機，正在轉播足球比賽

D.地球繞著太陽轉

3.（21-22高一下?黑龍江哈爾濱?期末）下列事件是必然事件的是（）

A.在標準大氣壓下，水加熱到8CTC時會沸騰

B.實數的絕對值不小于零

C.某彩票中獎的概率為二^京，則買1OOOO張這種彩票一定能中獎

I（）0000

D.連續兩次拋擲一枚骰子，兩次都出現2點向上

題型三：事件的關系和運算

4.（2024高一下?全國?專題練習）對空中飛行的飛機連續射擊兩次，每次發射一枚炮彈，設A=（兩彈都擊中飛機｝,

8=｛兩彈都沒擊中飛機｝,C=｛恰有一彈擊中飛機｝,。=｛至少有一彈擊中飛機｝，下列說法不正確的是（）

A.AuZ）B.0C.A\JC=DD.A\JC=B\）D

5.（22-23高一下?山西?期末）拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件4="第一枚正面向上“，事件8二“第二枚反面向上”,

則事件A與8的關系是（）

A.AqBB.A=BC.相互獨立D.互斥

6.（23-24高二上.四川涼山?期中）某籃球運動員進行投籃訓練，連續投籃兩次，設事件A表示隨機事件“兩次都投

中”，事件8表示隨機事件“兩次都未投中”，事件C表示隨機事件“恰有一次投中”，事件。表示隨機事件“至少有一

次投中”，則下列關系不正確的是（）

A.A^DB.8「O=0C.ADB=BUDD.AuC=D

題型三：互斥事件、對立事件、獨立事件理解

7.（24々5高一下?安徽宿州?期中）在投擲一枚質地均勻的骰子試驗中，事件A表示“向上的點數為偶數”，事件8表

示“向上的點數是1或3”，事件C表示“向上的點數是4或5或6”，則下列說法正確的是（）

A.A與8是對立事件B.B與C是對立事件C.人與。是互斥事件D.A與8是

互斥事件

8.（23-24高一下?江西?期末）擲兩枚骰子，觀察所得點數.設“兩個點數都是偶數”為事件E“兩個點數都是奇數”為

事件凡“兩個點數之和是偶數”為事件M，”兩個點數之積是偶數”為事件M則（）

A.事件E與事件廠互為對立事件

B.事件M與事件N相互獨立

C.事件E與事件McN互斥

D.事件廠與事件MuN相互獨立

9.（23-24高一下?江蘇南京?期末）同時拋擲兩枚質地均勻的骰子，觀察向上的點數，設事件A=”第一枚向上點數為

奇數”，事件8="第二枚向上點數為偶數“，事件。="兩枚骰子向上點數之和為8”，事件。="兩枚骰子向上點數之

積為奇數“，貝IJ（）

A.A與C互斥B.A與C相互獨立C.3與。互斥D.4與。相互獨立

題型四：互斥事件、對立事件關系辨析

10.（23-24高一下.陜西西安?期末）有一個游戲，其規則是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點隨機地向東、南、西、

北四個方向前進，每個方向一人，事件“甲向南”與事件“乙向南”是（）

A.互斥但非對立事件B.對立事件

C.非互斥事件D.以上都不對

11.（23-24高一下?福建福州?期末）某小組有2名男生和1名女生，從中任選2名學生參加比賽，事件“至少有1名男

生”與事件“至少有1名女生”（）

A.是對立事件B.都是不可能事件

C.是互斥事件但不是對立事件D.不是互斥事件

12.（23-24高一下.河北邢臺?期末）一個袋子里裝有2個紅球和2個黑球，甲、乙每人隨機不放回地取1個球，則

互斥且不對立的兩個事件是（）

A.“甲取出的球是紅球”與“甲取出的球是黑球”

B.“甲取出的球是紅球”與“乙取H的球是紅球”

C.“甲、乙取出的球都是紅球”與“甲、乙取出的球都是黑球”

D.”甲、乙取出的球都是紅球”與“甲、乙取出的球中至少有1個紅球”

題型五：互斥事件、對立事件和獨立事件概率問題

13.（2￡24高一下.安徽合肥.期末）已知事件互斥，它們都不發生的概率為'且P（A）=2P⑻，則）

A.-B.C.\D.-

181899

14.（23-24高一下.江蘇常州.期末）已知事件A8互斥，它們都不發生的概率為:，且P（人）=22（6，則P（彳）=（）

1452

A.-B.-C.-D.一

3993

15.（23-24高一下?河北張家口?期末）如圖，某電子元件由A,B,。三種部件組成，現將該電子元件應用到某研

發設備中，經過反復測試，A,B,C三種部件不能正常工作的概左分別為（，4,g,各個部件是否正常工作相

互獨立，則該電子元件能正常工作的概率是（）

題型六：古典概型計算

16.（23-24高一下.貴州黔西.期末）中國古代數學著作主要有《周髀算經》，《九章算術》，《海島算經》，《四元玉鑒》,

《張邱建算經》，若從上述5部書籍中任意抽取2部，則抽到《九章算術》的概率為（）

A2

-得B-ICD.

-55

17.（23-24高一下?江蘇南京?期末）從分別寫有1,2,3,4的4張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片

上的數字之和是偶數的概率為（）

18.（23-24高一下?天津西青?期末）從兩名男生（記為石和生）、兩名女生（記為G和5）中任意抽取兩人，分別

采取不放回簡單隨機抽樣和有放回簡單隨機抽樣.在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人是一男生一女生的概率分別

為（）

21八11八12h11

A.一,—B.—C.一,—D.一,一

32462364

題型七：整式值隨機數

19.（23-24高一下?河南開封?期末）在一次奧運會男子羽毛球單打比賽中，運動員甲和乙進入了決賽.假設每局比

賽甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4.現采用隨機模擬的方法估計甲獲得冠軍的概率.先由計算機模擬產生

1~5之間的整數隨機數，當出現隨機數1,2或3時表示甲獲勝，出現4,5時表示乙獲勝.因為比賽采用了3局2

勝制，所以每3個隨機數為一組，代表3局的結果，經隨機模擬產生以下20組隨機數：

423123423344114453525332152342

534443512541125432334151314354

據此估計所求概率的值為（）

A.0.3B.0.35C.0.6D.0.65

20.（22-23高一下?安徽宣城?期末）盒子中有四張卡片，分別寫有“筆墨紙硯''四個字，有放回地從中任取一張卡片,

直到“紙”“硯”兩個字都取到就停止，用隨機模擬的方法估計恰好在第三次取到卜片后停止的概率.利用電腦隨機產

生1到4之間取整數值的隨機數，分別用1,2,3,4代表“筆墨紙硯”這四個字，以每三個隨機數為一組，表示三

次的結果，經隨機模擬產生了以下20組隨機數：

343432314134234132243331112324

342241244342124431233214344434

由此可以估計，恰好第三次結束時就停止的概率為（）

21.（22-23高一下?福建福州?期末）采取隨機模擬的方法估計氣步槍學員擊中目標的概率，先由計算器算出0到9

之間取整數值的隨機數，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中，以三個隨機數為一組，代表

三次射擊擊中的結果，經隨機數模擬產生了20組隨機數：

107955181935271832612458329683

331257393027556498730113537989

根據以上數據估計，該學員三次射擊恰好擊中1次的概率為（）

題型八：幾何概型

22.（21-22高一下?青海海東?期末）已知直角VABC的兩條直角邊分別為3,4,且VA8C的三個頂點都在圓。上，

若在圓。內隨機取一點，則此點取自VA3C內的概率是（）

6「12「24八48

5兀5兀25兀25兀

23.（21-22高一下?陜西渭南?期末）小李同學從網上購買了一本數學輔導書，快遞員計劃周日上午8:30-9:30之間

送貨到家.小李上午有兩節視頻課，上課時間分別為7:50-8:30和840-9:20,則輔導書恰好在小李同學非上課時

間送到的概率為.

24.（21-22高一下?陜西渭南?期末）對于二維碼，人們并不陌生，幾年前，在門票、報紙等印刷品上，這種黑白相

間的小方塊就已經出現了.二維碼背后的趨勢是整個世界的G聯網化，這一趨勢要求信息以更為簡單有效的方式從

線下流向線上.如圖是一個邊長為4的“祝你考試成功”正方形二維碼，為了測算圖中黑色部分的面積，在正方形區

域內隨機投擲400個點，其中落入黑色部分的有250個點，據此可估計黑色部分的面積為.

題型九：概率綜合問題

25.（24-25高一下?貴州遵義）某商場為了吸引顧客，規定購買一定價值的商品可以獲得一次抽獎機會，獎品價值分

別為10元、20元、30元、40元.已知甲抽到價值為10元、20元、30元、40元的獎品的概率分別為《士士，，

6336

且每次抽獎結果相互獨立.

（1）已知甲參與抽獎兩次，求甲兩次抽到的獎品價值不同的概率；

⑵求甲參與抽獎三次，抽到兩種不同價值的獎品，且獲得的獎品價值總和不低于8（）元的概率.

26.（24-25高一上?湖南邵陽?期末）每年的10月1日是國慶節，為慶祝該節日，某學校舉辦了“知識競賽競賽共

32

分兩輪，即每位參賽選手均須參加兩輪比賽，已知在第一輪比賽中，選手甲，乙勝出的概率分別為:，-；在第二

43

輪比賽中，選手甲，乙勝出的概率分別為p,q.假設甲，乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.

（1）若夕=3,求乙恰好有一輪勝出的概率；

O

96

（2）若甲，乙各有一輪勝出的概率為二，甲，乙兩輪都勝出的概率為7T.

①求p,q的值;

②求甲，乙兩人至少有i人兩輪都勝出的概率.

27.（24-25高一下?北京?期中）2024年奧運會在巴黎舉行，中國代表團獲得了40枚金牌，27枚銀牌，24枚銅牌，

共91枚獎牌，取得了境外舉辦奧運會的最好成績，運動員的拼搏精神給人們留下了深刻印象.為了增加學生對奧

運知識的了解，弘揚奧運精神，某校組織高二年級學生進行了奧運知識能力測試.根據測試成績，將所得數據按照

[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6組，其頻率分布直方圖如圖所示.

⑴求該樣本的第75百分位數；

（2）試估計本次奧運知識能力測試成績的平均分（同一組中的數據用該組區間的中點值作為代表）；

（3）該校準備對本次奧運知識能力測試成績不及格（60分以下）的學生，采用按比例分配的分層隨機抽樣方法抽出5

名同學，再從抽取的這5名同學中隨機抽取2名同學進行情況了解，求這2名同學分數在[40,50）,[50,60）各一人的

概率.

【專題強化】

一、單選題

1.（24-25高一下?江西景德鎮?期中）拋一枚質地均勻的骰子兩次，設事件N表示“第二次朝上的數字為偶數”，則下

列事件中與事件N相互獨立的是（）

A.第二次朝上的數字是奇數B.第二次朝上的數字為2

C.兩次朝上的數字之和為9D.兩次朝上的數字之和為10

2.（24-25高一上?陜西漢中?期末）有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國結、記事本、筆袋，第四個禮盒里面三

種禮品都有，現從中任選一個盒子，設事件A：所選盒中有中國結，事件3：所選盒中有記事本，事件C：所選盒

中有筆袋，則O

A.事件A與事件8互斥B.P（AB）=P（A）P（B）

C.事件A與事件BuC互斥D.尸（BIC）=0.5

3.（24-25高一上?遼寧錦州?期末）數學與文學有許多奇妙的聯系，如詩中有回文詩：“影弄花枝花弄影”，既可以順

讀也可以逆讀.數學中有回文數，如343,12521等，兩位數的回文數有11,22,33,,99共9個，茬從三位數的回文

數中任取一個數，則取出的數是奇數的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

3479

4.（24-25高一上?北京房山?期末）擲一個骰子，觀察朝上的面的點數，設事件“點數為奇數”，事件N="點數

為3的整數倍"，若P（M）,P（N）分別表示事件加，N發生的概率，則（）

A.P（M）=LP（N）=-B.P（M）=L,P（N）=L

3223

C.P（M）=P（N）=5D.P（M）=P（N）=；

5.（24-25高一上?貴州遵義?期末）新高考選科要求3+1+2,語數外+（物理、歷史）二選一+（政治、地理、化學、

生物）四選二.針對高一某同學的選科組合有如下事件，事件人“選物理”，事件中選歷史”，事件U選化學”，事件

。“選政治”，則下列正確的是（）

14

A.事件C與事件。互斥B.P（C）=-C.事件A與事件8對立D.P（CD）=-

65

6.（24-25高三上?江蘇常）從裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內一次取出2個球，有如下的一些事件：①兩球都

不是白球；②兩球恰有一個白球；③兩球至少有一個白球，其中與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是（）

A.③B.①③C.②③D.①②

7.（23-24高一下?安徽?期末）某幼兒園一名小朋友過生口，幼兒園老師為該小朋友準備了5個一樣的盒子，其中4

個盒中各裝有一個變形金剛玩具，另外1個盒中裝有一套積木玩具.這名小朋友要從這5個盒中選出2個盒子作為

生日禮物，則恰好取到1個變形金剛玩具和1套積木玩具的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

5555

8.（23-24高一下?貴州貴陽?期末）關于事件A和事件8,下列說法錯誤的是（）

A.若A與3互為互斥事件，則尸（A）=1-P（B）

B.若4q8,則A與B互斥

C.若A與3互斥，則P（AJ8）=P（A）+P（8）

D.若A與3相互獨立,則P（AB）=P（A）P（5）

9.（23-24高一下?吉林?期末）甲、乙、丙三位同學進行乒乓球比賽，約定賽制如下：（1）累計負兩場者被淘汰：（2）

比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；（3）每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，

直至有一人被淘汰；（4）當一人被淘汰后，剩余兩人繼續比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束.

經抽簽甲、乙首先比賽，丙首輪輪空，設每場比賽雙方獲勝概率都為g，則丙最終獲勝的概率為（）

A.—B.—C.~D.—

161628

10.（23-24高一下?河南漂河?期末）已知甲罐中有四個相同的小球,標號為1,2,3,4,乙罐中有三個相同的小球,標

號為123,從甲罐、乙罐中分別隨機抽取1個小球，記事件"抽取的兩個小球標號之和大于5”，事件8二“抽取

的兩個小球標號之積小于6”，則下列說法錯誤的是（）

A.事件A發生的概率為!B.事件A8相互獨立

C.事件A8是互斥事件D.事件AJ8發生的概率為。

二、多選題

11.2（3-24高一下?河北張家口?期末）下列命題正確的有（）

A.一組數據分別是82,84,86,88,95,96,94,則該組數據的上四分位數是96

B.對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件

C.不可能事件與任意事件相互獨立

D.若事件A,8獨立,則P（A+8）=P（A）+P（8）

12.（23-24高一下?安徽六安?期末）有6個相同的球，分別標有數字I,2,3,4,5,6,從中不放回的隨機取兩次,

每次取I個球，事件A表示“第一次取出的球的數字是偶數”，事件3表示“第二次取出的球的數字是奇數”，事件C表

示“兩次取出的球的數字之和是偶數”，事件。表示“兩次取出的球的數字之和是奇數”，則（）

A.A與8是互斥事件B.C與。互為對立事件

C.8發生的概率為gD.8與C不相互獨立

13.（23-24高一下?福建福州?期末）下列描述正確的是（）

A.若P（AB）=!，P（4）=lP（B）=（，則事件A與8相互獨立

443

B.A與A是互斥事件”是“A與A互為對立事件”的充分不必要條件

C.擲兩枚質地均勻的骰子，”第一枚出現奇數點”與“第二枚出現偶數點”不是互斥事件

D.一個袋子中有2個紅球，3個綠球，采用不放回方式從中依次隨機地取出兩球，第二次取到紅球的概率是4

4

14.（23-24高一下?福建福州?期末）從裝有3個紅球和3個黑球的口袋內任取兩個球，則下列說法正確的是（）

A.“至少有一個黑球”與“都是黑球”是互斥而不對立的事件

B.“至少有一個黑球,,與“至少有一個紅球..不是互斥事件

C.“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”是互斥而且是對立的事件

D.“至少有一個黑球”與“都是紅球”是對立事件

15.（23-24高一下.貴州安順.期末）已知48是相互獨立事件,且。（加=〃（8）=，則下列說法一定正確的是（）

A.A與B可能互斥B.因為P（4）+P（B）=1,所以A與8可能相互對立

C.P（ALI3）=-D.P（AB）=-

44

16.（23-24高一下?山東聊城?期末）連續拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，記錄每次朝上的點數，設事件A為“第一次

的點數是5”，事件B為“第二次的點數大于3”，事件。為“兩次點數之和為奇數”，則（）

A.=；B.事件A與事件。互斥

C.事件A與C相互獨立D.P（AUC）q

17.（23-24高一下?山東臨沂?期末）不透明盒子里裝有除顏色外完全相同的2個黑球、3個白球，現從盒子里隨機取

出2個小球，記事件A=“取出的兩個球是一個黑球、一個白球“，事件8=”兩個球中至多一個黑球“，事件C="兩

個球均為白球“，則（）

A.P（A）=IB.-*C.P（AB）=gD.—?

三、填空題

18.（23-24高一下吶蒙古?期末）在如圖所示的3x3方格表中選3個方格，要求每行和每列均恰有1個方格被選中,

□在所有符合i上n述要求的選法中，所選方格中的3個數均為奇數的概率為.

d

□E□

19.（23-24高一下?江蘇無錫?期末）某校有8名學生參加物理知識競賽，其成績如下：65,71,78,82,85,88,

90,93,假設這8名學生成績的第6（）百分位數是N.若在這8人中隨機選取兩人，則這兩人的成績都低于N的概率

為.

20.（23-24高一下?寧夏固原?期末）體育課上甲、乙兩名同學進行投籃比賽（甲、乙各投籃一次），甲投中的概率為

0.7,乙投中的概率為0.8,則甲、乙兩人恰好有一人投中的概率為.

21.（23-24高一下?陜西西安?期末）我國古代十進制數的算籌記數法是世界數學史上一個偉大的創造，算籌一般為

小圓棍，算籌計數法的表示方法為：個位用縱式，十位用橫式，百位再用縱式，千位再用橫式，以此類推；遇零則

置空.縱式和橫式對應數字的算籌表示如下表所示，例如：10記為“一”，62記為現從由4根算籌表示的兩

位數中任取一個數，則取到的數字為質數的概率為.

數字123456789

縱式1IIIII1111muTT￥mr

橫式—1■

22.（23-24高一下?吉林長春?期末）數學來源于生活?，約3000年以前，我國人民就創造出了屬于自己的計數方法.

十進制的算籌計數法就是中國數學史上一個偉大的創造，算籌實際上是一根根同長短的小木棍.下圖是利用算籌表示

數卜9的一種方法.例如：3可表示為“二”，26可表示為“-1-,現有5根算籌，據此表示方法，若算籌不能剩余,

則用1~9這9個數字表示的所有兩位數中，能被4整除的概率是.

_—===J_J-ii

123456789

23.（23-24高一下?廣東肇慶?期末）如圖，M到N的電路中有5個元件（，T2,乙，4,電流能通過刀，，，

4的概率都為0.8,電流能通過I的概率為0.9,且電流能否通過各元件相互獨立，則電流能在M與N之間通

過的概率為

四、解答題

24.（23-24高一下?安徽馬鞍山?期末）已知甲、乙兩袋中各裝有4個質地和大小完全相同的小球，甲袋中有紅球2

個、白球1個、藍球1個，乙袋中有紅球1個、白球1個、藍球2個.

（I）從兩袋中隨機各取一球，求取到的兩球顏色相同的概率；

（2）從甲袋中隨機取兩球，從乙袋中隨機取一球，求取到至少一個紅球的概率.

25.（23-24高一下?江蘇南京?期木）為了選拔培養有志于服務國家重大戰略需求且綜合素質優秀或基礎學科拔尖的

學生，教育部啟動了“強基計劃''的招生改革工作.某校強基招生面試有兩道題，兩道題都答對者才能通過強基招生面

試.假設兩題作答相互獨立，現有甲、乙、丙三名學生通過考核進入面拭環節，他們答對第一題的概率分別是，

II2

答對第二題的概率分別是5，不刀.

乙oa

⑴求甲考生通過某校強基招生面試的概率；

（2）求甲、乙兩位考生中有且只有一位考生通過強基招生面試的概率;

（3）求甲、乙、丙三人中至少有一人通過強基招生面試的概率.

26.（24-25高一上?安徽蚌埠?期末）某班元旦聯歡會上開展趣味抽獎小游戲，在不透明的盒子里裝有標號為1,2的

兩個紅球和標號為3,4,5的三個白球，五個小球除顏色外完全相同，參與游戲的同學從中任取1個，有放回的抽

取2次，根據抽到小球的情形分別設置一，二，三等獎.班委會討論了以下兩種規則：

規則一：若抽到兩個紅球且標號和為偶數獲一等獎，抽到兩個白球且標號和為偶數獲二等獎，抽到兩個球標號和為

奇數獲三等獎，其余不獲獎；

規則二：若抽到兩個紅球且標號和為奇數獲一等獎，抽到兩個球的標號和為5的倍數獲二等獎，抽到兩個球標號和

為偶數獲三等獎，其余不獲獎.

⑴請以標號（X,），）寫出兩次抽取小球的所有結果（其中x,y分別為第一、第二次抽到的小球標號）；

（2）求兩種規則下獲得二等獎的概率；

（3）請問哪種規則獲獎概率更大，并說明理由.

27.（24-25高二上?四川綿陽?期中）單項選擇與多項選擇題是數學標準化考試中常見題型，單項選擇一般從A,B,

C,D四個選項中選出一個正確答案，其評分標準為全部選對的得5分，選錯的得0分；多項選擇題一般從A,B,

CD四個選項中選出所有正確的答案（四個選項中有兩個或三個選項是正確的），其評分標準為全部選對的得6分,

部分選對的得部分分（兩個答案的每個答案3分，三個答案的每個答案2分），有選錯的得。分.

（I）考生甲有一道單項選擇題不會做，他隨機選擇一個選項，求他猜對本題得5分的