2026高考數(shù)學二輪復習專練：隨機變量及其分布

專題突破練15隨機變量及其分布

必備知識夯實練

1.（2025福建福州三模）已知隨機變量上3（〃$,若鳳㈤=2,則P（X=2）=（）

之

AA14B%

C.1D.|

28

2.（2025河北唐山一模）隨機變量X?N（%W）Q>0.若尸（><4+G=p,則尸）

A.l-pB.2-2/7

C.p-|D.2p-1

3.（多選題）（2025廣東清遠模擬）離散型隨機變量X的分布列如下：

X12J4

pm0.3n0.2

若石（川=2.7,則下列結論正確的是（）

A.〃?+〃=0.5B.E（3A^1）=7.1

C.DC￥）=0.81D.P（X>2）=0.5

4.（多選題）（2025湖南長沙模擬）盒中有.3個球，其中1個紅球,2個黃球.從盒中隨機不放

回地取球,每次取1個，直到取出紅球為止.設此過程中取到黃球的個數(shù)為空分別

為隨機變量。的均值與方差，則下列結論正確的是（）

A.P（0=0）3B.E?=1

C.E（3c+l）=3D.D（3]1）=6

5.（多選題）（2025江蘇蘇州模擬）隨機變量X的分布列如下表，隨機變量丫?以3,|）.設

z=xy,p（z=0）=g,且x與y相互獨立，則下列說法正確的是（）

O1

Xa1

Pp1-P

A5D1

A.p=X-/B.p=-o

C.a=0D.E(Z)=j2

1

6.（2025河南鄭州一模）統(tǒng)L學中通常認為服從正態(tài)分布M/，，）的隨機變量X只取a-

30什3。）中的值.假設某廠生產(chǎn)的包裝盒的厚度（單位:mm）六Ml。4）,某天檢測員隨機抽

取了一個包裝盒，測得其厚度不小于16mm,他立即判斷生產(chǎn)出現(xiàn)了異常，由此可知。的最

大值為__________.

7.（2025安徽黃山模擬）切比雪夫不等式是19世紀俄國數(shù)學家切比雪夫在研究統(tǒng)計規(guī)律

時發(fā)現(xiàn)的，其內容是:對于任一隨機變量X,若其數(shù)學期望演㈤和方差。（㈤均存在，則對任

意正實數(shù)￡，有尸（|X-E（㈤.根據(jù)該不等式可以對事件|不￡（㈤|<￡的概率作出估計.

現(xiàn)拋擲一枚骰子,當出現(xiàn)5點或6點時，就說這次試驗成功，在〃次拋擲中屋記成功次數(shù)為

X,為了至少有98%的把握使試臉成功的頻率在區(qū)間d小內，估計拋擲的次數(shù)〃的最小值

為.

8.（2025山東濰坊模擬）一個點從數(shù)軸的原點開始運動、通過投擲骰子決定運動方向:若出

現(xiàn)1,4時,向負方向移動1個單位長度;若出現(xiàn)2,3,5,6時,向止方向移動2個單位長度.投

擲1次骰子，該點位置的均值為__________.投擲6次骰子后，概率大于整的點的位置存

243

在的最小區(qū)間為.

關鍵能力提升練

9.（多選題）（2025廣東深圳二模）隨機變量X）分別服從正態(tài)分布和二項分布，且

六曲（3,1）,卜3（6$,則（）

\.E（X）=E（Y）

B.D（X）=D（r）

C.P（XW1）=P（X25）

D.Pg3）>P（X24）

10.（2025廣東惠州模擬）有2〃個人圍坐在一個圓桌邊上，每人都越過桌面與另外一人握

手,若要求所有人握手時手臂互不交叉，例如〃=2時,一共有4個人.以1.2,34表示.握手兩

人用一?條線連接，共有2種方式，如圖所示.記一次握手中，共有丫對相鄰的兩人握手，當

〃=4時,丫的數(shù)學期望￡（y）=___________.

2

11.(15分)(2025上海普陀二模)某區(qū)為推進教育數(shù)字化轉型，通過聚合區(qū)域學校的教育資

源，依托AI技術搭建了區(qū)域智慧題庫系統(tǒng),形成了“A通識過關一B綜合拓展—C創(chuàng)新提

升“三層動態(tài)原庫，且A,B,C三層題量之比為7：3：2,設該題庫中任意1道題被選到的

可能性都相同.

(1)現(xiàn)有4人參加一項比賽、若每人分別獨立地從該題庫中隨機選取一道題作答，求這4人

中至少有2人的選題來自B層的概率；

核心素養(yǎng)創(chuàng)新練

12.(17分)(2025湖北新八校聯(lián)考)我們將借助導數(shù)求隨機變量的期望和方差的方法稱為

微分恒等式法，微分恒等式法既可以用于實驗次數(shù)有限的情況，也可以用于實驗次數(shù)無限

的情況微分恒等式法的一個應用案例如下：

關于X的恒等式滿足x+(l-x)x+(l?x)2x+…+(1?X產(chǎn)x+…=1,

對等式兩邊求導可得l-x+(l-X)-2(1-X)x+(1-x)2+???-(k-1)(1-x)*-,x+(1-x/-1+…=0.

移項得1+(1-x)+(1-x)2+,*?+(1-x/*1+,,,=x+2(1-x)x+,,,-^(k-1)(1-x)k',x+,,

某校師生在操場上歡慶元旦，其中有一項套圈活動備受歡迎，活動規(guī)則為每人累計人(〃￡

N)次未套中時則停止套圈，否則可以繼續(xù)套圈.若每人每次套中的概率為MO<P<1),且每

次套中與否互不影響，每次套中后積1分，將每位參與活動的師生所得積分記為隨機變量

X.

⑴若％=1,〃三,求x=3的概率；

⑵求X=OW=1X=〃(〃WN)的概率，并寫出隨機變量X的分布列；

(3)用微分恒等式法求隨機變量X的數(shù)學期望E(㈤,并據(jù)此估計當k=3,p=Q75時每位參

與該項活動的師生的積分.

3

答案：

1.B解析因為長例破，

所以E(X)=〃xg=2,

解得〃=4,

所以。(￥=2)=鬣(34T.

故選B.

2.D解析因為X?且P(X<〃+o)=p,所以尸(X2〃+o)=l-p,根據(jù)正態(tài)分布曲線

的對稱性，可得尸(*〈〃-。)=「(入2〃+(7)=1-〃,所以P0I-O<X<N+O)=1-P(XWN-(J)-

P(￥2〃+。)=1?2(1?“)=2〃-1.故選D.

3.ABC解析由題設根+〃+0.5=1,則〃7+〃=0.5,故A正確;由E(X)=〃z+0.6+3〃+0.8=27則

加+3〃=1.3,聯(lián)立〃7+〃=0.5,所以加=0.1,〃=0.4,則P(X>2)=P(X=3)+P(X=4)=0.4+0.2=0.6,故

D錯誤回3X-1)=3E(X)-1=8.1-1=7.I,故B正確;。(3=(1-2.7盧().1+(2-2.7內0.3+(3-

2.7)2x0.4+(4-27)2x0.2=0.81,故C正確.故選ABC.

4.ABD解析片0表示停上取球時沒有取到黃球,所以尸(片0)W，故A正確；

又隨機變量。的所有可能取值為0,12則批=1)=卜］/

產(chǎn)(六2用xl=:，故4的分布列為

4A

012

111

p

333

所以￡(e)=0xi+lxi+2x口，故B正確；

oOO

由E(34+l)=3E?+l=3xl+l=4,故C錯誤;

。?=卜(0-1)2+卜(1?1)2+卜(2?1)2=|,。(3。+1)=9乂。?=6,故》正確.故選ABD.

5BC解析由八例3息故尸(y=o)=cg6)。鑼

p(r=1)=Cl.|.(l)2=^

p(y=2)=cl-(|)2-i=i

4

p(y=3)=*|T

當。力0時,Z=AT=O,即尸(X=Q,y=O)+尸(X=l,y=0)=%+31-p尸/Hg,

當a=o時,z=xy=o,即p(x=o)+p(x=i，=o)=p+#-p)嗡解得故A錯誤,B,C正確;

z的可能取值為

0,123,P(Z=O)*2,9P(Z=l)=P(X=l,y=l)V2x|2=六4p(z=2)==(X=l,y=2)q4X彳2=g8p(Z=

3)=P(X=1，Y=3)號x|4，

故E(Z)=0x*1x》2x5+3x2=*故D錯誤.故選BC.

olZ/L/oio

6.2解析由題可知10+3oW16,解得cW2,故。的最大值為2.

7.400解析由題意知，成功次數(shù)人功啟,所以七（㈤=沙（㈤今，要使:＜-＜/嶺〈不言

ssyonzoz

2

即＜￡即|在|＜3由切比雪夫不等式P（|XTW）21rj,知至少有98%的把握使試

63b3b3b（-n）4

2

驗成功的頻率在區(qū)間（'，）內，則1-備N0.98,解得〃2400,所以拋擲的次數(shù)〃的最小值為

400.

8.1［3,9］解析設投擲1次時的位置值為X,易知X拘可能取侑有-1,2,則P（X=-1）=：=

6

；,P（X=2）W=I，則X的分布列為

Sb3

X-12

12

P

33

則均值為￡（A）=（-l）x1+2x1=l.

JJ

設投擲6次時的位置值為匕則y的可能取值有-6,-3,0,3,6,9,12,

則尸（丫=-6）=或x（》6x（|）o=擊,p（y=-3）=源x（*（］嗡,

6X（抄守嗡6x（處身嗡p（y=6）=第x（*身嘿

貝”p（y=6）＞p（y=9）＞p（y=3）＞p（y=i2）＞p（r=o）＞p（r=-3）＞p（r=-6）,

5

54144/197

且p(y=6)+p(y=9)=黑+----<,

243243-----243'

尸（y=6）+P（y=9）+/V=3）=墨+墨+孤=裳>197

243'

所以概率大于學的點的位置存在的最小區(qū)間為[3,9].

9.ACD解析對于正態(tài)分布片N(3,l),可得其期望￡(X)=3Q(X)=1,對于二項分布

丫?8(6,*可得E(Y)=6x⑺=6x[x]=,，所以E(X)=￡(/),。(出<。⑺做A正確,B

錯誤油于正態(tài)分布具有對稱性，由XTV(3,1),可得尸(AW1)=P(XN5),故C正確;對于

收+

Cl+4)(乎=1+6：，2。二鼻,所以p(x24)vP(X23)W.所以P(yW3)>P(X24),故D正確.

L645LL

故選ACD.

lO.y解析當〃=3時，按順時針方向把人標記為1,2,3,4,5,6,用(V)表示i和/握手.

若1和2握手,共有兩種方法:(3,4),(5,6)和(3,6),(4,5),若1和6握手，共有兩種方

法:(2,3),(4,5)和(3,4),(2,5),若1和4握手，共有1種方法:(2,3),(5,6),所以一共有5種方法.

當〃=4時，若1和2握手，剩下6個人,情況同〃=3,共5種方法，若1和8握手，剩下6個人,

情況同〃=3,共5種方法，

若1和4握手，則2和3握手,5,6,7,8之間握手情況同〃=2洪2種方法，從而有1><2=2種

方法，

若1和6握手，由對稱性,情況同1和4握手，共2種方法，所以一共有5+5+2+2=14種方

法.

6

其中，共2種方法使得丫=4(相鄰兩人按順時針或逆時針方向依次握手)/(丫=4)=2="共

14/

4種方法使得丫=2(類似(1,6),(2,5),(3,4),(7,8)等),尸(丫=2)4=*共8種方法使得丫=3(類

似(1,4),(2,3),(5,6),(7,8)等),尸(丫=3)喘=*的分布列為

234

/，24

777

故￡(Y)=2xg+3x,+4xT=m.故答案為去

”.解(I)因為A,B,C三層題量之比為7：3：2,所以在B層選題的概率為卷=：,不在B

層選題的概率為15=*設至少2人的選題來自B層的概率為P,從B層選題數(shù)量為X,

由題意得XL8(43),而二項分布概率公式為尸(乂=女)=腎(3(1之則至少2人的選題來自

B層的概率為P(X=2)+P(X=3)+P(X=4),故尸=第中小+c猊呢)+以(1啜+裝+

1_67

256—256

(2)因為A,B,C三層題量之比為7：3：2,所以在A層最多抽到7道，且7可取0,1,2,3,則

7

P(X=0)

五？(x—1)FT9"(x—2)-用彳P(x—3)一弟445

其分布列為

X0123

17217

P

22224444

所以現(xiàn)￥)=0x/+1x5+2x分3Xd

12.解⑴若％=1,則￥=3表示總共套了4次,其中前3次套中，第4次沒有套中，因此概率

為P(X=3)=(1)3x六巳

ZZ16

(2)X=0表示總共套了&次淇中前〃次均沒有套中，

因此概率為P(X=O)=C/U-p?=C￡pO?(l-p)\X=l表示總共套了1+左次，其中前4次中套

中了1次，第1+%次沒有套中，因此概率為P(X=l)=C??(l-p?；……

X=〃表示總共套了〃+女次淇中前〃+hl次中