自動控制原理 第4章習題參考答案

第4章習題參考答案

4.1什么是根軌跡？繪制根軌跡的依據是什么？

解根軌跡指的是當開環傳遞函數中某一參數從零變化到無窮大時，閉環特

征根(即閉環極點)在復平面上移動的軌跡。

繪制根軌跡的依據是幅值條件和相角條件。

4.2什么是幅值條件？什么是相角條件？這兩個條件在繪制根軌跡中各起

什么作用？

解幅值條件：

Ell

\G(s)H(s)\=^-----=1

J=I

相角條件：

NG(s)"(s)=ZN(s-Zj)-Z4s-p”±(2k+l)i(k=0,1,2,)

i=iJ=1

相角條件是確定S平面上一點是否在根軌跡上的充分必要條件；幅值條件可

以用于確定根軌跡上某點所對應的根軌跡增益值。

4.3附加開環零點和開環極點對系統根軌跡各有什么影響？

解附加開環零點，可以使系統的根軌跡向左彎曲，從而提高了系統的穩定

度，有利于改善系統的動態性能；而且，所增加的開環冬點越靠近虛軸，其影響

就越大。

附加開環極點，使得系統根軌跡向右偏移，降低了系統的穩定度，不利于改

善系統的動態性能；而且，所增加的極點越靠近虛軸，這種作用就越顯著。

4.4已知系統的開環零、極點分布如圖4-23所示，試概略繪制相應的根軌跡

(a)(b)(c)

(d)(e)⑴

圖4-23題4.4圖

解根軌跡草圖如下。

(c)

題解圖4.4

4.5已知單位負反饋系統的開環傳遞函數，試概略繪出相應的系統根軌跡。

(1)G(s)=K($+l)

s

K

(2)G(s)=

5(r+4s+8)

K(s+5)

(3)G(s)=

s(s+2)(s+3)

解（1）系統開環傳遞函數為69二絲助

1）起點：兩個開環極點：〃]=0,〃2=（）；終點：一個開環零點馬二-1,一

個無限零點。

2）實軸上的根軌跡區間：（YO,T]

3）分離點計算。

O（s）N'（s）—O'G）N（s）=0

整理得.V2+2V=0

解得M=0，52=-2o

根軌跡如題解圖4.5（1）所示。

RootLocusRootLocus

6

?-《

PS4

<U

X2

9>

)S

SO

X

4

A

J

e

w-Y2

s

e

w

-

-6

-6-4-2

RealAxis(seconds*1)

題解圖4.5（1）題解圖4.5（2）

K

（2）系統開環傳遞函數為G（，）=

5(/+4$+8)

1）起點：三個開環極點：=0,〃2.3=-2±，2；終點：三個無限零點c

2）實軸上的根軌跡：（-co,（）]

3）漸近線:

。+(-2+冏+(-2-/2)4

“33

(2k+1)兀,兀

4）分離點計算。

D(s)N'(s)—D'(s)N(s)=b

整理得3/+8$+8=()

解方程可知實軸上不存在分離點。

5）根軌跡與虛軸交點。系統特征方程為

D(5)=?+4?+85+/C=0

把S=J0代入特征方程，整理并令其實、虛部分別為零得:

Rc(￡>(j6y))=/C-4<y2=0

Im(￡>(j7y))=8^y-d=0

69=0(O=±2y/2

解得:

K=0K=32

6)出射角計算。由相角條件得

S%=45。

根軌跡如題解圖4.5⑵所示。

K(s+5)

(3)系統開環傳涕函數為G(s)=

s(s+2)(s+3)

1)起點：三個開環極點：巧=0,〃2=-2,〃3=-3；終點：一個開環零點z,=-5,

兩個無限零點。

2)實軸上的根軌跡：[-2,0],[-5,-3]

3)漸近線傾角及漸近線與實軸的交點。

0+(-2)+(-3)-(-5)

5,=---------2---------=0n

(2Z+1)不

網=-^-=±萬

4)分離點計算。

。⑸N'(s)—O'(s)NG)=0

解方程可知分離點為：5=-0.886o系統根軌跡如題解圖4.5(3)所示。

RootLocus

20

r

s

8=

豈

.2*

v

sx

=-

s^

-=

-20

RealAxis(seconds1)

題解圖4.5(3)

4.6設單位負反饋控制系統的開環傳遞函數為

G(s)=---------------

5(0.25+1)(0.55+1)

(1)繪出系統的艱軌跡圖。

(2)確定使系統處于臨界穩定時的根軌跡增益和開環放大系數。

(3)確定使系統處于臨界阻尼狀態時的根軌跡增益和開環放大系數。

解(1)將系統開環傳遞函數整理為

5(5+5)(54-2)

1)起點：三個開環極點：=0,〃2=-5,〃3=-2；終點：三個無限零點。

2)實軸上的根軌跡區間：[-2,0],(YO,—5]

3)漸近線計算。由公式計算獲得漸近線傾角及漸近線與實軸交點為：

0-2-57

(7------------

33

(2A+1)乃,TC

4)分離點計算。

D(s)N，G)-D'G)N(s)=U

整理得3?+14.y+10=0

解得51=-0.88,%=-3.7863(舍去)。

5)與虛軸的交點。系統特征方程為

O(s)=s(s+5)(5+2)+1OK=0

令s=M代入系統特征方程，得

D(jco)=W0+5)(m+2)+lOK=O

令

Re[D(j(o)]=0

Im[￡)(j^)]=0

求解得K=7。根軌跡與虛軸的交點：0,±V10j)o根軌跡如題解

圖4.6所示。

RootLocus

(

T

3

P150

U

O

M

3

》

?0

x

v

A

aJ

u

B-

C-5

E

-10

-15

?20-15-10-5010

RealAxis(seconds1)

題解圖46

(2)系統處于臨界穩定時的開環放大系數為：K=7,根軌跡增益為:

K.=l0K=70

CT

(3)已求得根軌跡分窗點為以=-0.88,根據幅值條件可以求出該分離點對

K

應的根軌跡增益為：?4.06l；而開環放大系數K=」=0.4061。

?10

4.7考慮圖4-24所示的控制系統，試繪制K從0—8時，閉環系統的根軌跡

圖，并確定增益K的取值范圍以保證系統的穩定性。

圖4-24題4.7圖

解由結構圖可知，系統開環傳遞函數為

an=2K(s+l)K,(s+l)

$2(S+2)(S+5)s"(s+2)(s+5)

1)起點：四個開環極點：Pi=。，〃2=。，〃3=-2,=-5；終點：三個無

限零點和一個開環零點4二-1。

2)實軸上的根軌跡區間：[-2,-1],(-00,-5]

3)漸近線計算。由公式計算獲得漸近線傾角及漸近線與實軸交點為：

,二°一2一5…7

“3

(2k4-\)7T,兀

七二一--二土三，"

JJ

4)根軌跡與虛軸的交點。系統特征方程為

D(S)=S2(S+5)(S+2)+2K(s+1)=0

把s=代入特征方程，得

D(jco)=，砥/@+5)(/0+2)+1OK=0

整理并令其實、虛部分別為零，得根軌跡與虛軸的交點(0,±;1.72),臨界根

軌跡增益為20.8,即參數OvKvlO.4時閉環系統穩定。根軌跡如題解圖4.7所示。

RootLocus

15

10

■

PS

OU5

。①

)s

s

x

<0

ja

￡e

b6

_e

-15

-200510

RealAxis(seconds)

題解圖4.7

4.8單位負反饋控制系統的開環傳遞函數為

G杵"

(1)繪制系統的艱軌跡圖。

(2)試用根軌跡法確定系統穩定時K的取值范圍。

解1)起點：三個開環極點：Pl=0,〃2=1,〃3=-4；終點：兩個個無限零

點和一個開環零點Z]=-lo

2)實軸上的根軌跡區間：[0,1],M,-l]

3)漸近線計算。由公式計算獲得漸近線傾角及漸近線與實軸交點為：

0+l-4-(-li1

(y=------------=-1

n2

.(24+1)萬,胡

產22

4)分離點計算u

￡>(s)N'(s)-O'(s)N(s)=0

得(352+65-4)(5+l)-(?+3s2-45)=0

解方程，確定分離點為4=0.44。

5)與虛軸的交點。系統特征方程為

D{s}=s(s-1)(54-4)+K(s+1)=0

令S=代入系統特征方程，得

D(ja))=1)(+4)+K(jco+1)=0

令

Rc[D(j^)]=0

Im|D(j7y)l=0

解得根軌跡與虛軸的交點為(0，±J1.4),臨界根軌跡增益為6。因此，當K>6

時，閉環系統穩定。根軌跡圖如題解圖4.8所示。

b(

lS

P

U

O

O

a

)s

s

x

<

.

U

2

6

E

U

J

_

題解圖4.8

4.9已知單位負反饋控制系統的開環傳遞函數為

K(s+0.2)

G（5）=

/(s+3.6)

利用MATLAB繪制系統的根軌跡，并確定K=2時閉環極點的位置。

解根軌跡起點是三個開環極點：Pi=